角平分线的性质定理
角平分线上的点到 ．
符号语言：如图，
∵点P在∠AOB的平分线OC上， ，
∴PD＝PE.
角平分线性质定理的逆定理
在一个角的内部，并且 ，在这个角的平分线上．
符号语言：如上图所示，
∵PD＝PE， ，
∴点P在∠AOB的平分线OC上．
尺规作图
作一个角的角平分线．
角平分线的性质
典例1 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝CF.
典例1图
求证：BD＝DF.
变式 如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝36 cm2，AB＝18 cm，BC＝12 cm，则DE＝ cm.
变式图
角平分线性质定理的逆定理
典例2 如图，BM，CN是△ABC的两条角平分线，相交于点P.
典例2图
求证：点P在∠BAC的平分线上．
变式 [2023春·双峰县期末]如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB，BC，CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝70°，∠BOC＝ ．
变式图
1．[2024·青海]如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，则点P到OA的距离是( )
第1题图
A．4 B．3 C．2 D．1
2．如图， AB⊥BC于点B, AD⊥DC于点D，若CB＝CD，且∠1＝30°，则∠CAD的度数是( )
第2题图
A．90° B．60° C．30° D．15°
3．[2024春·呈贡区期末]两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为P，其中一把直尺边缘和射线OA重合，另一把直尺的下边缘与射线OB重合，连接OP并延长．若∠BOP＝25°，则∠AOP的度数为( )
第3题图
A．12.5° B．25° C．37.5° D．50°
4．[2024秋·船营区校级月考]如图，在△ABC中， AD平分∠BAC, DE⊥AB，若AC＝9，DE＝4，则S△ACD＝ ．
第4题图
5．[2024·右玉县四模]已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上， PM⊥AD, PN⊥CD，垂足分别是M，N.试说明：PM＝PN.三角形三内角平分线的性质
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．
三角形三条角平分线的交点称为三角形的内心，无论是锐角三角形，钝角三角形还是直角三角形，其内心一定在其内部．
尺规作图
作角平分线与垂直平分线．
三角形三内角平分线的性质
典例 已知：如图公路AE，AF，BC两两相交，在三条公路围成的△ABC区域内，
求作：加油站O，使得O到三条公路的距离相等．(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
典例图
解：作法如下：
典例图
尺规作出∠BAC，∠ABC，∠ACB中任意两个角的角平分线，交点即为O点．
证明：∵点O是∠BAC与∠ABC平分线的交点，
∴点O到公路AE，AF，BC的距离相等；
∴点O即为所求作的点．
根据角平分线的性质及作法，即可作得．
变式 如图所示是一块三角形草坪，现在要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在( C )
变式图
A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三边的中垂线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点
D．△ABC三条高所在直线的交点
1．[2024·深圳]在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是( B )
第1题图
A．①② B．①③
C．②③ D．只有①
2．如图，O是△ABC的三条角平分线的交点，连接OA，OB，OC，若△OAB，△OBC，△OAC的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系正确的是( C )
第2题图
A．S1>S2＋S3 B．S1＝S2＋S3
C．S13．[2024·民勤县三模]如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于( C )
第3题图
A．1∶1∶1 B．1∶2∶3
C．2∶3∶4 D．3∶4∶5
4．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB, OD⊥BC于D，且OD＝3，△ABC的面积是31.5．
第4题图
解析：作OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为E，F，连接OA，
第4题图
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OD＝OE＝OF，
∴S△ABC＝S△OBC＋S△OAC＋S△OAB
＝×OD×BC＋×OE×AC＋×OF×AB
＝×OD×(BC＋AC＋AB)
＝×3×21＝31.5.三角形三内角平分线的性质
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到 ．
三角形三条角平分线的交点称为三角形的内心，无论是锐角三角形，钝角三角形还是直角三角形，其内心一定在其内部．
尺规作图
作角平分线与垂直平分线．
三角形三内角平分线的性质
典例 已知：如图公路AE，AF，BC两两相交，在三条公路围成的△ABC区域内，
求作：加油站O，使得O到三条公路的距离相等．(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
典例图
变式 如图所示是一块三角形草坪，现在要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在( )
变式图
A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三边的中垂线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点
D．△ABC三条高所在直线的交点
1．[2024·深圳]在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是( )
第1题图
A．①② B．①③
C．②③ D．只有①
2．如图，O是△ABC的三条角平分线的交点，连接OA，OB，OC，若△OAB，△OBC，△OAC的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系正确的是( )
第2题图
A．S1>S2＋S3 B．S1＝S2＋S3
C．S13．[2024·民勤县三模]如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于( )
第3题图
A．1∶1∶1 B．1∶2∶3
C．2∶3∶4 D．3∶4∶5
4．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB, OD⊥BC于D，且OD＝3，△ABC的面积是 ．
第4题图角平分线的性质定理
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
符号语言：如图，
∵点P在∠AOB的平分线OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE.
角平分线性质定理的逆定理
在一个角的内部，并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
符号语言：如上图所示，
∵PD＝PE，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴点P在∠AOB的平分线OC上．
尺规作图
作一个角的角平分线．
角平分线的性质
典例1 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝CF.
典例1图
求证：BD＝DF.
要证BD＝DF，可考虑证明△BDE≌△FDC.
证明：∵AD是∠BAC的平分线，
DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DE＝CD.
在△BDE和△FDC中，
∴△BDE≌△FDC(SAS)．
∴BD＝DF.
变式 如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝36 cm2，AB＝18 cm，BC＝12 cm，则DE＝cm.
变式图
角平分线性质定理的逆定理
典例2 如图，BM，CN是△ABC的两条角平分线，相交于点P.
典例2图
求证：点P在∠BAC的平分线上．
要证点P在∠BAC的平分线上，即证点P到AB，AC的距离相等．
证明：过点P分别作PD，PE，PF垂直于AB，AC，BC，垂足分别为点D，E，F.
典例2图
∵点P在∠ABC的平分线BM上，PD⊥AB，PF⊥BC，
∴PD＝PF.
同理可证PE＝PF.
∴PD＝PE.
又∵PD⊥AB，PE⊥AC，
∴点P在∠BAC的平分线上．
变式 [2023春·双峰县期末]如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB，BC，CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝70°，∠BOC＝125°．
变式图
1．[2024·青海]如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，则点P到OA的距离是( C )
第1题图
A．4 B．3 C．2 D．1
2．如图， AB⊥BC于点B, AD⊥DC于点D，若CB＝CD，且∠1＝30°，则∠CAD的度数是( C )
第2题图
A．90° B．60° C．30° D．15°
3．[2024春·呈贡区期末]两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为P，其中一把直尺边缘和射线OA重合，另一把直尺的下边缘与射线OB重合，连接OP并延长．若∠BOP＝25°，则∠AOP的度数为( B )
第3题图
A．12.5° B．25° C．37.5° D．50°
4．[2024秋·船营区校级月考]如图，在△ABC中， AD平分∠BAC, DE⊥AB，若AC＝9，DE＝4，则S△ACD＝18．
第4题图
5．[2024·右玉县四模]已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上， PM⊥AD, PN⊥CD，垂足分别是M，N.试说明：PM＝PN.
证明：∵BD为∠ABC的平分线，
第5题图
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
∴△ABD≌△CBD(SAS)，
∴∠ADB＝∠CDB，
∵点P在BD上，PM⊥AD, PN⊥CD，
∴PM＝PN.
