第18章 平行四边形 培优测试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 第18章 平行四边形 培优测试题（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 3.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-21 04:47:52 | ||
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文档简介
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第18章 平行四边形 培优测试题
考试范围：第18章 平行四边形；考试时间：100分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图，在 ABCD中，若∠A＝30°，则∠B的度数为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．150°
2．如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，如果添加一个条件使得 ABCD是矩形，那么下列添加的条件中正确的是（ ）
A．∠DAO+∠ADO＝90° B．∠DAC＝∠ACD
C．∠DAC＝∠BAC D．∠DAB＝∠ABC
3．如图，公路AC，BC互相垂直，点M为公路AB的中点，为测量湖泊两侧C、M两点间的距离，若测得AB的长为5m，则M，C两点间的距离为（ ）
A．2.5cm B．3cm C．4.5cm D．5cm
（1题图） （2题图） （3题图） （5题图）
4．在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝160°，则∠D等于（ ）
A．50° B．80° C．100° D．130°
5．如图，在 ABCD中，AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE，2AB＝BC＝AC＝4，则△OCE的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形ABCD，且对角线AC＝8，BD＝6，则纸条的宽度是（ ）
A．9.6 B．5 C．4.8 D．2.4
7．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，E，F分别是边CD和BC的延长线上一点，且CE＝CF＝2，以CE，CF为边作 CEGF，H是AG的中点．则线段CH的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝6，BD＝8，AD⊥DB，点M、N分别是边AB、BC上的动点（不与A、B、C重合），点E、F分别为DN、MN的中点，连接EF，则EF的最小值为（ ）
A．2.4 B．3 C．4 D．4.8
9．如图，矩形ABCD中，AB＝12，BC＝5，点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（ ）
A． B．7 C．8 D．
10．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论：
①OGAB；②与△DEG、全等的三角形共有5个；③四边形ODEG与四边形OBAG面积相等；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．其中一定成立的是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
（8题图） （9题图） （10题图）
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接EF．只需添加一个条件即可证明四边形EFCB是菱形，这个条件可以是 （写出一个即可）．
12．如图，在 ABCD中，∠A＝68°，DB＝DC，CE⊥BD于E，则∠BCE的度数为 ．
（11题图） （12题图） （13题图） （14题图）
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，点P是BD的中点，若CP＝4，则AD的长为 ．
14．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在边BC上AB＝BE且∠CBD＝2∠CAE，连结OE，则的值是 ．
15．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM＝3，OB＝5，则BC的长为 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（9分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，AF，CE分别是∠BAD，∠BCD的角平分线．
（1）求证：△AFD≌△CEB；
（2）求证：四边形AECF是平行四边形．
17．（9分）如图， ABCD中，AC＝BC，AE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F．证明：BE＝CF．
18．（9分）课本再现
（1）如图1，O是正方形ABCD对角线的交点，同时，O是正方形A1B1C1O的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，两个正方形重叠的部分为四边形EBFO，则S四边形EBFO＝ S正方形ABCD；AE BF（填“＞”“＝”或“＜”）．
拓展延伸
（2）如图2，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是边AD上一点，连接OE，过点O作OF⊥OE，交CD于点F．若四边形OFDE的面积是1，求线段AB的长．
19．（9分）如图，平行四边形ABCD中，P是AB边上的一点（不与点A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ．
（1）若CQ平分∠DCP，求证：四边形ABCD是矩形；
（2）在（1）的条件下，当AP＝2，CB＝4时，求CD的长．
20．（9分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，EF⊥AB于F点，OG∥EF交AB于点G．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BD的长．
21．（9分）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB＝BC，CD＝13，AC＝24，求四边形AECD的面积．
22．（10分）如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．
（1）证明：四边形EBFD是菱形；
（2）若BF＝2，∠EBF＝60°，求BD的长．
23．（11分）在正方形ABCD中，E是BC边上一点（点E不与点B，C重合），AE⊥EF，垂足为点E，EF与正方形的外角∠DCG的平分线交于点F．
（1）如图1，若点E是BC的中点，猜想AE与EF的数量关系是 ；证明此猜想时，可取AB的中点P，连接EP．根据此图形易证△AEP≌△EFC．则判断△AEP≌△EFC的依据是 ．
（2）点E在BC边上运动．
①如图2，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由．
②如图3，连接AF，DF，若正方形ABCD的边长为1，直接写出△AFD的周长c的取值范围．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝30°，
∴AD∥BC，
∴∠B+∠A＝180°，
∴∠B＝180°﹣30°＝150°．
选：D．
2．解：A、∵∠DAO+∠ADO＝90°，
∴∠AOD＝90°，
∴AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形，选项A不符合题意；
B、∵∠DAC＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∴ ABCD是菱形，选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠DCA＝∠BAC，
∵∠DAC＝∠BAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD，
∴ ABCD是菱形，选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∵∠DAB＝∠ABC，
∴∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴ ABCD是矩形，选项D符合题意；
选：D．
3．解：∵公路AC，BC互相垂直，
∴∠ACB＝90°，
∵M为AB的中点，
∴CMAB，
∵AB＝5m，
∴CM＝2.5（m），
即M，C两点间的距离为2.5m，
选：A．
4．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
∵∠A+∠C＝160°，
∴∠A＝80°，
∴∠D＝180°﹣∠A＝100°．
选：C．
5．解：∵ ABCD，AE平分∠BAD，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，∠DAE＝∠BAE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴，即E为BC的中点，
∴；
如图，作CF⊥AB于F，
∵AC＝BC，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∴，
选：B．
6．解：过点D作DH⊥AB于点H，过点D作DF⊥BC于F，设AC、BD交点为O．
∵两条纸条宽度相同，
∴DH＝DF．
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵S ABCD＝AB DH＝BC DF，
又∵DH＝DF．
∴BC＝AB，
∴四边形ABCD是菱形；
∴OB＝ODBD＝3，OA＝OCAC＝4，AC⊥BD．
∴AB5，
∴AB DHAC BD，
∴DH，
∴纸条的宽度是是4.8；
选：C．
7．解：如图，连接AC，CG，EF，CG与EF交于点O．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，BA＝BC，
∴∠B＝∠ECF＝60°，△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝6，∠ACB＝∠ACD＝60°，
∵四边形CEGF是平行四边形，
∵CE＝CF＝2，
∴四边形CEGF是菱形，
∴EF⊥CG，∠ECG＝∠GCF＝30°，
∴OE＝OFCE＝1，
∴OC＝OG，
∴∠ACG＝90°，CG＝2，
∴AG4，
∵AH＝HG，
∴CHAG＝2．
选：D．
8．解：∵AD＝6，BD＝8，AD⊥DB，
∴AB10，
如图，连接DM，
∵E、F分别为DN、MN的中点，
∴EF是△DMN的中位线，
∴EFDM，
∴EF的最小值，就是DM的最小值，
当DM⊥AB时，DM最小，
∵S△ADBAD BDAB DM，
∴DM，
∴EFDM＝2.4，
∴EF的最小值为2.4．
选：A．
9．解：连接EF交AC于点O，如图所示，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，DC∥AB，
∴∠FCO＝∠EAO，
∵AB＝12，BC＝5，
∴AC13，
∵四边形EGFH是菱形，
∴EF⊥GH，OF＝OE，
∴∠AOE＝∠COF＝90°，
∴△COF≌△AOE（AAS），
∴OC＝OA，
∵∠AOE＝90°，∠ABC＝90°，
∴∠AOE＝∠ABC，
又∵∠OAE＝∠BAC，
∴△AOE∽△ABC，
∴，
即，
解得AE，
选：D．
10．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD（SSS），
∵CD＝DE，
∴AB＝DE，
在△ABG和△DEG中，
，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG＝DG，
∴OG是△ACD的中位线，
∴OGCDAB，①正确；
∵AB∥CE，AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD＝∠BAD＝60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，
∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，④正确；
∴AD⊥BE，
由菱形的性质得：△BGA≌△BGD≌△EGD（SSS），
在△BGA和△COD中，
，
∴△BGA≌△COD（SAS），
∴△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，②不正确；
∵OB＝OD，
∴S△BOG＝S△DOG，
∵四边形ABDE是菱形，
∴S△ABG＝S△DGE，
∴四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，③正确；
选：A．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．解：这个条件可以是CF＝CB，理由如下：，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴BEAB，CFCD，
∴BE＝CF，
∴四边形EFCB是平行四边形，
又∵CF＝CB，
∴平行四边形EFCB是菱形，
答案为：CF＝CB（答案不唯一）．
12．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠A＝68°，
∵DB＝DC，
∴∠DBC＝∠BCD＝68°，
∵CE⊥BD，
∴∠CEB＝90°，
∴∠BCE＝90°﹣68°＝22°．
答案为：22°．
13．解：在Rt△BCD中，点P是BD的中点，
∴CP是中线，
∴BD＝2CP＝8，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠A＝30°，
∵BD平分∠ABC．
∴∠DBA＝∠A＝30°，
∴BD＝AD＝8，
答案为：8．
14．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，OA＝OCAC，OB＝ODBD，AC＝BD，AD∥BC，
∴OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵AD∥BC，
∴∠DAO＝∠OCB，
∴∠DAO＝∠OBC，
∵∠CBD＝2∠CAE，
∴∠DAO＝2∠CAE，
∵AB＝BE，∠ABC＝90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE＝45°，
∴∠DAE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠DAO＝2∠CAE，
∴∠DAO＝30°，
∴∠ACB＝30°，
∴BCABBE，
∴EC＝BC﹣BE＝（1）BE，
∴1，
∵OA＝OC，
∴△AOE的面积＝△COE的面积，
∴1．
答案为：1．
15．解：∵点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴OA＝OB＝OD＝OC＝5，∠BAD＝90°，BC＝AD，
∵OM∥AB，
∴∠OMA＝180°﹣∠BAD＝90°，
∴AD＝2AM，
∵OM＝3，
∴，
∴BC＝AD＝2AM＝8；
答案为：8．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠D＝∠B，∠BAD＝∠BCD，AB∥CD，
∵AF，CE分别为∠BAD和∠BCD的角平分线，
∴∠BAF＝∠DAF＝∠BCE＝∠DCE，
在△DAF和△BCE中，
，
∴△AFD≌△CEB（ASA）；
（2）∵△AFD≌△CEB，
∴DF＝BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∴AE＝CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
17．证明：∵AE⊥BC，DF⊥AC，
∴∠AEB＝∠DFC＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∵AC＝BC，
∴∠B＝∠BAC，
∴∠B＝∠ACD，
在△AEB和△DFC中，
，
∴△AEB≌△DFC（AAS），
∴BE＝CF．
18．解：（1）如图，连接OA＝OB，
∵O是正方形ABCD对角线的交点，
∴OA＝OB∠OAE＝∠OBF＝45°，∠AOB＝90°；
∴∠AOE+∠EOB＝90°；
在正方形A1B1C1O中，∠A1OC1＝∠EOB+∠BOF＝90°，
∴∠AOE＝∠BOF，
∴△OAE≌△OBF（ASA），
∴S△OAE＝S△OBF，AE＝BF，
∴S△AOB＝S△AOE+S△EOB＝S△OBF+S△EOB＝S四边形EBFO，
∵，AB2＝OA2+OB2＝2OA2，S正方形ABCD＝AB2，
∴，
∴，
∴，
答案为：；＝；
（2）∵O是正方形ABCD对角线的交点，
∴OD＝OC，∠ODE＝∠OCF＝45°，∠DOC＝90°，
∴∠DOF+∠FOC＝90°；
∵OF⊥OE，∠EOD+∠DOF＝90°，
∴∠EOD＝∠FOC，
∴△ODE≌△OCF（ASA），
∴S△ODE＝S△OCF，
∴S△COD＝S△DOF+S△FOC＝S△DOF+S△DOE＝S四边形EDFO＝1，
∴．
∴OD2＝2，
∵CD2＝OD2+OC2＝2OD2＝4，
∴AB＝CD＝2．
19．（1）证明：∵PQ⊥CP，
∴∠CPQ＝90°，
∵CQ平分∠DCP，
∴∠DCQ＝∠PCQ，
又∵CP＝CD，CQ＝CQ，
∴△DCQ≌△PCQ（SAS），
∴∠D＝∠QPC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵CP＝CD，
∴设CP＝CD＝x，则PB＝x﹣2，
在Rt△BCP中，BC2+BP2＝CP2，
∴（x﹣2）2+42＝x2，
∴x＝5，
∴CD＝5．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝10，AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∵E是AD的中点，
∴，
由（1）可知，四边形EFCO是矩形，
∴FG＝OE＝5，
∵EF⊥AB，
∴∠EFA＝90°，
∴，
∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2，
∵在直角三角形OGB中OB2＝BG2+OG2＝22+42＝20，
∴，
∴．
21．（1）证明：在△AOE和△COD中，
，
∴△AOE≌△COD（ASA），
∴OE＝OD，
∵AO＝CO，
∴四边形AECD是平行四边形．
（2）解：∵AB＝BC，AO＝CO，
∴BO⊥AC，
∴四边形AECD是菱形．
在Rt△COD中，CD＝13，OCAC＝12，
∴OD5，
∴DE＝2OD＝10，
∴菱形AECD的面积AC DE24×10＝120．
22．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是对角线BD的中点，
∴AD∥BC，OB＝OD，
∴∠FBO＝∠EDO，又∠BOF＝∠DOE，
在△BOF和△DOE中，
，
∴△BOF≌△DOE（ASA），
∴BF＝DE，又DE∥BF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形EBFD是菱形；
（2）解：∵四边形EBFD是菱形，
∴∠FBO∠EBF＝30°，
∵∠BOF＝90°，
∴OFBF＝1，
∴OB，
∴BD＝2OB＝2．
23．解：（1）如图1，取AB的中点P，连接EP．
则AP＝BPAB，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CEBC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°，
∴AP＝EC，∠BAE+∠AEB＝90°，BP＝BE，∠DCG＝90°，
∴△BPE是等腰直角三角形，
∴∠BPE＝45°，
∴∠APE＝180°﹣∠BPE＝180°﹣45°＝135°，
∵CF平分∠DCG，
∴∠DCF＝∠GCF＝45°，
∴∠ECF＝180°﹣∠GCF＝180°﹣45°＝135°，
∴∠APE＝∠ECF，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
在△AEP和△EFC中，
，
∴△AEP≌△EFC（ASA），
∴AE＝EF，
答案为：AE＝EF，ASA；
（2）①成立，理由如下：
如图2，在AB上取一点P，使BP＝BE，连接PE，
则AP＝EC，
由（1）得：∠PAE＝∠CEF，
∵BP＝BE，∠B＝90°，
∴△BPE是等腰直角三角形，
∴∠BPE＝45°，
∴∠APE＝180°﹣∠BPE＝180°﹣45°＝135°，
∴∠APE＝∠ECF，
在△AEP和△EFC中，
，
∴△AEP≌△EFC（ASA），
∴AE＝EF；
②如图3，过D作DH⊥CF交DG于点H，连接FH、AH，
∵∠DCF＝45°，
∴∠CDH＝45°，
∴△DCH是等腰直角三角形，
∴点H与D关于CF对称，
∴DF＝HF，
∴AF+DF＝AF+FH，
当A、F、H三点共线时，AF+FH即AF+DF最短，
此时AF+DF＝AH，BH＝BC+CH＝2，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：AH，
此时c＝AD+AF+DF＝1；
当DF＝FH与CD相等时，即A、D、F三点共线，
此时AD+AF+DF＝1+2+1＝4，
则c＜AD+AF+DF＝4；
∴△AFD的周长c的取值范围是1c＜4．
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第18章 平行四边形 培优测试题
考试范围：第18章 平行四边形；考试时间：100分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图，在 ABCD中，若∠A＝30°，则∠B的度数为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．150°
2．如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，如果添加一个条件使得 ABCD是矩形，那么下列添加的条件中正确的是（ ）
A．∠DAO+∠ADO＝90° B．∠DAC＝∠ACD
C．∠DAC＝∠BAC D．∠DAB＝∠ABC
3．如图，公路AC，BC互相垂直，点M为公路AB的中点，为测量湖泊两侧C、M两点间的距离，若测得AB的长为5m，则M，C两点间的距离为（ ）
A．2.5cm B．3cm C．4.5cm D．5cm
（1题图） （2题图） （3题图） （5题图）
4．在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝160°，则∠D等于（ ）
A．50° B．80° C．100° D．130°
5．如图，在 ABCD中，AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE，2AB＝BC＝AC＝4，则△OCE的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形ABCD，且对角线AC＝8，BD＝6，则纸条的宽度是（ ）
A．9.6 B．5 C．4.8 D．2.4
7．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，E，F分别是边CD和BC的延长线上一点，且CE＝CF＝2，以CE，CF为边作 CEGF，H是AG的中点．则线段CH的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝6，BD＝8，AD⊥DB，点M、N分别是边AB、BC上的动点（不与A、B、C重合），点E、F分别为DN、MN的中点，连接EF，则EF的最小值为（ ）
A．2.4 B．3 C．4 D．4.8
9．如图，矩形ABCD中，AB＝12，BC＝5，点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（ ）
A． B．7 C．8 D．
10．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论：
①OGAB；②与△DEG、全等的三角形共有5个；③四边形ODEG与四边形OBAG面积相等；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．其中一定成立的是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
（8题图） （9题图） （10题图）
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接EF．只需添加一个条件即可证明四边形EFCB是菱形，这个条件可以是 （写出一个即可）．
12．如图，在 ABCD中，∠A＝68°，DB＝DC，CE⊥BD于E，则∠BCE的度数为 ．
（11题图） （12题图） （13题图） （14题图）
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，点P是BD的中点，若CP＝4，则AD的长为 ．
14．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在边BC上AB＝BE且∠CBD＝2∠CAE，连结OE，则的值是 ．
15．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM＝3，OB＝5，则BC的长为 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（9分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，AF，CE分别是∠BAD，∠BCD的角平分线．
（1）求证：△AFD≌△CEB；
（2）求证：四边形AECF是平行四边形．
17．（9分）如图， ABCD中，AC＝BC，AE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F．证明：BE＝CF．
18．（9分）课本再现
（1）如图1，O是正方形ABCD对角线的交点，同时，O是正方形A1B1C1O的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，两个正方形重叠的部分为四边形EBFO，则S四边形EBFO＝ S正方形ABCD；AE BF（填“＞”“＝”或“＜”）．
拓展延伸
（2）如图2，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是边AD上一点，连接OE，过点O作OF⊥OE，交CD于点F．若四边形OFDE的面积是1，求线段AB的长．
19．（9分）如图，平行四边形ABCD中，P是AB边上的一点（不与点A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ．
（1）若CQ平分∠DCP，求证：四边形ABCD是矩形；
（2）在（1）的条件下，当AP＝2，CB＝4时，求CD的长．
20．（9分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，EF⊥AB于F点，OG∥EF交AB于点G．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BD的长．
21．（9分）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB＝BC，CD＝13，AC＝24，求四边形AECD的面积．
22．（10分）如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．
（1）证明：四边形EBFD是菱形；
（2）若BF＝2，∠EBF＝60°，求BD的长．
23．（11分）在正方形ABCD中，E是BC边上一点（点E不与点B，C重合），AE⊥EF，垂足为点E，EF与正方形的外角∠DCG的平分线交于点F．
（1）如图1，若点E是BC的中点，猜想AE与EF的数量关系是 ；证明此猜想时，可取AB的中点P，连接EP．根据此图形易证△AEP≌△EFC．则判断△AEP≌△EFC的依据是 ．
（2）点E在BC边上运动．
①如图2，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由．
②如图3，连接AF，DF，若正方形ABCD的边长为1，直接写出△AFD的周长c的取值范围．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝30°，
∴AD∥BC，
∴∠B+∠A＝180°，
∴∠B＝180°﹣30°＝150°．
选：D．
2．解：A、∵∠DAO+∠ADO＝90°，
∴∠AOD＝90°，
∴AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形，选项A不符合题意；
B、∵∠DAC＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∴ ABCD是菱形，选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠DCA＝∠BAC，
∵∠DAC＝∠BAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD，
∴ ABCD是菱形，选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∵∠DAB＝∠ABC，
∴∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴ ABCD是矩形，选项D符合题意；
选：D．
3．解：∵公路AC，BC互相垂直，
∴∠ACB＝90°，
∵M为AB的中点，
∴CMAB，
∵AB＝5m，
∴CM＝2.5（m），
即M，C两点间的距离为2.5m，
选：A．
4．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
∵∠A+∠C＝160°，
∴∠A＝80°，
∴∠D＝180°﹣∠A＝100°．
选：C．
5．解：∵ ABCD，AE平分∠BAD，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，∠DAE＝∠BAE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴，即E为BC的中点，
∴；
如图，作CF⊥AB于F，
∵AC＝BC，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∴，
选：B．
6．解：过点D作DH⊥AB于点H，过点D作DF⊥BC于F，设AC、BD交点为O．
∵两条纸条宽度相同，
∴DH＝DF．
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵S ABCD＝AB DH＝BC DF，
又∵DH＝DF．
∴BC＝AB，
∴四边形ABCD是菱形；
∴OB＝ODBD＝3，OA＝OCAC＝4，AC⊥BD．
∴AB5，
∴AB DHAC BD，
∴DH，
∴纸条的宽度是是4.8；
选：C．
7．解：如图，连接AC，CG，EF，CG与EF交于点O．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，BA＝BC，
∴∠B＝∠ECF＝60°，△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝6，∠ACB＝∠ACD＝60°，
∵四边形CEGF是平行四边形，
∵CE＝CF＝2，
∴四边形CEGF是菱形，
∴EF⊥CG，∠ECG＝∠GCF＝30°，
∴OE＝OFCE＝1，
∴OC＝OG，
∴∠ACG＝90°，CG＝2，
∴AG4，
∵AH＝HG，
∴CHAG＝2．
选：D．
8．解：∵AD＝6，BD＝8，AD⊥DB，
∴AB10，
如图，连接DM，
∵E、F分别为DN、MN的中点，
∴EF是△DMN的中位线，
∴EFDM，
∴EF的最小值，就是DM的最小值，
当DM⊥AB时，DM最小，
∵S△ADBAD BDAB DM，
∴DM，
∴EFDM＝2.4，
∴EF的最小值为2.4．
选：A．
9．解：连接EF交AC于点O，如图所示，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，DC∥AB，
∴∠FCO＝∠EAO，
∵AB＝12，BC＝5，
∴AC13，
∵四边形EGFH是菱形，
∴EF⊥GH，OF＝OE，
∴∠AOE＝∠COF＝90°，
∴△COF≌△AOE（AAS），
∴OC＝OA，
∵∠AOE＝90°，∠ABC＝90°，
∴∠AOE＝∠ABC，
又∵∠OAE＝∠BAC，
∴△AOE∽△ABC，
∴，
即，
解得AE，
选：D．
10．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD（SSS），
∵CD＝DE，
∴AB＝DE，
在△ABG和△DEG中，
，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG＝DG，
∴OG是△ACD的中位线，
∴OGCDAB，①正确；
∵AB∥CE，AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD＝∠BAD＝60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，
∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，④正确；
∴AD⊥BE，
由菱形的性质得：△BGA≌△BGD≌△EGD（SSS），
在△BGA和△COD中，
，
∴△BGA≌△COD（SAS），
∴△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，②不正确；
∵OB＝OD，
∴S△BOG＝S△DOG，
∵四边形ABDE是菱形，
∴S△ABG＝S△DGE，
∴四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，③正确；
选：A．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．解：这个条件可以是CF＝CB，理由如下：，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴BEAB，CFCD，
∴BE＝CF，
∴四边形EFCB是平行四边形，
又∵CF＝CB，
∴平行四边形EFCB是菱形，
答案为：CF＝CB（答案不唯一）．
12．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠A＝68°，
∵DB＝DC，
∴∠DBC＝∠BCD＝68°，
∵CE⊥BD，
∴∠CEB＝90°，
∴∠BCE＝90°﹣68°＝22°．
答案为：22°．
13．解：在Rt△BCD中，点P是BD的中点，
∴CP是中线，
∴BD＝2CP＝8，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠A＝30°，
∵BD平分∠ABC．
∴∠DBA＝∠A＝30°，
∴BD＝AD＝8，
答案为：8．
14．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，OA＝OCAC，OB＝ODBD，AC＝BD，AD∥BC，
∴OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵AD∥BC，
∴∠DAO＝∠OCB，
∴∠DAO＝∠OBC，
∵∠CBD＝2∠CAE，
∴∠DAO＝2∠CAE，
∵AB＝BE，∠ABC＝90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE＝45°，
∴∠DAE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠DAO＝2∠CAE，
∴∠DAO＝30°，
∴∠ACB＝30°，
∴BCABBE，
∴EC＝BC﹣BE＝（1）BE，
∴1，
∵OA＝OC，
∴△AOE的面积＝△COE的面积，
∴1．
答案为：1．
15．解：∵点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴OA＝OB＝OD＝OC＝5，∠BAD＝90°，BC＝AD，
∵OM∥AB，
∴∠OMA＝180°﹣∠BAD＝90°，
∴AD＝2AM，
∵OM＝3，
∴，
∴BC＝AD＝2AM＝8；
答案为：8．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠D＝∠B，∠BAD＝∠BCD，AB∥CD，
∵AF，CE分别为∠BAD和∠BCD的角平分线，
∴∠BAF＝∠DAF＝∠BCE＝∠DCE，
在△DAF和△BCE中，
，
∴△AFD≌△CEB（ASA）；
（2）∵△AFD≌△CEB，
∴DF＝BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∴AE＝CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
17．证明：∵AE⊥BC，DF⊥AC，
∴∠AEB＝∠DFC＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∵AC＝BC，
∴∠B＝∠BAC，
∴∠B＝∠ACD，
在△AEB和△DFC中，
，
∴△AEB≌△DFC（AAS），
∴BE＝CF．
18．解：（1）如图，连接OA＝OB，
∵O是正方形ABCD对角线的交点，
∴OA＝OB∠OAE＝∠OBF＝45°，∠AOB＝90°；
∴∠AOE+∠EOB＝90°；
在正方形A1B1C1O中，∠A1OC1＝∠EOB+∠BOF＝90°，
∴∠AOE＝∠BOF，
∴△OAE≌△OBF（ASA），
∴S△OAE＝S△OBF，AE＝BF，
∴S△AOB＝S△AOE+S△EOB＝S△OBF+S△EOB＝S四边形EBFO，
∵，AB2＝OA2+OB2＝2OA2，S正方形ABCD＝AB2，
∴，
∴，
∴，
答案为：；＝；
（2）∵O是正方形ABCD对角线的交点，
∴OD＝OC，∠ODE＝∠OCF＝45°，∠DOC＝90°，
∴∠DOF+∠FOC＝90°；
∵OF⊥OE，∠EOD+∠DOF＝90°，
∴∠EOD＝∠FOC，
∴△ODE≌△OCF（ASA），
∴S△ODE＝S△OCF，
∴S△COD＝S△DOF+S△FOC＝S△DOF+S△DOE＝S四边形EDFO＝1，
∴．
∴OD2＝2，
∵CD2＝OD2+OC2＝2OD2＝4，
∴AB＝CD＝2．
19．（1）证明：∵PQ⊥CP，
∴∠CPQ＝90°，
∵CQ平分∠DCP，
∴∠DCQ＝∠PCQ，
又∵CP＝CD，CQ＝CQ，
∴△DCQ≌△PCQ（SAS），
∴∠D＝∠QPC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵CP＝CD，
∴设CP＝CD＝x，则PB＝x﹣2，
在Rt△BCP中，BC2+BP2＝CP2，
∴（x﹣2）2+42＝x2，
∴x＝5，
∴CD＝5．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝10，AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∵E是AD的中点，
∴，
由（1）可知，四边形EFCO是矩形，
∴FG＝OE＝5，
∵EF⊥AB，
∴∠EFA＝90°，
∴，
∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2，
∵在直角三角形OGB中OB2＝BG2+OG2＝22+42＝20，
∴，
∴．
21．（1）证明：在△AOE和△COD中，
，
∴△AOE≌△COD（ASA），
∴OE＝OD，
∵AO＝CO，
∴四边形AECD是平行四边形．
（2）解：∵AB＝BC，AO＝CO，
∴BO⊥AC，
∴四边形AECD是菱形．
在Rt△COD中，CD＝13，OCAC＝12，
∴OD5，
∴DE＝2OD＝10，
∴菱形AECD的面积AC DE24×10＝120．
22．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是对角线BD的中点，
∴AD∥BC，OB＝OD，
∴∠FBO＝∠EDO，又∠BOF＝∠DOE，
在△BOF和△DOE中，
，
∴△BOF≌△DOE（ASA），
∴BF＝DE，又DE∥BF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形EBFD是菱形；
（2）解：∵四边形EBFD是菱形，
∴∠FBO∠EBF＝30°，
∵∠BOF＝90°，
∴OFBF＝1，
∴OB，
∴BD＝2OB＝2．
23．解：（1）如图1，取AB的中点P，连接EP．
则AP＝BPAB，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CEBC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°，
∴AP＝EC，∠BAE+∠AEB＝90°，BP＝BE，∠DCG＝90°，
∴△BPE是等腰直角三角形，
∴∠BPE＝45°，
∴∠APE＝180°﹣∠BPE＝180°﹣45°＝135°，
∵CF平分∠DCG，
∴∠DCF＝∠GCF＝45°，
∴∠ECF＝180°﹣∠GCF＝180°﹣45°＝135°，
∴∠APE＝∠ECF，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
在△AEP和△EFC中，
，
∴△AEP≌△EFC（ASA），
∴AE＝EF，
答案为：AE＝EF，ASA；
（2）①成立，理由如下：
如图2，在AB上取一点P，使BP＝BE，连接PE，
则AP＝EC，
由（1）得：∠PAE＝∠CEF，
∵BP＝BE，∠B＝90°，
∴△BPE是等腰直角三角形，
∴∠BPE＝45°，
∴∠APE＝180°﹣∠BPE＝180°﹣45°＝135°，
∴∠APE＝∠ECF，
在△AEP和△EFC中，
，
∴△AEP≌△EFC（ASA），
∴AE＝EF；
②如图3，过D作DH⊥CF交DG于点H，连接FH、AH，
∵∠DCF＝45°，
∴∠CDH＝45°，
∴△DCH是等腰直角三角形，
∴点H与D关于CF对称，
∴DF＝HF，
∴AF+DF＝AF+FH，
当A、F、H三点共线时，AF+FH即AF+DF最短，
此时AF+DF＝AH，BH＝BC+CH＝2，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：AH，
此时c＝AD+AF+DF＝1；
当DF＝FH与CD相等时，即A、D、F三点共线，
此时AD+AF+DF＝1+2+1＝4，
则c＜AD+AF+DF＝4；
∴△AFD的周长c的取值范围是1c＜4．
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