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《公式法》习题
1、填空题
1.分解因式：①= ；②= ．
2.若是完全平方式，那么=________.
3.已知，则= .
4.分解因式：= .
5.在括号内填上适当的因式：
①； ②
③； ④
6.已知，则的值是
7.若，则的值为
8.分解因式：= .
二、选择题
1.下列各式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
A. B. C.2 D.
2.一个多项式分解因式的结果是，那么这个多项式是（ ）
A. B. C. D.
3.下列各式中不能用平方差公式分解的是（ ）
A. B. C. D.
4.若是完全平方式，那么等于( ).
A.4 B.2 C.±4 D.±2
5.下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A. B. C. D.
6.下列各式是完全平方式的是（ ）
A. B. C. D.
7.若a、b、c是△ABC的三边，满足且，则△ABC的形状是（ ）
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
8.下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A. B. C. D.
9.下列各式能用公式法进行因式分解的是( )
A. B. C. D.
10.已知，，则的值是（ ）
A.1 B.4 C.16 D.9
11.若n为任意整数，的值总可以被k整除，则k等于（ ）
A．11 B．22 C．11或22 D．11的倍数
12不论为任何实数， 的值总是（ ）
A．正数 B.负数 C.非负数 D.非正数
三、解答题
1.用完全平方公式因式分解
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
2.用平方差公式因式分解
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
3.若,求的值.
4．已知，求和的值分别是多少？
参考答案
一、填空题
1.答案：，；
解析：【解答】①=y2-x2=（y+x）（y-x）；②=(9x2-y2)= (3x+y)(3x-y)21·cn·jy·com
【分析】根据平方差公式的特点因式分解即可知答案.
2. 答案：±8；
解析：【解答】∵x2+mx+16是一个完全平方式 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )，
∴x2+mx+16=（x±4）2，
=x2±8x+16．
∴m=±8，故答案为：±8．www.21-cn-jy.com
【分析】运用完全平方公式，把多项式x2+mx+16因式分解即可知答案.
3. 答案：1；
解析：【解答】∵a2+4a+4+|b-3|=0，∴(a+2)2+|b-3|=0，∴a+2=0，b-3=0，∴a=-2，b=3，∴a+b=12·1·c·n·j·y
【分析】运用完全平方公式，把多项式a2+4a+4+|b-3|化成(a+2)2+|b-3|的形式即可知答案.21·世纪*教育网
4. 答案：；
解析：【解答】1-x+x2=-x+1=(-1)2
【分析】运用完全平方公式把多项式1-x+x2因式分解即可知答案.
5. 答案：①5x+1；②b-1；③4，2；④±12mn，2m±3n.
解析：【解答】（1）25x2+10x+1 ( http: / / www.21cnjy.com )=（5x+1）2；
（2）1-2b+b2=（b-1）2
（3）x2+4x+4=（x+2）2；
（4）4m2+（±12mn）+9n2=（2m±3n）2．www-2-1-cnjy-com
【分析】根据完全平方公式的特点因式分解即可知答案.
6. 答案：7；
解析：【解答】∵a2+（a+）2-2；又∵a+=3，∴a2+32-2=7，故答案是7.
【分析】根据完全平方公式的特点，把a2+化成（a+）2-2的形式即可知答案.
7. 答案：；
解析：【解答】∵m2+2mn+2n2-6n+9=0
∴（m+n）2+（n-3）2=0，
∴m+n=0且n-3=0，
∴m=-3，n=3，
∴,故答案为-【来源：21·世纪·教育·网】
【分析】运用完全平方公式把m2+2mn+2n2-6n+9化成（m+n）2+（n-3）2即可知答案.
8. 答案：xm+1(x+1)(x-1)；
解析：【解答】= xm+1(x2-1)= xm+1(x+1)(x-1).
【分析】先提取公因式，然后运用平方差公式因式分解.
二、选择题
1. 答案：B；
解析：【解答】A选项4x2+y2，符号相同 ( http: / / www.21cnjy.com )，无法运用平方差公式分解因式，故此选项错误；B选项-a2+81，能运用平方差公式分解因式，故此选项正确；C选项-25m2-n2，符号相同，无法运用平方差公式分解因式，故此选项错误；D选项p2-2p+1，无法运用平方差公式分解因式，故此选项错误；故选：B．
【分析】根据平方差公式的特点分析各选项即可知答案.
2. 答案：B；
解析：【解答】（b3+2）（2-b3）=4-b6．故选B．
【分析】根据平方差公式的特点化简即可知道答案.
3. 答案：C；
解析：【解答】A选项-a2+b2=b2-a ( http: / / www.21cnjy.com )2=（b+a）（b-a）；B选项49x2y2-m2=（7xy+m）（7xy-m）；
C选项-x2-y2是两数的平方和，不能进行分解因式；D选项16m4-25n2=(4m)2-(5n)2=（4m+5n）（4m-5n）．故选C．2-1-c-n-j-y
【分析】根据平方差公式的特点分析各选项即可知道答案.
4. 答案：D；
解析：【解答】∵x2-4x+a2=x2-2 2 x+a2，∴a2=22=4，∴a=±2．故选D．
【分析】根据完全平方公式的特点把x2-4x+a2因式分解即可知答案.
5. 答案：C；
解析：【解答】m+1+=（m2+4m+4）=（m+2）2；-x2+2xy-y2=-（x2-2xy+y2）
=-（x-y）2；-a2+14ab+49b2=-（a2-14ab-49b2），它不能用完全平方公式分解因式；
-n+1=（n2-6n+9）=（n-3）2．故选C．
【分析】根据完全平方公式的特点分析各选项即可知答案.
6. 答案：D;
解析：【解答】A选项应为x2+2x+1，故本选项错误；B选项应为9+x2-6x，故本选项错误；C选项应为x2+2xy+y2，故本选项错误；D选项x2-x+=（x-）2，故本选项正确．
故选D．21教育网
【分析】根据完全平方公式的特点分析各选项即可知答案.
7. 答案：D；
解析：【解答】∵a2-2a ( http: / / www.21cnjy.com )b+b2=0且b2-c2=0，∴（a-b）2=0且（b+c）（b-c）=0，
∴a=b且b=c，即a=b=c，∴△ABC为等边三角形．故选D．
【分析】根据完全平方公式的特点把a2-2ab+b2因式分解即可知答案.
8. 答案：C；
解析：【解答】A选项中间乘积项不是两底 ( http: / / www.21cnjy.com )数积的2倍，故本选项错误；；B选项不符合完成平方公式的特点，故本选项错误；C选项符合完全平方公式的特点；D选项不符合完成平方公式的特点，故本选项错误.故选C． 21*cnjy*com
【分析】根据完全平方公式的特点分析各选项即可知答案.
9. 答案：C；
解析：【解答】A选项两项符号相同不 ( http: / / www.21cnjy.com )能采用公式法因式分解，故本选项错误；B选项中间乘积项不是两底数积的2倍，故本选项错误；C选项符合平方差公式；D选项两项符号相同不能采用公式法因式分解，故本选项错误．故选C．
【分析】根据平方差公式和完全平方公式的特点，分析各选项即可知答案.
10. 答案：A；
解析：【解答】∵a+b=-3，ab=2，
∴（a-b）2=a2+b2-2ab=a2+b2+2ab-4ab=（a+b）2-4ab=（-3）2-4×2=9-8=1．故选A．
【分析】根据完全平方公式把（a-b）2化成（a+b）2-4ab的形式即可知答案.
11. 答案：A；
解析：【解答】(n+11)2-n2=(n+11+n)(n+11-n)=11(11+2n)，所以可以被11整除，故选A【来源：21cnj*y.co*m】
【分析】运用平方差公式把(n+11)2-n2因式分解即可知答案.
12. 答案：A.
解析：【解答】x +y －4x-2 ( http: / / www.21cnjy.com )y+8=(x －4x+4)+(y -2y+1)+3=(x-2)2+(y-1)2+3≥3
不论x,y为任何实数,x +y －4x-2y+8的值总是大于等于3.故选A
【分析】根据完全平方公式的特点，把多项式x +y －4x-2y+8化成(x-2)2+(y-1)2+3的形式，即可知答案.【出处：21教育名师】
三、解答题
1. 答案：（1）-(2a-1)2；（2）-y(2x-3y)2；（3）(3x-3y+1)2；（4）3(1-x)2；（5）；（6）-2axn-1(1-3x)2.21世纪教育网版权所有
解析：【解答】（1）原式=-(4a2-4a+1)=-(2a-1)2；
（2）原式=-y(4x2-12x+9)=-y(2x-3y)2；
（3）原式=[3(x-y)]2+6(x-y)+1=(3x-3y+1)2；
（4）原式=3(1-2x+x2)=3(1-x)2；
（5）原式=n2()=；
（6）原式=-2axn-1(1+9x2-6x)=-2axn-1(1-3x)2.
【分析】根据完全平方公式的特点，把各题因式分解即可知答案.
2. 答案：（1）-3xy(y+3x)(y-3x)；（2）4a2(x+2y)(x-2y)；（3）(a+4)(a-4)；（4）；（5）(7p+5q)(p+7q)；（6）-(27a+b)(a+27b).
解析：【解答】（1）原式=-3xy(y+3x)(y-3x)；
（2）原式=4a2(x+2y)(x-2y)；
（3）原式= (a+4)(a-4)；
（4）原式=；
（5）原式= (7p+5q)(p+7q)；
（6）原式=-(27a+b)(a+27b).
【分析】根据平方差公式的特点，把各题因式分解即可知答案.
3. 答案：1；
解析：【解答】由已知得：
(x +y ) -2(x +y )+1=0
[(x +y )-1] =0（完全平方公式）
∴x +y =1（只有0的平方为0）
【分析】把（x2+y2）（x2+y2-2）+1化成(x +y ) -2(x +y )+1的形式，然后运用完全平方公式因式分解即可知答案.21cnjy.com
4. 答案：x=2;y=-3
解析：【解答】由x +y -4x+6y+13=0
得(x-2) +(y+3) =0
∴x-2=0,y+3=0
∴x=2,y=-3
【分析】运用完全平方公式把x +y -4x+6y+13化成(x-2) +(y+3) 的形式即可知答案.
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《公式法》教案
教学目标
1、知识与技能
了解平方差公式、完全平方公式的特点，掌握平方差公式与完全平方公式的结构特征，会用提公因式法、平方差公式和完全平方公式将多项式因式分解.
2、过程与方法
培养学生的观察和联想能力，进一步了解换元的思想方法，通类比的方法，运用平方差公式与完全平方公式因式分解.21世纪教育网版权所有
3、情感态度和价值观
积极参加探索活动，并在此过程中培养自己勇于挑战的勇气和战胜困难的自信心.
教学重点：
正确熟练地运用平方差公式与完全平方公式因式分解.
教学难点：
把多项式进行适当的变形，灵活运用平方差公式与完全平方公式因式分解.
教学过程：
1、导入新课
提出问题：
1. 多项式的分解因式的概念：
2. 公因式的含义、提公因式法分解因式；
3. 分解因式与整式乘法关系：
4.整式的乘法公式有哪些
学生回忆回答上述问题.
前面我们学习了用提取公因式法因式分解，这节课我们学习另外一种方法---公式法因式分解.
2、新课学习
（一）探究用平方差公式因式分解
1、想一想
（1）观察多项式 x2-25 和 9x2-y2，它们有什么共同特征？
（2）尝试将它们分别写成两个因式的乘积.
师生共同分析：
多项式x2-25和9x2-y2都可以写成两个式子的平方差的形式：
x2-25=x2-52， 9x2-y2 =(3x)2-y2
把乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2反过来，就得到a2-b2=(a+b)(a-b)，于是有：
x2-25=x2-52=(x+5)(x-5)；
9x2-y2 =(3x)2-y2=(3x+y)(3x-y).
2、归纳总结：
(a+b)(a-b)=a -b a -b = (a+b)(a-b)
（整式乘法） （因式分解）
特点：
(1)公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）
★被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（ ）２－（ ）２的形式.
(2) 公式右边：（是分解因式的结果）
★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式.
3、学以致用
例1、把下列各式分解因式：
（1）25-16x2 （2）9a2- b2
分析：先确定a与b
学生根据分析，自主完成解题过程
解：（1）25-16x2=52-(4x)2=(5+4x)(5-4x).
（2）9a2- b2=(3a)2-(b)2=(3a+b)(3a-b)
例2 把下列各式分解因式：
（1）9(m+n)2-(m-n)2 （2）2x3-8x
分析：（1）把括号看作一个整体；（2）先提出这个公因式
学生根据分析，自主完成解题过程
解：（1）9(m+n)2-(m-n)2
=[3(m+n)]2-(m-n)2
=[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]
=(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)
=(4m+2n)(2m+4n)
=4(2m+n)(m+2n)
（2）2x3-8x=2x(x2-4)=2x(x2-22)=2x(x+2)(x-2)
归纳：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解. 21教育网
（二）探究完全平方公式因式分解
1、把乘法公式
(a+b)2=a2+2ab+b2 ，(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就得到：
（整式乘法）
a2+2ab+b2 = (a+b)2 ，a2-2ab+b2 = (a-b)2
（因式分解）
形如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子称为完全平方式.
2、归纳：
（1）完全平方式的特点：
“头”平方, “尾”平方, “头”“尾”两倍中间放.
（2）公式法定义：
由分解因式与整式乘法的关系可以看出,如果把乘法公式反过来,那么就可以把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法.21cnjy.com
3、学以致用
例3、把下列完全平方式分解因式：
(1)x2+14x+49； (2) (m+n)2-6(m+n)+9.
分析：找到完全平方式中的“头”和“尾”，确定中间项的符号。
学生根据分析，自主完成解题过程
解:(1) x2+14x+49 =x2+2×7x+72=(x+7)2
(2) (m+n)2-6(m+n)+9=(m+n)2-2(m+n)·3+32=[(m+n)-3]2 =(m+n-3)2
例4 把下列完全平方式分解因式：
(1) 3ax2+6axy+3ay2； (2) –x2–4y2+4xy.
分析：（1）先提取公因式，（2）把第一项的符号变成正号
学生根据分析，自主完成解题过程
解:(1) 3ax2+6axy+3ay2 = 3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2；
(2)-x2-4y2+4xy=-(x2 ( http: / / www.21cnjy.com )+4y2-4xy) =-(x2-4xy+4y2) =-[x2-2·x·2y+(2y)2]=-(x-2y)2.
归纳：
因式分解的一般步骤：一提(公因式)，二套(公式) .
3、课堂练习
1. 判断正误
(1) x +y =(x+y)(x+y) ( )
(2) x -y =(x+y)(x-y) ( )
(3) -x +y =(-x+y)(-x-y) ( )
(4) -x -y =-(x+y)(x-y) ( )
2. 把下列各式分解因式：
(1) a2b2-m2 (2) (x+y+z)2-(x-y-z)2
(3) x2-(a+b-c)2 (4) -16x4+81y4
3、下列哪些式子可以利用平方差公式分解因式？
(1) 9x2-4y2 (2) 16x2-y2 (3) -16x2+y2
(4) 16x2+y2 (5) -y2-x2
4、判断下列各式是不是完全平方式，若不是，说一说怎样将其变为完全平方式.
(1) a2+4a+4 (2) x2+4x+4y2 (3) x2-6x-9
(4) a2-ab+b2 (5)(a+b)2+2(a+b) +1
4、结论总结
这节课你有什么收获？
1. 运用公式法分解因式：
平方差公式和完全平方公式；
2. 分解因式时通常先考虑提公因式法，再考虑公式法；
3. 要分解到每个因式都不能再分解为止.
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初中数学北师大版八年级下册
第四章 因式分解
3 公式法
1. 多项式的分解因式的概念：
把一个多项式化为 的形式，叫做把这个多项式分解因式.
2. 公因式的含义、提公因式法分解因式；
3. 分解因式与整式乘法关系：
几个整式的积
想一想
回顾 & 思考
互逆的恒等变形
导入
(a+b)(a-b)= .
(a±b)2= .
4.整式的乘法公式有哪些
(1)平方差公式
(2)完全平方公式
想一想
回顾 & 思考
导入
（1）观察多项式 x2-25 和 9x2-y2，它们有什么共同特征？
（2）尝试将它们分别写成两个因式的乘积.
想一想
新课
多项式x2-25和9x2-y2都可以写成两个式子的平方差的形式：
x2-25=x2-52， 9x2-y2 =(3x)2-y2
把乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2反过来，就得到a2-b2=(a+b)(a-b)，于是有：
x2-25=x2-52=(x+5)(x-5)；
9x2-y2 =(3x)2-y2=(3x+y)(3x-y).
归纳总结
新课
(整式乘法)
(分解因式)
归纳总结
新课
学以致用
例1 把下列各式分解因式：
（1）25-16x2
解：25-16x2=52-(4x)2=(5+4x)(5-4x).
解：
（2）
2
2
例题
（1）9(m+n)2-(m-n)2
=[3(m+n)]2-(m-n)2
=[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]
=(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)
=(4m+2n)(2m+4n)
=4(2m+n)(m+2n)
注意：每个因式要分解到不能再分解为止.
学以致用
例2 把下列各式分解因式：
例题
（2）2x3-8x
=2x(x2-4)
=2x(x2-22)
=2x(x+2)(x-2)
注意：当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步分解因式.
学以致用
例2 把下列各式分解因式：
例题
把乘法公式
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
反过来，就得到：
a2+2ab+b2 = (a+b)2
a2-2ab+b2 = (a-b)2
形如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子称为完全平方式.
概念理解
新课
由分解因式与整式乘法的关系可以看出,如果把乘法公式反过来,那么就可以把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法.
概念理解
新课
例3、把下列完全平方式分解因式：
(1)x2+14x+49； (2) (m+n)2-6(m+n)+9.
解:(1) x2+14x+49
=x2+2×7x+72
=(x+7)2
(2) (m+n)2-6(m+n)+9
=(m+n)2-2(m+n)·3+32
=[(m+n)-3]2
=(m+n-3)2
学以致用
例题
学以致用
例4 把下列完全平方式分解因式：
(1) 3ax2+6axy+3ay2； (2) –x2–4y2+4xy.
解:(1) 3ax2+6axy+3ay2
= 3a(x2+2xy+y2)
=3a(x+y)2；
(2)-x2-4y2+4xy
=-(x2+4y2-4xy)
=-(x2-4xy+4y2)
=-[x2-2·x·2y+(2y)2]
=-(x-2y)2.
例题
(1) x +y =(x+y)(x+y) ( )
(2) x -y =(x+y)(x-y) ( )
(3) -x +y =(-x+y)(-x-y) ( )
(4) -x -y =-(x+y)(x-y) ( )
1. 判断正误
×
√
×
×
随堂练习
习题
(1) a2b2-m2 (2) (x+y+z)2-(x-y-z)2
(3) x2-(a+b-c)2 (4) -16x4+81y4
随堂练习
2. 把下列各式分解因式：
答案：(1) (ab+m)(ab-m)
(2) 4x(y+z)
(3) (x+a+b-c)(x-a-b+c)
(4) (9y2+4x2)(3y+2x)(3y-3x)
习题
3、下列哪些式子可以利用平方差公式分解因式？
巩固练习
(1) 9x2-4y2
(2) 16x2-y2
(3) -16x2+y2
(4) 16x2+y2
(5) -y2-x2
可以
可以
可以
不可以
不可以
习题
4、判断下列各式是不是完全平方式，若不是，说一说怎样将其变为完全平方式.
(1) a2+4a+4
(2) x2+4x+4y2
(3) x2-6x-9
(4) a2-ab+b2
(5)(a+b)2+2(a+b) +1
巩固概念
是
不是
不是
不是
是
完全平方式的特征：两个数（或式子）的平方和，加上或减去这两数（或式子）积的2倍.
习题
拓展
5、如图，在一块长为a的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b的正方形．用a 与b表示剩余部分的面积，并求当a=3.6，b=0.8时的面积．
解:a2-4b2
=(a+2b)(a-2b)cm2
当a=3.6，b=0.8时,
原式=(3.6+2×0.8)(3.6-2×0.8)
=5.2×2
=10.4cm2
当a=3.6，b=0.8时的面积是10.4cm2
2. 分解因式时通常先考虑提公因式法，再考虑公式法；
1. 运用公式法分解因式：
平方差公式和完全平方公式；
3. 要分解到每个因式都不能再分解为止.
这节课你有什么收获？
小结
