8.3.1 完全平方公式 课件(共33张PPT)——沪科版（2024）七年级数学下册
文档属性
| 名称 | 8.3.1 完全平方公式 课件(共33张PPT)——沪科版（2024）七年级数学下册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 928.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-22 09:22:25 | ||
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文档简介
(共33张PPT)
8.3 完全平方公式与平方差公式
第一课时 完全平方公式
学习目标及重难点
1.完全平方公式的推导及应用.（重点）
2.掌握完全平方公式的结构特征及应用.（难点）
先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
多项式与多项式相乘
多项式与多项式的乘法法则
复习回顾
探究1：计算下列多项式的积，看谁算得又快又对？
；
探索1：完全平方公式的认识
问题1：观察上面的等式，原算式有什么共同点？
均为两个数的和的平方.
探究1：计算下列多项式的积，看谁算得又快又对？
；
问题2：原算式中的各项与它们结果中的各项有什么关系？
两个数的和的平方，恰好是这两个数的平方和，加上这两个数的积的2倍.
探究1：计算下列多项式的积，看谁算得又快又对？
；
问题3：能否将发现的规律用式子表示出来？
猜想：
思考：你能对发现的规律进行推导吗？
小组合作
1.独立思考，完成验证；
2.两人一组，交流思路，完善过程.
思考：你能对发现的规律进行推导吗？
多项式乘法法则
合并同类项
完全平方公式：
.
两个数的和的平方，等于这两个数的平方和加上这两个数乘积的2倍.
探究2：能类比两数和的完全平方公式的推导过程，表示两数差的完全平方吗？即：
法一：
法二：
完全平方公式：
两个数的差的平方，等于这两个数的平方和减这两个数乘积的2倍.
符号语言：
文字语言：
两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的2倍.
完全平方公式
公式的特征
积为二次三项式；
积中两项为两数的平方和；
另一项是两数积的两倍，且与两数中间的符号相同；
公式中的字母可以表示数、单项式或多项式.
1
2
3
4
简记：
首平方，尾平方，积的2倍中间放.
观察：完全平方公式，除了直接由多项式的乘法得到，还可以通过图形面积割补的方法得到 . 观察下面的两幅图，写出所蕴含的等式.
a
b
a
b
a2
ab
ab
=
+
+
观察：完全平方公式，除了直接由多项式的乘法得到，还可以通过图形面积割补的方法得到 . 观察下面的两幅图，写出所蕴含的等式.
a
b
a
b
a2
b2
=
+
例1：利用乘法公式计算：
(1) ； (2)
解：(1) =
运用公式计算，要先识别公式中在具体式子中分别表示什么.
例1：利用乘法公式计算：
(1) ； (2)
解：(2)
例2：利用乘法公式计算：
解：
=
=
=
还有其他计算方法吗？
下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
(1)
(2)
(3)
(4)
×
×
×
×
随堂小练习
例3：已知，求的值.
分析：将两数的和(差)的平方式展开，产生两数的平
方和与这两数积的两倍，再将条件代入求解．
解：因为
所以
探索2：完全平方公式的运用
若 求.
解：
随堂小练习
例4：运用完全平方公式进行计算.
（1） 1022
（2） 1972
解：(1)原式=
=
=
=
思考：怎样计
更简便呢？
把和是写成还是，应该怎样确定？
例4：运用完全平方公式进行计算.
（1） 1022
（2） 1972
解：(1)原式=
=
=
=
思考：怎样计
更简便呢？
把和是写成还是，应该怎样确定？
随堂小练习
运用完全平方公式计算：
(1) ； (2) .
解：(1)原式=
=
=
=；
随堂小练习
运用完全平方公式计算：
(1) ； (2) .
(2)原式=
=
=
=.
1.下列计算中，正确的是（ D ）
A.
B.
C.
D.
D
习题1
解：原式 =
=
=
方法总结：把其中两项看成一个整体，再运用完全平方公式计算.
2.运用乘法公式计算:
习题2
习题3
3.如果是一个完全平方式，求的值．
解：∵
，
∴，
∴，
∴1.
方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
习题4
4.利用完全平方公式计算.
(1) 5022
解：原式=
2×500×2
22
+
=250000
+2000
+4
=5002
+
(500+2)2
=252004
(2) 4982
习题4
4.利用完全平方公式计算.
(1) 5022
(2) 4982
解：原式=
2×500×2
22
+
=250000
-2000
+4
=5002
-
(500-2)2
=248004
5.如果把一张正方形的纸片沿着各边都剪去3cm宽的一条，那么所得小正方形的面积比原正方形的面积少了84cm ，求原正方形的边长.
解：设原正方形的边长为cm.则
∴原正方形的边长为cm.
习题5
拓展提升
1.已知求下列各式的值.
(1) ;
(2)
完全平方公式的高频变形
(1)；
(2)；
(3)
拓展提升
1.已知求下列各式的值.
(1) ;
(2)
解：，
即，①
②
①+ ②得)=60,所以
① ②得x
解：,
,即①;
②;
由①②得③，
②③得.即，故
2.已知求.
拓展提升
完全平方公式
注意
1.项数、符号、字母及其指数
法则
2.不能直接应用公式进行计算的式子，需要先添括号变形
(a±b)2= a2 ±2ab+b2
3.弄清完全平方公式和平方差公式的不同点（从公式结构特点及结果两方面）
8.3 完全平方公式与平方差公式
第一课时 完全平方公式
学习目标及重难点
1.完全平方公式的推导及应用.（重点）
2.掌握完全平方公式的结构特征及应用.（难点）
先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
多项式与多项式相乘
多项式与多项式的乘法法则
复习回顾
探究1：计算下列多项式的积，看谁算得又快又对？
；
探索1：完全平方公式的认识
问题1：观察上面的等式，原算式有什么共同点？
均为两个数的和的平方.
探究1：计算下列多项式的积，看谁算得又快又对？
；
问题2：原算式中的各项与它们结果中的各项有什么关系？
两个数的和的平方，恰好是这两个数的平方和，加上这两个数的积的2倍.
探究1：计算下列多项式的积，看谁算得又快又对？
；
问题3：能否将发现的规律用式子表示出来？
猜想：
思考：你能对发现的规律进行推导吗？
小组合作
1.独立思考，完成验证；
2.两人一组，交流思路，完善过程.
思考：你能对发现的规律进行推导吗？
多项式乘法法则
合并同类项
完全平方公式：
.
两个数的和的平方，等于这两个数的平方和加上这两个数乘积的2倍.
探究2：能类比两数和的完全平方公式的推导过程，表示两数差的完全平方吗？即：
法一：
法二：
完全平方公式：
两个数的差的平方，等于这两个数的平方和减这两个数乘积的2倍.
符号语言：
文字语言：
两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的2倍.
完全平方公式
公式的特征
积为二次三项式；
积中两项为两数的平方和；
另一项是两数积的两倍，且与两数中间的符号相同；
公式中的字母可以表示数、单项式或多项式.
1
2
3
4
简记：
首平方，尾平方，积的2倍中间放.
观察：完全平方公式，除了直接由多项式的乘法得到，还可以通过图形面积割补的方法得到 . 观察下面的两幅图，写出所蕴含的等式.
a
b
a
b
a2
ab
ab
=
+
+
观察：完全平方公式，除了直接由多项式的乘法得到，还可以通过图形面积割补的方法得到 . 观察下面的两幅图，写出所蕴含的等式.
a
b
a
b
a2
b2
=
+
例1：利用乘法公式计算：
(1) ； (2)
解：(1) =
运用公式计算，要先识别公式中在具体式子中分别表示什么.
例1：利用乘法公式计算：
(1) ； (2)
解：(2)
例2：利用乘法公式计算：
解：
=
=
=
还有其他计算方法吗？
下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
(1)
(2)
(3)
(4)
×
×
×
×
随堂小练习
例3：已知，求的值.
分析：将两数的和(差)的平方式展开，产生两数的平
方和与这两数积的两倍，再将条件代入求解．
解：因为
所以
探索2：完全平方公式的运用
若 求.
解：
随堂小练习
例4：运用完全平方公式进行计算.
（1） 1022
（2） 1972
解：(1)原式=
=
=
=
思考：怎样计
更简便呢？
把和是写成还是，应该怎样确定？
例4：运用完全平方公式进行计算.
（1） 1022
（2） 1972
解：(1)原式=
=
=
=
思考：怎样计
更简便呢？
把和是写成还是，应该怎样确定？
随堂小练习
运用完全平方公式计算：
(1) ； (2) .
解：(1)原式=
=
=
=；
随堂小练习
运用完全平方公式计算：
(1) ； (2) .
(2)原式=
=
=
=.
1.下列计算中，正确的是（ D ）
A.
B.
C.
D.
D
习题1
解：原式 =
=
=
方法总结：把其中两项看成一个整体，再运用完全平方公式计算.
2.运用乘法公式计算:
习题2
习题3
3.如果是一个完全平方式，求的值．
解：∵
，
∴，
∴，
∴1.
方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
习题4
4.利用完全平方公式计算.
(1) 5022
解：原式=
2×500×2
22
+
=250000
+2000
+4
=5002
+
(500+2)2
=252004
(2) 4982
习题4
4.利用完全平方公式计算.
(1) 5022
(2) 4982
解：原式=
2×500×2
22
+
=250000
-2000
+4
=5002
-
(500-2)2
=248004
5.如果把一张正方形的纸片沿着各边都剪去3cm宽的一条，那么所得小正方形的面积比原正方形的面积少了84cm ，求原正方形的边长.
解：设原正方形的边长为cm.则
∴原正方形的边长为cm.
习题5
拓展提升
1.已知求下列各式的值.
(1) ;
(2)
完全平方公式的高频变形
(1)；
(2)；
(3)
拓展提升
1.已知求下列各式的值.
(1) ;
(2)
解：，
即，①
②
①+ ②得)=60,所以
① ②得x
解：,
,即①;
②;
由①②得③，
②③得.即，故
2.已知求.
拓展提升
完全平方公式
注意
1.项数、符号、字母及其指数
法则
2.不能直接应用公式进行计算的式子，需要先添括号变形
(a±b)2= a2 ±2ab+b2
3.弄清完全平方公式和平方差公式的不同点（从公式结构特点及结果两方面）