2025年九年级数学中考三轮冲刺练习圆的综合压轴题训练（含答案）

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2025年九年级数学中考三轮冲刺练习圆的综合压轴题训练
1．如图1，CD是⊙O的直径，弦AB与CD交于点E，连接AC、BD．
（1）求证：△ACE∽△DBE；
（2）如图2，已知∠CAB+∠ABD+∠C+∠D＝180°，连接BO并延长，交⊙O于点G，交AC于点F，连接AG．
①若AB＝2，tan∠CAE＝3，求AG的长；
②设tan∠CAE＝x，y，求y关于x的函数关系式．
2．如图1，点A，B，C在圆O上运动，满足AB2＝BC2+AC2，过点A的切线交BC延长线于点D．
（1）求证：∠DAC＝∠CBA；
（2）记△ABC，△ACD，△ABD的面积为S1，S2，S，若，求tanD；
（3）如图2，点Q是线段BC上一动点（Q不与B，C重合），QP⊥AD于P，交AC于点M．若tanD，设x，且y＝PD ，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
3．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M是线段DC延长线上的一点，连结MA交⊙O于点F，连结DF交AB于点G，连结AD，BD，CF．
（1）求证：△MAD∽△DAF．
（2）若AD＝2BE，求tan∠AFD的值．
（3）在（2）的条件下，设tan∠M＝x，y．
①求y关于x的函数表达式；
②若E为BG的中点，求的值．
4．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G为劣弧AD上一动点，AG与CD的延长线交于点F，连接AC、AD、CG、DG．tan∠AGC＝x．
（1）求证：∠AGC＝∠DGF；
（2）若，求y与x的函数关系式；
（3）设∠GDC﹣∠GCD＝α，∠F＝β．
①求α与β的数量关系；
②当β＝45°，且S△CAG＝S△CAD时，求x的值．
5．如图1，BC是⊙O的弦，OD⊥BC于D交圆于点A．E是上任意一点（不与A，B重合），连结BE，CE，在线段BE，CE上各取一点F，G，使得BF＝CG，连结AF，AG，FG，并取FG中点M，连结DM．
（1）求证：AF＝AG；
（2）求证：．
（3）如图2，当CE是⊙O直径，F是BE中点时，连结OM，设，，用x的代数式表示y．
6．如图1，A，B，C为⊙O上不重合的三点，GC为⊙O的切线，∠G+∠A＝90°．
（1）求证：GB为⊙O的切线；
（2）若△ABC为等腰三角形，∠BAC＜45°，tan∠BAC，求的值；
（3）如图2，若AB为直径，M为线段AC上一点且GM⊥GB，AM2+OB2﹣3GB2+8GB﹣8＝0，0＜GB＜2，求S四边形MGBA的最大值．
7．如图，AB为⊙O的直径，D为BA延长线上一点，过点D作⊙O的切线，切点为C，过点B作BE⊥DC交DC的延长线于点E，连接BC．
（1）求证：BC平分∠DBE；
（2）求证：BC2＝AB BE；
（3）若BC＝4，tanD，求⊙O的半径．
8．如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C，DA＝DC．
（1）求∠C的度数；
（2）如图2，P是线段BC上的动点，过点P作AD的平行线，交⊙O于点E，F（PF≥PE），连接BE，BF，AB＝10．
①当tan∠FBA＝1时，求BE的长；
②当BP为何值时．
9．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝20，且，M为线段AB的中点，作DM⊥AB，点P在线段CB上，点Q在线段AC上，以PQ为直径的⊙O始终过点M，且PQ交线段DM于点E．
（1）求线段AD的长度；
（2）求tan∠PQM的值；（提示：连接CM）
（3）当△MPE是等腰三角形时，求出线段AQ的长．
10．如图，AB为⊙O的直径，点C为圆周上一点，OC的延长线交⊙O的切线BD于点D，AC的延长线交⊙O的切线BD于点E．
（1）若∠A＝35°，求∠DBC的度数；
（2）证明：CE BD＝BC CD；
（3）若AB＝8，，求BE的长．
11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，过圆心O的直线PF⊥AB于D，交⊙O于E，F，PB是⊙O的切线，B为切点，连接AP，AF．
（1）求证：直线PA为⊙O的切线；
（2）求证：AC2＝4OD OP；
（3）若BC＝6，，求AC的长．
12．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB是⊙O的直径，⊙O交AC于点D，过点D的直线交BC于点E，交AB的延长线于点P，PD是⊙O的切线．
（1）求∠CDB的度数；
（2）若BP＝3，∠P＝∠PDB，求图（1）中阴影部分的周长；
（3）如图（2），若AM＝BM，连接DM，交AB于点N，若tan∠DMB，求MN：MD的值．
13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，过弧BD上一点，过E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG＝FG，连接CE
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）求证：GF2＝GD GC；
（3）延长AB交GE的延长线于点M．若tanG，HC＝4，求EM的值．
14．如图，已知⊙O，为△ABC的外接圆，AC为⊙O的直径，BA＝BC，过点B作射线BM，使得∠CBM＝∠BAC，点P为射线BM上的一个动点，连接PC并延长交⊙O于点D，连接AD，BD．
（1）求证：BM为⊙O的切线；
（2）设BD＝x，四边形ABCD的面积为y．
①求y关于x的函数关系式；
②当S△BCD：S△BCP＝7：9，AC＝6时，求y的值；
（3）已知E为CD的中点，连接AE交BD于点F，连接FC，若，试探究线段FA，FB，FC能否构成一个三角形，若能，请证明你的结论，并判断三角形的形状；若不能，请说明理由．
15．如图1，以AB为直径作⊙O，点C是直径AB上方半圆上的一点，连结AC，BC，过点C作∠ACB的平分线交⊙O于点D，连结AD，过点D作⊙O的切线交CB的延长线于点E．
（1）求证：DE∥AB．
（2）若⊙O的半径为1，求CA CE的最大值．
（3）如图2，连结AE，若，求tan∠AEC的值．
参考答案
1．【解答】（1）证明：∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，
∴△ACE∽△DBE
（2）①∵∠CBA＝∠D，∠B＝∠C，
∴∠CAB+∠C＝90°，
∴CD⊥AB，
又∵CD过圆心，
∴AE＝BE＝1，
在Rt△AEC中，，
∴CE＝3，
设OE＝x，则OC＝3﹣x＝OB，
在Rt△OEB中，由勾股定理得：OB2＝OE2+BE2，
即（3﹣x）2＝x2+1，
解得：，
∵OG＝OB，AE＝BE，
∴OE是△AGB的中位线，
∴；
②∵BG是⊙O的直径，
∴∠BAG＝90°，
∵∠BAG＝∠BEO＝90°，
∴OC∥AG，
∴△GAF∽△OCF，
，
设AE＝t，在Rt△ACE中，，
∴CE＝tx
设OE＝d，则OC＝tx﹣d＝OB，
在Rt△OEB中，由勾股定理得：OB2＝OE2+BE2，
即（tx﹣d）2＝d2+t2，
解得：，，
，
∴．
2．【解答】（1）证明：在△ABC中，AB2＝BC2+AC2，
∴∠ACB＝90°，则∠CAB+∠CBA＝90°，
∵AD为圆O的切线，
∴∠DAB＝90°，即∠DAC+∠CAB＝90°，
∴∠DAC＝∠CBA；
（2）解：在Rt△ACD中，；在Rt△ACB中，；
由（1）知∠DAC＝∠CBA，则∠D＝∠CAB，
∴，
设，
由得，则，即，
∴平方并整理得，再平方得到（3k﹣2）2＝4（k+1），解得或k＝0（舍），
∴，则；
（3）解：∵，
设CD＝a，则，
设，则CQ＝xBC＝2ax，
∵QP⊥AD，
∴∠DPQ＝90°，
由（1）知∠ACD＝90°，
∴△QDP∽△ADC，则，
∴DQ DC＝AD PD；
∵∠APM＝∠ACD＝90°，∠PAM＝∠CAD，
∴△AMP∽△ADC，则，
∴AM AC＝AP AD；
∴
，
∵PQ∥AB，
∴，
∴．
3．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴，
∴∠AFD＝∠ADC，
∵∠FAD＝∠DAM，
∴△MAD∽△DAF；
（2）解：∵AD＝2BE，
∴设BE＝a，则AD＝2a．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵CD⊥AB，
∴△AED∽△ADB，
∴．
∴，
∴AB＝5a．
∴AE＝AB﹣BE＝4a，
∴DE2a．
∴tan∠ADC2．
由（1）知：∠AFD＝∠ADC，
∴tan∠AFD＝tan∠ADC＝2；
（3）解：①过点G作GH⊥AD于点H，如图，
则tan∠ADF．
由（1）知：△MAD∽△DAF，
∴∠M＝∠ADF，
∵tan∠M＝x，
∴tan∠ADFx，
∴GH＝xHD．
∵tan∠EAD，
∴tan∠GAH．
设GH＝m，则AH＝2m，
∴AGm．
∴xHD＝m，
∴HD．
∵GH⊥AD，AD⊥BD，
∴GH∥BD，
∴，
∴y＝2x．
②过点A作AK⊥DF于点K，过点C作CN⊥DF于点N，如图，
∵E为BG的中点，DE⊥BG，
∴DE垂直平分BG，BE＝EG＝a，
∴AG＝AB﹣BE＝EG＝3a，DGa．
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴DE＝EC＝2a，
∴CD＝4a．
∵sin∠EDG，
∴，
∴CNa．
∵∠AKG＝∠DEG＝90°，∠AGK＝∠DGE，
∴△AKG∽△DEG，
∴，
∴，
∴AKa．
∴．
4．【解答】（1）证明：如图1，连接BG，
∵直径AB⊥弦CD，
∴，
∴∠CGB＝∠BGD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AGB＝90°，
∴∠FGB＝180°﹣∠AGB＝90°，
∴∠AGB﹣∠CGB＝∠FGB﹣∠BGD，即∠AGC＝∠DGF；
（2）解：∵直径AB⊥弦CD，
∴AC＝AD，CECD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∵∠ADC＝∠AGC，
∴∠AGC＝∠ACD，
又∵∠CAG＝∠FAC，
∴△ACG∽△AFC，
∴，
∴AC2＝AG AF；
在Rt△ACE中，∠ACE＝∠AGC＝∠DGF，则AE＝CE tan∠ACE＝xCE，
∴AC2＝CE2+AE2＝（1+x2）CE2，
∴1+x2，
∴y＝x2+1；
（3）解：①如图2，设AB，CG交于点M，连接MD，OC，OG，过点G作GP⊥AC于点P，过点D作DQ⊥AC于点Q，则GP∥DQ，
∵直径AB⊥弦CD，
∴AC＝AD，MC＝MD，
又∵AM＝AM，
∴△AMC≌△AMD（SSS），
∴∠ACM＝∠ADM，
∵∠ACG＝∠ADG，
∴∠ADM＝∠ADG＝∠ACG，
由（2）知△ACG∽△AFC，
∴∠ACG＝∠AFC＝β，
∵MC＝MD，
∴∠MCD＝∠MDC＝∠GCD，
∴∠GDC﹣∠GCD＝∠MDG＝α，
∵∠MDG＝∠ADM+∠ADG＝2β，
∴a＝2β；
②∵S△CAG＝S△CAD，S△CAGAC GP，S△CADAC DQ，
∴GP＝DQ，
∵GP∥DQ，
∴四边形GPQD是矩形，
∴GD∥AC，
∴∠FDG＝∠ACF＝∠ADC＝∠AGC＝∠FGD，
∵∠F＝45°，
∴∠FGD＝∠AGC（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠DGC＝180°﹣∠FGD﹣∠AGC＝45°，
∵∠MDG＝90°，
∴△MDG是等腰直角三角形，
∴MGMDMC，
∵∠ACG＝∠AFC＝45°，
∴∠AOG＝90° 即OG⊥AB，
∵AB⊥CF，
∴OG∥CF，
∴△GMO∽△CME，
∴，
∴OG＝OA＝OCCE，
在Rt△OEC 中，OECE，
在Rt△AEC中，tan∠ACE1，
∵∠ACE＝∠DGF，
∴x＝1．
5．【解答】（1）证明：连接AB，AC，如图，
∵BC是⊙O的弦，OD⊥BC，
∴BD＝DC，
∴AD为BC的垂直平分线，
∴AB＝AC，
∵，
∴∠EBA＝∠ECA．
在△AFB和△AGC中，
，
∴△AFB≌△AGC（SAS），
∴AF＝AG；
（2）证明：连接AM，如图，
由（1）知：△AFB≌△AGC，
∴∠FAB＝∠GAC，AF＝AG，
∴∠FAB+∠BAG＝∠BAG+∠GAC．
即∠FAG＝∠BAC．
∵AB＝AC，
∴△AFG和△ABC为顶角相等的等腰三角形，
∴∠AGF＝∠AFG＝∠ABC＝∠ACB，
∵AD⊥BC，
∴sin∠AGF＝sin∠ACB．
∵AF＝AG，FM＝MG，
∴AM⊥FG，
∴∠AMG＝∠ADC＝90°．
∵∠AGF＝∠ACB，
∴△AMG∽△ADC，
∴，∠MAG＝∠DAC，
∴∠MAG﹣∠DAG＝∠DAC﹣∠DAG，
∴∠MAD＝∠GAC，
∴△MAD∽△GAC，
∴，
∴sin∠AGF；
（3）解：连接AE，AC，FC，FC与AD交于点H，连接MH，如图，
∵CE是⊙O直径，
∴OE＝OC，∠EAC＝∠EBC＝90°，
∵AD⊥BC，
∴AD∥BE，
∵BD＝DC，
∴DH，OH分别为△CFB和△CEF的中位线，
∴DHBF，OHEF，FH＝HC，
∵EF＝BF，
∴DH＝OH．
∵FM＝MG，FH＝HC，
∴MH∥CG，MHCG．
由（1）知：BF＝CG，
∴MH＝DH＝OH．
∴∠HMO＝∠HOM，∠HMD＝∠HDM，
∵∠HMO+∠HOM+∠HMD+∠HDM＝180°，
∴∠HMO+∠HMD＝90°，
∴∠DMO＝90°，
∴∠DMO＝∠EAC＝90°．
由（2）知：△MAD∽△GAC，
∴∠MDA＝∠GAC，
∴△DMO∽△CAE，
∴．
∵，
∴设CG＝a，则OG＝ax，
∴OC＝a+ax，
∴CE＝2OC＝2a+2ax．
∵BF＝CG，
∴BF＝a，EB＝2BF＝2a，ODEB＝a，
∴BC2a，
∴CDBC＝a，
∵AD＝OA+OD＝a+ax+a＝2a+ax，
∴AC2＝AD2+CD22a2x2+6a2x+4a2，
∴AEa，
∴，
∴y．
6．【解答】（1）证明：连接OB，OC，
∵GC 为⊙O 的切线，
∴∠GCO＝90°，
∵，
∴∠G+2∠A＝∠G+∠COB＝180°，
∴∠GBO＝180°﹣90°＝90°，
∵点B在⊙O上，
∴GB为⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r，连接OG交BC于点D，连接OC，OB，
∵OC＝OB，GC＝GB，
∴BC⊥OD，且D为BC的中点，
∴∠BAC，
∵，
∴，，
①当BC为底边，点A在弦BC所对的优弧上时，AC＝AB，
∴BC＝2CD，AD⊥BC，
∵OC＝OB，
∴∠COGCOB，
∵∠CABCOB，
∴∠COG＝∠CAB，
∴BC＝2CD＝2 r sin∠COG＝2 r sin∠BAC＝6，
连接OA，∵AC＝AB，
∴A，O，D，G四点共线，
∴，
∴；
②当AB为底边时，AC＝BC，
∴AB⊥OC于点F，
令CF＝3t，则，
∵OF2+BF2＝OB2，
即（r﹣3t）2+（4t）2＝r2
解得，
∴，，
过点G作AB的垂线，垂足为点H，
∵AB⊥OC，CG⊥OC，
∴四边形CFHG为矩形，
∴AH＝HF+FA＝CG+BF＝rtan∠COG+BF＝rtan∠BAC+BFrr，，
∴，
由①知BC＝2CD＝2 r sin∠BACr，
∴；
③当AC为底边时，由对称性，与AB为底边时的情况相同．
综上所述，或；
（3）解：延长AC，BG交于点D，
∵∠CGD＝180°﹣∠BGC＝2∠A，∠D＝90°﹣∠A，
∴∠D＝∠DCG，
∴CG＝DG，
由（1）得CG＝GB，
∴GB＝DG，G是BD的中点，
∵GM⊥GB，AB⊥GB，
∴GM∥AB，M是AD的中点．
连接OM，则四边形OMGB为矩形，
∴OM＝GB，
∴OB2＝OA2＝AM2﹣OM2＝AM2﹣GB2，
设GB＝x，AM＝y，则0＜x＜2，
∵AM2+OB2﹣3GB2+8GB﹣8＝0，
∴OB2＝y2﹣x2＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，
∴S四边形MGBA＝3S△AOM＝3xx2+3x（x﹣1）2，
∴当x＝1时，四边形MGBA的面积最大为．
7．【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥DE，
∵DE⊥BE，
∴OC∥BE，
∴∠EBC＝∠OCB，
又∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OBC＝∠EBC，
∴BC平分∠DBE．
（2）证明：连接AC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BE⊥CD，
∴∠BED＝90°，
∴△ABC∽△CBE，
∴，
∴BC2＝AB BE．
（3）解：设⊙O的半径为r，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵∠DCO＝90°，∠BED＝90°，
∴△DCO∽△DEB，
∴，即，
∴，
∵AB BE＝80，
∴，
∴r1＝5，r2＝﹣5（舍去），
∴⊙O的半径为5．
8．【解答】解：（1）连接OD，如图：
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠COD＝2∠A，
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∴∠C+∠COD＝90°，即∠C+2∠A＝90°，
又∵DA＝DC，
∴∠A＝∠C，
∴∠C＝30°；
（2）①连接AF，OF，如图：
∵AB是直径，
∴∠AFB＝90°，
∵tan∠FBA＝1，
∴∠FBA＝45°，
∴△ABF为等腰直角三角形，
∴AF＝BF＝5，OF⊥AB，
∵PF∥AD，
∴∠FPO＝∠DAC＝∠C＝30°，
∴PF＝2OF＝10，OPOF＝5，
∴BP＝OP﹣OB＝55，
∵∠FAB+∠FEB＝180°，∠PEB+∠FEB＝180°，
∴∠FAB＝∠PEB，
又∵∠EPB＝∠APF，
∴△AFP∽△EBP，
∴，
∴BE（）；
②过点B作BG⊥FP于G，连接OE，过O作ON⊥EF于N，如图：
∴∠BGE＝∠BGP＝90°，
∴∠BGE＝∠AFB，
∵∠BEP＝∠FAP，
∴△PEB∽△PAF，
∴，
∴BP AP＝PE PF，
设BG＝x，
∵∠FPA＝∠DAC＝30°，
∴BP＝2x，PGx，
∴AP＝10+2x，OP＝5+2x，
∴ONOPx，PN（5+2x），
在Rt△NOE中，EN2＝OE2﹣ON2＝25﹣（x）2，
∵ON⊥EF，
∴FN＝EN，EF＝2EN，
在Rt△EBG中，BE2＝BG2+EG2，
在Rt△BFG中，BF2＝BG2+FG2，
∵FG＝PN+FN﹣PG，EG＝PN﹣PG﹣FN，
∴FG EG＝（PN﹣PG）2﹣FN2[25﹣（x）2]＝x2+5x，FG+EG＝2（PN﹣PG）＝5，
∴BE2 BF2＝（BG2+EG2）（BG2+FG2）
＝BG4+（EG2+FG2）BG2+（EG FG）2
＝BG4+[（EG+FG）2﹣2EG FG]BG2+（EG FG）2
＝x4+[75﹣2x2﹣10x]x2+（x2+5x）2
＝100x2，
∴BE BF＝10x，
∵，
∴BE BF＝EF2＝4EN2，
即10x＝4[25﹣（x）2]，
解得：x（舍去）或，
∴BP＝2x．
9．【解答】解：（1）∵M为AB中点，AB＝20，
∴，
∵DM⊥AB，
在Rt△ADM中，即：，
∴；
（2）连接CM，
∵M是Rt△ABC斜边上的中点，
∴，
∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCM，
∵∠MPQ＝∠ACM，
∴∠A＝∠MPQ，
∵QP是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠PMQ＝90°，
∴∠PQM＝∠ABC＝∠BCM，
∵，
∴，
∵；
∴；
（3）∵∠QMA+∠QMD＝90°，∠DMP+∠QMD＝90°，
∴∠QMA＝∠DMP，
由（1）知∠A＝∠MPQ．
∴△AMO∽△PME，
当△PME是等腰三角形时，有△AMQ为等腰三角形，
当AM＝AQ时，AQ＝10，
当AM＝MQ时，∠A＝∠AQM＝∠ACM，而∠AQM＞∠ACM，所以这种情况不存在；
当AQ＝MQ时，∠A＝∠QMA，
而∠A+∠ADM＝90°，∠QMA+∠DMQ＝90°，
∴∠ADM＝∠DMQ，
∴，
由（1）知，可得；
∴AQ＝10或．
10．【解答】（1）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝55°，
∵BD与⊙O相切于点B，
∴BD⊥AB，
∴∠DBC＝90°﹣∠ABC＝35°，
（2）证明：∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，又∠ACO＝∠DCE，
∴∠DCE＝∠A＝∠DBC，
又∵∠D＝∠D，
∴△DCE∽△DBC，
∴，
∴CE BD＝BC CD；
（3）解：∵AB＝8，
∴，
，
，
∴DC＝OD﹣OC＝6﹣4＝2，，
∵∠DBC＝∠DCE，∠D＝∠D，
∴△DBC∽△DCE，
，
，
，
∴BE的长是．
11．【解答】（1）证明：连接OB，
∵PB是⊙O的切线，
∴∠PBO＝90°，
∵OA＝OB，BA⊥PO于D，
∴AD＝BD，∠POA＝∠POB，
又∵PO＝PO，
∴△PAO≌△PBO（SAS），
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵OA为圆的半径，
∴直线PA为⊙O的切线；
（2）证明：∵∠PAO＝∠PDA＝90°，
∴∠OAD+∠AOD＝90°，∠OPA+∠AOP＝90°，
∴∠OAD＝∠OPA，
∴△OAD∽△OPA，
∴，
∴OA2＝OD OP，
又∵AC＝2OA，
∴AC2＝4OD OP；
（3）解：∵OA＝OC，AD＝BD，BC＝6，
∴ODBC＝3，
设AD＝x，
∵tan∠F，
∴FD＝2x，OA＝OF＝2x﹣3，
在Rt△AOD中，由勾股定理，得，
（2x﹣3）2＝x2+32，
解之得，x1＝4，x2＝0（不合题意，舍去），
∴AD＝4，OA＝2x﹣3＝5，
∵AC是⊙O的直径，
∴AC＝2OA＝10．
∴AC的长为10．
12．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠CDB＝∠ADB＝90°；
（2）连接OD，
∵∠P＝∠PDB，
∴BD＝BP＝3，
∵PD是⊙O的切线，
∴OD⊥PD，
∴∠ODB+∠PDB＝90°，∠P+∠POD＝90°，
∵∠P＝∠PDB，
∴BO＝BD＝3，
∴OB＝BD＝OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠DOB＝60°，
∴弧BD的长度π，
在Rt△CDB中，BD＝3，∠CBD＝30°，
∴CD，BC＝2，
∴阴影部分的周长为π+3；
（3）连接OM，过点D作DF⊥AB交于点F，
∵AM＝BM，
∴OM⊥AB，
∵，
∴∠DMB＝∠DAB，
∴tan∠DMB＝tan∠DAB，
∵tan∠DMB，
∴tan∠DAB
设BD＝a，则AD＝2a，
∴ABa，
∴OMa，
∵AD BD＝AB DF，
∴DFa，
∵DF⊥AB，OM⊥AB，
∴OM∥DF，
∴△OMN∽△FDN，
∴，
∴，
∴MN：MD．
13．【解答】解：（1）证明：如图，连接OE，
∵GF＝GE，∴∠GFE＝∠GEF＝∠AFH，
∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，
∵∠AFH+∠FAH＝90°，
∴∠GEF+∠AEO＝90°，
∴∠GEO＝90°，∴GE⊥OE，
∴EG是⊙O的切线；
（2）连接DE，易得△GDE∽△GEC，
∴，
∴GE2＝GC GD，
又∵GF＝GE，
∴GF2＝GC GD；
（3）如图，连接OC．
设⊙O的半径为r．
在Rt△AHC中，
，
∵，
∴，
在Rt△HOC中，
∵OC＝r，，，
∴，
∴，
∵GM∥AC，
∴∠CAH＝∠M，
∵∠OEM＝∠AHC，
∴△AHC∽△MEO，
∴，
∴，
∴．
14．【解答】（1）证明：连接OB，如图，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°．
∵，
∴BA＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°．
∵OB＝OC，
∠OBC＝∠OCB＝45°．
∵∠CBM＝∠BAC，
∴∠CBM＝45°，
∴∠OBM＝∠CBM+∠CBO＝90°，
∴BM⊥OB．
∵OB为⊙O的半径，
∴BM为⊙O的切线；
（2）解：①如解图②，作BG⊥CD于点G，BH⊥DA交DA的延长线于点H，如图，
∵BG⊥CD，BH⊥DH，
∴∠BHD＝∠BGD＝90°．
∵AC 为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形BGDH为矩形，
∵
∴BA＝BC，∠ADB＝∠BDC．
∵BG⊥CD，BH⊥DH，
∴BH＝BG，
∴矩形BGDH为正方形，
在Rt△ABH和Rt△CBG中，
，
∴Rt△ABH≌Rt△CBG（HL），
∴S△ABH＝S△CBC，
∴S四边形ABCD＝S正方形BGDH，
∵BD2，
∴；
②由（1）知：∠PBC＝∠BAC＝45°．
∴∠PDB＝∠BAC＝∠PBC＝45°，
∵∠BPC＝∠DPB，
∴△BCP∽△DBP，
∴．
∵S△BCD：S△BCP＝7：9，
∴，
∴，
∴．
在Rt△ABC中，
∵，
∴BD＝3，
∴BD＝4，
即 ．
∴；
（3）线段FA，FB，FC能构成一个三角形，三角形的形状为直角三角形，证明如下：
如图，
∵，∠ABD＝∠ACD，
∴．
由（2）①知：∠ADC＝90°，
∴tan∠ACD，
∴．
∵E为CD的中点，
∴，
∴AD＝ED，
∴△ADE是等腰直角三角形．
由（2）①知，∠ADB＝∠BDC，
∴DB垂直平分AE，
∴，
∴，
∴，
∵∠CEF＝∠AEC，
∴△CEF∽△AEC，
∴，
∴．
由（1）知：△ABC是等腰直角三角形，
∴，
∴FC＝AB，
在Rt△ABF中，FA2+FB2＝AB2，
∴FA2+FB2＝FC2，
∴线段FA，FB，FC能构成一个直角三角形．
15．【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵DE为⊙O的切线，
∴OD⊥DE．
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠AOD＝2∠ACD＝90°，
∴OD⊥AB，
∴DE∥AB；
（2）解：∵DE∥AB，
∴∠E＝∠ABC，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠E＝∠ADC，
∵∠ECD＝∠ACD，
∴△DCE∽△ACD，
∴，
∴CD2＝CA CE．
∴当CD取得最大值时，CA CE的值最大，
∵CD是圆O的弦，
∴CD为直径时取得最大值，
∵⊙O的半径为1，
∴CD的最大值为2，
∴CA CE的最大值为4．
（3）解：设tan∠ABC＝x，tan∠AEC＝y，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴y＝tan∠AEC．
由（2）知：，
∴y＝tan∠AEC，
过点D作DF⊥CE于点F，如图，
设EF＝a，
∵DE∥AB，
∴∠ABC＝∠DEC，
∴tan∠DEC＝tan∠ABC＝x，
∴DF＝EF tan∠DEC＝ax，
∵∠DCE＝45°，
∴CF＝DF＝ax，
∴CDDFax，CE＝ax+a，
∴y，
∵，
∴，
∴：7：3，
∴x：y＝7：3，
∴yx．
把yx代入y中，
∴，
解得：x1，x2，
当x时，y，
当x时，y．
∴tan∠AEC的值为或．
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