第8章 实数 素养提升测试题（含答案）
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第8章 实数 素养提升测试题
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列各组数中，其中是无理数的是（ ）
A． B． C． D．0.6
2．如果x是64的立方根，那么x的算术平方根是（ ）
A．4 B．2 C． D．±4
3．若a，估计a的值介于哪两个连续整数之间（ ）
A．介于1和2之间 B．介于2和3之间
C．介于3和4之间 D．介于4和5之间
4．下列计算正确的是（ ）
A．（）2＝3 B．±3
C．±4 D．3
5．如图，用面积为16的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
6．如图，直径为1的圆从原点沿着数轴向左无滑动地滚动一周到达点A，则点A表示的数是（ ）
A．π B．﹣1+π C．2π﹣1 D．﹣π
7．若a2＝25，|b|＝3，则a+b＝（ ）
A．8 B．±8 C．±2 D．±8或±2
8．如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
9．用“ ”表示一种新运算：对于任意正实数a b，例如10 2111，那么的运算结果为（ ）
A．13 B．7 C．4 D．5
10．正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点A、D对应的数分别为0和﹣1，若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则连续翻转2023次后，数轴上数2023所对应的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．若的值为有理数，请你写出一个符合条件的实数a的值 ．
12．大于小于的所有整数的和是 ．
13．实数a，b在数轴上的位置如图所示，|b|＞|a|，化简的结果为 ．
14．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为625时，输出y的值是 ．
15．每年农历八月十五是我国传统的中秋佳节，这时是一年秋季的中期，所以被称为中秋．自古便有中秋节赏月品月饼的习俗，某商店的李师傅制作的正方体月饼礼盒的体积为216cm3，而康师傅制作的正方体．月饼礼盒的体积比李师傅制作的小91cm3，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的表面积为 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（10分）（1）； （2）．
17．（8分）求下列各式中x的值：
（1）2x2+7＝15； （2）（x+2）3﹣9＝0．
18．（9分）已知2a+1的平方根是±3，5a+2b﹣2的算术平方根是4，求7a﹣8b的平方根．
19．（9分）某市决定在一块面积为1100m2的正方形空地上建一个足球场以供全民健身．已知足球场的面积为540m2，其中长是宽的倍，足球场的四周必须留出1m宽的空地，这块空地能否成功建一个符合规定的足球场？
20．（9分）如图，已知点A，B是数轴上两点，AB＝2，点B在点A的右侧，点A表示的数为，设点B表示的数为m．
（1）实数m的值是 ；
（2）求|m﹣2|﹣|1﹣m|的值；
（3）在数轴上有C，D两点分别表示实数c和d，且有|2c+4|与互为相反数，求2c+5d的平方根．
21．（9分）课堂上，老师出了一道题，比较与的大小．小明的解法如下：
解：，因为42＝16＜19，所以，所以．所以，所以，我们把这种比较大小的方法称为作差法．
（1）根据上述材料填空（在横线上填“＞”“＝”或“＜”）：
①若a﹣b＞0，则a b；
②若a﹣b＝0，则a b；
③若a﹣b＜0，则a b．
（2）利用上述方法比较实数与的大小．
22．（10分）我们知道，当a+b＝0时，a3+b3＝0也成立．若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数？
（1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；
（2）若与互为相反数，求﹣7的立方根．
23．（11分）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，．
（1）仿照以上方法计算： ； ．
（2）若，写出满足题意的x的整数值 ．
如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．
（3）对100连续求根整数， 次之后结果为1．
（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 ．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：是分数，它不是无理数，则A不符合题意；
2是整数，它不是无理数，则B不符合题意；
是无限不循环小数，它是无理数，则C符合题意；
0.6是无限循环小数，它不是无理数，则D不符合题意；
选：C．
2．解：∵43＝64，
∴64的立方根是4，
即x＝4，
∵22＝4，
∴x的算术平方根是2．
选：B．
3．解：∵9＜13＜16，
∴34，
即介于3与4之间，
选：C．
4．解：A．（）23，符合题意；
B．±±3，不符合题意；
C.4，不符合题意；
D.3，不符合题意．
选：A．
5．解：由题意得，大正方形的面积为：16×2＝32，
∴大正方形的边长为，
∵，
∴5.56，
∴大正方形的边长最接近的整数是6，
选：C．
6．解：∵圆从原点开始沿数轴向左无滑动地滚动一周，
∴OA＝πd＝π×1＝π，
∴点A表示的数为﹣π．
选：D．
7．解：∵a2＝25，|b|＝3，
∴a＝5，b＝3；a＝﹣5，b＝3；a＝5，b＝﹣3；a＝﹣5，b＝﹣3，
则a+b＝±8或±2．
选：D．
8．解：11，
选：B．
9．解：原式
＝4．
选：C．
10．解：2023÷4＝505……3，
选：D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．解：3，3是有理数．
答案为：（答案不唯一）．
12．解：∵1＜2＜4，4＜5＜9，
∴﹣21，23，
∴大于小于的所有整数有：﹣1，0，1，2，
∴﹣1+0+1+2＝2．
应填2．
13．解：由图可知，b＜0，a＞0，
∵|b|＞|a|，
∴a+b＜0，
∴原式＝a+a+b＝2a+b．
答案为：2a+b．
14．解：由题中所给的程序可知：把625取算术平方根，结果为25，
因为25是有理数，所以再取算术平方根为5，
因为5是有理数，再取算术平方根为．
答案为：．
15．解：，
即康师傅制作的正方体月饼礼盒的边长为5cm，
则其表面积为5×5×6＝150（cm2），
答案为：150cm2．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．解：（1）原式＝9﹣5+（﹣3）
＝1；
（2）原式
＝﹣0.5．
17．解：（1）移项合并同类项得，2x2＝8，
两边都除以2得，x2＝4，
根据平方根的定义可得，x＝±2；
（2）移项得，（x+2）3＝9，
两边都乘以3得，（x+2）3＝27，
根据立方根的定义得，x+2＝3，
即x＝1．
18．解：由2a+1的平方根是±3，5a+2b﹣2的算术平方根是4，可得
2a+1＝9，5a+2b﹣2＝16，
解得a＝4，b＝﹣1，
当a＝4，b＝﹣1时，7a﹣8b＝28+8＝36，
所以36的平方根为±±6，
即7a﹣8b的平方根是±6．
19．解：设足球场的宽为x m，则长为x m，根据题意，得，
，即x2＝324，
∵x为正数，
∴，
∴足球场的宽为18m，
∴足球场的长为30m，
∵（30+2）2＝1024＜1100，
∴，
∴能按规定在这块空地上建一个足球场．
20．解：（1）∵点B在点A的右侧，AB＝2，点A表示的数为，点B表示的数为m，
∴；
（2）由数轴可知：0＜m＜1，
∴m﹣2＜0，1﹣m＞0，
∴|m﹣2|﹣|1﹣m|＝2﹣m﹣（1﹣m）＝2﹣m﹣1+m＝1；
（3）由|2c+4|与互为相反数，可得，
又均为非负数，
2c+4＝0且d﹣4＝0，
即c＝﹣2，d＝4，
∴2c+5d＝2×（﹣2）+5×4＝﹣4+20＝16，
∵16的平方根为±4，
∴2c+5d的平方根为±4．
21．解：（1）①若a﹣b＞0，则a＞b；
②若a﹣b＝0，则a＝b；
③若a﹣b＜0，则a＜b．
答案为：①＞，②＝，③＜；
（2）
∵，
∴，
∴，
∴0，
∴．
22．解：（1）因为2+（﹣2）＝0，而且23＝8，（﹣2）3＝﹣8，有8﹣8＝0，
所以结论成立；
（2）由（1）验证的结果知，1﹣2x+3x﹣5＝0，
解得x＝4，
所以﹣77﹣2＝﹣9．
所以﹣7的立方根为．
23．解：（1）∵22＝4，52＝25，62＝36，
∴56，
∴[2]＝2，[]＝5，
答案为：2，5；
（2）∵12＝1，22＝4，且，
∴x＝1，2，3，
答案为：1，2，3；
（3）第一次：[]＝10，
第二次：[]＝3，
第三次：[]＝1，
答案为：3；
（4）最大的正整数是255，
理由是：∵[]＝15，[]＝3，[]＝1，
∴对255只需进行3次操作后变为1，
∵[]＝16，[]＝4，[]＝2，[]＝1，
∴对256只需进行4次操作后变为1，
∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255；
答案为：255．
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第8章 实数 素养提升测试题
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列各组数中，其中是无理数的是（ ）
A． B． C． D．0.6
2．如果x是64的立方根，那么x的算术平方根是（ ）
A．4 B．2 C． D．±4
3．若a，估计a的值介于哪两个连续整数之间（ ）
A．介于1和2之间 B．介于2和3之间
C．介于3和4之间 D．介于4和5之间
4．下列计算正确的是（ ）
A．（）2＝3 B．±3
C．±4 D．3
5．如图，用面积为16的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
6．如图，直径为1的圆从原点沿着数轴向左无滑动地滚动一周到达点A，则点A表示的数是（ ）
A．π B．﹣1+π C．2π﹣1 D．﹣π
7．若a2＝25，|b|＝3，则a+b＝（ ）
A．8 B．±8 C．±2 D．±8或±2
8．如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
9．用“ ”表示一种新运算：对于任意正实数a b，例如10 2111，那么的运算结果为（ ）
A．13 B．7 C．4 D．5
10．正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点A、D对应的数分别为0和﹣1，若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则连续翻转2023次后，数轴上数2023所对应的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．若的值为有理数，请你写出一个符合条件的实数a的值 ．
12．大于小于的所有整数的和是 ．
13．实数a，b在数轴上的位置如图所示，|b|＞|a|，化简的结果为 ．
14．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为625时，输出y的值是 ．
15．每年农历八月十五是我国传统的中秋佳节，这时是一年秋季的中期，所以被称为中秋．自古便有中秋节赏月品月饼的习俗，某商店的李师傅制作的正方体月饼礼盒的体积为216cm3，而康师傅制作的正方体．月饼礼盒的体积比李师傅制作的小91cm3，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的表面积为 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（10分）（1）； （2）．
17．（8分）求下列各式中x的值：
（1）2x2+7＝15； （2）（x+2）3﹣9＝0．
18．（9分）已知2a+1的平方根是±3，5a+2b﹣2的算术平方根是4，求7a﹣8b的平方根．
19．（9分）某市决定在一块面积为1100m2的正方形空地上建一个足球场以供全民健身．已知足球场的面积为540m2，其中长是宽的倍，足球场的四周必须留出1m宽的空地，这块空地能否成功建一个符合规定的足球场？
20．（9分）如图，已知点A，B是数轴上两点，AB＝2，点B在点A的右侧，点A表示的数为，设点B表示的数为m．
（1）实数m的值是 ；
（2）求|m﹣2|﹣|1﹣m|的值；
（3）在数轴上有C，D两点分别表示实数c和d，且有|2c+4|与互为相反数，求2c+5d的平方根．
21．（9分）课堂上，老师出了一道题，比较与的大小．小明的解法如下：
解：，因为42＝16＜19，所以，所以．所以，所以，我们把这种比较大小的方法称为作差法．
（1）根据上述材料填空（在横线上填“＞”“＝”或“＜”）：
①若a﹣b＞0，则a b；
②若a﹣b＝0，则a b；
③若a﹣b＜0，则a b．
（2）利用上述方法比较实数与的大小．
22．（10分）我们知道，当a+b＝0时，a3+b3＝0也成立．若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数？
（1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；
（2）若与互为相反数，求﹣7的立方根．
23．（11分）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，．
（1）仿照以上方法计算： ； ．
（2）若，写出满足题意的x的整数值 ．
如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．
（3）对100连续求根整数， 次之后结果为1．
（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 ．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：是分数，它不是无理数，则A不符合题意；
2是整数，它不是无理数，则B不符合题意；
是无限不循环小数，它是无理数，则C符合题意；
0.6是无限循环小数，它不是无理数，则D不符合题意；
选：C．
2．解：∵43＝64，
∴64的立方根是4，
即x＝4，
∵22＝4，
∴x的算术平方根是2．
选：B．
3．解：∵9＜13＜16，
∴34，
即介于3与4之间，
选：C．
4．解：A．（）23，符合题意；
B．±±3，不符合题意；
C.4，不符合题意；
D.3，不符合题意．
选：A．
5．解：由题意得，大正方形的面积为：16×2＝32，
∴大正方形的边长为，
∵，
∴5.56，
∴大正方形的边长最接近的整数是6，
选：C．
6．解：∵圆从原点开始沿数轴向左无滑动地滚动一周，
∴OA＝πd＝π×1＝π，
∴点A表示的数为﹣π．
选：D．
7．解：∵a2＝25，|b|＝3，
∴a＝5，b＝3；a＝﹣5，b＝3；a＝5，b＝﹣3；a＝﹣5，b＝﹣3，
则a+b＝±8或±2．
选：D．
8．解：11，
选：B．
9．解：原式
＝4．
选：C．
10．解：2023÷4＝505……3，
选：D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．解：3，3是有理数．
答案为：（答案不唯一）．
12．解：∵1＜2＜4，4＜5＜9，
∴﹣21，23，
∴大于小于的所有整数有：﹣1，0，1，2，
∴﹣1+0+1+2＝2．
应填2．
13．解：由图可知，b＜0，a＞0，
∵|b|＞|a|，
∴a+b＜0，
∴原式＝a+a+b＝2a+b．
答案为：2a+b．
14．解：由题中所给的程序可知：把625取算术平方根，结果为25，
因为25是有理数，所以再取算术平方根为5，
因为5是有理数，再取算术平方根为．
答案为：．
15．解：，
即康师傅制作的正方体月饼礼盒的边长为5cm，
则其表面积为5×5×6＝150（cm2），
答案为：150cm2．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．解：（1）原式＝9﹣5+（﹣3）
＝1；
（2）原式
＝﹣0.5．
17．解：（1）移项合并同类项得，2x2＝8，
两边都除以2得，x2＝4，
根据平方根的定义可得，x＝±2；
（2）移项得，（x+2）3＝9，
两边都乘以3得，（x+2）3＝27，
根据立方根的定义得，x+2＝3，
即x＝1．
18．解：由2a+1的平方根是±3，5a+2b﹣2的算术平方根是4，可得
2a+1＝9，5a+2b﹣2＝16，
解得a＝4，b＝﹣1，
当a＝4，b＝﹣1时，7a﹣8b＝28+8＝36，
所以36的平方根为±±6，
即7a﹣8b的平方根是±6．
19．解：设足球场的宽为x m，则长为x m，根据题意，得，
，即x2＝324，
∵x为正数，
∴，
∴足球场的宽为18m，
∴足球场的长为30m，
∵（30+2）2＝1024＜1100，
∴，
∴能按规定在这块空地上建一个足球场．
20．解：（1）∵点B在点A的右侧，AB＝2，点A表示的数为，点B表示的数为m，
∴；
（2）由数轴可知：0＜m＜1，
∴m﹣2＜0，1﹣m＞0，
∴|m﹣2|﹣|1﹣m|＝2﹣m﹣（1﹣m）＝2﹣m﹣1+m＝1；
（3）由|2c+4|与互为相反数，可得，
又均为非负数，
2c+4＝0且d﹣4＝0，
即c＝﹣2，d＝4，
∴2c+5d＝2×（﹣2）+5×4＝﹣4+20＝16，
∵16的平方根为±4，
∴2c+5d的平方根为±4．
21．解：（1）①若a﹣b＞0，则a＞b；
②若a﹣b＝0，则a＝b；
③若a﹣b＜0，则a＜b．
答案为：①＞，②＝，③＜；
（2）
∵，
∴，
∴，
∴0，
∴．
22．解：（1）因为2+（﹣2）＝0，而且23＝8，（﹣2）3＝﹣8，有8﹣8＝0，
所以结论成立；
（2）由（1）验证的结果知，1﹣2x+3x﹣5＝0，
解得x＝4，
所以﹣77﹣2＝﹣9．
所以﹣7的立方根为．
23．解：（1）∵22＝4，52＝25，62＝36，
∴56，
∴[2]＝2，[]＝5，
答案为：2，5；
（2）∵12＝1，22＝4，且，
∴x＝1，2，3，
答案为：1，2，3；
（3）第一次：[]＝10，
第二次：[]＝3，
第三次：[]＝1，
答案为：3；
（4）最大的正整数是255，
理由是：∵[]＝15，[]＝3，[]＝1，
∴对255只需进行3次操作后变为1，
∵[]＝16，[]＝4，[]＝2，[]＝1，
∴对256只需进行4次操作后变为1，
∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255；
答案为：255．
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