第二章 二次函数
（参考时间：40分钟 总分：100分）
一、选择题（每小题5分，共40分）
1.下列函数不是二次函数的是（ ）
A.y＝（x－1）（x＋2） B.y＝（x＋1）2
C.y＝1－x2 D.y＝2（x＋3）2－2x2
2.抛物线y＝－2x2＋4x＋2的对称轴是（ ）
A.直线x＝2 B.直线x＝－2
C.直线x＝1 D.直线x＝－1
3.关于二次函数y＝－x2的图象与性质，下列说法正确的是（ ）
A.抛物线的开口向上
B.y随x的增大而减小
C.该函数图象关于x轴对称
D.无论x取何值，y的值总是非正数
4.若二次函数y＝（a－1）x2＋3x＋a2－1的图象经过原点，则a的值为（ ）
A.1或－1 B.1
C.－1 D.0
5.若函数y＝x2－2x＋c的图象过点A（－2，y1），B（2，y2），C（－3，y3），则下列判断正确的是（ ）
A.y1＜y3＜y2 B.y2＜y3＜y1
C.y1＜y2＜y3 D.y2＜y1＜y3
6.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0，a，b，c为常数）的图象如图所示，则关于x的方程 ax2＋bx＋c＝m有实数根的条件是（ ）
A.m≥－4 B.m≥0
C.m≥5 D.m≥6
第6题图
第7题图
7.如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象分别与x轴交于A，B两点，且OA＞OB，则正比例函数y＝ax和反比例函数y＝的大致图象是（ ）
8.已知抛物线y＝ax2＋bx＋3（a，b是常数）与y轴的交点为A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，抛物线y＝ax2＋bx＋3中的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … －1 1 3 5 …
y … 8 0 0 8 …
下列结论正确的是（ ）
A.抛物线的对称轴是直线x＝1
B.将抛物线向右平移1个单位长度后经过原点
C.当x＜2时，y随x的增大而增大
D.点A的坐标是（0，3），点B的坐标是（4，3）
二、填空题（每小题5分，共25分）
9.抛物线y＝3（x－1）2＋8的顶点坐标为 .
10.若二次函数y＝－x2＋2x＋k的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是 .
11.某市民休闲广场中有一喷水设施.该喷水设施中的一个喷头A喷出的水珠路线如图所示，它是一条经过A，M，C三点的抛物线.点A离地面1.4 m，M是路线的最高点，离地面3.2 m，离喷头的水平距离为6 m，点C是水珠的落地点，则水珠落地点C距喷头底部的水平距离为 m.
12.有一条抛物线，三名学生分别说出了它的一些性质：
甲说：对称轴是直线x＝2；
乙说：与x轴的两个交点之间的距离为6；
丙说：顶点与x轴的交点围成的三角形的面积为9.
满足上述全部条件的抛物线的表达式为 .
13.下列关于二次函数y＝－（x－m）2＋m2＋1（m为常数）的结论：①该函数的图象与函数y＝－x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点（0，1）；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y＝x2＋1的图象上.其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题（共35分）
14.（10分）下表给出了代数式x2＋bx＋c与x的一些对应值：
x … 0 1 2 3 4 …
x2＋bx＋c … 3 －1 3 …
（1）请在表内的空格中填入适当的数；
（2）函数y＝x2＋bx＋c的图象经过怎样的平移可得到函数y＝x2的图象？
15.（12分）某超市销售一种商品，成本为每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于65元.经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如表所示.
每千克售价x/元 50 60 70
销售量y/千克 100 80 60
（1）直接写出y与x之间的函数表达式；
（2）设该种商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式，并指出每千克售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？
16.（13分）如图，抛物线y＝ax2＋x＋c（a≠0）与x轴交于点A（－1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），作直线BC.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在直线BC上方的抛物线上存在点D，使∠DCB＝2∠ABC，求点D的坐标.第二章 二次函数
（参考时间：40分钟 总分：100分）
一、选择题（每小题5分，共40分）
1.下列函数不是二次函数的是（ D ）
A.y＝（x－1）（x＋2） B.y＝（x＋1）2
C.y＝1－x2 D.y＝2（x＋3）2－2x2
2.抛物线y＝－2x2＋4x＋2的对称轴是（ C ）
A.直线x＝2 B.直线x＝－2
C.直线x＝1 D.直线x＝－1
3.关于二次函数y＝－x2的图象与性质，下列说法正确的是（ D ）
A.抛物线的开口向上
B.y随x的增大而减小
C.该函数图象关于x轴对称
D.无论x取何值，y的值总是非正数
4.若二次函数y＝（a－1）x2＋3x＋a2－1的图象经过原点，则a的值为（ C ）
A.1或－1 B.1
C.－1 D.0
5.若函数y＝x2－2x＋c的图象过点A（－2，y1），B（2，y2），C（－3，y3），则下列判断正确的是（ D ）
A.y1＜y3＜y2 B.y2＜y3＜y1
C.y1＜y2＜y3 D.y2＜y1＜y3
6.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0，a，b，c为常数）的图象如图所示，则关于x的方程 ax2＋bx＋c＝m有实数根的条件是（ A ）
A.m≥－4 B.m≥0
C.m≥5 D.m≥6
第6题图
第7题图
7.如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象分别与x轴交于A，B两点，且OA＞OB，则正比例函数y＝ax和反比例函数y＝的大致图象是（ B ）
8.已知抛物线y＝ax2＋bx＋3（a，b是常数）与y轴的交点为A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，抛物线y＝ax2＋bx＋3中的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … －1 1 3 5 …
y … 8 0 0 8 …
下列结论正确的是（ D ）
A.抛物线的对称轴是直线x＝1
B.将抛物线向右平移1个单位长度后经过原点
C.当x＜2时，y随x的增大而增大
D.点A的坐标是（0，3），点B的坐标是（4，3）
二、填空题（每小题5分，共25分）
9.抛物线y＝3（x－1）2＋8的顶点坐标为 （1，8） .
10.若二次函数y＝－x2＋2x＋k的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是 k＞－1 .
11.某市民休闲广场中有一喷水设施.该喷水设施中的一个喷头A喷出的水珠路线如图所示，它是一条经过A，M，C三点的抛物线.点A离地面1.4 m，M是路线的最高点，离地面3.2 m，离喷头的水平距离为6 m，点C是水珠的落地点，则水珠落地点C距喷头底部的水平距离为 14 m.
12.有一条抛物线，三名学生分别说出了它的一些性质：
甲说：对称轴是直线x＝2；
乙说：与x轴的两个交点之间的距离为6；
丙说：顶点与x轴的交点围成的三角形的面积为9.
满足上述全部条件的抛物线的表达式为 .
13.下列关于二次函数y＝－（x－m）2＋m2＋1（m为常数）的结论：①该函数的图象与函数y＝－x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点（0，1）；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y＝x2＋1的图象上.其中所有正确结论的序号是 ①②④ .
三、解答题（共35分）
14.（10分）下表给出了代数式x2＋bx＋c与x的一些对应值：
x … 0 1 2 3 4 …
x2＋bx＋c … 3 0 －1 0 3 …
（1）请在表内的空格中填入适当的数；
（2）函数y＝x2＋bx＋c的图象经过怎样的平移可得到函数y＝x2的图象？
解：（1）根据题意，得解得
当x＝1时，x2＋bx＋c＝x2－4x＋3＝1－4＋3＝0；
当x＝3时，x2＋bx＋c＝x2－4x＋3＝9－12＋3＝0.
故答案为0，0.
（2）函数y＝x2－4x＋3＝（x－2）2－1的图象的顶点坐标为（2，－1），所以函数y＝x2－4x＋3的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度可得到函数y＝x2的图象.（答案不唯一）
15.（12分）某超市销售一种商品，成本为每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于65元.经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如表所示.
每千克售价x/元 50 60 70
销售量y/千克 100 80 60
（1）直接写出y与x之间的函数表达式；
（2）设该种商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式，并指出每千克售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？
解：（1）y＝－2x＋200（40≤x≤65）.
（2）由题意，得W＝（x－40）（－2x＋200）＝－2x2＋280x－8 000＝－2（x－70）2＋1 800.
∵a＝－2＜0，∴当x＜70时，W随x的增大而增大.
∵40≤x≤65，
∴当x＝65时，W有最大值，W最大值＝－2（65－70）2＋1 800＝1 750.
答：每千克售价为65元时获得最大利润，最大利润是1 750元.
16.（13分）如图，抛物线y＝ax2＋x＋c（a≠0）与x轴交于点A（－1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），作直线BC.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在直线BC上方的抛物线上存在点D，使∠DCB＝2∠ABC，求点D的坐标.
解：（1）∵抛物线y＝ax2＋x＋c经过点A（－1，0），
C（0，3），∴ 解得
∴抛物线的函数表达式为 y＝－x2＋x＋3.
（2）如图，作点B关于y轴的对称点B'，连接B'C并延长交抛物线于点D.
令y＝0，即－x2＋x＋3＝0，
解得x1＝－1，x2＝4，∴B（4，0），∴B'（－4，0），
∴直线B'C的函数表达式为y＝x＋3.
联立解得或
∴点D的坐标为（2，）.
