期末检测卷
（参考时间：90分钟 总分：120分）
一、选择题（每小题3分，共24分）
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝4，BC＝3，那么cos A的值为（ A ）
A. B. C. D.
2.二次函数y＝x2－2x＋3的图象的顶点坐标是 （ A ）
A.（1，2） B.（1，6）
C.（－1，6） D.（－1，2）
3.已知在平面直角坐标系中，点P的坐标为（3，4）.若以原点O为圆心，半径为5画圆，则点P与☉O的位置关系是（ B ）
A.点在圆内 B.点在圆上
C.点在圆外 D.不能确定
4.在△ABC中，若sin A＝，tan C＝，则△ABC是（ B ）
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
5.如图，在☉O中，弦AB∥CD.若∠ABC＝40°，则∠BOD＝（ D ）
A.20° B.40° C.50° D.80°
第5题图
第6题图
6.如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10 m，坝高12 m，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，则坝底AD的长为（ D ）
A.26 m B.28 m
C.30 m D.46 m
7.如图，已知AB是☉O的直径，弦CD⊥AB，AC＝3，BC＝1，那么sin∠ABD的值是（ D ）
A. B. C. D.
8.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，其中y与x的部分对应值如下表所示，则下列结论正确的是 （ D ）
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … －3 －4 －3 0 5 12 …
A.abc＜0
B.＝1
C.4a＋2b＋c＞0
D.方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是x1＝－1，x2＝3
二、填空题（每小题3分，共15分）
9.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝3，则AB＝ 12 .
10.若抛物线y＝x2＋4x＋a与x轴只有一个公共点，则a的值为 4 .
11.如图，在6×6的网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠BAC的正切值为 .
12.如图，拱桥呈抛物线形，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m.若水面下降2.5 m，则水面宽度变为 6 m .
13.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M，N分别是BC，AC上的动点，且MN＝2，P是MN的中点.若AC＝3，BC＝4，则点P到AB距离的最小值是 .
三、解答题（共81分）
14.（6分）计算：－（2 023＋π）0＋｜tan 60°－2｜.
解：原式＝2－1＋2－
＝3－.
15.（6分）解方程：x（x＋2）＝3x＋6.
解：原方程可变形为x（x＋2）－3（x＋2）＝0，
所以（x＋2）（x－3）＝0，
所以x＋2＝0或x－3＝0，
所以x1＝－2，x2＝3.
16.（8分）如图，一张纸上有一个圆.请用尺规作图，作出该圆的圆心.（只保留作图痕迹，不写作法和证明）
解：如图所示，点O即为所求.
17.（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，sin B＝，D为边BC的中点.
（1）求BC的长；
（2）求∠BAD的正切值.
解：（1）在Rt△ABC中，
sin B＝＝，
∴AC＝AB＝×10＝6，
∴BC＝＝＝8.
（2）如图，过点D作DE⊥AB于点E.
∵∠BED＝∠C＝90°，∠B＝∠B，
∴△BED∽△BCA，
∴＝＝，即＝＝，
∴BE＝，ED＝，∴AE＝AB－BE＝10－＝.
在Rt△ADE中，tan∠BAD＝＝.
18.（10分）榕榕在“测量教学楼高度”的活动中，设计并实施了以下方案：
课题 测量教学楼高度
图示
测得数据 CD＝6.9 m，∠ACG＝22°，∠BCG＝13°
参考数据 sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40，sin 13°≈0.22，cos 13°≈0.97， tan 13°≈0.23
请你依据此方案，求教学楼的高度（结果保留整数）.
解：根据题意，得四边形BDCG是矩形，
∴CG＝BD，CD＝BG＝6.9 m.
在Rt△BCG中，∠BCG＝13°，
∴CG＝≈＝30（m），
在Rt△ACG中，∠ACG＝22°，
∴AG＝CG·tan 22°≈30×0.40＝12（m），
∴AB＝AG＋BG≈12＋6.9≈19（m）.
答：教学楼的高度约为19 m.
19.（10分）“互联网＋”时代，网上购物备受消费者青睐，某网店销售一款休闲裤，其成本为每条40元，当销售单价为80元时，每月可销售100条.为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施.据市场调查反映：销售单价每降低1元，每月可多销售5条.设该款休闲裤的销售单价为x元（x为正整数），每月的销售量为y 条.
（1）直接写出y与x的函数关系式.
（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大？最大利润为多少？
解：（1）由题意，得
y＝100＋5（80－x）＝－5x＋500，
∴y与x的函数关系式为y＝－5x＋500.
（2）由题意，得w＝（x－40）（－5x＋500）
＝－5x2＋700x－20 000
＝－5（x－70）2＋4 500.
∵－5＜0，∴抛物线的开口向下，
∴w有最大值，即当x＝70时，w最大值＝4 500，
∴当销售单价为70元时，每月获得的利润最大，最大利润为4 500元.
20.（10分）如图，☉O的直径AB垂直于弦DC于点F，点P在AB的延长线上，CP与☉O相切于点C.
（1）求证：∠PCB＝∠PAD；
（2）若☉O的直径为4，弦DC平分半径OB，求图中阴影部分的面积.
解：（1）证明：如图，连接OC.
∵CP与☉O相切，∴OC⊥PC，
∴∠PCB＋∠OCB＝90°.
∵AB⊥DC，∴∠PAD＋∠ADF＝90°.
∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.
由圆周角定理，得∠ADF＝∠OBC，
∴∠PCB＝∠PAD.
（2）如图，连接OD.
在Rt△ODF中，OF＝OD，
∴∠ODF＝30°，∴∠DOF＝60°.
∵AB⊥DC，∴DF＝FC.
∵BF＝OF，AB⊥DC，
∴S△CFB＝S△DFO，
∴S阴影部分＝S扇形BOD＝＝π.
21.（11分）如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴l与x轴交于点M.
（1）直接写出以下各点的坐标：
A （－1，0） ，B （3，0） ，C （0，3） ，M （1，0） ；
（2）若P为x轴上方抛物线上的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，使得以P，B，Q为顶点的三角形与△AOC相似，求点P的坐标.
解：（2）设P（m，－m2＋2m＋3），则Q（m，0）.
∵A（－1，0），C（0，3），
∴OA＝1，OC＝3.
如图1，若点P在第二象限，此时△AOC∽△PQB.
∵P（m，－m2＋2m＋3），Q（m，0），
∴PQ＝－m2＋2m＋3，BQ＝3－m.
∵△AOC∽△PQB，∴＝，即＝，解得m1＝－，m2＝3（舍去），
∴点P的坐标为.
如图2，若点P在第一象限，此时△AOC∽△BQP.
∵P（m，－m2＋2m＋3），Q（m，0），
∴PQ＝－m2＋2m＋3，BQ＝3－m.
∵△AOC∽△BQP，∴＝，即＝，解得m1＝2，m2＝3（舍去），
∴点P的坐标为（2，3）.
综上所述，点P的坐标为或（2，3）.
22.（12分）（1）如图1，在△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°.☉O与AC，BC分别相切于点E，F，圆心O恰好在AB上，求☉O的半径.
（2）已知某文创园区原有一块草坪（△ABC区域）如图2所示，经测量：CA＝CB＝60 m，∠ACB＝90°，在M处建有一个亭子，满足BM＝AB.现要在原基础上扩大面积规划出花卉展区，要求在BM上找一点P，连接CP并延长到点D，使得∠ADB＝90°，过点P分别作PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F.规划中四边形PEDF区域为游客观赏区，其余部分为花卉展区（△ABC，△PAE，△PBF三部分总和）.花卉展区的面积越大，游客的体验越好.请问花卉展区的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大面积；若不存在，请说明理由.
解：（1）如图1，连接OE，OF.∵☉O与AC，BC分别相切于点E，F，∴OE⊥AC，OF⊥BC.∵∠ACB＝90°，∴四边形CEOF为矩形.∵OE＝OF，∴四边形CEOF为正方形，∴CE＝CF＝OE＝OF.
设☉O的半径为r，则CE＝CF＝OE＝OF＝r，∴AE＝4－r.∵OE∥BC，∴△AEO∽△ACB，∴＝，
∴＝，∴r＝，∴☉O的半径为.
（2）花卉展区的面积存在最大值，最大值为2 664 m2.
∵∠ADB＝90°，PE⊥AD，PF⊥BD，∴四边形PEDF为矩形.∵∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，∴∠ACB＋∠ADB＝180°，∴点A，C，B，D在同一个圆上.
∵AC＝BC，∴∠ABC＝∠BAC＝45°，∴∠ADC＝∠BDC＝45°，∴四边形PEDF为正方形，
∴PE＝PF＝DE＝DF.
如图2，在DE上取一点H，使EH＝BF，连接PH.
在△PEH和△PFB中，
∵PE＝PF，∠PEH＝∠PFB＝90°，EH＝FB，
∴△PEH≌△PFB（SAS），
∴PH＝PB，S△PEH＝S△PFB，∠EPH＝∠FPB，
∴△PAE和△PBF的面积和等于△APH的面积.
∵∠EPF＝90°，∴∠EPH＋∠HPF＝90°，
∴∠HPF＋∠FPB＝90°，即∠HPB＝90°，
∴HP⊥AB.
∵CA＝CB＝60 m，∠ACB＝90°，∴AB＝60 m，
∴BM＝AB＝24 m.
设PB＝x m，则AP＝（60－x）m，PH＝PB＝x m，
∴S△APH＝AP·PH＝（60－x）x＝－x2＋30x＝－（x－30）2＋900.
∵－＜0，∴当x＜30时，△APH的面积随x的增大而增大，∴当x＝24时，△APH的面积最大，最大值为864 m2，∴花卉展区面积的最大值为×60×60＋864＝2 664 m2.期末检测卷
（参考时间：90分钟 总分：120分）
一、选择题（每小题3分，共24分）
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝4，BC＝3，那么cos A的值为（ ）
A. B. C. D.
2.二次函数y＝x2－2x＋3的图象的顶点坐标是 （ ）
A.（1，2） B.（1，6）
C.（－1，6） D.（－1，2）
3.已知在平面直角坐标系中，点P的坐标为（3，4）.若以原点O为圆心，半径为5画圆，则点P与☉O的位置关系是（ ）
A.点在圆内 B.点在圆上
C.点在圆外 D.不能确定
4.在△ABC中，若sin A＝，tan C＝，则△ABC是（ ）
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
5.如图，在☉O中，弦AB∥CD.若∠ABC＝40°，则∠BOD＝（ ）
A.20° B.40° C.50° D.80°
第5题图
第6题图
6.如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10 m，坝高12 m，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，则坝底AD的长为（ ）
A.26 m B.28 m
C.30 m D.46 m
7.如图，已知AB是☉O的直径，弦CD⊥AB，AC＝3，BC＝1，那么sin∠ABD的值是（ ）
A. B. C. D.
8.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，其中y与x的部分对应值如下表所示，则下列结论正确的是 （ ）
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … －3 －4 －3 0 5 12 …
A.abc＜0
B.＝1
C.4a＋2b＋c＞0
D.方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是x1＝－1，x2＝3
二、填空题（每小题3分，共15分）
9.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝3，则AB＝ .
10.若抛物线y＝x2＋4x＋a与x轴只有一个公共点，则a的值为 .
11.如图，在6×6的网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠BAC的正切值为 .
12.如图，拱桥呈抛物线形，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m.若水面下降2.5 m，则水面宽度变为 .
13.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M，N分别是BC，AC上的动点，且MN＝2，P是MN的中点.若AC＝3，BC＝4，则点P到AB距离的最小值是 .
三、解答题（共81分）
14.（6分）计算：－（2 023＋π）0＋｜tan 60°－2｜.
15.（6分）解方程：x（x＋2）＝3x＋6.
16.（8分）如图，一张纸上有一个圆.请用尺规作图，作出该圆的圆心.（只保留作图痕迹，不写作法和证明）
17.（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，sin B＝，D为边BC的中点.
（1）求BC的长；
（2）求∠BAD的正切值.
18.（10分）榕榕在“测量教学楼高度”的活动中，设计并实施了以下方案：
课题 测量教学楼高度
图示
测得数据 CD＝6.9 m，∠ACG＝22°，∠BCG＝13°
参考数据 sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40，sin 13°≈0.22，cos 13°≈0.97， tan 13°≈0.23
请你依据此方案，求教学楼的高度（结果保留整数）.
19.（10分）“互联网＋”时代，网上购物备受消费者青睐，某网店销售一款休闲裤，其成本为每条40元，当销售单价为80元时，每月可销售100条.为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施.据市场调查反映：销售单价每降低1元，每月可多销售5条.设该款休闲裤的销售单价为x元（x为正整数），每月的销售量为y 条.
（1）直接写出y与x的函数关系式.
（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大？最大利润为多少？
20.（10分）如图，☉O的直径AB垂直于弦DC于点F，点P在AB的延长线上，CP与☉O相切于点C.
（1）求证：∠PCB＝∠PAD；
（2）若☉O的直径为4，弦DC平分半径OB，求图中阴影部分的面积.
21.（11分）如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴l与x轴交于点M.
（1）直接写出以下各点的坐标：
A ，B ，C ，M ；
（2）若P为x轴上方抛物线上的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，使得以P，B，Q为顶点的三角形与△AOC相似，求点P的坐标.
22.（12分）（1）如图1，在△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°.☉O与AC，BC分别相切于点E，F，圆心O恰好在AB上，求☉O的半径.
（2）已知某文创园区原有一块草坪（△ABC区域）如图2所示，经测量：CA＝CB＝60 m，∠ACB＝90°，在M处建有一个亭子，满足BM＝AB.现要在原基础上扩大面积规划出花卉展区，要求在BM上找一点P，连接CP并延长到点D，使得∠ADB＝90°，过点P分别作PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F.规划中四边形PEDF区域为游客观赏区，其余部分为花卉展区（△ABC，△PAE，△PBF三部分总和）.花卉展区的面积越大，游客的体验越好.请问花卉展区的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大面积；若不存在，请说明理由.
