期中检测卷
（参考时间：90分钟 总分：120分）
一、选择题（每小题3分，共24分）
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则cos B的值是（ ）
A. B. C. D.
2.抛物线y＝x2－2x＋4的顶点坐标是（ ）
A.（1，3） B.（－1，3）
C.（－1，－3） D.（1，－3）
3.在△ABC中，若∠A，∠B满足＋（1－tan B）2＝0，则∠C的度数是（ ）
A.45° B.60° C.75° D.105°
4.如图，在6×4的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，则sin∠ACB＝（ ）
A. B.2 C. D.
第4题图
第7题图
5.将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的新抛物线的表达式是y＝x2＋1，则原抛物线的表达式是（ ）
A.y＝x2－1 B.y＝x2＋4x＋4
C.y＝x2＋6x＋5 D.y＝x2＋8x＋17
6.已知抛物线y＝ax2＋2ax－3（a＜0）过A（－2，y1），B（－，y2），C（3，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A.y1＞y2＞y3 B.y2＞y1＞y3
C.y1＞y3＞y2 D.y3＞y2＞y1
7.如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC的长为m，则大树AB的高为（ ）
A.m（cos α－sin α） B.m（sin α－cos α）
C.m（cos α－tan α） D.－
8.当－2≤x≤1时，二次函数y＝－（x－m）2＋5有最大值4，则实数m的值为（ ）
A.－3 B.－1或2
C.2或－3 D.2或－3或－1
二、填空题（每小题3分，共15分）
9.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sin A＝，那么AC的长为 .
10.若二次函数y＝mx2＋x＋2的图象与x轴只有一个交点，则m的值为 .
11.如图，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i＝1∶2，坝高BC为3 m，则斜坡AB的长是 m.（结果保留根号）
第11题图
第12题图
12.如图，某养殖户用48 m长的篱笆围成一个“目”字形养殖园，则围成的养殖园的最大面积是 m2.
13.如图，在四边形ABCD中，连接AC，BD，∠ABD＝∠BCD＝90°，∠DAB＝60°，BC＝CD，则tan∠ACD的值为 .
三、解答题（共81分）
14.（6分）计算：
（1）cos230°＋sin245°－tan 60°·tan 30°；
（2）sin245°－＋2 0230＋6tan 30°.
15.（6分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，已知∠A＝30°，BC＝5，cos B＝，求AC的长.
16.（8分）如图，抛物线y＝x2＋c与直线y＝x交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点B的坐标是（2，2）.
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接AC，BC，求△ABC的面积.
17.（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是边BC的中点，BD＝2，tan B＝.
（1）求AD和AB的长；
（2）求sin∠BAD的值.
18.（10分）超市销售一种商品，每件的成本为50元，经市场调查发现，当销售单价为100元时，每月的销售量为50件，销售单价每降低1元，则每月可多售出5件，要求销售单价不得低于成本.
（1）求该商品每月的销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式.
（2）超市的销售人员发现，当该商品每月的销售量超过一定数量时，会出现所获利润反而减小的情况.为了使超市每月所获得的利润最大，该商品的销售单价应定为多少元？
19.（10分）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳棚，便于社区居民休憩.遮阳棚侧面示意图如图所示，AB的长为5 m，与水平面的夹角为16°，且靠墙端距离地面的高度BC为4 m，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长.（结果精确到0.1 m，参考数据：sin 16°≈0.28，cos 16°≈0.96，tan 16°≈0.29）
20.（10分）在画二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下：
x … －1 0 1 2 3 …
y甲 … 6 3 2 3 6 …
乙写错了常数项，列表如下：
x … －1 0 1 2 3 …
y乙 … －2 －1 2 7 14 …
通过上述信息，解决以下问题：
（1）求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的表达式；
（2）对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当x 时，y的值随x值的增大而增大；
（3）若关于x的方程ax2＋bx＋c＝k（a≠0）有两个不相等的实数根，求k的取值范围.
21.（11分）某加工厂要加工一种抛物线形状的钢材构件，如图所示，该抛物线形状的构件的底部宽度OM＝12 m，顶点P到底部OM的距离为9 m.将该抛物线放入平面直角坐标系中，点M在x轴上.其内部支架有两个符合要求的设计方案：
方案一是“川”字形状的内部支架（由支架AB，PN，DC构成），点B，N，C在OM上，且OB＝BN＝NC＝CM，点A，D在抛物线上，AB，PN，DC均垂直于OM；
方案二是“H”形状的内部支架（由支架A'B'，D'C'，EF构成），点B'，C'在OM上，且OB'＝B'C'＝C'M，点A'，D'在抛物线上，A'B'，D'C'均垂直于OM，E，F分别是A'B'，D'C'的中点.
（1）求该抛物线的表达式.
（2）该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架更节省材料？请说明理由.
22.（12分）如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3（a≠0）与x轴交于点A（－1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C.
（1）求该抛物线的表达式；
（2）M为该抛物线的对称轴l上的一点，P为该抛物线上的点（且在l左侧），当△AMP是以M为直角顶点的等腰直角三角形时，求符合条件的点M的坐标.期中检测卷
（参考时间：90分钟 总分：120分）
一、选择题（每小题3分，共24分）
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则cos B的值是（ D ）
A. B. C. D.
2.抛物线y＝x2－2x＋4的顶点坐标是（ A ）
A.（1，3） B.（－1，3）
C.（－1，－3） D.（1，－3）
3.在△ABC中，若∠A，∠B满足＋（1－tan B）2＝0，则∠C的度数是（ D ）
A.45° B.60° C.75° D.105°
4.如图，在6×4的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，则sin∠ACB＝（ C ）
A. B.2 C. D.
第4题图
第7题图
5.将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的新抛物线的表达式是y＝x2＋1，则原抛物线的表达式是（ B ）
A.y＝x2－1 B.y＝x2＋4x＋4
C.y＝x2＋6x＋5 D.y＝x2＋8x＋17
6.已知抛物线y＝ax2＋2ax－3（a＜0）过A（－2，y1），B（－，y2），C（3，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ B ）
A.y1＞y2＞y3 B.y2＞y1＞y3
C.y1＞y3＞y2 D.y3＞y2＞y1
7.如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC的长为m，则大树AB的高为（ A ）
A.m（cos α－sin α） B.m（sin α－cos α）
C.m（cos α－tan α） D.－
8.当－2≤x≤1时，二次函数y＝－（x－m）2＋5有最大值4，则实数m的值为（ C ）
A.－3 B.－1或2
C.2或－3 D.2或－3或－1
二、填空题（每小题3分，共15分）
9.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sin A＝，那么AC的长为 8 .
10.若二次函数y＝mx2＋x＋2的图象与x轴只有一个交点，则m的值为 .
11.如图，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i＝1∶2，坝高BC为3 m，则斜坡AB的长是 m.（结果保留根号）
第11题图
第12题图
12.如图，某养殖户用48 m长的篱笆围成一个“目”字形养殖园，则围成的养殖园的最大面积是 72 m2.
13.如图，在四边形ABCD中，连接AC，BD，∠ABD＝∠BCD＝90°，∠DAB＝60°，BC＝CD，则tan∠ACD的值为 .
三、解答题（共81分）
14.（6分）计算：
（1）cos230°＋sin245°－tan 60°·tan 30°；
解：原式＝（）2＋（）2－×
＝＋－1
＝.
（2）sin245°－＋2 0230＋6tan 30°.
解：原式＝－3＋1＋6×
＝－3＋1＋2
＝－.
15.（6分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，已知∠A＝30°，BC＝5，cos B＝，求AC的长.
解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°.
∵cos B＝＝，BC＝5，
∴BD＝4，∴CD＝3.
∵∠A＝30°，∴AC＝2CD＝6.
16.（8分）如图，抛物线y＝x2＋c与直线y＝x交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点B的坐标是（2，2）.
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接AC，BC，求△ABC的面积.
解：（1）将点B（2，2）的坐标代入y＝x2＋c，
得4＋c＝2，解得c＝－2，
∴抛物线的表达式为y＝x2－2.
（2）∵抛物线的表达式为y＝x2－2，
∴点C的坐标为（0，－2），
联立解得或
∴点A的坐标为（－1，－1），
∴S△ABC＝S△AOC＋S△OBC＝×2×1＋×2×2＝3.
17.（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是边BC的中点，BD＝2，tan B＝.
（1）求AD和AB的长；
（2）求sin∠BAD的值.
解：（1）∵D是BC的中点，BD＝2，∴BD＝CD＝2，BC＝4.
在Rt△ABC中，由tan B＝＝，得＝，∴AC＝3.
由勾股定理，得AD＝＝＝，AB＝＝＝5.
（2）如图，过点D作DE⊥AB于点E，则∠C＝∠DEB＝90°.∵∠B＝∠B，∴△DEB∽△ACB，
∴＝，∴DE＝，
∴sin∠BAD＝＝＝.
18.（10分）超市销售一种商品，每件的成本为50元，经市场调查发现，当销售单价为100元时，每月的销售量为50件，销售单价每降低1元，则每月可多售出5件，要求销售单价不得低于成本.
（1）求该商品每月的销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式.
（2）超市的销售人员发现，当该商品每月的销售量超过一定数量时，会出现所获利润反而减小的情况.为了使超市每月所获得的利润最大，该商品的销售单价应定为多少元？
解：（1）依题意，得y＝50＋5（100－x）＝－5x＋550，
∴y与x之间的函数关系式为y＝－5x＋550（x≥50）.
（2）设每月所获利润为w元.
依题意，得w＝y（x－50）＝（－5x＋550）（x－50）＝－5x2＋800x－27 500＝－5（x－80）2＋4 500.
∵－5＜0，∴函数图象开口向下，
∴当x＝80时，w有最大值，最大值为4 500，
∴为了使超市每月所获得的利润最大，该商品的销售单价应定为80元.
19.（10分）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳棚，便于社区居民休憩.遮阳棚侧面示意图如图所示，AB的长为5 m，与水平面的夹角为16°，且靠墙端距离地面的高度BC为4 m，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长.（结果精确到0.1 m，参考数据：sin 16°≈0.28，cos 16°≈0.96，tan 16°≈0.29）
解：如图，过点A作AT⊥BC于点T，AK⊥CE于点K.
在Rt△ABT中，
BT＝AB·sin ∠BAT＝5×sin 16°≈5×0.28＝1.4（m），
AT＝AB·cos∠BAT＝5×cos 16°≈5×0.96＝4.8（m）.
∵∠ATC＝∠C＝∠CKA＝90°，
∴四边形ATCK是矩形，
∴CK＝AT≈4.8 m，
AK＝CT＝BC－BT≈4－1.4＝2.6（m）.
在Rt△AKD中，
∵∠ADK＝45°，∴DK＝AK≈2.6 m，
∴CD＝CK－DK≈4.8－2.6＝2.2（m）.
答：阴影CD的长约为2.2 m.
20.（10分）在画二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下：
x … －1 0 1 2 3 …
y甲 … 6 3 2 3 6 …
乙写错了常数项，列表如下：
x … －1 0 1 2 3 …
y乙 … －2 －1 2 7 14 …
通过上述信息，解决以下问题：
（1）求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的表达式；
（2）对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当x ≥－1 时，y的值随x值的增大而增大；
（3）若关于x的方程ax2＋bx＋c＝k（a≠0）有两个不相等的实数根，求k的取值范围.
解：（1）由甲的错误可知，c＝3.
从乙提供的数据中选x＝－1，y＝－2；x＝0，y＝－1；x＝1，y＝2.
设乙错将二次函数写成y＝ax2＋bx＋m，
则解得
∴二次函数的表达式为y＝x2＋2x＋3.
（2）y＝x2＋2x＋3的图象的对称轴为直线x＝－1.
∵抛物线开口向上，
∴当x≥－1时，y的值随x值的增大而增大.故答案为≥－1.
（3）方程ax2＋bx＋c＝k（a≠0）有两个不相等的实数根，
即x2＋2x＋3－k＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝4－4（3－k）＞0，∴k＞2.
21.（11分）某加工厂要加工一种抛物线形状的钢材构件，如图所示，该抛物线形状的构件的底部宽度OM＝12 m，顶点P到底部OM的距离为9 m.将该抛物线放入平面直角坐标系中，点M在x轴上.其内部支架有两个符合要求的设计方案：
方案一是“川”字形状的内部支架（由支架AB，PN，DC构成），点B，N，C在OM上，且OB＝BN＝NC＝CM，点A，D在抛物线上，AB，PN，DC均垂直于OM；
方案二是“H”形状的内部支架（由支架A'B'，D'C'，EF构成），点B'，C'在OM上，且OB'＝B'C'＝C'M，点A'，D'在抛物线上，A'B'，D'C'均垂直于OM，E，F分别是A'B'，D'C'的中点.
（1）求该抛物线的表达式.
（2）该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架更节省材料？请说明理由.
解：（1）由题意，得抛物线的顶点P的坐标为（6，9），点O的坐标为（0，0），点M的坐标为（12，0）.
设抛物线的表达式为y＝a（x－6）2＋9，将点O（0，0）的坐标代入，得0＝a（0－6）2＋9，解得a＝－，
∴该抛物线的表达式为y＝－（x－6）2＋9，
即y＝－x2＋3x.
（2）方案二的内部支架更节省材料.理由如下：
方案一：∵OB＝BN＝NC＝CM，OM＝12 m，
∴OB＝3 m，OC＝9 m，
当x＝3时，y＝－×32＋3×3＝，即AB＝ m，
当x＝9时，y＝－×92＋3×9＝，即CD＝ m，
∴方案一的内部支架所需材料的总长度为AB＋PN＋DC＝＋9＋＝（m）；
方案二：∵OB'＝B'C'＝C'M，OM＝12 m，
∴OB'＝4 m，OC'＝8 m，EF＝B'C'＝4 m，
当x＝4时，y＝－×42＋3×4＝8，即A'B'＝8 m，
当x＝8时，y＝－×82＋3×8＝8，即C'D'＝8 m，
∴方案二的内部支架所需材料的总长度为A'B'＋EF＋C'D'＝8＋4＋8＝20（m）.
∵＞20，∴方案二的内部支架更节省材料.
22.（12分）如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3（a≠0）与x轴交于点A（－1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C.
（1）求该抛物线的表达式；
（2）M为该抛物线的对称轴l上的一点，P为该抛物线上的点（且在l左侧），当△AMP是以M为直角顶点的等腰直角三角形时，求符合条件的点M的坐标.
解：（1）将点A（－1，0），B（3，0）的坐标代入y＝ax2＋bx＋3，得解得
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3.
（2）∵y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1.
设点M的坐标为（1，m），过点M作PM⊥AM交抛物线于点P，过点P作PE⊥对称轴l于点E，对称轴l与x轴交于点D.
①如图1，当点M在x轴上方时，
∵PM＝AM，∠PMA＝90°，∴∠AMD＋∠PME＝90°.
∵∠MAD＋∠AMD＝90°，∴∠PME＝∠MAD，
∴△MPE≌△AMD（AAS），
∴PE＝DM＝m，EM＝AD＝2，
∴点P的坐标为（1－m，2＋m），
∴－（1－m）2＋2（1－m）＋3＝2＋m，解得m1＝－2（舍去），m2＝1，∴点M的坐标为（1，1）.
②当点M在x轴上时，显然不符合题意.
③如图2，当点M在x轴下方时，同①可证：
△MPE≌△AMD（AAS），
∴PE＝DM＝－m，EM＝AD＝2，
∴点P的坐标为（m＋1，m－2），
∴－（m＋1）2＋2（m＋1）＋3＝m－2，
整理，得m2＋m－6＝0，解得m1＝－3，m2＝2（舍去），∴点M的坐标为（1，－3）.
综上所述，点M的坐标为（1，1）或（1，－3）.
