1．[2023·东营]如图，AB∥CD，点E在线段BC上(不与点B，C重合)，连接DE.若∠D＝40°，∠BED＝60°，则∠B＝( )
第1题图
A．10° B．20° C．40° D．60°
2．[2024·凉山州]一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点E在AB的延长线上，当DF∥AB时，∠EDB的度数为( )
第2题图
A．10° B．15° C．30° D．45°
3．[2024·苏州]如图，AB∥CD，若∠1＝65°，∠2＝120°，则∠3的度数
为( )
第3题图
A．45° B．55° C．60° D．65°
4．[2024·深圳期中]有一张直角三角形纸片，记作△ABC，其中∠B＝90°，按如图方式剪去它的一个角(虚线部分)，在剩下的四边形ADEC中，则∠1，∠2满足的等量关系为( )
第4题图
A．∠1＝∠2 B．∠1＋∠2＝270°
C．∠1－∠2＝20° D．∠1－∠2＝∠C
5．[2022·南通]如图，a∥b，∠3＝80°，∠1－∠2＝20°，则∠1的度数
是( )
第5题图
A．30° B．40° C．50° D．80°
6．如图，直线l1，l2被直线l3所截，且l1∥l2，过l1上的点A作AB⊥l3交l3于点B，其中∠1＜30°，则下列一定正确的是( )
第6题图
A．∠2＞120° B．∠3＜60°
C．∠4－∠3＞90° D．2∠3＞∠4
7．[泰安中考]如图，直线m∥n，三角尺的直角顶点在直线m上，且三角尺的直角被直线m平分，若∠1＝60°，则下列结论错误的是( )
第7题图
A．∠2＝75° B．∠3＝45°
C．∠4＝105° D．∠5＝130°
8．[2024·巴中]如图，直线m∥n，一块含有30°的直角三角板按如图所示放置．若∠1＝40°，则∠2的大小为( )
第8题图
A．70° B．60° C．50° D．40°
9．[2024·凉山州]如图，在△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是 ．
第9题图
10．[2023·杭州]如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE∥BC，点F在线段BC的延长线上．若∠ADE＝28°，∠ACF＝118°，则∠A＝ ．
第10题图
11．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝ .
第11题图
12．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，若∠B＝35°，∠E＝25°.求∠BAC的度数．
第12题图
13．一个零件的形状如图，按规定∠A应等于90°，∠B，∠D应分别是30°和20°，李叔叔量得∠BCD＝142°，就断定这个零件不合格，你能说出道理吗？
第13题图
14．(1)如图1，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，BD，CD相交于点D.探究∠D与∠A之间的数量关系；(需要写出证明过程)
(2)如图2，BD，CD分别是△ABC的外角∠CBF，∠BCE的平分线，BD，CD相交于点D.则∠D与∠A之间的数量关系为________；
(3)如图3，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，CD是外角∠ACE的平分线，BD，CD相交于点D.则∠D与∠A之间的数量关系为________；
(4)如图4，AC，BD相交于点O，BP，CP分别是∠ABD，∠ACD的平分线，BP，CP相交于点P.则∠P与∠A，∠D之间的数量关系为________．
第14题图1．[2023·东营]如图，AB∥CD，点E在线段BC上(不与点B，C重合)，连接DE.若∠D＝40°，∠BED＝60°，则∠B＝( B )
第1题图
A．10° B．20° C．40° D．60°
2．[2024·凉山州]一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点E在AB的延长线上，当DF∥AB时，∠EDB的度数为( B )
第2题图
A．10° B．15° C．30° D．45°
3．[2024·苏州]如图，AB∥CD，若∠1＝65°，∠2＝120°，则∠3的度数
为( B )
第3题图
A．45° B．55° C．60° D．65°
4．[2024·深圳期中]有一张直角三角形纸片，记作△ABC，其中∠B＝90°，按如图方式剪去它的一个角(虚线部分)，在剩下的四边形ADEC中，则∠1，∠2满足的等量关系为( B )
第4题图
A．∠1＝∠2 B．∠1＋∠2＝270°
C．∠1－∠2＝20° D．∠1－∠2＝∠C
5．[2022·南通]如图，a∥b，∠3＝80°，∠1－∠2＝20°，则∠1的度数
是( C )
第5题图
A．30° B．40° C．50° D．80°
6．如图，直线l1，l2被直线l3所截，且l1∥l2，过l1上的点A作AB⊥l3交l3于点B，其中∠1＜30°，则下列一定正确的是( D )
第6题图
A．∠2＞120° B．∠3＜60°
C．∠4－∠3＞90° D．2∠3＞∠4
7．[泰安中考]如图，直线m∥n，三角尺的直角顶点在直线m上，且三角尺的直角被直线m平分，若∠1＝60°，则下列结论错误的是( D )
第7题图
A．∠2＝75° B．∠3＝45°
C．∠4＝105° D．∠5＝130°
8．[2024·巴中]如图，直线m∥n，一块含有30°的直角三角板按如图所示放置．若∠1＝40°，则∠2的大小为( A )
第8题图
A．70° B．60° C．50° D．40°
9．[2024·凉山州]如图，在△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是100°．
第9题图
10．[2023·杭州]如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE∥BC，点F在线段BC的延长线上．若∠ADE＝28°，∠ACF＝118°，则∠A＝90°．
第10题图
11．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.
第11题图
12．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，若∠B＝35°，∠E＝25°.求∠BAC的度数．
第12题图
解：∵∠B＝35°，∠E＝25°，
∴∠DCE＝∠B＋∠E＝ 60°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACD＝2∠DCE＝ 120°，
∵∠ACD＝∠B＋∠BAC，
∴∠BAC＝120°－35°＝85°.
13．一个零件的形状如图，按规定∠A应等于90°，∠B，∠D应分别是30°和20°，李叔叔量得∠BCD＝142°，就断定这个零件不合格，你能说出道理吗？
第13题图
解：如图所示，延长BC交AD于点E.
第13题图
∴∠DEB＝∠A＋∠B＝90°＋30°＝120°，
∴∠DCB＝∠DEB＋∠D＝120°＋20°＝140°.
若零件合格，∠DCB应等于140°.
李叔叔量得∠BCD＝142°，因此可以断定该零件不合格．
14．(1)如图1，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，BD，CD相交于点D.探究∠D与∠A之间的数量关系；(需要写出证明过程)
(2)如图2，BD，CD分别是△ABC的外角∠CBF，∠BCE的平分线，BD，CD相交于点D.则∠D与∠A之间的数量关系为________；
(3)如图3，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，CD是外角∠ACE的平分线，BD，CD相交于点D.则∠D与∠A之间的数量关系为________；
(4)如图4，AC，BD相交于点O，BP，CP分别是∠ABD，∠ACD的平分线，BP，CP相交于点P.则∠P与∠A，∠D之间的数量关系为________．
第14题图
解：(1)∠D＝90°＋∠A，证明：
∵BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠CBD＝∠ABC，
∠BCD＝∠ACB，
∴∠D＝180°－(∠CBD＋∠BCD)，
＝180°－，
＝180°－(∠ABC＋∠ACB)，
＝180°－(180°－∠A)，
＝180°－90°＋∠A，
＝90°＋∠A，
∴∠D＝90°＋∠A；
(2)∠D＝90°－∠A，证明：
∵BD，CD分别是△ABC的外角∠CBF，∠BCE的平分线，
∴∠CBD＝∠CBF，∠BCD＝∠BCE，∠CBF＝180°－∠ABC，∠BCE＝180°－∠ACB，
∴∠CBD＝90°－∠ABC，∠BCD＝90°－∠ACB，
∴∠D＝180°－(∠CBD＋∠BCD)
＝180°－(90°－∠ABC＋90°－∠ACB)
＝180°－(180°－∠ABC－∠ACB)
＝∠ABC＋∠ACB
＝(180°－∠A)
＝90°－∠A，
故答案为：∠D＝90°－∠A；
(3)∠D＝∠A，证明：
∵BD是∠ABC的平分线，CD是外角∠ACE的平分线，
∴∠DBC＝∠ABC，
∠ACD＝∠ACE，
∵∠ACE是△ABC的外角，
∴∠ACE＝180°－∠ACB，
∴∠ACD＝∠ACE＝90°－∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝∠ACB＋90°－∠ACB＝90°＋∠ACB，
∴∠D＝180°－(∠DBC＋∠BCD)
＝180°－
＝90°－(∠ABC＋∠ACB)
＝90°－(180°－∠A)
＝∠A，
故答案为：∠D＝∠A；
(4)∠P＝(∠A＋∠D)，证明：
∵BP，CP分别是∠ABD，∠ACD的平分线，
∴∠ABF＝∠PBD，∠ECD＝∠PCF，
由题意，得∠OEC＝∠D＋∠ECD＝∠P＋∠PBD，∠OFB＝∠A＋∠ABF＝∠P＋∠PCF，
∴∠D＋∠ECD＋∠A＋∠ABF＝∠P＋∠PBD＋∠P＋∠PCF，
又∵∠ABF＝∠PBD，∠ECD＝∠PCF，
∴∠A＋∠D＝2∠P，
故答案为：∠P＝(∠A＋∠D).1．[2024·内蒙古]如图，AD∥BC，AB⊥AC，若∠1＝35.8°，则∠B的度数
是( C )
第1题图
A．35°48′ B．55°12′
C．54°12′ D．54°52′
2．[2024·咸阳模拟]如图，AB∥CD，∠A＝130°，∠CED＝80°，则∠D的度数为( D )
第2题图
A．70° B．65° C．60° D．50°
3．[2024春·许昌期中]如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．若设∠B＝α，∠C＝β(α>β)，则用α，β表示∠DAE的关系式为( C )
第3题图
A．90°－α＋β B．α－β
C. D.
4．已知∠A＝37°，∠B＝53°，则△ABC为( C )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．无法确定
5．[梧州中考]在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，则∠C等于( A )
A．32° B．36° C．40° D．128°
6．[海南中考]如图，已知AB∥CD，直线AC和BD相交于点E，若∠ABE＝70°，∠ACD＝40°，则∠AEB等于( C )
第6题图
A．50° B．60° C．70° D．80°
7．[2024春·无锡期中]如图，把△ABC沿EF折叠，折叠后的图形如图所示，点B，点C的对应点分别为点B1，点C1，连接AB1，AC1，C1A平分∠B1C1F，B1A平分∠C1B1E，若∠C1AB1＝130°，则∠1＋∠2的度数等于( D )
第7题图
A．130° B．140°
C．150° D．160°
8．[宿迁中考]如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，则∠BDE的度数是( B )
第8题图
A．30° B．40° C．50° D．60°
9．[2023·遂宁]若三角形三个内角的比为1∶2∶3，则这个三角形是直角三角形．
10．[2023·十堰]一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB＝35°，则∠DFC＝100°．
第10题图
11．[2022·绵阳]两个三角形如图摆放，其中∠BAC＝90°，∠EDF＝100°，∠B＝60°，∠F＝40°，DE与AC交于点M，若BC∥EF, 则∠DMC的大小为
110°．
第11题图
12．[2024春·池州期末]如图，AB∥CD，FG平分∠CFE.若∠1＝127°，GH⊥CD于点H，则∠HGF＝26.5度．
第12题图
13．[2023·徐州]如图，在△ABC中，若DE∥BC，FG∥AC，∠BDE＝120°，
∠DFG＝115°，则∠C＝55°.
第13题图
解析：∵DE∥BC，∠BDE＝120°，
∴∠B＝180°－120°＝60°，
∵FG∥AC，∠DFG＝115°，
∴∠A＝180°－115°＝65°，
∴∠C＝180°－∠B－∠A＝55°.
14．[河北中考]如图是可调躺椅示意图(数据如图)，AE与BD的交点为C，且∠CAB，∠CBA，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应减少(填“增加”或“减少”)10度．
第14题图
15．[2022·北京]下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，已知：如图，△ABC，求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°
方法一证明：如图，过点A作DE∥BC 方法二证明：如图，过点C作CD∥AB
证明：方法一：∵DE∥BC，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，
∵∠BAD＋∠BAC＋∠CAE＝180°，
∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°；
方法二：∵CD∥AB，
∴∠A＝∠ACD，∠B＋∠BCD＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.
16．(分类讨论)[2024春·泰州期末]定义：在一个三角形中，如果一个内角α的度数比另一个内角度数大36°，那么这样的三角形我们称为“似黄金三角形”，其中α称为“黄金角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是
30°，84°，66°，这个三角形就是“似黄金三角形”，其中66°为“黄金角”．
第16题图
(1)一个“似黄金三角形”的一个内角为92°，若“黄金角”为锐角，则这个“黄金角”的度数为________；
(2)如图1，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，D为线段AB上一点(点D不与点A，点B重合)．若△BCD是“似黄金三角形”，求∠BDC的度数；
(3)如图2，在△ABC中，点D在边AB上，DE平分∠ADC交AC于点E，过点E作EF∥AB交CD于点F，且∠DEF＝∠B.若△BCD和△ACD都是“似黄金三角形”，直接写出∠A的度数．
解：(1)设“黄金角”的度数为x，则另一个内角的度数为x－36°，
则x＋x－36°＋92°＝180°，
∴x＝62°，
∴这个“黄金角”的度数为62°，
故答案为：62°；
(2)∵∠A＝70°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝180°－70°－60°＝50°，
∵点D在线段AB上，且不与点A，点B重合，
∴0°<∠BCD<50°，70°<∠BCD<120°，
∵△BCD为“似黄金三角形”，
则∠BCD不可能为“黄金角”．
①若∠B为“黄金角”，则∠BCD＝60°－36°＝24°，
∴∠BDC＝180°－60°－24°＝96°；
②若∠BDC为“黄金角”，
则∠BCD＝∠BDC－36°或∠B＝∠BDC－36°，
∴60°＋∠BDC－36°＋∠BDC＝180°或∠BDC＝60°＋36°＝96°，
∴∠BDC＝78°或96°；
综上所述，∠BDC的度数为96°或78°；
(3)∵EF∥AB，
∴∠DEF＝∠ADE，
∵∠DEF＝∠B，
∴∠ADE＝∠B，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC＝2∠ADE，
∴∠ADC＝2∠B，
∵∠ADC＝∠B＋∠BCD，
∴∠B＝∠BCD，
设∠B＝∠BCD＝x，
∵△BDC为“似黄金三角形”，
①当∠BDC＝x＋36°时，
∵∠B＋∠BCD＋∠BDC＝180°，
∴x＋x＋x＋36°＝180°，
解得x＝48°，
∴∠B＝∠BCD＝48°，
∴∠ADC＝48°＋48°＝96°，
∵△ACD是“似黄金三角形”，
当∠ADC为黄金角，∠A＝∠ADC－36°时，∠A＝96°－36°＝60°；
当∠ADC为黄金角，∠ACD＝∠ADC－36°时，∠ACD＝96°－36°＝60°，∠A＝180°－60°－96°＝24°；
当∠ACD为“黄金角”，∠ACD＝∠A＋36°时，
∵∠A＋∠ACD＋∠ADC＝180°，
∴∠A＋∠A＋36°＋96°＝180°，
∴∠A＝24°；
当∠A为“黄金角”，∠ACD＝∠A－36°时，
∵∠A＋∠ACD＋∠ADC＝180°，
∴∠A＋∠A－36°＋96°＝180°，
∴∠A＝60°；
②当∠BDC＝x－36°时，
∵∠B＋∠BCD＋∠BDC＝180°，
∴x＋x＋x－36°＝180°，
∴x＝72°，
∴∠ADC＝72°＋72°＝144°，此种情况△ACD不可能为“似黄金三角形”；
综上所述，∠A的度数为24°或60°.1．[2024·内蒙古]如图，AD∥BC，AB⊥AC，若∠1＝35.8°，则∠B的度数
是( )
第1题图
A．35°48′ B．55°12′
C．54°12′ D．54°52′
2．[2024·咸阳模拟]如图，AB∥CD，∠A＝130°，∠CED＝80°，则∠D的度数为( )
第2题图
A．70° B．65° C．60° D．50°
3．[2024春·许昌期中]如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．若设∠B＝α，∠C＝β(α>β)，则用α，β表示∠DAE的关系式为( )
第3题图
A．90°－α＋β B．α－β
C. D.
4．已知∠A＝37°，∠B＝53°，则△ABC为( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．无法确定
5．[梧州中考]在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，则∠C等于( )
A．32° B．36° C．40° D．128°
6．[海南中考]如图，已知AB∥CD，直线AC和BD相交于点E，若∠ABE＝70°，∠ACD＝40°，则∠AEB等于( )
第6题图
A．50° B．60° C．70° D．80°
7．[2024春·无锡期中]如图，把△ABC沿EF折叠，折叠后的图形如图所示，点B，点C的对应点分别为点B1，点C1，连接AB1，AC1，C1A平分∠B1C1F，B1A平分∠C1B1E，若∠C1AB1＝130°，则∠1＋∠2的度数等于( )
第7题图
A．130° B．140°
C．150° D．160°
8．[宿迁中考]如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，则∠BDE的度数是( )
第8题图
A．30° B．40° C．50° D．60°
9．[2023·遂宁]若三角形三个内角的比为1∶2∶3，则这个三角形是 三角形．
10．[2023·十堰]一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB＝35°，则∠DFC＝ ．
第10题图
11．[2022·绵阳]两个三角形如图摆放，其中∠BAC＝90°，∠EDF＝100°，∠B＝60°，∠F＝40°，DE与AC交于点M，若BC∥EF, 则∠DMC的大小为
．
第11题图
12．[2024春·池州期末]如图，AB∥CD，FG平分∠CFE.若∠1＝127°，GH⊥CD于点H，则∠HGF＝ 度．
第12题图
13．[2023·徐州]如图，在△ABC中，若DE∥BC，FG∥AC，∠BDE＝120°，
∠DFG＝115°，则∠C＝ °.
第13题图
14．[河北中考]如图是可调躺椅示意图(数据如图)，AE与BD的交点为C，且∠CAB，∠CBA，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应 (填“增加”或“减少”) 度．
第14题图
15．[2022·北京]下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，已知：如图，△ABC，求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°
方法一证明：如图，过点A作DE∥BC 方法二证明：如图，过点C作CD∥AB
16．(分类讨论)[2024春·泰州期末]定义：在一个三角形中，如果一个内角α的度数比另一个内角度数大36°，那么这样的三角形我们称为“似黄金三角形”，其中α称为“黄金角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是
30°，84°，66°，这个三角形就是“似黄金三角形”，其中66°为“黄金角”．
第16题图
(1)一个“似黄金三角形”的一个内角为92°，若“黄金角”为锐角，则这个“黄金角”的度数为________；
(2)如图1，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，D为线段AB上一点(点D不与点A，点B重合)．若△BCD是“似黄金三角形”，求∠BDC的度数；
(3)如图2，在△ABC中，点D在边AB上，DE平分∠ADC交AC于点E，过点E作EF∥AB交CD于点F，且∠DEF＝∠B.若△BCD和△ACD都是“似黄金三角形”，直接写出∠A的度数．
