第八章 平行线的有关证明
一、选择题(每题3分，共30分)
1．[2024·重庆]如图，AB∥CD，若∠1＝125°，则∠2的度数为( C )
第1题图
A．35° B．45°
C．55° D．125°
2．下列命题中是真命题的是( A )
A．平行于同一条直线的两条直线互相平行
B．两直线平行，同旁内角相等
C．两个角相等，这两个角一定是对顶角
D．相等的两个角是平行线所得的内错角
3．一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是( B )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
4．[2024春·石家庄期末]近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计)如图所示，其中BC⊥AB，DE∥AB，经使用发现，当∠EDC＝126°时，台灯光线最佳．则此时∠DCB的度数为( C )
第4题图
A．126° B．136° C．144° D．154°
5．[2024春·南宁期中]一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α＝25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为( C )
第5题图
A．155° B．125° C．115° D．65°
6．如图，直线a，b都与直线c相交，给出下列条件：①∠1＝∠2②∠3＝∠6 ③∠4＋∠7＝180° ④∠5＋∠8＝180°.其中能判定a∥b的是( D )
第6题图
A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④
7．[2023·岳阳]已知AB∥CD，点E在直线AB上，点F，G在直线CD上，EG⊥EF于点E，∠AEF＝40°，则∠EGF的度数是( C )
第7题图
A．40° B．45° C．50° D．60°
8．[2023·宜宾]如图，AB∥CD，且∠A＝40°，∠D＝24°，则∠E等于( D )
第8题图
A．40° B．32° C．24° D．16°
9．[2023·达州]如图，AE∥CD，AC平分∠BCD，∠2＝35°，∠D＝60°，则∠B＝( B )
第9题图
A．52° B．50° C．45° D．25°
10．[2024春·莆田期中]如图，在△ABC中，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，若∠B＝25°，则∠1－∠2的度数是( B )
第10题图
A．45° B．50°
C．55° D．60°
二、填空题(每题3分，共18分)
11．能说明命题“对于任何实数 a，如果a2＝b2，那么a＝b.”是假命题的一个反例可以是(示例)32＝(－3)2_，但3≠－3．
12．如图，∵∠1＝∠2，
第12题图
∴AC∥DE．
∵∠2＝∠4，
∴DE∥FG(同位角相等，两直线平行)．
∴AC∥FG (平行于同一条直线的两条直线互相平行)．
13．已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四条命题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c ④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.其中是假命题的是③．(填序号)
14．如图，已知∠BOF＝120°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F为240°．
第14题图
15．[2023春·菏泽期末]如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，CD平分外角∠ACF，交BO的延长线于点D，点E是△ABC的两外角平分线的交点．若∠BOC＝130°，则∠E－∠D的度数为10°．
第15题图
16．一只皮箱的密码是一个三位数．小光说：“它是954.”小明说：“它是358.”小亮说：“它是214.”小强说：“你们每人都只猜对了位置不同的一个数字。”这只皮箱的密码是918．
解析：∵三个人说出的数中，十位上的5和个位上的4都有重复，且位置相同，
∴他们猜对的数字不可能是5和4，可以排除这两个数，
∴十位是1，个位是8，
∴小光猜对的数字是百位上的9，
∴这个三位数密码是918.
三、解答题(共52分)
17．(5分)将下列命题写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的题设和结论．
(1)同角的余角相等；
(2)不相等的角不是对顶角；
(3)相等的角是同位角．
解：(1)如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．
题设：两个角是同一个角的余角，结论：这两个角相等；
(2)如果两个角不相等，那么它们不是对顶角，
题设：两个角不相等，结论：这两个角不是对顶角；
(3)如果两个角相等，那么它们是同位角，
题设：两个角相等，结论：这两个角是同位角．
18．(5分)如图，已知CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC内任一射线，交CE于点E.
第18题图
求证：∠EBC＜∠ACE.
证明：∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∴∠ACE＝∠ECD.
又∵∠ECD＝∠EBC＋∠BEC，
∴∠ECD>∠EBC，
∴∠ACE>∠EBC.
即∠EBC<∠ACE.
19．(5分)[2024春·黄山期末]如图，已知∠BAD＝∠C，AB∥CD，点E在线段CB延长线上，DE平分∠ADC.
(1)求证：∠DEC＝∠EDC；
(2)若∠DAE＝5∠BAE，∠AED＝45°，求∠DEC的度数．
第19题图
解：(1)证明：∵AB∥CD，
∴∠BAD＋∠ADC＝180°，
∵∠BAD＝∠C，
∴∠C＋∠ADC＝180°，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠EDC，
∴∠DEC＝∠EDC；
(2)∵∠DAE＝5∠BAE，
∴设∠BAE＝x，∠DAE＝5x，
∴∠DAB＝4x，
∵AB∥CD，
∴∠ADC＝180°－∠BAD＝180°－4x，
∵DE平分∠ADC，
∴∠EDC＝∠ADC＝90°－2x，
∴∠DEC＝∠EDC＝90°－2x，
∵AD∥BC，∠AED＝45°，
∴∠EAD＋∠AEC＝180°，即∠EAD＋∠AED＋∠DEC＝180°，
∴5x＋45°＋90°－2x＝180°，
解得x＝15°，
∴∠DEC＝90°－2x＝60°.
20．(6分)[2023春·遂川县期末]一个三角形的三个内角的度数之比为1∶3∶5，判断这个三角形的形状．
解：设这个三角形的三个内角度数分别为x，3x，5x，
根据题意，得x＋3x＋5x＝180°，
解得x＝20°，
当x＝20°时，3x＝60°，5x＝100°.
所以这个三角形为钝角三角形．
21．(6分)如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝36°，∠3＝∠4，求∠DAC的度数．
第21题图
解： ∵∠1＝∠2＝36°，
∴∠3＝∠4＝∠1＋∠2＝72°，
在△ACD中，∠DAC＝180°－ (∠3＋∠4)＝180°－2×72°＝36°.
22．(6分)[2024春·丰满区期中]如图，点E，F，G分别在直线CD，AB，AD上，BE交AD于点H.已知∠A＝∠D，∠CEB＝∠BFG.
(1) FG与BE平行吗？说明理由；
(2)若∠DHE＝105°，求∠FGD的度数．
第22题图
解：(1)FG∥BE，理由：
∵∠A＝∠D，
∴AB∥CD，
∴∠CEB＋∠B＝ 180°，
∵∠CEB＝∠BFG，
∴∠BFG＋∠B＝180°，
∴FG∥BE；
(2)由(1)，得FG∥BE，
∴∠BHG＋∠FGD＝ 180°，
∵∠DHE＝105°，
∴∠BHG＝∠DHE＝105°，
∴∠FGD＝180°－∠BHG＝75° .
23．(9分)[2023春·琼海期末]如图，已知∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC.
(1)求证：AB∥CD；
(2)若∠2＋∠1＝180°，且∠BFC＝2∠C＋30°，求∠B的度数．
第23题图
解：(1)证明：∵∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC，
又∵∠AGE＝∠DGC，
∴∠A＝∠D，
∴AB∥CD；
(2)∵∠1＋∠2＝180°，
又∵∠CGD＋∠2＝180°，
∴∠CGD＝∠1，
∴CE∥FB，
∴∠C＝∠BFD，∠CEB＋∠B＝180°.
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BFD，
∴∠B＝∠C，∠BEC＝∠BFC，
∵∠BFC＝2∠C＋30°，
∴∠BEC＝2∠B＋30°，
∴2∠B＋30°＋∠B＝180°，
∴∠B＝50°.
24．(10分)[2023春·兰山区期中]【问题发现】
如图1，直线AB∥DC，点E在AB与CD之间，连接BE，CE，可以发现∠B＋∠C＝∠BEC.
第24题图
请把下面的证明过程补充完整：
证明：过点E作EF∥AB，
∵AB∥DC，EF∥AB，
∴EF∥DC(________________________)．
∴∠C＝∠CEF(________________________)．
∵EF∥AB，
∴∠B＝∠________(________________________)．
∴∠B＋∠C＝____________________(等量代换)．
即∠B＋∠C＝∠BEC.
【拓展探究】
如果点E运动到图2所示的位置，其他条件不变，进一步探究发现：∠B，∠C，∠BEC之间的关系是___________________________________；
【解决问题】
如图3，∠C＝130°，∠AEC＝70°，求出∠A的度数．
解：【问题发现】
证明：过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD(平行于同一条直线的两直线平行)，
∴∠C＝∠CEF(两直线平行，内错角相等)，
∵EF∥AB，
∴∠B＝∠BEF(两直线平行，内错角相等)，
∴∠B＋∠C＝∠CEF＋∠BEF(等量代换)，
即∠B＋∠C＝∠BEC.
故答案为：平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；BEF；两直线平行，内错角相等；∠CEF＋∠BEF；
【拓展探究】
过点E作EF∥AB，如图2，
第24题图
∵AB∥DC，
∴EF∥CD，
∴∠C＋∠CEF＝180°，∠B＋∠BEF＝180°，
∴∠B＋∠C＋∠BEC＝360°；
故答案为：∠B＋∠C＋∠BEC＝360°；
【解决问题】
过点E作EF∥AB，如图3，
第24题图
∵AB∥DC，
∴EF∥CD，
∴∠C＋∠CEF＝180°，∠BAE＝∠AEF，
∴∠CEF＝180°－130°＝50°，
∵∠AEF＝∠AEC－∠CEF＝70°－50°＝20°，
∴∠BAE＝20°. 第八章 平行线的有关证明
一、选择题(每题3分，共30分)
1．[2024·重庆]如图，AB∥CD，若∠1＝125°，则∠2的度数为( )
第1题图
A．35° B．45°
C．55° D．125°
2．下列命题中是真命题的是( )
A．平行于同一条直线的两条直线互相平行
B．两直线平行，同旁内角相等
C．两个角相等，这两个角一定是对顶角
D．相等的两个角是平行线所得的内错角
3．一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
4．[2024春·石家庄期末]近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计)如图所示，其中BC⊥AB，DE∥AB，经使用发现，当∠EDC＝126°时，台灯光线最佳．则此时∠DCB的度数为( )
第4题图
A．126° B．136° C．144° D．154°
5．[2024春·南宁期中]一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α＝25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为( )
第5题图
A．155° B．125° C．115° D．65°
6．如图，直线a，b都与直线c相交，给出下列条件：①∠1＝∠2②∠3＝∠6 ③∠4＋∠7＝180° ④∠5＋∠8＝180°.其中能判定a∥b的是( )
第6题图
A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④
7．[2023·岳阳]已知AB∥CD，点E在直线AB上，点F，G在直线CD上，EG⊥EF于点E，∠AEF＝40°，则∠EGF的度数是( )
第7题图
A．40° B．45° C．50° D．60°
8．[2023·宜宾]如图，AB∥CD，且∠A＝40°，∠D＝24°，则∠E等于( )
第8题图
A．40° B．32° C．24° D．16°
9．[2023·达州]如图，AE∥CD，AC平分∠BCD，∠2＝35°，∠D＝60°，则∠B＝( )
第9题图
A．52° B．50° C．45° D．25°
10．[2024春·莆田期中]如图，在△ABC中，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，若∠B＝25°，则∠1－∠2的度数是( )
第10题图
A．45° B．50°
C．55° D．60°
二、填空题(每题3分，共18分)
11．能说明命题“对于任何实数 a，如果a2＝b2，那么a＝b.”是假命题的一个反例可以是 _ ．
12．如图，∵∠1＝∠2，
第12题图
∴ ∥ ．
∵∠2＝ ，
∴ ∥ (同位角相等，两直线平行)．
∴AC∥FG ( )．
13．已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四条命题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c ④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.其中是假命题的是 ．(填序号)
14．如图，已知∠BOF＝120°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F为 ．
第14题图
15．[2023春·菏泽期末]如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，CD平分外角∠ACF，交BO的延长线于点D，点E是△ABC的两外角平分线的交点．若∠BOC＝130°，则∠E－∠D的度数为 ．
第15题图
16．一只皮箱的密码是一个三位数．小光说：“它是954.”小明说：“它是358.”小亮说：“它是214.”小强说：“你们每人都只猜对了位置不同的一个数字。”这只皮箱的密码是 ．
三、解答题(共52分)
17．(5分)将下列命题写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的题设和结论．
(1)同角的余角相等；
(2)不相等的角不是对顶角；
(3)相等的角是同位角．
18．(5分)如图，已知CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC内任一射线，交CE于点E.
第18题图
求证：∠EBC＜∠ACE.
19．(5分)[2024春·黄山期末]如图，已知∠BAD＝∠C，AB∥CD，点E在线段CB延长线上，DE平分∠ADC.
(1)求证：∠DEC＝∠EDC；
(2)若∠DAE＝5∠BAE，∠AED＝45°，求∠DEC的度数．
第19题图
20．(6分)[2023春·遂川县期末]一个三角形的三个内角的度数之比为1∶3∶5，判断这个三角形的形状．
21．(6分)如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝36°，∠3＝∠4，求∠DAC的度数．
第21题图
22．(6分)[2024春·丰满区期中]如图，点E，F，G分别在直线CD，AB，AD上，BE交AD于点H.已知∠A＝∠D，∠CEB＝∠BFG.
(1) FG与BE平行吗？说明理由；
(2)若∠DHE＝105°，求∠FGD的度数．
第22题图
23．(9分)[2023春·琼海期末]如图，已知∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC.
(1)求证：AB∥CD；
(2)若∠2＋∠1＝180°，且∠BFC＝2∠C＋30°，求∠B的度数．
第23题图
24．(10分)[2023春·兰山区期中]【问题发现】
如图1，直线AB∥DC，点E在AB与CD之间，连接BE，CE，可以发现∠B＋∠C＝∠BEC.
第24题图
请把下面的证明过程补充完整：
过点E作EF∥AB，
∵AB∥DC，EF∥AB，
∴EF∥DC(________________________)．
∴∠C＝∠CEF(________________________)．
∵EF∥AB，
∴∠B＝∠________(________________________)．
∴∠B＋∠C＝____________________(等量代换)．
即∠B＋∠C＝∠BEC.
【拓展探究】
如果点E运动到图2所示的位置，其他条件不变，进一步探究发现：∠B，∠C，∠BEC之间的关系是___________________________________；
【解决问题】
如图3，∠C＝130°，∠AEC＝70°，求出∠A的度数．
