第九章 概率初步
一、选择题(每题3分，共30分)
1．[2023春·桓台县期末]盒子里有10个球，它们只有颜色不同，其中红球有6个，黄球有3个，黑球有1个．小军从中任意摸一个球，下列说法正确的是( B )
A．一定是红球 B．摸出红球的可能性最大
C．不可能是黑球 D．摸出黄球的可能性最小
2．[2024·武汉模拟]“朝霞不出门，晚霞行千里”是( D )
A．确定性事件 B．必然事件
C．不可能事件 D．随机事件
3．在围棋盒中有x颗白色棋子和y颗黑色棋子，从盒子中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是，如果再往盒中放进6颗黑色棋子，取得白色棋子的概率是，则原来盒中有白色棋子( C )
A．8颗 B．6颗 C．4颗 D．2颗
4．[2023·蓬江区三模]将飞镖随意投掷在如图所示的靶子上，飞镖落在阴影部分的概率是( A )
第4题图
A. B. C. D.
5．[2024·深圳]二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季(立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨)，夏季(立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑)，秋季(立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降)，冬季(立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒)，若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率
为( D )
A. B. C. D.
6．[2024·苏州改编]一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”“夏”“秋”“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀．若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为 ( B )
A. B. C. D.
7．一袋中装有形状，大小都相同的若干个小球，每个小球各标有一个数字，分别是2，3，4，5，6，现从袋中任意摸出一个小球，则这个小球上的数字是方程2x－6＝0的解的概率是( A )
A. B. C. D.
8．从－2，－1，＋1，0，2五个数中任选一个数作为m的值，能使得x2－2mx＋4是关于x的完全平方式的概率是( C )
A. B. C. D.
9．在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球( A )
A．12个 B．16个 C．20个 D．30个
10．[2024·徐州]如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘ABCD内，若飞镖落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为( C )
第10题图
A. B. C. D.
二、填空题(每题3分，共18分)
11．[2024·天津]不透明袋子中装有10个球，其中有3个绿球、4个黑球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为．
12．小明同学有长度2 cm和5 cm的两条线段，再从下列长度2 cm，3 cm，4 cm，6 cm，7 cm，8 cm的六根木棒中，他从中任选一根，能钉成三角形相框的概率是．
13．[2022·资阳]投掷一枚六个面分别标有1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子，则偶数朝上的概率是．
14．一只蜘蛛爬到如图所示的一面墙上，横面由四块大小相同的正方形瓷砖构成，若蜘蛛停留的位置是随机的，则它停留在阴影区域内的概率是．
第14题图
15．[2024·成都]盒中有x枚黑棋和y枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为．
16．如图，为测量平地上一块不规则区域(图中的阴影部分)的面积，画一个边长为2 m的正方形，使不规则区域落在正方形内，现在向正方形内随机投掷小石子(假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的)，经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，由此可估计轨迹不规则区域的面积约是1m2.
第16题图
三、解答题(共52分)
17．(7分)[2023春·都昌县期末]在一个不透明的口袋中装有白、红、黑三种颜色的小球，其中白球3个，红球3个，黑球2个，它们除了颜色外其他都相同．
(1)从袋中随机摸出1个球，求摸出白球的概率；
(2)从袋中随机摸出1个球，求摸出黑球的概率；
(3)向袋中加几个黑球，可以使摸出红球的概率变为？
解：(1)根据题意，小球共3＋3＋2＝8个，
∴从袋中随机地摸出1个球，共8种情况，
∵白球3个，
∴从袋中随机地摸出1个球，摸出白球的概率＝；
(2)由(1)，得从袋中随机地摸出1个球，共8种情况，
∵黑球2个，
∴从袋中随机地摸出1个球，摸出黑球的概率＝＝；
(3)设向袋中加黑球的数量为x，
∴从袋中随机地摸出1个球，共(8＋x)种情况，
∵摸出红球的概率为，且红球3个，
∴3＝(8＋x)，
∴x＝4，
∴向袋中加4个黑球，可以使摸出红球的概率变为.
18．(7分)在“五·四”青年节中，全校举办了文艺汇演活动．小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额．小丽想出了一个办法，她将一个转盘(均质的)均分成6份，如图所示．
游戏规定：随意转动转盘，
(1)指针指到1的可能性是多少？
(2)若指针指到3，则小丽去；若指针指到2，则小芳去．若你是小芳，会同意这个办法吗？为什么？
第18题图
解：(1)转盘(均质的)均分成6份，其中1占1份，
∴指针指到1的可能性是；
(2)不会同意．
因为转盘中有两个3，一个2，这说明小丽去的概率＝；而小芳去的概率是，
所以游戏不公平．
19．(7分)[2023春·张店区期末]如图，端午节期间，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘(转盘等分成16份)，并规定顾客每购买200元商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针对准红，黄，绿的区域，顾客就可以分别获得50元，20元，10元的奖金，对准无色区域则无奖金．
(1)小明购物180元，他获得奖金的概率是多少？
(2)小芳购物210元，那么她获得奖金的概率是多少？
(3)现商场想调整获得20元奖金的概率为，其他金额的获奖率不变，则需要将多少个无色区域涂上黄色？
第19题图
解：(1)∵180<200，
∴小明购物180元，不能获得转动转盘的机会，
∴小明获得奖金的概率为0；
(2)小芳购物210元，能获得一次转动转盘的机会，
获得奖金的概率是＝；
(3)设需要将x个无色区域涂上黄色，
则有＝，
解得x＝2，
所以需要将2个无色区域涂上黄色．
20．(7分)[2024春·淮安期末]在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，表格是实验中的部分统计数据：
摸球的次数n 20 50 100 200 400 500 1 000 …
摸到白球的次数m 7 10 28 45 97 127 252 …
摸到白球的频率 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 …
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近________(精确到0.01)；
(2)试估算盒子里白球有________个；
(3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合(1)中结果的试验最有可能的是________(填序号)．
①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上
②掷一个质地均匀的正方体骰子(面的点数分别为1到6)，落地时面朝上点数“大于4”
③从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”
④在一道单选题A，B，C，D四个选项任选一个，正好选中正确选项
解：(1)0.25；
(2)根据题意，得40×0.25＝10(个)，
故答案为：10；
(3)①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率为，不符合题意；②掷一个质地均匀的正方体骰子(面的点数分别为1到6)，落地时面朝上点数“大于4”的概率为＝，不符合题意；③从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”的概率为＝，符合题意；④在一道单选题A，B，C，D四个选项任选一个，正好选中正确选项的概率为，符合题意．
故答案为：③④.
21．(7分)[2024春·秦都区期末]在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球。其中红球3个，白球5个，黑球7个．
(1)求任意摸出一个球是黑球的概率；
(2)小明从盒子里取出m个白球(其他颜色球的数量没有改变)，使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概率为，请求出m的值．
解：(1)因为红球3个，白球5个，黑球7个，
所以盒子中球的总数为3＋5＋7＝15(个)，
所以任意摸出一个球是黑球的概率为；
(2)因为任意摸出一个球是红球的概率为，
所以盒子中球的总量为3÷＝12，
所以可以将盒子中的白球拿出15－12＝3(个)，
所以m＝3.
22．(8分)[2023春·盐田区期末]在网格图中，每个方格除颜色外都相同，其中4个方格为灰色，余下方格为白色．
(1)涂灰3个白色方格，使整个网格图为轴对称图形(考虑颜色)；
(2)在(1)的轴对称网格图中任取1个方格，恰好是灰色方格的概率是多少？
(3)在(1)的轴对称网格图中，再涂灰若干个白色方格，能否使任取1个方格恰好是白色方格的概率为0.5
第22题图
解：(1)如图所示(答案不唯一)；
第22题图
(2)∵图中共有25个方格，灰色的有7个，
∴任取1个方格，恰好是灰色方格的概率是；
(3)若能使任取1个方格恰好是白色方格的概率为0.5，
则白色的方格为25×0.5＝12.5个，
故不能再涂灰若干个白色方格，使任取1个方格恰好是白色方格的概率为0.5.
23．(9分)[2023春·桓台县期末]某儿童用品商店在“六一”儿童节设置了一个购物摸球游戏：在一不透明的箱子里装了50个小球，这些球分别标有50元，8元，2元，0元的金额，其中标有50元的小球有4个，标有0元小球有5个，标有2元小球的个数比标有8元小球的个数的2倍少1，这些小球除数字外都相同，并规定：凡购买指定商品，可以摸球一次，如果摸到标有50元，8元，2元的小球，则可以得到等价值的奖品一个．
已知小明购买了指定商品，根据以上信息回答下列问题：
(1)小明获得奖品的概率是________，获得8元奖品的概率是________；
(2)为吸引顾客，儿童用品店现将8元奖品的获奖概率提高到，在保持小球总数不变的情况下，需要把几个标有2元的小球改为8元的小球．
解：(1)设标有“8元”的小球有x个，则标有“2元”的小球有(2x－1)个，
由题意，得x＋2x－1＋4＋5＝50，
解得x＝14，
2x－1＝27，
即标有“8元”的小球有14个，标有“2元”的小球有27个．
“获奖”的概率为＝，
共有50个小球，标有“8元”的有14个，
因此获得“8元”的概率为＝，
故答案为：，；
(2)设需要y个标有“2元”的小球改为“8元”，由题意，得＝，
解得y＝6，
所以需要将6个标有“2元”的小球改为标有“8元”的小球．第九章 概率初步
一、选择题(每题3分，共30分)
1．[2023春·桓台县期末]盒子里有10个球，它们只有颜色不同，其中红球有6个，黄球有3个，黑球有1个．小军从中任意摸一个球，下列说法正确的是( )
A．一定是红球 B．摸出红球的可能性最大
C．不可能是黑球 D．摸出黄球的可能性最小
2．[2024·武汉模拟]“朝霞不出门，晚霞行千里”是( )
A．确定性事件 B．必然事件
C．不可能事件 D．随机事件
3．在围棋盒中有x颗白色棋子和y颗黑色棋子，从盒子中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是，如果再往盒中放进6颗黑色棋子，取得白色棋子的概率是，则原来盒中有白色棋子( )
A．8颗 B．6颗 C．4颗 D．2颗
4．[2023·蓬江区三模]将飞镖随意投掷在如图所示的靶子上，飞镖落在阴影部分的概率是( )
第4题图
A. B. C. D.
5．[2024·深圳]二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季(立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨)，夏季(立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑)，秋季(立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降)，冬季(立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒)，若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率
为( )
A. B. C. D.
6．[2024·苏州改编]一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”“夏”“秋”“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀．若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为 ( )
A. B. C. D.
7．一袋中装有形状，大小都相同的若干个小球，每个小球各标有一个数字，分别是2，3，4，5，6，现从袋中任意摸出一个小球，则这个小球上的数字是方程2x－6＝0的解的概率是( )
A. B. C. D.
8．从－2，－1，＋1，0，2五个数中任选一个数作为m的值，能使得x2－2mx＋4是关于x的完全平方式的概率是( )
A. B. C. D.
9．在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球( )
A．12个 B．16个 C．20个 D．30个
10．[2024·徐州]如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘ABCD内，若飞镖落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为( )
第10题图
A. B. C. D.
二、填空题(每题3分，共18分)
11．[2024·天津]不透明袋子中装有10个球，其中有3个绿球、4个黑球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为 ．
12．小明同学有长度2 cm和5 cm的两条线段，再从下列长度2 cm，3 cm，4 cm，6 cm，7 cm，8 cm的六根木棒中，他从中任选一根，能钉成三角形相框的概率是 ．
13．[2022·资阳]投掷一枚六个面分别标有1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子，则偶数朝上的概率是 ．
14．一只蜘蛛爬到如图所示的一面墙上，横面由四块大小相同的正方形瓷砖构成，若蜘蛛停留的位置是随机的，则它停留在阴影区域内的概率是 ．
第14题图
15．[2024·成都]盒中有x枚黑棋和y枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为 ．
16．如图，为测量平地上一块不规则区域(图中的阴影部分)的面积，画一个边长为2 m的正方形，使不规则区域落在正方形内，现在向正方形内随机投掷小石子(假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的)，经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，由此可估计轨迹不规则区域的面积约是 m2.
第16题图
三、解答题(共52分)
17．(7分)[2023春·都昌县期末]在一个不透明的口袋中装有白、红、黑三种颜色的小球，其中白球3个，红球3个，黑球2个，它们除了颜色外其他都相同．
(1)从袋中随机摸出1个球，求摸出白球的概率；
(2)从袋中随机摸出1个球，求摸出黑球的概率；
(3)向袋中加几个黑球，可以使摸出红球的概率变为？
18．(7分)在“五·四”青年节中，全校举办了文艺汇演活动．小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额．小丽想出了一个办法，她将一个转盘(均质的)均分成6份，如图所示．
游戏规定：随意转动转盘，
(1)指针指到1的可能性是多少？
(2)若指针指到3，则小丽去；若指针指到2，则小芳去．若你是小芳，会同意这个办法吗？为什么？
第18题图
19．(7分)[2023春·张店区期末]如图，端午节期间，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘(转盘等分成16份)，并规定顾客每购买200元商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针对准红，黄，绿的区域，顾客就可以分别获得50元，20元，10元的奖金，对准无色区域则无奖金．
(1)小明购物180元，他获得奖金的概率是多少？
(2)小芳购物210元，那么她获得奖金的概率是多少？
(3)现商场想调整获得20元奖金的概率为，其他金额的获奖率不变，则需要将多少个无色区域涂上黄色？
第19题图
20．(7分)[2024春·淮安期末]在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，表格是实验中的部分统计数据：
摸球的次数n 20 50 100 200 400 500 1 000 …
摸到白球的次数m 7 10 28 45 97 127 252 …
摸到白球的频率 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 …
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近________(精确到0.01)；
(2)试估算盒子里白球有________个；
(3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合(1)中结果的试验最有可能的是________(填序号)．
①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上
②掷一个质地均匀的正方体骰子(面的点数分别为1到6)，落地时面朝上点数“大于4”
③从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”
④在一道单选题A，B，C，D四个选项任选一个，正好选中正确选项
21．(7分)[2024春·秦都区期末]在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球。其中红球3个，白球5个，黑球7个．
(1)求任意摸出一个球是黑球的概率；
(2)小明从盒子里取出m个白球(其他颜色球的数量没有改变)，使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概率为，请求出m的值．
22．(8分)[2023春·盐田区期末]在网格图中，每个方格除颜色外都相同，其中4个方格为灰色，余下方格为白色．
(1)涂灰3个白色方格，使整个网格图为轴对称图形(考虑颜色)；
(2)在(1)的轴对称网格图中任取1个方格，恰好是灰色方格的概率是多少？
(3)在(1)的轴对称网格图中，再涂灰若干个白色方格，能否使任取1个方格恰好是白色方格的概率为0.5
第22题图
23．(9分)[2023春·桓台县期末]某儿童用品商店在“六一”儿童节设置了一个购物摸球游戏：在一不透明的箱子里装了50个小球，这些球分别标有50元，8元，2元，0元的金额，其中标有50元的小球有4个，标有0元小球有5个，标有2元小球的个数比标有8元小球的个数的2倍少1，这些小球除数字外都相同，并规定：凡购买指定商品，可以摸球一次，如果摸到标有50元，8元，2元的小球，则可以得到等价值的奖品一个．
已知小明购买了指定商品，根据以上信息回答下列问题：
(1)小明获得奖品的概率是________，获得8元奖品的概率是________；
(2)为吸引顾客，儿童用品店现将8元奖品的获奖概率提高到，在保持小球总数不变的情况下，需要把几个标有2元的小球改为8元的小球．
