第七章 二元一次方程组
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列方程：①5x＋＝2 ②3xy－1＝0 ③x2＋y＝5 ④3x－y＋2z＝0 ⑤2x－7y ⑥4(x－y)＝11.其中不是二元一次方程的有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．[2023春·灌云县期末]二元一次方程2x＋y＝5的正整数解有( )
A．2组 B．3组 C．4组 D．无数组
3．[2024春·儋州期末]方程组的解为则被遮盖的前后两个数分别为( )
A．1，2 B．1，5 C．5，1 D．2，4
4．利用代入消元法解方程组下列做法正确的是( )
A．由①得x＝ B．由①得y＝
C．由②得y＝ D．由②得y＝
5．[2024·天津]《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳子长y尺，则可以列出的方程组为( )
A. B.
C. D.
6．如果方程组的解与方程组的解相同，则a，b的值
是( )
A. B. C. D.
7. 如图，直线l1，l2的交点坐标可以看作下列哪个方程组的解( )
第7题图
A. B.
C. D.
8．已知关于x，y的方程组下列结论正确的有( )
①不论k取什么实数，x＋3y的值始终不变
②存在实数k，使得x＋y＝0
③当y－x＝－1时，k＝1
④当k＝0时，方程组的解也是方程x－2y＝－3的解
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．[2024春·兰山区期末]某学校社团活动中心要添置两样体育用品：跳绳和毽子，王老师准备用36元钱去购买，根据要求，每样体育用品最少买一件，跳绳每条9元，毽子每个1元，在把钱用完的条件下，买法共有( )
A．5种 B．4种 C．3种 D．2种
10．已知代数式ax2＋bx＋c，当x＝－1时，其值为4；当x＝1时，其值为8；当x＝2时，其值为25；则当x＝3时，其值为( )
A．4 B．8 C．62 D．52
二、填空题(每题3分，共18分)
11．由2x＋y－1＝0，得到用x表示y的式子为y＝ ．
12．根据如图所示的函数图象可得关于x，y的二元一次方程组的解为 ．
第12题图
13．若方程组的解x和y的值互为相反数，则k的值等于 ．
14．已知关于x，y的方程组当3x＋5y＝3时，k＝ ．
15．某工地调来96人挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调配劳动力才能使挖出的土能够及时运走而又不窝工？设挖土的有x人，运土的有y人，根据题意可列方程组为 ．
16．某校用一笔钱来购买A，B两种奖品，若购买24个A种奖品和14个B种奖品则差30元，若购买20个A种奖品和18个B种奖品则余20元，那么用这笔钱购买28个A种奖品和10个B种奖品差 元．
三、解答题(共52分)
17．(6分)[2024春·济宁期末]
(1)解方程组：
18．(模型观念)(5分)阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法：
解：由①得x－y＝1，③
将③代入②，得4×1－y＝5，即y＝－1，
把y＝－1代入③，得x＝0，
所以方程组的解为
请你模仿小军的“整体代入”法解方程组
19．(6分)[2024·广安节选]某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化环境．已知购买2株A种花卉和3株B种花卉共需要21元；购买4株A种花卉和5株B种花卉共需要37元．求A，B两种花卉的单价．
20．(5分)已知等式(2m－7n)x＋(3m－8n)＝8x＋10，对一切实数x都成立，求m，n的值．
21．(6分)甲、乙两同学在解方程组时，甲因看错了b的符号，解得乙因看错了c，解得试求(a－b－c)2 025的值．
22．(6分)如图，某植物x天后的高度为y厘米，直线l反映了y与x之间的关系．根据图象回答下列问题：
第22题图
(1)________天后该植物的高度为10厘米；
(2)若图象对应的一次函数为y＝kx＋b，请求出k和b的值．
23．(8分)如图，一次函数y＝－x＋b的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与正比例函数y＝2x的图象交于点C(1，a)．
第23题图
(1)求a，b的值；
(2)方程组的解为________；
(3)在y＝2x的图象上是否存在点P，使得△BOP的面积比△AOP的面积大5？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．(10分)[2023·张家界]为拓宽学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量(人/辆) 45 60
租金(元/辆) 200 300
(1)参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
(2)若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？第七章 二元一次方程组
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列方程：①5x＋＝2 ②3xy－1＝0 ③x2＋y＝5 ④3x－y＋2z＝0 ⑤2x－7y ⑥4(x－y)＝11.其中不是二元一次方程的有( C )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．[2023春·灌云县期末]二元一次方程2x＋y＝5的正整数解有( A )
A．2组 B．3组 C．4组 D．无数组
3．[2024春·儋州期末]方程组的解为则被遮盖的前后两个数分别为( C )
A．1，2 B．1，5 C．5，1 D．2，4
4．利用代入消元法解方程组下列做法正确的是( B )
A．由①得x＝ B．由①得y＝
C．由②得y＝ D．由②得y＝
5．[2024·天津]《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳子长y尺，则可以列出的方程组为( A )
A. B.
C. D.
6．如果方程组的解与方程组的解相同，则a，b的值
是( A )
A. B. C. D.
7. 如图，直线l1，l2的交点坐标可以看作下列哪个方程组的解( A )
第7题图
A. B.
C. D.
8．已知关于x，y的方程组下列结论正确的有( C )
①不论k取什么实数，x＋3y的值始终不变
②存在实数k，使得x＋y＝0
③当y－x＝－1时，k＝1
④当k＝0时，方程组的解也是方程x－2y＝－3的解
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．[2024春·兰山区期末]某学校社团活动中心要添置两样体育用品：跳绳和毽子，王老师准备用36元钱去购买，根据要求，每样体育用品最少买一件，跳绳每条9元，毽子每个1元，在把钱用完的条件下，买法共有( C )
A．5种 B．4种 C．3种 D．2种
10．已知代数式ax2＋bx＋c，当x＝－1时，其值为4；当x＝1时，其值为8；当x＝2时，其值为25；则当x＝3时，其值为( D )
A．4 B．8 C．62 D．52
二、填空题(每题3分，共18分)
11．由2x＋y－1＝0，得到用x表示y的式子为y＝－2x＋1．
12．根据如图所示的函数图象可得关于x，y的二元一次方程组的解为．
第12题图
13．若方程组的解x和y的值互为相反数，则k的值等于2．
14．已知关于x，y的方程组当3x＋5y＝3时，k＝1．
15．某工地调来96人挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调配劳动力才能使挖出的土能够及时运走而又不窝工？设挖土的有x人，运土的有y人，根据题意可列方程组为．
16．某校用一笔钱来购买A，B两种奖品，若购买24个A种奖品和14个B种奖品则差30元，若购买20个A种奖品和18个B种奖品则余20元，那么用这笔钱购买28个A种奖品和10个B种奖品差80元．
三、解答题(共52分)
17．(6分)[2024春·济宁期末]
(1)解方程组：
解：
①×3＋②×4，得17x＝34，解得x＝2，
把x＝2代入①，得3×2－4y＝－6，解得y＝3，
所以原方程组的解为
(2)解方程组：
解：
整理，得
①＋②×5，得46y＝46，解得y＝1，
把y＝1代入①，得5x＋1＝36，解得x＝7，
所以原方程组的解为
18．(模型观念)(5分)阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法：
解：由①得x－y＝1，③
将③代入②，得4×1－y＝5，即y＝－1，
把y＝－1代入③，得x＝0，
所以方程组的解为
请你模仿小军的“整体代入”法解方程组
解：
将①代入②，得1＋2y＝9，即y＝4，
将y＝4代入①，得x＝7，
所以原方程组的解为
19．(6分)[2024·广安节选]某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化环境．已知购买2株A种花卉和3株B种花卉共需要21元；购买4株A种花卉和5株B种花卉共需要37元．求A，B两种花卉的单价．
解：设A种花卉的单价为x元/株，B种花卉的单价为y元/株．
由题意，得
解得
答：A种花卉的单价为3元/株，B种花卉的单价为5元/株．
20．(5分)已知等式(2m－7n)x＋(3m－8n)＝8x＋10，对一切实数x都成立，求m，n的值．
解：因为等式(2m－7n)x＋(3m－8n)＝8x＋10对一切实数x都成立，
所以
解得
故m，n的值分别为1.2，－0.8.
21．(6分)甲、乙两同学在解方程组时，甲因看错了b的符号，解得乙因看错了c，解得试求(a－b－c)2 025的值．
解：
因为甲因看错了b的符号，解得
所以把代入ax＋by＝13，
得3a＋2b＝13，③
把代入②，得3c－2＝4，
解得c＝2，
因为乙因看错了c，解得
所以把代入①，得5a－b＝13，④
由③和④组成方程组
解得
所以(a－b－c)2 025＝(3－2－2)2 025＝(－1)2 025＝－1.
22．(6分)如图，某植物x天后的高度为y厘米，直线l反映了y与x之间的关系．根据图象回答下列问题：
第22题图
(1)________天后该植物的高度为10厘米；
(2)若图象对应的一次函数为y＝kx＋b，请求出k和b的值．
解：(1)由图象，得9天后该植物的高度为10厘米，
故答案为：9；
(2)将(0，4)，(12，12)代入y＝kx＋b，得
解得
所以k的值为，b的值为4.
23．(8分)如图，一次函数y＝－x＋b的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与正比例函数y＝2x的图象交于点C(1，a)．
第23题图
(1)求a，b的值；
(2)方程组的解为________；
(3)在y＝2x的图象上是否存在点P，使得△BOP的面积比△AOP的面积大5？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)因为点C(1，a)在y＝2x的图象上，
所以a＝1×2＝2，
所以点C 的坐标为(1，2)，
因为点C(1，2)在y＝－x＋b的图象上，
所以2＝－＋b，
所以b＝；
(2)因为一次函数y＝－x＋b的图象与正比例函数y＝2x的图象交于点C(1，2)，
所以方程组的解为
故答案为：
(3)存在．
理由：因为点P在y＝2x的图象上，
所以设点P 的坐标为(x，2x)，
因为一次函数y＝－x＋，
所以点A的坐标为，点B的坐标为(5，0)，
如图，作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，连接AP，BP，
所以△BOP的面积为OB·PM＝×5×|2x|＝5|x|，
△AOP的面积为OA·PN＝××|x|＝|x|，
第23题图
当5|x|＝|x|＋5时，解得|x|＝，
所以x＝±，
所以点P的坐标为或(－，－)．
24．(10分)[2023·张家界]为拓宽学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量(人/辆) 45 60
租金(元/辆) 200 300
(1)参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
(2)若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？
解：(1)设参加此次研学活动的师生人数是x人，原计划租用y辆45座客车．根据题意，得
解得
答：参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车；
(2)租45座客车：需要租14辆，租金为200×14＝2 800(元)，
租60座客车：600÷60＝10(辆)，所以需租10辆，租金为300×10＝
3 000(元)，
因为2 800＜3 000，
所以租用14辆45座客车更合算．
