第十一章 一元一次不等式与一元一次不等式组
一、选择题(每题3分，共30分)
1．[2024春·莒南县期末]下列说法正确的是( B )
A．若a
C．若－2a>－2b，则a>b D．若a>b，则ac22．[2024·随州模拟]如图，该数轴表示的不等式的解集为( D )
第2题图
A．x>－2 B．x≤3
C．－23．[2024·汕头一模]下列是不等式5x－3<6的一个解的是( A )
A．1 B. C．2 D．3
4．[2023春·蓬莱区期末] 若关于x的不等式mx－n>0的解集为x<2，则关于x的不等式(m＋n)x>m－n的解集是( D )
A．x>－3 B．x>－
C．x<－3 D．x<－
5．[2024·赤峰]解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是( C )
6．[2024·聊城期中]若关于x的不等式组无解，则实数m的取值范围是( B )
A．m≤14 B．m＞14 C．m＜14 D．m≥14
7．一次函数y＝2x＋5中，如果y的取值范围是－3≤y≤11，则x的取值范围是( C )
A．－3≤x≤11 B．－4≤x≤11
C．－4≤x≤3 D．－3≤x≤3
8．[2024春·台川区期末]已知m为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足2 024A．2 022 B．2 023 C．2 024 D．2 025
9．[2024春·普宁市月考]已知关于x的不等式组有两个整数解，则a的取值范围为( B )
A．2≤a≤3 B.C．210．某工厂为了在规定期限内完成2 160个零件的任务，于是安排15名工人每人每天加工a个零件(a为整数)，开工若干天后，其中3人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工2个零件，则不能按期完成这次任务，由此可知a的值至少为( B )
A．10 B．9 C．8 D．7
二、填空题(每题3分，共18分)
11．[2024·广东]关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是x≥3．
第11题图
12．若不等式5x－k≤0的正整数解是1，2，3，则k的取值范围是15≤k＜20．
解析：由不等式5x－k≤0，得x≤，
∵不等式的正整数解是1，2，3，
∴3≤＜4，
解得15≤k＜20.
13．若点P(3－a，a)在第一象限，则关于x的不等式(a－3)x>3－a的解集为x<－1．
14．[呼和浩特中考]若不等式组的解集中的任意x，都能使不等式x－5＞0成立，则a的取值范围是a≤－6．
15．如图，直线y＝kx和y＝ax＋4交于A(1，k)，则不等式kx－6第15题图
16．有3人携带材料乘电梯，这3人的体重共210 kg，每捆材料重20 kg，电梯最大负荷为1 050 kg，则该电梯在此3人乘坐的情况下最多还能搭载42捆材料．
三、解答题(共52分)
17．(4分)[2024·成都]解不等式组：
解：解不等式①，得x≥－2，
解不等式②，得x＜9，
所以不等式组的解集是－2≤x＜9.
18．(6分)[2022·枣庄]在下面给出的三个不等式中，请你任选两个组成一个不等式组，解这个不等式组，并把解集表示在数轴上．
①2x－1＜7； ②5x－2＞3(x＋1)； ③x＋3≥1－x.
第18题图
解：(1)若选择①，②：
解不等式①，得x＜4，
解不等式②，得x＞，
∴不等式组的解集为＜x＜4.
把解集表示在数轴上如图1：
第18题图
(2)若选择①，③：
解不等式①，得x＜4，
解不等式③，得x≥－1，
∴不等式组的解集是－1≤x＜4.
把解集表示在数轴上如图2：
第18题图
(3)若选择②，③：
解不等式②，得x＞，
解不等式③，得x≥－1，
∴不等式组的解集是x＞.
把解集表示在数轴上如图3：
第18题图
19．(6分)[2023春·连山区期末]已知：x，y满足3x－4y＝5.
(1)用含x的代数式表示y，结果为____________；
(2)若y满足y≤x，求x的取值范围；
(3)若x，y满足x＋2y＝a，且x>2y，求a的取值范围．
解：(1)∵3x－4y＝5，
∴－4y＝5－3x，
∴y＝，
故答案为：y＝；
(2)∵y＝，y≤x，
∴≤x，
∴3x－5≤4x，
∴3x－4x≤5，
∴－x≤5，
∴x≥－5，
即x的取值范围是x≥－5；
(3)∵3x－4y＝5，
∴y＝，
∵x＋2y＝a，
∴x＋＝a，
∴x－＝a，①
∵x>2y，
∴x>，
解得x<5，②
由①和②可得x－<10，
∴a<10.
20．(6分)如图所示，已知函数y＝－2x＋3与y＝－x＋m的图象交于点P(n，－2)，且分别与y轴交于点A，B.
(1)求m，n的值；
(2)直接写出不等式－x＋m>－2x＋3的解集．
第20题图
解：(1)∵点P(n，－2)在y＝－2x＋3的图象上，
∴－2＝－2n＋3，
解得n＝，
∴P.
∵y＝－x＋m的图象过点P，
∴－2＝－×＋m，
解得m＝－；
(2)∵函数y＝－2x＋3与y＝－x＋m的图象交于点P，
∴当x>时，－x＋m>－2x＋3，
∴不等式－x＋m>－2x＋3的解集为x>.
21．(7分)已知关于x，y的方程
(1)若该方程组的解都为非负数，求实数a的取值范围；
(2)若该方程组的解满足－3＜x－y＜2，求实数a的取值范围．
解：(1)
①×2，得2x＋2y＝6＋2a，③
③－②，得5y＝6－4a，解得y＝，
将y＝代入①得x＝＋a，
∵该方程组的解都为非负数，
∴x≥0，y≥0，即
解得－1≤a≤；
(2)由(1)可知，x＝＋a，y＝，
∵－3＜x－y＜2，
∴－3＜＋a－＜2，
整理，得－15＜3＋13a＜10，
解得－＜a＜.
22．(7分)[2024·深圳模拟]为改善城市人居环境，某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾．
(1)求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数；
(2)由于垃圾分类要求提高，在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设A型，B型点位共5个，试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？
解：(1)设每个B型点位每天处理生活垃圾x吨，则每个A型点位每天处理生活垃圾(x＋7)吨，
根据题意，得12(x＋7)＋10x＝920，
解得x＝38.
答：每个B型点位每天处理生活垃圾38吨．
(2)设需要增设y个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾，垃圾分类要求提高后，每个A型点位每天处理生活垃圾45－8＝37(吨)；每个B型点位每天处理生活垃圾38－8＝30(吨)．
根据题意，得37(12＋y)＋30(10＋5－y)≥920－10，
解得y≥.
∵y是正整数，
∴ 符合条件的y的最小值为3.
答：至少需要增设3个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾．
23．(8分)[2024·泸州]某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元．
(1)求A，B两种商品每件进价各为多少元？
(2)该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1 770元，则购进A商品的件数最多为多少？
解：(1)设A商品的进价是x元/件，B商品的进价是y元/件，
根据题意，得
解得
答：A商品的进价是100元/件，B商品的进价是60元/件；
(2)设购进m件A商品，则购进(60－m)件B商品，
根据题意，得
解得19≤m≤20，
∴m的最大值为20.
答：购进A商品的件数最多为20件．
24．(8分)[2024·深圳期中][问题提出]：如何解不等式＋>x＋2
预备知识1：同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题．
图1中给出了函数y＝x＋1和y＝2x＋3的图象，观察图象，我们可以得到：当x>－2时，函数y＝2x＋3的图象在y＝x＋1图象上方，由此可知：不等式2x＋3>x＋1的解集为________；
预备知识2：函数y＝＝称为分段函数，其图象如图2所示，实际上对带有绝对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号，比如化简＋时， 可令x－1＝0和x－3＝0, 分别求得x＝1，x＝3 (称1, 3分别是和的零点值), 这样可以就x<1，1≤x<3，x≥3三种情况进行讨论：
(1) 当x<1时，＝－－＝4－2x；
(2) 当1≤x<3时，＝－＝2；
(3) 当x≥3时，＋＝＋＝2x－4，所以＋就可以化简为
预备知识3：函数y＝b(b为常数)称为常数函数，其图象如图3所示．
[知识迁移]
如图4，直线y＝x＋1与直线y＝ax＋b相交于点A(m，3)，则关于x的不等式x＋1≤ax＋b的解集是________．
[问题解决]
结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式>x＋2.
(1)请在平面直角坐标系内作出函数y＝＋的图象；
(2)通过观察图象，便可得到不等式>x＋2的解集，这个不等式的解集为________．
第24题图
解：[问题提出]
∵当x>－2时，函数y＝2x＋3的图象在y＝x＋1的图象上方，
∴不等式2x＋3>x＋1的解集为x>－2；
故答案为：x>－2；
[知识迁移]
∵点A(m，3)在y＝x＋1上，
∴m＋1＝3，
解得m＝2，
∴A(2，3)，
∵当x≤2时，直线y＝ax＋b的图象在y＝x＋1的图象的上方，
∴不等式ax＋b≥x＋1，
即x＋1≤ax＋b的解集为x≤2；
故答案为：x≤2；
[问题解决]
(1)根据题意，得
y＝＋＝
画图如图1：
第24题图
(2)再在同一坐标系内画y＝x＋2的图象如图2：
第24题图
由函数图象，得y＝4－2x与y＝x＋2有交点，
则
解得
y＝2x－4与y＝x＋2有交点，
则
解得
∴y＝＋与y＝x＋2的两个交点坐标分别为，(6，8)；
由函数图象可知，当x<时，y＝|x－1|＋|x－3|的图象在y＝x＋2的上方，
当x>6时，y＝＋的图象在y＝x＋2的上方，
故不等式＋>x＋2的解集为x<或x>6.
故答案为：x<或x>6. 第十一章 一元一次不等式与一元一次不等式组
一、选择题(每题3分，共30分)
1．[2024春·莒南县期末]下列说法正确的是( )
A．若aC．若－2a>－2b，则a>b D．若a>b，则ac22．[2024·随州模拟]如图，该数轴表示的不等式的解集为( )
第2题图
A．x>－2 B．x≤3
C．－23．[2024·汕头一模]下列是不等式5x－3<6的一个解的是( )
A．1 B. C．2 D．3
4．[2023春·蓬莱区期末] 若关于x的不等式mx－n>0的解集为x<2，则关于x的不等式(m＋n)x>m－n的解集是( )
A．x>－3 B．x>－
C．x<－3 D．x<－
5．[2024·赤峰]解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是( )
6．[2024·聊城期中]若关于x的不等式组无解，则实数m的取值范围是( )
A．m≤14 B．m＞14 C．m＜14 D．m≥14
7．一次函数y＝2x＋5中，如果y的取值范围是－3≤y≤11，则x的取值范围是( )
A．－3≤x≤11 B．－4≤x≤11
C．－4≤x≤3 D．－3≤x≤3
8．[2024春·台川区期末]已知m为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足2 024A．2 022 B．2 023 C．2 024 D．2 025
9．[2024春·普宁市月考]已知关于x的不等式组有两个整数解，则a的取值范围为( )
A．2≤a≤3 B.C．210．某工厂为了在规定期限内完成2 160个零件的任务，于是安排15名工人每人每天加工a个零件(a为整数)，开工若干天后，其中3人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工2个零件，则不能按期完成这次任务，由此可知a的值至少为( )
A．10 B．9 C．8 D．7
二、填空题(每题3分，共18分)
11．[2024·广东]关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是 ．
第11题图
12．若不等式5x－k≤0的正整数解是1，2，3，则k的取值范围是 ．
13．若点P(3－a，a)在第一象限，则关于x的不等式(a－3)x>3－a的解集为 ．
14．[呼和浩特中考]若不等式组的解集中的任意x，都能使不等式x－5＞0成立，则a的取值范围是 ．
15．如图，直线y＝kx和y＝ax＋4交于A(1，k)，则不等式kx－6第15题图
16．有3人携带材料乘电梯，这3人的体重共210 kg，每捆材料重20 kg，电梯最大负荷为1 050 kg，则该电梯在此3人乘坐的情况下最多还能搭载 捆材料．
三、解答题(共52分)
17．(4分)[2024·成都]解不等式组：
18．(6分)[2022·枣庄]在下面给出的三个不等式中，请你任选两个组成一个不等式组，解这个不等式组，并把解集表示在数轴上．
①2x－1＜7； ②5x－2＞3(x＋1)； ③x＋3≥1－x.
第18题图
19．(6分)[2023春·连山区期末]已知：x，y满足3x－4y＝5.
(1)用含x的代数式表示y，结果为____________；
(2)若y满足y≤x，求x的取值范围；
(3)若x，y满足x＋2y＝a，且x>2y，求a的取值范围．
20．(6分)如图所示，已知函数y＝－2x＋3与y＝－x＋m的图象交于点P(n，－2)，且分别与y轴交于点A，B.
(1)求m，n的值；
(2)直接写出不等式－x＋m>－2x＋3的解集．
第20题图
21．(7分)已知关于x，y的方程
(1)若该方程组的解都为非负数，求实数a的取值范围；
(2)若该方程组的解满足－3＜x－y＜2，求实数a的取值范围．
22．(7分)[2024·深圳模拟]为改善城市人居环境，某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾．
(1)求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数；
(2)由于垃圾分类要求提高，在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设A型，B型点位共5个，试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？
23．(8分)[2024·泸州]某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元．
(1)求A，B两种商品每件进价各为多少元？
(2)该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1 770元，则购进A商品的件数最多为多少？
24．(8分)[2024·深圳期中][问题提出]：如何解不等式＋>x＋2
预备知识1：同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题．
图1中给出了函数y＝x＋1和y＝2x＋3的图象，观察图象，我们可以得到：当x>－2时，函数y＝2x＋3的图象在y＝x＋1图象上方，由此可知：不等式2x＋3>x＋1的解集为________；
预备知识2：函数y＝＝称为分段函数，其图象如图2所示，实际上对带有绝对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号，比如化简＋时， 可令x－1＝0和x－3＝0, 分别求得x＝1，x＝3 (称1, 3分别是和的零点值), 这样可以就x<1，1≤x<3，x≥3三种情况进行讨论：
(1) 当x<1时，＝－－＝4－2x；
(2) 当1≤x<3时，＝－＝2；
(3) 当x≥3时，＋＝＋＝2x－4，所以＋就可以化简为
预备知识3：函数y＝b(b为常数)称为常数函数，其图象如图3所示．
[知识迁移]
如图4，直线y＝x＋1与直线y＝ax＋b相交于点A(m，3)，则关于x的不等式x＋1≤ax＋b的解集是________．
[问题解决]
结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式>x＋2.
(1)请在平面直角坐标系内作出函数y＝＋的图象；
(2)通过观察图象，便可得到不等式>x＋2的解集，这个不等式的解集为________．
第24题图