1．生物小组的同学想用18米长的篱笆围成一个等腰三角形区域作为苗圃，如果苗圃的一边长是4米，那么苗圃的另外两边长分别是( C )
A．4米，4米
B．4米，10米
C．7米，7米
D．7米，7米，或4米，10米
2．[2024春·衡南县期中]下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是( B )
A．a＝3，b＝3，c＝4
B．a∶b∶c＝2∶3∶4
C．∠B＝50°，∠C＝80°
D．∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2
3．[2023·内蒙古]如图，直线a∥b，直线l与直线a，b分别相交于点A，B，点C在直线b上，且CA＝CB.若∠1＝32°，则∠2的度数为( C )
第3题图
A．32° B．58° C．74° D．75°
4．[2022·梧州]如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是( C )
第4题图
A．∠ADC＝90° B．DE＝DF
C．AD＝BC D．BD＝CD
5．[2023春·茂名期中]如图，BM是△ABC的角平分线，AB＝AC，∠A＝36°，则图中有________等腰三角形( C )
第5题图
A．1个 B．2个
C．3个 D．无法确定
6．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是( C )
第6题图
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
7．[宁夏中考] 如图，在△ABC中，AC＝BC，点D和E分别在AB和AC上，且AD＝AE.连接DE，过点A的直线GH与DE平行，若∠C＝40°，则∠GAD的度数为( C )
第7题图
A．40° B．45° C．55° D．70°
8．如图，OC＝CD＝DE，若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是( C )
第8题图
A．70° B．75° C．80° D．85°
9．[2022·湖州]如图，已知在锐角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连接EB，EC.若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是( B )
第9题图
A．12 B．9 C．6 D．3
10．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F，若AB＝5，AC＝4，则△AEF的周长是( B )
第10题图
A．8 B．9 C．10 D．11
11．[2024·绥化]如图，AB∥CD，∠C＝33°，OC＝OE.则∠A＝66°.
第11题图
12．[临沂中考]如图，已知点P是射线ON上一动点(即P可在射线ON上运动)，∠AON＝45°，当∠A＝45°或67.5°或90°时，△AOP为等腰三角形．
第12题图
13. [2024·内江]如图，在△ABC中，∠DCE＝40°，AE＝AC，BC＝BD，则∠ACB的度数为100°．
第13题图
14．[2024·杭州期中]如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，E，D分别是AB，AC上的点，BE＝3，CD＝1，且BD＝CE，则BD＝．
第14题图
15．如图，已知AB＝A1B，A1C1＝A1A2，A2C2＝A2A3，A3C3＝A3A4，…，以此类推，若∠B＝20°，则∠C2 025A2 025A＝．
第15题图
解析：∵AB＝A1B，∠B＝20°，
∴∠A＝∠C1A1A＝(180°－∠B)＝80°＝，
∴∠A1C1A2＋∠C2A2A＝80°，
∵A1C1＝A1A2，
∴∠A1C1A2＝∠C2A2A＝40°＝×80°＝，
∴∠A2C2A3＋∠C3A3A＝40°，
∵A2C2＝A2A3，
∴∠A2C2A3＝∠C3A3A＝20°＝××80°＝，
……
∴∠C2 025A2 025A＝.
16．[2024·常州]如图，B，E，C，F是直线l上的四点，AC，DE相交于点G，AB＝DF，AC＝DE，BC＝EF.
(1)求证：△GEC是等腰三角形；
(2)连接AD，则猜想AD与l的位置关系是________．
第16题图
解：(1)证明：在△ABC和△DFE中，
∴△ABC≌△DFE(SSS)，
∴∠ACB＝∠DEF，
∴EG＝CG，
∴△GEC是等腰三角形；
(2)∵AC＝DE，EG＝CG，
第16题图
∴AC－CG＝DE－EG，
∴AG＝DG，
∴∠GAD＝∠GDA＝(180°－∠AGD),
∵∠ACE＝∠DEF＝(180°－∠CGE)，
∵∠AGD＝∠EGC，
∴∠CAD＝∠ACB，
∴AD∥l.
故答案为：AD∥l.
17．[淄博中考改编]如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E.
(1)求证：△BED为等腰三角形；
(2)若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠BDE的度数．
第17题图
解：(1)证明：在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，
∴∠ABD＝∠CBD.
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD.
∴∠EBD＝∠EDB.
∴BE＝DE.
∴△BED为等腰三角形；
(2)∵∠A＝80°，∠C＝40°，
∴∠ABC＝60°.
∵∠ABC的平分线交AC于点D，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝30°.
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD＝30°.
故∠BDE的度数为30°.
18．[2024·济南期末]如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D，E分别为AB，AC边上点，AD＝AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M.以下四个结论：①△ADC≌△AEB ②∠AEG＝∠CDB
③△EGM是等腰三角形 ④BG＝AF＋FG.其中恒成立的结论有①②③④(填序号)．
第18题图
解析：等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，
∴AC＝AB，∠ACB＝∠ABC＝45°，
在△ADC和△AEB中，
∴△ADC≌△AEB(SAS)，故①正确；
∵ADC≌△AEB，
∴∠1＝∠3，
∵∠1＋∠CDB＝∠3＋∠AEG＝180°，
∴∠AEG＝∠CDB，故②正确；
∵∠BAC＝90°，
∴∠3＋∠2＝90°，∠1＋∠4＝90°，
∵∠1＝∠3，
∴∠4＋∠3＝90°，
∵FG⊥CD，
∴∠CMF＋∠4＝90°，
∴∠3＝∠CMF，
∴∠GEM＝∠GME，
∴EG＝MG，△EGM为等腰三角形，故③正确；
过点B作AB的垂线，交GF的延长线于点N，
第18题图
∵BN⊥AB，∠ABC＝45°，
∴∠FBN＝45°＝∠FBA.
∵FG⊥CD，
∴∠BFN＝∠CFM＝90°－∠DCB，
∵AF⊥BE，
∴∠BFA＝90°－∠EBC，∠5＋∠2＝90°，
由①可得∠DCB＝∠EBC，
∴∠BFN＝∠BFA，
在△BFN和△BFA中，
∴△BFN≌△BFA(ASA)，
∴NF＝AF，∠N＝∠5，
又∵∠GBN＋∠2＝90°，
∴∠GBN＝∠5＝∠N，
∴BG＝NG，又∵NG＝NF＋FG，
∴BG＝AF＋FG，故④正确．1．用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”应假设( )
A．三个外角都为钝角
B．三个外角中两个为钝角
C．三个内角都为钝角
D．三个外角中只有一个或没有钝角
2．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小颖同学设计一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝18 cm(O为衣架的固定点) ；如图2，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，则此时A，B两点之间的距离是( )
第2题图
A．9 cm B．9 cm
C．18 cm D．18 cm
3．如图有一个等腰三角形，它的顶角为120°，腰长为12 m，则底边上的高
是( )
第3题图
A．4 m B．6 m C．10 m D．12 m
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是( )
第4题图
A．1.8 B．2.2 C．3.5 D．3.8
5．[2024·泰安]如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是( )
第5题图
A．45° B．39° C．29° D．21°
6．[2024春·东城区期中]如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE＝1.5，则AB的长为( )
第6题图
A．3 B．4.5 C．6 D．7.5
7．[2023·金昌]如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC＝( )
第7题图
A．20° B．25° C．30° D．35°
8．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝ ．
第8题图
9．[台州中考]如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是 ．
第9题图
10．反证法是数学中经常运用的一类“间接证明法”．用反证法 “已知在△ABC中，AB＝AC, 求证：∠B＜90°”时，第一步应假设 ．
11．如图，木工师傅从边长为90 cm的等边三角形木板上锯出一个正六边形木板，那么正六边形木板的边长为 cm.
第11题图
12．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD的长是 ．
第12题图
13．在△ABC中，AB＝AC＝10 cm，BD是高，且∠ABD＝30°，则CD＝ _ _ ．
14．[2024·新疆]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8.若点D在直线AB上(不与点A，B重合)，且∠BCD＝30°，则AD的长为 ．
第14题图
15．[2024春·埇桥区校级期末]如图，点D为等边△ABC内部一点，且∠ABD＝∠BCD，则∠BDC的度数为 ．
第15题图
16．如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点， DE⊥AB于点E, DF⊥AC于点F.若BC＝4，则BE＋CF＝ ．
第16题图
17．[2024春·滕州市期中]如图，在等边△ABC中， AC＝ 12 cm，点M以2 cm/s的速度从点B出发向点A运动(不与点A重合)，点N以3 cm/s的速度从点C出发向点B运动(不与点B重合)，设点M，N同时运动，运动时间为t s．在点M，N运动过程中，经过几秒时△BMN为等边三角形？
第17题图
18．如图，在△ABC中，BD是高，点D是AC边的中点，点E在BC边的延长线上， ED的延长线交AB于点F，且EF⊥AB，若∠E＝30°.
(1)求证：△ABC是等边三角形；
(2)请判断线段AD与CE的大小关系，并说明理由．
第18题图
19．如图，在长方形ABCD中，BC＝2AB，点P为边AD上的一个动点，以BP为边向右作等边△BPP′，连接CP′，当点P′落在边BC上时，∠PP′C的度数为 ；当线段CP′的长度最小时，∠PP′C的度数为 .
第19题图1．生物小组的同学想用18米长的篱笆围成一个等腰三角形区域作为苗圃，如果苗圃的一边长是4米，那么苗圃的另外两边长分别是( )
A．4米，4米
B．4米，10米
C．7米，7米
D．7米，7米，或4米，10米
2．[2024春·衡南县期中]下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是( )
A．a＝3，b＝3，c＝4
B．a∶b∶c＝2∶3∶4
C．∠B＝50°，∠C＝80°
D．∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2
3．[2023·内蒙古]如图，直线a∥b，直线l与直线a，b分别相交于点A，B，点C在直线b上，且CA＝CB.若∠1＝32°，则∠2的度数为( )
第3题图
A．32° B．58° C．74° D．75°
4．[2022·梧州]如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是( )
第4题图
A．∠ADC＝90° B．DE＝DF
C．AD＝BC D．BD＝CD
5．[2023春·茂名期中]如图，BM是△ABC的角平分线，AB＝AC，∠A＝36°，则图中有________等腰三角形( )
第5题图
A．1个 B．2个
C．3个 D．无法确定
6．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是( )
第6题图
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
7．[宁夏中考] 如图，在△ABC中，AC＝BC，点D和E分别在AB和AC上，且AD＝AE.连接DE，过点A的直线GH与DE平行，若∠C＝40°，则∠GAD的度数为( )
第7题图
A．40° B．45° C．55° D．70°
8．如图，OC＝CD＝DE，若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是( )
第8题图
A．70° B．75° C．80° D．85°
9．[2022·湖州]如图，已知在锐角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连接EB，EC.若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是( )
第9题图
A．12 B．9 C．6 D．3
10．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F，若AB＝5，AC＝4，则△AEF的周长是( )
第10题图
A．8 B．9 C．10 D．11
11．[2024·绥化]如图，AB∥CD，∠C＝33°，OC＝OE.则∠A＝ °.
第11题图
12．[临沂中考]如图，已知点P是射线ON上一动点(即P可在射线ON上运动)，∠AON＝45°，当∠A＝ 时，△AOP为等腰三角形．
第12题图
13. [2024·内江]如图，在△ABC中，∠DCE＝40°，AE＝AC，BC＝BD，则∠ACB的度数为 ．
第13题图
14．[2024·杭州期中]如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，E，D分别是AB，AC上的点，BE＝3，CD＝1，且BD＝CE，则BD＝ ．
第14题图
15．如图，已知AB＝A1B，A1C1＝A1A2，A2C2＝A2A3，A3C3＝A3A4，…，以此类推，若∠B＝20°，则∠C2 025A2 025A＝ ．
第15题图
16．[2024·常州]如图，B，E，C，F是直线l上的四点，AC，DE相交于点G，AB＝DF，AC＝DE，BC＝EF.
(1)求证：△GEC是等腰三角形；
(2)连接AD，则猜想AD与l的位置关系是________．
第16题图
17．[淄博中考改编]如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E.
(1)求证：△BED为等腰三角形；
(2)若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠BDE的度数．
第17题图
18．[2024·济南期末]如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D，E分别为AB，AC边上点，AD＝AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M.以下四个结论：①△ADC≌△AEB ②∠AEG＝∠CDB
③△EGM是等腰三角形 ④BG＝AF＋FG.其中恒成立的结论有 (填序号)．
第18题图1．用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”应假设( D )
A．三个外角都为钝角
B．三个外角中两个为钝角
C．三个内角都为钝角
D．三个外角中只有一个或没有钝角
2．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小颖同学设计一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝18 cm(O为衣架的固定点) ；如图2，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，则此时A，B两点之间的距离是( C )
第2题图
A．9 cm B．9 cm
C．18 cm D．18 cm
3．如图有一个等腰三角形，它的顶角为120°，腰长为12 m，则底边上的高
是( B )
第3题图
A．4 m B．6 m C．10 m D．12 m
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是( A )
第4题图
A．1.8 B．2.2 C．3.5 D．3.8
5．[2024·泰安]如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是( B )
第5题图
A．45° B．39° C．29° D．21°
6．[2024春·东城区期中]如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE＝1.5，则AB的长为( C )
第6题图
A．3 B．4.5 C．6 D．7.5
7．[2023·金昌]如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC＝( C )
第7题图
A．20° B．25° C．30° D．35°
8．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝15°．
第8题图
9．[台州中考]如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是6．
第9题图
10．反证法是数学中经常运用的一类“间接证明法”．用反证法证明：“已知在△ABC中，AB＝AC, 求证：∠B＜90°”时，第一步应假设∠B≥90°．
11．如图，木工师傅从边长为90 cm的等边三角形木板上锯出一个正六边形木板，那么正六边形木板的边长为30cm.
第11题图
12．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD的长是2．
第12题图
13．在△ABC中，AB＝AC＝10 cm，BD是高，且∠ABD＝30°，则CD＝5_cm或15_cm．
14．[2024·新疆]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8.若点D在直线AB上(不与点A，B重合)，且∠BCD＝30°，则AD的长为6或12．
第14题图
15．[2024春·埇桥区校级期末]如图，点D为等边△ABC内部一点，且∠ABD＝∠BCD，则∠BDC的度数为120°．
第15题图
16．如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点， DE⊥AB于点E, DF⊥AC于点F.若BC＝4，则BE＋CF＝2．
第16题图
17．[2024春·滕州市期中]如图，在等边△ABC中， AC＝ 12 cm，点M以2 cm/s的速度从点B出发向点A运动(不与点A重合)，点N以3 cm/s的速度从点C出发向点B运动(不与点B重合)，设点M，N同时运动，运动时间为t s．在点M，N运动过程中，经过几秒时△BMN为等边三角形？
第17题图
解：由题意，得BM＝2t，BN＝12－3t.
则当BM＝BN时，△BMN是等边三角形．
∴2t＝12－3t.
解得t＝.
∴经过s时，△BMN为等边三角形．
18．如图，在△ABC中，BD是高，点D是AC边的中点，点E在BC边的延长线上， ED的延长线交AB于点F，且EF⊥AB，若∠E＝30°.
(1)求证：△ABC是等边三角形；
(2)请判断线段AD与CE的大小关系，并说明理由．
第18题图
解：(1)证明：∵BD⊥AC，点D是AC边的中点，
∴BD垂直平分AC，
∴AB＝CB，
∵EF⊥AB，
∴∠ABC＋∠E＝90°，
∵∠E＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形；
(2)AD＝CE，理由：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵∠ACB＝∠E＋∠CDE，∠E＝30°，
∴∠CDE＝30°＝∠E，
∴CD＝CE，
∵点D是AC边的中点，
∴AD＝CD，
∴AD＝CE.
19．如图，在长方形ABCD中，BC＝2AB，点P为边AD上的一个动点，以BP为边向右作等边△BPP′，连接CP′，当点P′落在边BC上时，∠PP′C的度数为120°；当线段CP′的长度最小时，∠PP′C的度数为75°.
第19题图
解析：如图1，以AB为边向右作等边△ABE，连接EP′.
第19题图
∵△BPP′是等边三角形，
∴∠ABE＝∠PBP′＝60°，BP＝BP′，BA＝BE，
∴∠ABP＝∠EBP′，
在△ABP和△EBP′中，
∴△ABP≌△EBP′(SAS)，
∴∠BAP＝∠BEP′＝90°，
∴点P′在射线EP′上运动，
如图2中，设EP′交BC于点O，
第19题图
当点P′落在BC上时，点P′与O重合，此时∠PP′C＝180°－60°＝120°，
当CP′⊥EP′时，CP′的长最小，此时∠EBO＝∠OCP′＝30°，
∴EO＝OB，OP′＝OC，
∴EP′＝EO＋OP′＝OB＋OC＝BC，
∵BC＝2AB，
∴EP′＝AB＝EB，
∴∠EBP′＝∠EP′B＝45°，
∴∠BP′C＝45°＋90°＝135°，
∴∠PP′C＝∠BP′C－∠BP′P＝135°－60°＝75°.
故答案为：120°，75°.
