1．[2023春·武都区期末]如图，某公园的一块草坪旁边有一条直角小路，公园管理处为了方便群众，沿AC修了一条近路，已知AB＝40米，BC＝30米，则走这条近路AC可以少走________米路( )
第1题图
A．20 B．30 C．40 D．50
2．[2023春·益阳期末]如图，在四边形ABCD中，∠D＝∠ACB＝90°，CD＝12，AD＝16，BC＝15，则AB＝( )
第2题图
A．20 B．25 C．35 D．30
3．一个直角三角形的斜边比一条直角边大2，另一条直角边长为6，则斜边长为( )
A．4 B．8 C．10 D．12
4．已知△ABC是直角三角形，如果其中两边的长为6，8，则第三边的长等于( )
A．10 B．2
C．10或2 D．以上都不正确
5．[2022·上海]下列说法正确的是( )
A．命题一定有逆命题
B．所有的定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题
D．假命题的逆命题一定是假命题
6．已知下列命题：
①若＞1，则a＞b；
②若a＋b＝0，则|a|＝|b|；
③等边三角形的三个内角都相等；
④底角相等的两个等腰三角形全等．
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，则正方形ABDE的面积为( )
第7题图
A．81 B．144
C．225 D．169
8．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4 m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2 m，则小巷的宽度为( )
第8题图
A．0.7 m B．1.5 m
C．2.2 m D．2.4 m
9．[2024·南通]“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n.若小正方形面积为5，2＝21，则大正方形面积为( )
第9题图
A．12 B．13 C．14 D．15
10．[2024·巴中]“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即AC＝5，DC＝1，BD＝BA，则BC＝( )
第10题图
A．8 B．10 C．12 D．13
11．[绥化中考]在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB－AC＝2，BC＝8，则AB的长是 ．
12．[2024·宿迁]命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是 ．
13．下列命题：①等腰三角形是轴对称图形②同角的补角相等 ③三边对应相等的两个三角形全等 ④对顶角相等．其中逆命题不成立的是 (填序号)．
14．[2024·常州]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，D是边AC的中点，E是边BC上一点，连接BD，DE.将△CDE沿DE翻折，点C落在BD上的点F处，则CE＝ ．
第14题图
15．[2023·重庆]如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，若AB＝5，BC＝6，则AD的长度为 ．
第15题图
16．[2024·大庆]如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 .
第16题图
17．[株洲中考]某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图，水平线l1∥l2，点A，B分别在l1，l2上，斜坡AB的长为18 m，过点B作BC⊥l1于点C，且线段AC的长为 2 m.
第17题图
(1)求该斜坡的坡高BC；
(2)为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡角∠α为60°，过点M作MN⊥l1于点N，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？
18．如图，长方形ABCD中，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝5，AB＝CD＝3.点E为射线DC上的一个动点(不与点D重合)，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△ABD′为直角三角形时，DE的长为 ．
第18题图1．[2024春·金台区期中]如图，已知在△ABO和△DCO中，AB⊥BO, CD⊥CO, AO＝DO，若用“HL”判定Rt△ABO≌Rt△DCO，则需要添加的条件是( )
第1题图
A．AB＝DC B．∠A＝∠D
C．∠AOB＝∠DOC D．OB＝OD
2．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝( )
第2题图
A．28° B．59° C．60° D．62°
3．如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是( )
第3题图
A．AC＝A′C′，BC＝B′C′
B．∠A＝∠A′，AB＝A′B′
C．AC＝A′C′，AB＝A′B′
D．∠B＝∠B′，BC＝B′C′
4．[2024春·厦门期中]如图所示，在四边形ABCD中，DE⊥BC，BD平分∠ABC，AD＝CD，BE＝4，DE＝3，CE＝1，则△ABD的面积是( )
第4题图
A．4.5 B．6 C．9 D．12
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED⊥AB于点D，BD＝BC，若AC＝6 cm，则AE＋DE等于( )
第5题图
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．7 cm
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是( )
A. B. C. D.
7．[2022·天津]如图，△OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB＝6，OA＝OB＝5，则点A的坐标是( )
第7题图
A．(5，4) B．(3，4)
C．(5，3) D．(4，3)
8．[2024秋·新吴区月考]如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△ABD.添加的条件是： (写一个即可)
第8题图
9．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AE＝AC，DE⊥AB交AB于点E，若∠B＝40°，则∠ADE＝ ．
第9题图
10．如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D在直线MN上，点B，C在直线PQ上，点E在AB上，AD＋BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝ ．
第10题图
11．如图，D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD＝AB，过D作BC的垂线，交AC于E，若AE＝12 cm，则DE的长为 cm.
第11题图
12．如图，AD是△ABC的高，AD＝BD＝8，E是AD上的一点，BE＝AC，AE＝2，BE的延长线交AC于点F，则CD的长为 ．
第12题图
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形．
第13题图
14．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F.试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性．
第14题图
15．如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2.
(1)求证：Rt△ADE≌Rt△BEC；
(2)△CDE是直角三角形吗？请说明理由．
第15题图
16．如图，已知四边形ABCD中，∠ACB＝54°，∠BAC＝64°，对角线BD平分∠ABC，∠BCD＋∠DCA＝180°，那么∠ADC为 度．
第16题图1．[2024春·金台区期中]如图，已知在△ABO和△DCO中，AB⊥BO, CD⊥CO, AO＝DO，若用“HL”判定Rt△ABO≌Rt△DCO，则需要添加的条件是( A )
第1题图
A．AB＝DC B．∠A＝∠D
C．∠AOB＝∠DOC D．OB＝OD
2．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝( B )
第2题图
A．28° B．59° C．60° D．62°
3．如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是( C )
第3题图
A．AC＝A′C′，BC＝B′C′
B．∠A＝∠A′，AB＝A′B′
C．AC＝A′C′，AB＝A′B′
D．∠B＝∠B′，BC＝B′C′
4．[2024春·厦门期中]如图所示，在四边形ABCD中，DE⊥BC，BD平分∠ABC，AD＝CD，BE＝4，DE＝3，CE＝1，则△ABD的面积是( A )
第4题图
A．4.5 B．6 C．9 D．12
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED⊥AB于点D，BD＝BC，若AC＝6 cm，则AE＋DE等于( C )
第5题图
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．7 cm
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是( A )
A. B. C. D.
7．[2022·天津]如图，△OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB＝6，OA＝OB＝5，则点A的坐标是( D )
第7题图
A．(5，4) B．(3，4)
C．(5，3) D．(4，3)
8．[2024秋·新吴区月考]如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△ABD.添加的条件是：AC＝AD(答案不唯一)．(写一个即可)
第8题图
9．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AE＝AC，DE⊥AB交AB于点E，若∠B＝40°，则∠ADE＝65°．
第9题图
10．如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D在直线MN上，点B，C在直线PQ上，点E在AB上，AD＋BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝7．
第10题图
11．如图，D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD＝AB，过D作BC的垂线，交AC于E，若AE＝12 cm，则DE的长为12cm.
第11题图
12．如图，AD是△ABC的高，AD＝BD＝8，E是AD上的一点，BE＝AC，AE＝2，BE的延长线交AC于点F，则CD的长为6．
第12题图
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形．
第13题图
证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，
∴∠AED＝∠CFD＝90°，
∵D为AC的中点，
∴AD＝CD，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)，
∴∠A＝∠C，
∴BA＝BC，
∵AB＝AC，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形．
14．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F.试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性．
第14题图
解：猜想：BF⊥AE.
理由：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD＝90°.
又∵BC＝AC，BD＝AE，
∴Rt△BDC≌Rt△AEC(HL)．
∴∠CBD＝∠CAE.
又∵∠CAE＋∠E＝90°.
∴∠EBF＋∠E＝90°.
∴∠BFE＝90°，即BF⊥AE.
15．如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2.
(1)求证：Rt△ADE≌Rt△BEC；
(2)△CDE是直角三角形吗？请说明理由．
第15题图
解：(1)证明：∵∠1＝∠2，
∴ED＝CE，
∵∠A＝∠B＝90°，
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL)；
(2)△CDE是直角三角形，理由：
由(1)得Rt△ADE≌Rt△BEC，
∴∠AED＝∠BCE，
∵∠B＝90°，
∴∠BCE＋∠CEB＝90°，
∴∠AED＋∠CEB＝90°，
∴∠DEC＝180°－90°＝90°，
∴△DEC为直角三角形．
16．如图，已知四边形ABCD中，∠ACB＝54°，∠BAC＝64°，对角线BD平分∠ABC，∠BCD＋∠DCA＝180°，那么∠ADC为59度．
第16题图
解析：延长BA，BC，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，如图，
第16题图
∴∠AED＝∠DFC＝90°，
∵对角线BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵BD＝BD，
∴△BDE≌△BDF(AAS)，
∴DE＝DF，
∵∠BCD＋∠DCA＝180°，∠BCD＋∠DCF＝180°，
∴∠DCF＝∠DCA，
∴CD平分∠GCF，
过点D作DG⊥AC，
∴DG＝DF，
∵DC＝DC，
∴Rt△DGC≌Rt△DFC(HL)，
∴∠DCG＝∠DCF，
∵∠ACB＝54°，∠ACB＋∠ACF＝180°，
∴∠ACD＝∠ACF＝63°，
∵DE＝DF，DG＝DF，
∴DE＝DG，
∵DA＝DA，
∴Rt△DEA≌Rt△DGA(HL)，
∴∠DAE＝∠DAG，
∵∠BAC＝64°，∠BAC＋∠EAG＝180°，
∴∠DAG＝∠EAG＝58°，
∴∠ADC＝180°－∠DAG－∠ACD＝59°.1．[2023春·武都区期末]如图，某公园的一块草坪旁边有一条直角小路，公园管理处为了方便群众，沿AC修了一条近路，已知AB＝40米，BC＝30米，则走这条近路AC可以少走________米路( A )
第1题图
A．20 B．30 C．40 D．50
2．[2023春·益阳期末]如图，在四边形ABCD中，∠D＝∠ACB＝90°，CD＝12，AD＝16，BC＝15，则AB＝( B )
第2题图
A．20 B．25 C．35 D．30
3．一个直角三角形的斜边比一条直角边大2，另一条直角边长为6，则斜边长为( C )
A．4 B．8 C．10 D．12
4．已知△ABC是直角三角形，如果其中两边的长为6，8，则第三边的长等于( C )
A．10 B．2
C．10或2 D．以上都不正确
5．[2022·上海]下列说法正确的是( A )
A．命题一定有逆命题
B．所有的定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题
D．假命题的逆命题一定是假命题
6．已知下列命题：
①若＞1，则a＞b；
②若a＋b＝0，则|a|＝|b|；
③等边三角形的三个内角都相等；
④底角相等的两个等腰三角形全等．
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是( A )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，则正方形ABDE的面积为( C )
第7题图
A．81 B．144
C．225 D．169
8．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4 m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2 m，则小巷的宽度为( C )
第8题图
A．0.7 m B．1.5 m
C．2.2 m D．2.4 m
9．[2024·南通]“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n.若小正方形面积为5，2＝21，则大正方形面积为( B )
第9题图
A．12 B．13 C．14 D．15
10．[2024·巴中]“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即AC＝5，DC＝1，BD＝BA，则BC＝( C )
第10题图
A．8 B．10 C．12 D．13
11．[绥化中考]在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB－AC＝2，BC＝8，则AB的长是17．
12．[2024·宿迁]命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是同位角相等，两直线平行．
13．下列命题：①等腰三角形是轴对称图形②同角的补角相等 ③三边对应相等的两个三角形全等 ④对顶角相等．其中逆命题不成立的是①②④(填序号)．
14．[2024·常州]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，D是边AC的中点，E是边BC上一点，连接BD，DE.将△CDE沿DE翻折，点C落在BD上的点F处，则CE＝．
第14题图
15．[2023·重庆]如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，若AB＝5，BC＝6，则AD的长度为4．
第15题图
解析：∵AB＝AC，AD是BC边的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝5，BC＝6，
∴BD＝CD＝3，
在Rt△ABD中，根据勾股定理，得
AD＝＝＝4.
16．[2024·大庆]如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为48.
第16题图
17．[株洲中考]某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图，水平线l1∥l2，点A，B分别在l1，l2上，斜坡AB的长为18 m，过点B作BC⊥l1于点C，且线段AC的长为 2 m.
第17题图
(1)求该斜坡的坡高BC；
(2)为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡角∠α为60°，过点M作MN⊥l1于点N，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？
解：(1)在Rt△ABC中，
由勾股定理，得 AC2＋BC2＝AB2，
∴BC＝＝＝10 (m)．
∴该斜坡的坡高BC为10 m；
(2)∵∠α＝60°，
∴∠AMN＝30°.
∴AM＝2AN.
∵在Rt△AMN中，AN2＋MN2＝AM2，
∴AN2＋300＝4AN2.
∴AN＝10(m)．
∴AM＝20(m)．
∴AM－AB＝20－18＝2(m)．
综上所述，长度增加了2 m.
18．如图，长方形ABCD中，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝5，AB＝CD＝3.点E为射线DC上的一个动点(不与点D重合)，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△ABD′为直角三角形时，DE的长为或15．
第18题图
解析：①当点E在线段CD上，且∠ABD′＝90°时，如图1所示：
第18题图
此时点D′在BC上，设DE＝D′E＝x，则CE＝3－x，
由折叠可知AD′＝AD＝5，AB＝3，
∴根据勾股定理得BD′＝＝4，
∴CD′＝5－4＝1，
在Rt△CD′E中，根据勾股定理得
12＋(3－x)2＝x2，
解得x＝，
此时DE的长为；
②当点E在CD的延长线上，且∠ABD′＝90°时，如图2所示：
第18题图
此时点D′在CB的延长线上，设DE＝D′E＝x，则CE＝x－3，
由折叠可知AD′＝AD＝BC＝5，AB＝3，
根据勾股定理，得BD′＝＝4，
∴CD′＝5＋4＝9，
在Rt△CD′E中，根据勾股定理，得
92＋(x－3)2＝x2，
解得x＝15，
此时DE的长为15；
综上所述，DE的长为或15.
