1．[2024·凉山州]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50 cm，则AC＋BC＝( )
第1题图
A．25 cm B．45 cm
C．50 cm D．55 cm
2．[2022·黔西南州]在△ABC中，用尺规作图，分别以点A和C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N.作直线MN交AC于点D，交BC于点E，连接AE.则下列结论不一定正确的是( )
第2题图
A．AB＝AE B．AD＝CD
C．AE＝CE D．∠ADE＝∠CDE
3．如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，若DE，FG分别垂直平分AB，BC，那么∠EBF为( )
第3题图
A．45° B．30° C．60° D．40°
4．如图，已知线段a，h，作等腰△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC边上的高AD＝h.张红的作法是：①作线段BC＝a；②作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；③在直线MN上截取线段h；④连接AB，AC，则△ABC为所求的等腰三角形．上述作法的四个步骤中，你认为有错误的一步是( )
第4题图
A．① B．② C．③ D．④
5．[2024·眉山]如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，分别以点A，点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F作直线交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长为( )
第5题图
A．7 B．8 C．10 D．12
6．三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的( )
A．三条角平分线的交点
B．三边中线的交点
C．三边上高所在直线的交点
D．三边的垂直平分线的交点
7．如图，D是线段AC，AB的垂直平分线的交点，若∠ACD＝30°，∠BAD＝
50°，则∠BCD的大小是( )
第7题图
A．10° B．20° C．30° D．40°
8．如图，△ABC中，D点在BC上，且BD的垂直平分线与AB相交于E点，CD的垂直平分线与AC相交于F点，已知△ABC的三个内角皆不相等，根据图中标示的角，判断下列叙述正确的是( )
A．∠1＝∠3，∠2＝∠4
B．∠1＝∠3，∠2≠∠4
C．∠1≠∠3，∠2＝∠4
D．∠1≠∠3，∠2≠∠4
9．[2023·吉林]如图，在△ABC中，AB＝AC.分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧交于点D，作直线AD交BC于点E.若∠BAC＝110°，则∠BAE的大小为 度．
第9题图
10．[2024·镇江]如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD.若AC＝8，CD＝5，则BD＝ ．
第10题图
11．[2024·日照一模]在 △ABC中，∠BAC＝60°，AD平分 ∠BAC，BD⊥AD，F是AD上一动点，取AB中点E，连接EF，BF，若 BD＝1，则△BEF周长的最小值是 ．
第11题图
12．[2023春·淄博期末]如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC的延长线于点E，交AC于点F，若∠EBF＝12°，则∠E＝ 度．
第12题图
13．[2022·荆州]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接CD.若CE＝AE＝1，则CD＝ ．
第13题图
14．[2022·成都]如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交边AB于点E.若AC＝5，BE＝4，∠B＝45°，则AB的长为 ．
第14题图
15．[2022·达州]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数为 ．
第15题图
16．[2022·青海]如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是 ．
第16题图
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的中垂线DE交BC于D点，E为垂足，若BD＝8，则AC＝ ．
第17题图
18．[2022·丹东]如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝8，分别以A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，直线PQ与AC交于点D，则AD的长为 ．
第18题图
19．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，则∠B等于 ．(提示，有如图两种情况)
第19题图
20．如图，A，B两村在一条小河的同一侧，要在河边建一自来水厂向两村供水．若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？(保留作图痕迹)
第20题图
21．[2024·广西]如图，在△ABC中，∠A＝45°，AC＞BC.
(1)尺规作图：作线段AB的垂直平分线l，分别交AB，AC于点D，E；(要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母)
(2)在(1)所作的图中，连接BE，若AB＝8，求BE的长．
第21题图
22．如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE，连接BE，CD，交于点F.
(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
(2)求证：过点A，F的直线垂直平分线段BC.
第22题图
23．[2024·重庆期中]如图所示，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，点D，E在△ABC内，且点D在BC的垂直平分线上，连接BD，EC，ED，若DE＝4，∠ECB＝∠DEC＝60°，则CE的长度是( )
第23题图
A．5 B．6 C．7 D．81．[2024·凉山州]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50 cm，则AC＋BC＝( C )
第1题图
A．25 cm B．45 cm
C．50 cm D．55 cm
2．[2022·黔西南州]在△ABC中，用尺规作图，分别以点A和C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N.作直线MN交AC于点D，交BC于点E，连接AE.则下列结论不一定正确的是( A )
第2题图
A．AB＝AE B．AD＝CD
C．AE＝CE D．∠ADE＝∠CDE
3．如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，若DE，FG分别垂直平分AB，BC，那么∠EBF为( C )
第3题图
A．45° B．30° C．60° D．40°
4．如图，已知线段a，h，作等腰△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC边上的高AD＝h.张红的作法是：①作线段BC＝a；②作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；③在直线MN上截取线段h；④连接AB，AC，则△ABC为所求的等腰三角形．上述作法的四个步骤中，你认为有错误的一步是( C )
第4题图
A．① B．② C．③ D．④
5．[2024·眉山]如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，分别以点A，点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F作直线交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长为( C )
第5题图
A．7 B．8 C．10 D．12
6．三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的( D )
A．三条角平分线的交点
B．三边中线的交点
C．三边上高所在直线的交点
D．三边的垂直平分线的交点
7．如图，D是线段AC，AB的垂直平分线的交点，若∠ACD＝30°，∠BAD＝
50°，则∠BCD的大小是( A )
第7题图
A．10° B．20° C．30° D．40°
8．如图，△ABC中，D点在BC上，且BD的垂直平分线与AB相交于E点，CD的垂直平分线与AC相交于F点，已知△ABC的三个内角皆不相等，根据图中标示的角，判断下列叙述正确的是( C )
A．∠1＝∠3，∠2＝∠4
B．∠1＝∠3，∠2≠∠4
C．∠1≠∠3，∠2＝∠4
D．∠1≠∠3，∠2≠∠4
解析：∵BD的垂直平分线与AB相交于E点，CD的垂直平分线与AC相交于F点，
∴EB＝ED，FD＝FC，
∴∠B＝∠EDB，∠FDC＝∠C，
∵∠1＝∠B＋∠EDB，∠3＝∠FDC＋∠C，∠B≠∠C，
∴∠1≠∠3，
∵∠4＝180°－∠B－∠C，
∠2＝180°－∠EDB－∠FDC，
∴∠2＝∠4，
综上所述，∠1≠∠3，∠2＝∠4.
第8题图
9．[2023·吉林]如图，在△ABC中，AB＝AC.分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧交于点D，作直线AD交BC于点E.若∠BAC＝110°，则∠BAE的大小为55度．
第9题图
解析：∵AB＝AC.
∴△ABC是等腰三角形，
∵分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧交于点D，作直线AD交BC于点E.
∴AE垂直平分BC，
∴AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝∠BAC＝55°.
10．[2024·镇江]如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD.若AC＝8，CD＝5，则BD＝3．
第10题图
11．[2024·日照一模]在 △ABC中，∠BAC＝60°，AD平分 ∠BAC，BD⊥AD，F是AD上一动点，取AB中点E，连接EF，BF，若 BD＝1，则△BEF周长的最小值是1＋．
第11题图
解析：延长BD，AC交于点G，连接GE，GF，
∵AD平分 ∠BAC，BD⊥AD，
∴∠BAD＝∠GAD，∠ADB＝∠ADG，
在△BAD和△GAD中，
∴△BAD≌△GAD(ASA)，
∴BD＝DG，
∴AD垂直平分BG，
∴BF＝FG，
∴BF＋EF＝GF＋EF≥GE，
∵S△ABG＝BG·AD＝AB·GE，
∴GE＝，
∵∠BAC＝60°，
∴BD＝AB＝1，
∴AB＝2，
∴AD＝＝，
∴GE＝，
∵E为AB中点，
∴BE＝1，
∴△BEF周长的最小值是GE＋BE＝1＋.
第11题图
12．[2023春·淄博期末]如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC的延长线于点E，交AC于点F，若∠EBF＝12°，则∠E＝26度．
第12题图
解析：∵DF是AB的垂直平分线，
∴FA＝FB，
∴∠FBA＝∠A，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠EBF＝12°，∠ACB＋∠ABC＋∠A＝180°，
∴∠ABF＋12°＋∠ABF＋12°＋∠ABF＝180°，
解得∠ABF＝52°，
∴∠ABC＝64°，
∵ED⊥AB，
∴∠E＝90°－64°＝26°.
13．[2022·荆州]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接CD.若CE＝AE＝1，则CD＝．
第13题图
14．[2022·成都]如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交边AB于点E.若AC＝5，BE＝4，∠B＝45°，则AB的长为7．
第14题图
15．[2022·达州]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数为50°．
第15题图
16．[2022·青海]如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是40°．
第16题图
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的中垂线DE交BC于D点，E为垂足，若BD＝8，则AC＝4．
第17题图
18．[2022·丹东]如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝8，分别以A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，直线PQ与AC交于点D，则AD的长为2．
第18题图
19．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，则∠B等于70°或20°．(提示，有如图两种情况)
第19题图
20．如图，A，B两村在一条小河的同一侧，要在河边建一自来水厂向两村供水．若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？(保留作图痕迹)
第20题图
解：如图所示，作出AB的垂直平分线与河岸交于点P，则P满足到A，B的距离相等．
第20题图
21．[2024·广西]如图，在△ABC中，∠A＝45°，AC＞BC.
(1)尺规作图：作线段AB的垂直平分线l，分别交AB，AC于点D，E；(要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母)
(2)在(1)所作的图中，连接BE，若AB＝8，求BE的长．
第21题图
解：(1)图形如图所示：
第21题图
(2)∵DE垂直平分线段AB，
∴EB＝EA，
∴∠EBA＝∠A＝45°，
∴∠BEA＝90°，
∵BD＝DA，
∴DE＝DB＝DA＝AB＝4，
∴BE＝BD＝4 .
22．如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE，连接BE，CD，交于点F.
(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
(2)求证：过点A，F的直线垂直平分线段BC.
第22题图
解：(1)∠ABE＝∠ACD.
理由：
在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD(SAS)．
∴∠ABE＝∠ACD；
(2)证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
∴点A在线段BC的垂直平分线上，
由(1)可知∠ABE＝∠ACD，
∴∠FBC＝∠FCB.
∴FB＝FC.
∴点F在线段BC的垂直平分线上，
所以过点A，F的直线垂直平分线段BC.
23．[2024·重庆期中]如图所示，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，点D，E在△ABC内，且点D在BC的垂直平分线上，连接BD，EC，ED，若DE＝4，∠ECB＝∠DEC＝60°，则CE的长度是( B )
第23题图
A．5 B．6 C．7 D．8
解析：ED的延长线交BC于点M，连接AD并延长交BC于点F，
第23题图
∵AB＝AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，
∵点D在BC的垂直平分线上，
∴AD垂直平分BC，
∴AF⊥BC，BF＝CF＝BC＝5，
∵∠ECB＝∠DEC＝60°，
∴△EMC是等边三角形，
∴∠EMC＝60°，EM＝MC＝EC，
∴∠MDF＝30°，
∴DM＝2MF，
∵EM＝DE＋DM，MC＝CF＋MF，DE＝4，
∴4＋2MF＝MF＋5，
∴MF＝1，
∴MC＝6＝CE.
