1．[2024·烟台]某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有( )
第1题图
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．[2022·鄂尔多斯]如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C.若EC＝2，则OD的长为( )
第2题图
A．2 B．2
C．4 D．4＋2
3．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为( )
第3题图
A．6 B．7 C．8 D．9
4．如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是( )
第4题图
A．线段CD的中点
B．CD与过点O作CD的垂线的交点
C．CD与∠AOB的平分线的交点
D．以上均不对
5．[2024·常州]如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上，则( )
第5题图
A．d1与d2一定相等 B．d1与d2一定不相等
C．l1与l2一定相等 D．l1与l2一定不相等
6．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是( )
第6题图
A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点
7．[2022·聊城]如图，在△ABC中，若∠BAC＝80°，∠ACB＝70°，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是( )
第7题图
A．∠BAQ＝40° B．DE＝BD
C．AF＝AC D．∠EQF＝25°
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于点D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E.若BC＝3，则DE的长为( )
第8题图
A．1 B．2 C．3 D．5
9．点P在∠AOB的平分线上，且点P到OA边的距离等于2，点Q是OB边上的任意一点，则PQ的长不可能是( )
第9题图
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，点P是△ABC的三个内角平分线的交点，若△ABC的周长为24 cm，面积为36 cm2，则点P到边BC的距离是( )
第10题图
A．8 cm B．3 cm
C．4 cm D．6 cm
11．[2024·内蒙古]如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB，AC于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D.若△ACD的面积为8，则△ABD的面积是( )
第11题图
A．8 B．16
C．12 D．24
12．[2022·北京]如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB.若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝ ．
第12题图
13．[2024·齐齐哈尔]如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线OH，若H(2a－1，a＋1)，则a＝ ．
第13题图
14．[2023·随州]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的角平分线，则AD＝ ．
第14题图
15．如图，在△ABC中，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，若△ABC的周长是20，且△ABC的面积为60，则OD＝ ．
第15题图
16．[2022·郴州]如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC.以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，以大于DE长为半径作弧，在∠BAC内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为G.若AB＝8 cm，则△BFG的周长等于 cm.
第16题图
17．如图，点C，D在∠AOB的平分线上，DM⊥AC于点M，DN⊥BC于点N，DM＝DN.求证：OA＝OB.
第17题图
18．[2022·青岛]已知：Rt△ABC，∠B＝90°.
求作：点P，使点P在△ABC内部，且PB＝PC，∠PBC＝45°.
第18题图
19．[2024春·金溪县期中]如图，在△ABC中，∠B＝90°，点O是∠CAB，
∠ACB平分线的交点．
(1)连接BO，求证： BO平分∠ABC；(不能利用“三角形三条角平分线相交于一点”直接来证明)
(2)若BC＝4 cm，AC＝5 cm，求点O到边AB的距离．
第19题图
20．如图，△ABC，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，过点D作DE⊥BC于E.
(1)如图1，若∠BAC＝68°，求∠BDC的度数；
第20题图
(2)如图2，连接AD，求证：AD平分∠CAM；
第20题图
(3)如图3，若△ABC周长为20，请直接写出BE的长．1．[2024·烟台]某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有( D )
第1题图
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．[2022·鄂尔多斯]如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C.若EC＝2，则OD的长为( C )
第2题图
A．2 B．2
C．4 D．4＋2
3．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为( D )
第3题图
A．6 B．7 C．8 D．9
4．如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是( C )
第4题图
A．线段CD的中点
B．CD与过点O作CD的垂线的交点
C．CD与∠AOB的平分线的交点
D．以上均不对
5．[2024·常州]如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上，则( A )
第5题图
A．d1与d2一定相等 B．d1与d2一定不相等
C．l1与l2一定相等 D．l1与l2一定不相等
6．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是( A )
第6题图
A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点
7．[2022·聊城]如图，在△ABC中，若∠BAC＝80°，∠ACB＝70°，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是( D )
第7题图
A．∠BAQ＝40° B．DE＝BD
C．AF＝AC D．∠EQF＝25°
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于点D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E.若BC＝3，则DE的长为( A )
第8题图
A．1 B．2 C．3 D．5
9．点P在∠AOB的平分线上，且点P到OA边的距离等于2，点Q是OB边上的任意一点，则PQ的长不可能是( A )
第9题图
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，点P是△ABC的三个内角平分线的交点，若△ABC的周长为24 cm，面积为36 cm2，则点P到边BC的距离是( B )
第10题图
A．8 cm B．3 cm
C．4 cm D．6 cm
11．[2024·内蒙古]如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB，AC于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D.若△ACD的面积为8，则△ABD的面积是( B )
第11题图
A．8 B．16
C．12 D．24
解析：过点D作DE⊥AB于点E，
第11题图
由作图过程可知，AD平分∠BAC，
∴CD＝ED.
∵AD＝AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(AAS)，
∴S△ADE＝S△ACD＝8.
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠EAD＝30°，
∴∠EAD＝∠B，
∴AD＝BD，
即△ABD为等腰三角形，
∴S△ADE＝S△BDE＝8，
∴△ABD的面积为S△ADE＋S△BDE＝16.
12．[2022·北京]如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB.若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝1．
第12题图
13．[2024·齐齐哈尔]如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线OH，若H(2a－1，a＋1)，则a＝2．
第13题图
14．[2023·随州]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的角平分线，则AD＝5．
第14题图
15．如图，在△ABC中，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，若△ABC的周长是20，且△ABC的面积为60，则OD＝6．
第15题图
16．[2022·郴州]如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC.以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，以大于DE长为半径作弧，在∠BAC内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为G.若AB＝8 cm，则△BFG的周长等于8cm.
第16题图
17．如图，点C，D在∠AOB的平分线上，DM⊥AC于点M，DN⊥BC于点N，DM＝DN.求证：OA＝OB.
第17题图
证明：∵DM⊥AC，DN⊥BC，DM＝DN，
∴CD是∠ACB的角平分线，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠ACO＝∠BCO，
∵点C，D在∠AOB的平分线上，
∴∠AOC＝∠BOC，
又∵OC＝OC，
∴△AOC≌△BOC(ASA)，
∴OA＝OB.
18．[2022·青岛]已知：Rt△ABC，∠B＝90°.
求作：点P，使点P在△ABC内部，且PB＝PC，∠PBC＝45°.
第18题图
解：如图，点P即为所求．
第18题图
19．[2024春·金溪县期中]如图，在△ABC中，∠B＝90°，点O是∠CAB，
∠ACB平分线的交点．
(1)连接BO，求证： BO平分∠ABC；(不能利用“三角形三条角平分线相交于一点”直接来证明)
(2)若BC＝4 cm，AC＝5 cm，求点O到边AB的距离．
第19题图
解：(1)证明：过O作OD⊥BC于D，OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
第19题图
∵点O是∠CAB，∠ACB平分线的交点，
∴OD＝OF，OE＝OF，
∴OE＝OD，
∵OD⊥BC，OE⊥AB，
∴BO平分∠ABC；
(2)∵BC＝4 cm，AC＝5 cm，∠ABC＝90°，
∴AB＝＝3，
∵△ABC的面积＝△OBC的面积＋△AOB的面积＋△AOC的面积，
∴BC·AB＝BC·OD＋AB·OE＋AC·OF，
∴3×4＝(3＋4＋5)×OE，
∴OE＝1，
∴点O到边AB的距离是1 cm.
20．如图，△ABC，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，过点D作DE⊥BC于E.
(1)如图1，若∠BAC＝68°，求∠BDC的度数；
第20题图
(2)如图2，连接AD，求证：AD平分∠CAM；
第20题图
(3)如图3，若△ABC周长为20，请直接写出BE的长．
解：(1)∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，
∴∠DBC＝∠ABC，
∠DCN＝∠ACN，
∴∠BDC＝∠DCN－∠DBC
＝∠ACN－∠ABC
＝(∠ACN－∠ABC)
＝∠BAC
＝34°；
(2)证明：如图2，过点P作DP⊥BA于P，DQ⊥AC于Q，
∵DE⊥BC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
∴DP＝DE，DQ＝DE，
∴DP＝DQ，
∴AD平分∠CAM；
第20题图
(3)如图2，由(2)知DP＝DQ，
在Rt△ADQ和Rt△ADP中，
∴Rt△ADQ≌Rt△ADP(HL)，
∴AP＝AQ，
同理得可得BP＝BE，CQ＝CE，
∵△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝20，
∴AB＋BC＋AQ＋CQ＝AB＋BC＋AP＋CE＝BP＋BE＝2BE＝20，
∴BE＝10.
