第十章 三角形的有关证明
考点一 全等三角形
考查1 全等三角形的性质
1．[2024·成都]如图，△ABC≌△CDE，若∠D＝35°，∠ACB＝45°，则∠DCE的度数为 ．
第1题图
考查2 全等三角形的判定
2．[2024·眉山期中]如图，AB∥DE，AC∥DF，AC＝DF，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是( )
第2题图
A．EF＝BC B．EF∥BC
C．∠B＝∠E D．AB＝DE
3．[2023·济南期中]如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E，F，求证：
(1)△ABC≌△BAD；
(2)CE＝DF.
第3题图
考点二 等腰三角形与等边三角形
4．[2024·云南]已知AF是等腰△ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为( )
A. B．2 C．3 D.
5．[2023春·镇平县期末]如图，在△ABC中，AB＝15 cm，AC＝9 cm，点P从点B出发以每秒3 cm的速度向点A运动，同时点Q从点A出发以每秒2 cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，AQ的长度是( )
第5题图
A．3 cm B．5 cm C．6 cm D．9 cm
6．如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，∠EBD＝64°，则∠AEB＝ ．
第6题图
7．[2022·广安]若(a－3)2＋＝0，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为 ．
8．[广东中考]如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边上的点，BD＝CE，∠ABE＝∠ACD，BE与CD相交于点F.
求证：△ABC是等腰三角形．
第8题图
9．[2024·兰州期末]如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，点E在BA的延长线上，连接CE.若∠E＝60°，CE平分∠BCD，求证：△BCE为等边三角形．
第9题图
考点三 直角三角形
考查1 勾股定理与逆定理
10．三角形满足下列条件，不能判断它是直角三角形的是( )
A．三个内角度数之比为3∶4∶5
B．三边之比为5∶12∶13
C．一个内角等于另外两个内角之差
D．三边长分别为，2，
11．[2024·四川]如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝4，折叠△ABC，使点A与点B重合，折痕DE与AB交于点D，与AC交于点E，则CE的长为 ．
第11题图
12．直角三角形两边长为5和12，则第三边长为 ．
考查2 含30°角的直角三角形的性质
13．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是( )
第13题图
A．3 m B．4 m C．5 m D．6 m
14．如图，在△ABC中，∠A∶∠B∶∠BCA＝1∶2∶3，CD⊥AB于点D，AB＝10，求BD的长．
第14题图
考点四 互逆命题
15．下列定理中没有逆定理的是( )
A．等腰三角形的两底角相等
B．两直线平行，同旁内角互补
C．角平分线上的点到角两边的距离相等
D．全等三角形的对应角相等
16．命题“如果∠α＋∠β＝180°，那么∠α与∠β互为补角”的逆命题为 ．
考点五 垂直平分线
17．[2023春·榕城区期末]如图，在△ABC中，直线MN为BC的垂直平分线，并交AC于点D，连接BD.若AD＝3 cm，AC＝9 cm，则BD的长为( )
第17题图
A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
18．[2022·台州]如图，点D在△ABC的边BC上，点P在射线AD上(不与点A，D重合)，连接PB，PC.下列命题中，假命题是( )
第18题图
A．若AB＝AC，AD⊥BC，则PB＝PC
B．若PB＝PC，AD⊥BC，则AB＝AC
C．若AB＝AC，∠1＝∠2，则PB＝PC
D．若PB＝PC，∠1＝∠2，则AB＝AC
考点六 角平分线
19．[2023春·来宾期末]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，已知AB＝20，CD＝6，则△ABD的面积为( )
第19题图
A．80 B．60 C．20 D．10
20．[2024·山东]如图，已知∠MAN，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与AM，AN相交于点B，C；分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧在∠MAN内部相交于点P，作射线AP.分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别与AB，AP相交于点F，Q.若AB＝4，∠PQE＝67.5°，则F到AN的距离为 .
第20题图
21．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD交于点O，OB＝OC.求证：∠1＝∠2.
第21题图
考点七 尺规作图
22．[2022·舟山]用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是( )
23．[2024·青岛]已知：如图，四边形ABCD，E为DC边上一点．
求作：四边形内一点P，使EP∥BC，且点P到AB，AD的距离相等．
第23题图
易错点 因考虑不全面导致漏解
24．等腰三角形一个内角是30°，腰长是2 cm, 这个三角形的面积是第十章 三角形的有关证明
考点一 全等三角形
考查1 全等三角形的性质
1．[2024·成都]如图，△ABC≌△CDE，若∠D＝35°，∠ACB＝45°，则∠DCE的度数为100°．
第1题图
考查2 全等三角形的判定
2．[2024·眉山期中]如图，AB∥DE，AC∥DF，AC＝DF，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是( A )
第2题图
A．EF＝BC B．EF∥BC
C．∠B＝∠E D．AB＝DE
3．[2023·济南期中]如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E，F，求证：
(1)△ABC≌△BAD；
(2)CE＝DF.
第3题图
证明：(1)∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠ACB＝∠BDA＝90°，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)；
(2)∵Rt△ABC≌Rt△BAD，
∴AC＝BD，∠CAE＝∠DBF，
∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠CEA＝∠DFB＝90°，
∴Rt△CAE≌Rt△DBF，
∴CE＝DF.
考点二 等腰三角形与等边三角形
4．[2024·云南]已知AF是等腰△ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为( C )
A. B．2 C．3 D.
5．[2023春·镇平县期末]如图，在△ABC中，AB＝15 cm，AC＝9 cm，点P从点B出发以每秒3 cm的速度向点A运动，同时点Q从点A出发以每秒2 cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，AQ的长度是( C )
第5题图
A．3 cm B．5 cm C．6 cm D．9 cm
解析：设AQ的长为x cm，
则点Q的运动时间为，
∴AP＝15－，
∵当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，
∴AP＝AQ，
x＝15－x，
解得x＝6，
即AQ＝6 cm.
6．如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，∠EBD＝64°，则∠AEB＝124°．
第6题图
7．[2022·广安]若(a－3)2＋＝0，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为11或13．
8．[广东中考]如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边上的点，BD＝CE，∠ABE＝∠ACD，BE与CD相交于点F.
求证：△ABC是等腰三角形．
第8题图
证明：∵∠ABE＝∠ACD，
∴∠DBF＝∠ECF.
在△BDF和△CEF中，
∴△BDF≌△CEF(AAS)．
∴BF＝CF，DF＝EF.
∴BF＋EF＝CF＋DF.
即BE＝CD.
在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD(AAS)．
∴AB＝AC.
∴△ABC是等腰三角形．
9．[2024·兰州期末]如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，点E在BA的延长线上，连接CE.若∠E＝60°，CE平分∠BCD，求证：△BCE为等边三角形．
第9题图
证明：∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠B，
∵∠B＝∠D，
∴∠D＝∠EAD，
∴BE∥CD，
∵∠E＝60°，
∴∠ECD＝∠E＝60°，
又∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠ECD＝60°，
∴∠EBC＝180°－∠E－∠BCE＝60°，
∴∠E＝∠EBC＝∠BCE＝60°，
∴△BCE为等边三角形．
考点三 直角三角形
考查1 勾股定理与逆定理
10．三角形满足下列条件，不能判断它是直角三角形的是( A )
A．三个内角度数之比为3∶4∶5
B．三边之比为5∶12∶13
C．一个内角等于另外两个内角之差
D．三边长分别为，2，
11．[2024·四川]如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝4，折叠△ABC，使点A与点B重合，折痕DE与AB交于点D，与AC交于点E，则CE的长为3．
第11题图
12．直角三角形两边长为5和12，则第三边长为13或．
考查2 含30°角的直角三角形的性质
13．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是( B )
第13题图
A．3 m B．4 m C．5 m D．6 m
14．如图，在△ABC中，∠A∶∠B∶∠BCA＝1∶2∶3，CD⊥AB于点D，AB＝10，求BD的长．
第14题图
解：在△ABC中，
∵∠A∶∠B∶∠BCA＝1∶2∶3，
∴设∠A＝β， ∠B＝2β， ∠BCA＝3β.
由内角和定理，得∠A＋∠B＋∠BCA＝180°，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠BCA＝90°.
∴BC＝AB＝5.
∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
在Rt△BCD中，∠B＝60°，
∴∠BCD＝90°－60°＝30°.
∴BD＝BC＝.
考点四 互逆命题
15．下列定理中没有逆定理的是( D )
A．等腰三角形的两底角相等
B．两直线平行，同旁内角互补
C．角平分线上的点到角两边的距离相等
D．全等三角形的对应角相等
16．命题“如果∠α＋∠β＝180°，那么∠α与∠β互为补角”的逆命题为如果∠α与∠β互为补角，那么∠α＋∠β＝180°．
考点五 垂直平分线
17．[2023春·榕城区期末]如图，在△ABC中，直线MN为BC的垂直平分线，并交AC于点D，连接BD.若AD＝3 cm，AC＝9 cm，则BD的长为( A )
第17题图
A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
18．[2022·台州]如图，点D在△ABC的边BC上，点P在射线AD上(不与点A，D重合)，连接PB，PC.下列命题中，假命题是( D )
第18题图
A．若AB＝AC，AD⊥BC，则PB＝PC
B．若PB＝PC，AD⊥BC，则AB＝AC
C．若AB＝AC，∠1＝∠2，则PB＝PC
D．若PB＝PC，∠1＝∠2，则AB＝AC
解析：∵AB＝AC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分线，∴PB＝PC，则A是真命题；
∵PB＝PC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分线，∴AB＝AC，则B是真命题；
∵AB＝AC，且∠1＝∠2，得AP是BC的垂直平分线，∴PB＝PC，则C是真命题；
∵PB＝PC，△BCP是等腰三角形，∠1＝∠2，不能判断AP是BC的垂直平分线，
∴AB和AC不一定相等，则D是假命题．
考点六 角平分线
19．[2023春·来宾期末]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，已知AB＝20，CD＝6，则△ABD的面积为( B )
第19题图
A．80 B．60 C．20 D．10
20．[2024·山东]如图，已知∠MAN，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与AM，AN相交于点B，C；分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧在∠MAN内部相交于点P，作射线AP.分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别与AB，AP相交于点F，Q.若AB＝4，∠PQE＝67.5°，则F到AN的距离为.
第20题图
21．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD交于点O，OB＝OC.求证：∠1＝∠2.
第21题图
证明：∵CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，
∴∠BDO＝∠CEO＝90°，
在△BDO和△CEO中，
∴△BDO≌△CEO(AAS)，
∴OD＝OE，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴OA平分∠BAC，
∴∠1＝∠2.
考点七 尺规作图
22．[2022·舟山]用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是( D )
23．[2024·青岛]已知：如图，四边形ABCD，E为DC边上一点．
求作：四边形内一点P，使EP∥BC，且点P到AB，AD的距离相等．
第23题图
解：作∠DAB的平分线AM，以E为顶点，ED为一边作∠DEN＝∠C，EN交AM于P，如图，点P即为所求．
第23题图
易错点 因考虑不全面导致漏解
24．等腰三角形一个内角是30°，腰长是2 cm, 这个三角形的面积是1_cm2或
_cm2．
