第十章 三角形的有关证明
一、选择题(每题3分，共30分)
1．[2024春·鄞州区期末]用反证法证明命题“在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B<
90°”，应假设( )
A．∠B≥90° B．∠B>90°
C．∠B≠90° D．AB≠AC
2．如图，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC为( )
第2题图
A．50° B．100°
C．120° D．130°
3．[2024·南充]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，AD平分∠CAB交BC于点D，点E为边AB上一点，则线段DE长度的最小值为( )
第3题图
A. B.
C．2 D．3
4．如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是( )
第4题图
A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC＝OD
C．∠OPC＝∠OPD D．PC＝PD
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，∠A＝30°，则BD，AB的数量关系为( )
第5题图
A．BD＝AB B．BD＝AB
C．BD＝AB D．BD＝AB
6．如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC.若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是( )
第6题图
A．AE＝EC B．AE＝BE
C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE
7．底边长为16 cm，底边上的高为6 cm的等腰三角形的腰长为( )
A．8 cm B．9 cm C．10 cm D．12 cm
8．下列命题，它们的逆命题一定成立的有( )
①若x＝4，则x2＝16 ②直角三角形的两个锐角互余 ③在角的内部，到角两边相等的点在这个角的平分线上 ④两个全等三角形的周长相等
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．[2023·河北]四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为( )
第9题图
A．2 B．3 C．4 D．5
10．[2024·泰安]如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，分别以顶点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线MN分别与BC，AC交于点E和点F；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点H和点G，再分别以点H，点G为圆心，大于HG的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，若射线AP恰好经过点E，则下列四个结论：
①∠C＝30° ②AP垂直平分线段BF ③CE＝2BE ④S△BEF＝S△ABC.
其中，正确结论的个数有( )
第10题图
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(每题3分，共18分)
11．等腰三角形的周长为13，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长为 ．
12．写出命题：“如果m是有理数，那么它是整数或分数”的逆命题： ．
13．[2023春·余江区期末]如图，等边△ABC的边长为6，AD⊥BC于点D，则AD的长为 ．
第13题图
14．如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是 ．
第14题图
15．[2023·扬州]我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c，若b－a＝4，c＝20，则每个直角三角形的面积为 ．
第15题图
16．[2024秋·皇姑区校级月考]如图，过A作AA1⊥OA且OA＝AA1＝1，根据勾股定理，得OA1＝，过A1作A1A2⊥OA1且A1A2＝1得OA2＝…以此类推，得
OA2 025＝ ．
第16题图
三、解答题(共52分)
17．(5分)[2024·南充]如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E.
(1)求证：△BDE≌△CDA；
(2)若AD⊥BC，求证：BA＝BE.
第17题图
18．(5分)[2024·陕西]如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个等腰直角△ABC，使得顶点B和顶点C都在直线l上．(作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法)
第18题图
19．(6分)[2024·宜宾]如图，点D，E分别是等边三角形ABC边BC，AC上的点，且BD＝CE，BE与AD交于点F.求证：AD＝BE.
第19题图
20．(6分)[2024春·西华县月考]“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”又到了放风筝的最佳时节，某校八年级(1)班的小明和小亮为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：
①测得水平距离BD的长为30米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为50米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
(1)求风筝的垂直高度CE；
(2)如果小明想将风筝沿CD方向下降24米至M点，求他应该往回收线的长度．
第20题图
21．(7分)[2022·温州]如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E.
(1)求证：∠EBD＝∠EDB；
(2)当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．
第21题图
22．(7分)[2024·南通期中]如图，△ABC中，P为AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，过点P作PM⊥AC于点M，过点Q作QN⊥AC交AC的延长线于点N，且PM＝QN，连接PQ交AC边于D.求证：
(1)△APM≌△CQN；
(2)DM＝AC.
第22题图
23．(8分)[2023春·和平区期末]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E.
(1)求证：AE＝2CE；
(2)连接CD，直接写出△BCD的形状：____________．
第23题图
24．(8分)[2023春·高青县期末]如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16 cm，BC＝12 cm，P，Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1 cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2 cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
第24题图
(1)出发2秒后，求PQ的长；
(2)当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB能形成等腰三角形？
(3)当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．第十章 三角形的有关证明
一、选择题(每题3分，共30分)
1．[2024春·鄞州区期末]用反证法证明命题“在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B<
90°”，应假设( A )
A．∠B≥90° B．∠B>90°
C．∠B≠90° D．AB≠AC
2．如图，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC为( B )
第2题图
A．50° B．100°
C．120° D．130°
3．[2024·南充]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，AD平分∠CAB交BC于点D，点E为边AB上一点，则线段DE长度的最小值为( C )
第3题图
A. B.
C．2 D．3
4．如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是( D )
第4题图
A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC＝OD
C．∠OPC＝∠OPD D．PC＝PD
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，∠A＝30°，则BD，AB的数量关系为( C )
第5题图
A．BD＝AB B．BD＝AB
C．BD＝AB D．BD＝AB
6．如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC.若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是( C )
第6题图
A．AE＝EC B．AE＝BE
C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE
7．底边长为16 cm，底边上的高为6 cm的等腰三角形的腰长为( C )
A．8 cm B．9 cm C．10 cm D．12 cm
8．下列命题，它们的逆命题一定成立的有( B )
①若x＝4，则x2＝16 ②直角三角形的两个锐角互余 ③在角的内部，到角两边相等的点在这个角的平分线上 ④两个全等三角形的周长相等
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．[2023·河北]四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为( B )
第9题图
A．2 B．3 C．4 D．5
10．[2024·泰安]如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，分别以顶点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线MN分别与BC，AC交于点E和点F；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点H和点G，再分别以点H，点G为圆心，大于HG的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，若射线AP恰好经过点E，则下列四个结论：
①∠C＝30° ②AP垂直平分线段BF ③CE＝2BE ④S△BEF＝S△ABC.
其中，正确结论的个数有( D )
第10题图
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：由作图可知MN垂直平分线段AC，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
由作图可知AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵∠ABC＝90°，
∴∠C＝∠CAE＝∠BAE＝30°，故①正确；
∴AC＝2AB，
∵AF＝FC，
∴AB＝AF，
∴AP垂直平分线段BF，故②正确；
∵AE＝2BE，EA＝EC，
∴EC＝2BE，故③正确；
∴S△BEF＝S△BCF，
∵AF＝FC，
∴S△BFC＝S△ABC，
∴S△BEF＝S△ABC，故④正确．
二、填空题(每题3分，共18分)
11．等腰三角形的周长为13，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长为5或3．
12．写出命题：“如果m是有理数，那么它是整数或分数”的逆命题：如果m是整数或分数，那么它是有理数．
13．[2023春·余江区期末]如图，等边△ABC的边长为6，AD⊥BC于点D，则AD的长为3．
第13题图
14．如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是13．
第14题图
15．[2023·扬州]我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c，若b－a＝4，c＝20，则每个直角三角形的面积为96．
第15题图
16．[2024秋·皇姑区校级月考]如图，过A作AA1⊥OA且OA＝AA1＝1，根据勾股定理，得OA1＝，过A1作A1A2⊥OA1且A1A2＝1得OA2＝…以此类推，得
OA2 025＝．
第16题图
解析：由勾股定理可知，OA3＝＝，OA4＝＝，
∵OA1＝，
OA2＝，
OA3＝，
OA4＝，
…，
∴以此类推，得OA2 025＝.
三、解答题(共52分)
17．(5分)[2024·南充]如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E.
(1)求证：△BDE≌△CDA；
(2)若AD⊥BC，求证：BA＝BE.
第17题图
证明：(1)∵点D为BC的中点，
∴BD＝CD，
∵BE∥AC，
∴∠EBD＝∠C，∠E＝∠CAD，
在△BDE和△CDA中，
∴△BDE≌△CDA(AAS)；
(2)∵点D为BC的中点，AD⊥BC，
∴直线AD为线段BC的垂直平分线，
∴BA＝CA，
由(1)可知△BDE≌△CDA，
∴BE＝CA，
∴BA＝BE.
18．(5分)[2024·陕西]如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个等腰直角△ABC，使得顶点B和顶点C都在直线l上．(作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法)
第18题图
解：如图△ABC即为所求作的三角形．
第18题图
19．(6分)[2024·宜宾]如图，点D，E分别是等边三角形ABC边BC，AC上的点，且BD＝CE，BE与AD交于点F.求证：AD＝BE.
第19题图
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABD＝∠C＝60°，AB＝BC，
在△ABD和△BCE中，
∴△ABD≌△BCE(SAS)，
∴AD＝BE.
20．(6分)[2024春·西华县月考]“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”又到了放风筝的最佳时节，某校八年级(1)班的小明和小亮为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：
①测得水平距离BD的长为30米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为50米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
(1)求风筝的垂直高度CE；
(2)如果小明想将风筝沿CD方向下降24米至M点，求他应该往回收线的长度．
第20题图
解：(1)在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD＝＝＝40(米)，
所以CE＝CD＋DE＝40＋1.6＝41.6(米)；
(2)由题意得CM＝24，
∴DM＝16，
∴BM＝＝＝34(米)，
∴BC－BM＝50－34＝16(米)，
∴他应该往回收线的长度为16米．
21．(7分)[2022·温州]如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E.
(1)求证：∠EBD＝∠EDB；
(2)当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．
第21题图
解：(1)证明：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠CBD＝∠EBD.
∵DE∥BC，
∴∠CBD＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB；
(2)CD＝ED.理由：
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC.
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴AC－AD＝AB－AE，即CD＝BE.
由(1)得∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝ED，
∴CD＝ED.
22．(7分)[2024·南通期中]如图，△ABC中，P为AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，过点P作PM⊥AC于点M，过点Q作QN⊥AC交AC的延长线于点N，且PM＝QN，连接PQ交AC边于D.求证：
(1)△APM≌△CQN；
(2)DM＝AC.
第22题图
证明：(1)∵PM⊥AC，QN⊥AC，
∴在Rt△APM与Rt△CQN中，
∴Rt△APM≌Rt△CQN(HL)；
(2)由(1)知△APM≌△CQN，
∴AM＝CN，PM＝QN.
∵PM⊥AC，QN⊥AC，
∴∠PMD＝∠QND＝90°，
在△PDM与△QDN中，
∴△PDM≌△QDN(AAS)，
∴DM＝DN，
∴AC＝AM＋DM＋CD＝CN＋CD＋DM＝DN＋DM＝2DM，
∴DM＝AC.
23．(8分)[2023春·和平区期末]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E.
(1)求证：AE＝2CE；
(2)连接CD，直接写出△BCD的形状：____________．
第23题图
解：(1)证明：连接BE，
第23题图
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠DBE＝∠A＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°－∠A＝60°，
∴∠EBC＝∠ABC－∠DBE＝30°，
∴BE＝2CE，
∴AE＝2CE；
(2)等边三角形．理由：
∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，
∴CD＝AB，
∴CD＝BD，
∵∠DBC＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
故答案为：等边三角形．
24．(8分)[2023春·高青县期末]如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16 cm，BC＝12 cm，P，Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1 cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2 cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
第24题图
(1)出发2秒后，求PQ的长；
(2)当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB能形成等腰三角形？
(3)当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
解：(1)∵BQ＝2×2＝4(cm)，BP＝AB－AP＝16－2×1＝14(cm)，∠B＝90°，
∴PQ＝＝＝2(cm)；
(2)BQ＝2t，BP＝16－t，
根据题意，得2t＝16－t，
解得t＝，
即出发秒后，△PQB能形成等腰三角形；
(3)①当CQ＝BQ时，如图1所示，
第24题图
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ＋∠ABQ＝90°，∠A＋∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ，
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝AC，
∵AC＝＝＝20，
∴CQ＝×20＝10，
∴BC＋CQ＝22，
∴t＝22÷2＝11(秒)；
②当CQ＝BC时，如图2所示，
第24题图
则BC＋CQ＝24，
∴t＝24÷2＝12(秒)；
③当BC＝BQ时，如图3所示，
过B点作BE⊥AC于点E，
第24题图
则BE＝＝＝，
∴CE＝＝＝，
∴CQ＝2CE＝14.4，
∴BC＋CQ＝26.4，
∴t＝26.4÷2＝13.2(秒)．
综上所述，当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形．
