期末综合测试卷(B)
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列命题为假命题的是( C )
A．三角形的三个内角的和为180°
B．三角形的两边之和大于第三边
C．若|a|＝|b|，则a＝b
D．8的立方根是2
2．在图中的各事件中，是随机事件的有( B )
第2题图
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．[2024秋·浑南区月考]如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以BC和AC为边向两边分别作正方形，面积分别为S1和S2.已知S2＝36，且AB＝8，则S1的值为( D )
第3题图
A．14 B．10 C．44 D．100
4．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，BC＝10，△BCD的面积为30，对角线BD平分∠ABC，则AD的长为( B )
第4题图
A．3 B．6 C．5 D．无法确定
5．[2024·邯郸期末]关于x的不等式组有解，且其解都是不等式3x≤15的解，则a的取值范围为( D )
A．a< B．－1≤a<
C．－2
6．有菜农共10人，每人可种茄子3亩或辣椒2亩，已知茄子每亩可收入0.5万元，辣椒每亩可收入0.8万元，若要使总收入不低于15.6万元，则最多只能安排种茄子的人数为( B )
A．3人 B．4人 C．5人 D．6人
7．在一个不透明的口袋中，放置3个黄球，1个红球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了蓝球出现的频率(如图所示)，则n的值最可能是( C )
第7题图
A．4 B．5 C．6 D．7
8．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是BC上的中点，点E，F分别在AB，AC上，且BE＝AF，若AB＝4，则EF的最小值为( C )
第8题图
A. B．2 C．2 D．4
解析：如图，连接AD，EF.
第8题图
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AB＝4，
∴∠B＝∠C＝45°，
BC＝4 ，D是BC上的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，AD＝BD＝CD，
∠DAE＝∠CAD＝45°，
∵BE＝AF，
∴AE＝CF，
在△ADE和△CDF中，
∵AD＝CD，∠C＝∠DAE，AE＝CF，
∴△ADE≌△CDF(SAS)，
∴DE＝DF，∠CDF＝∠ADE，
∵∠ADC＝∠CDF＋∠ADF＝90°，
∴∠EDF＝∠ADE＋∠ADF＝90°，
∴EF＝DE，
当DE⊥AB时，DE最小，则EF最小，
此时DE＝AB＝2，
∴EF的最小值为2 .
9．[2024·安徽]已知实数a，b满足a－b＋1＝0，0＜a＋b＋1＜1，则下列判断正确的是( C )
A．－＜a＜0 B.＜b＜1
C．－2＜2a＋4b＜1 D．－1＜4a＋2b＜0
解析：∵a－b＋1＝0，∴b＝a＋1，
∵0＜a＋b＋1＜1，
∴0＜a＋a＋1＋1＜1，即0＜2a＋2＜1，
∴－1＜a＜－，故选项A错误，不合题意．
∵b＝a＋1，－1＜a＜－，
∴0＜b＜，故选项B错误，不合题意．
由－1＜a＜－，得－2＜2a＜－1，－4＜4a＜－2，
由0＜b＜，得0＜4b＜2，0＜2b＜1，
∴－2＜2a＋4b＜1，故选项C正确，符合题意．
∴－4＜4a＋2b＜－1，选项D错误，不合题意．
10．如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线BD和∠ACB相邻的外角平分线CD交于点D，过点D作DE∥BC交AB于E，交AC于G，若EG＝2，且GC＝6，则BE长为( A )
第10题图
A．8 B．7 C．10 D．9
解析：∵CD平分∠ACF，
∴∠ACD＝∠FCD，
∵DE∥BF，
∴∠FCD＝∠EDC，
∴∠ACD＝∠EDC，
∴GD＝GC＝6，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠FBD，
∵DE∥BF，
∴∠FBD＝∠EDB，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴BE＝DE＝EG＋DG＝2＋6＝8.
二、填空题(每题3分，共18分)
11．[2024·内蒙古]从一副普通的扑克牌中取出五张牌，它们的牌面数字分别是4，4，5，5，6.将这五张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是4的概率是．
12．平面直角坐标系中，若点P(a，2a－1)在第四象限，则a的取值范围是013．[2024·杭州期中]如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠C＝90°，将△ABC沿DE折叠，得到△A′DE，A′E∥BC，A′D与AB相交于点F，当∠A＝32°时，则∠ADE的度数为29°．
第13题图
14．[2024秋·青秀区月考]如图，OC平分∠AOB，P是OC上一点，过点P作PM⊥OA于M, PM＝4，N是OB上任意一点，连接NP，则NP的最小值为4．
第14题图
15．如图，直线l1：y＝2x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，b)，则关于x，y的方程组的解为．
第15题图
16．如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC与BE相交于点M，AD与CE相交于点N，连接MN，PC，则下列五个结论：①∠BMC＝∠BMA ②∠APB＝60° ③AN＝BM ④△CMN是等边三角形 ⑤PC平分∠BPD.其中，正确的是②③④⑤．(填序号)
第16题图
解析：∵△ABC是等边三角形，
∴当点M是AC的中点或者BM平分∠ABC时，才有∠BMC＝∠BMA，
故①错误；
∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，
∠DCE＝60°，
∴∠ACE＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE＝120°，
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴∠CAD＝∠CBE，
在△ACN和△BCM中，
∴△ACN≌△BCM(ASA)，
∴AN＝BM，
故③正确；
∵∠CAD＋∠CDA＝60°，∠CAD＝∠CBE，
∴∠CBE＋∠CDA＝60°，
∴∠APB＝60°，
故②正确；
∵△ACN≌△BCM，
∴CN＝CM，
∵∠MCN＝60°，
∴△CMN为等边三角形，
故④正确；
如图所示，作CH⊥BE，CQ⊥AD，
第16题图
∵△ACD≌△BCE，
∴CQ＝CH，
∴PC平分∠BPD，
故⑤正确．
综上所述，②③④⑤正确．
三、解答题(共72分)
17．(8分)(1)解方程组：
(2)[2024·西藏]解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．
第17题图
解：(1)
②×5－①，得15y－(－7y)＝65－(－1)，
解得y＝3，
把y＝3代入②，得x＋9＝13，
解得x＝4，
∴方程组的解为
(2)
解不等式①，得x>1；
解不等式②，得x<5，
所以不等式组的解集为1数轴表示如图：
第17题图
18．(6分)如图，已知∠AOB，点M，N.求作：点P，使PM＝PN，并且点P到∠AOB两边的距离相等．(要求：不写作法，只保留作图痕迹)
第18题图
解：如图，点P为所求作．
18题图
19．(8分)[2023·聊城]如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C.
求证：∠EAD＝∠EDA.
第19题图
证明：∵∠B＝∠AED＝∠C，∠AEC＝∠B＋∠BAE＝∠AED＋∠CED，
∴∠BAE＝∠CED，
在△ABE和△ECD中，
∴△ABE≌△ECD(AAS)，
∴AE＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA.
20．(8分)[2024春·济宁期末]在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球6个，白球10个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是.
(1)求任意摸出一个球是黑球的概率；
(2)小明从盒子里取出a个黑球(其他颜色球的数量没有改变) ，使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概率为，请求出a的值．
解：(1)∵红球6个，白球10个，黑球若干个，从中任意摸出一个白球的概率是，
∴盒子中球的总数为10÷＝30(个)，
故盒子中黑球的个数为30－6－10＝14(个)；
∴任意摸出一个球是黑球的概率为：＝；
(2)∵任意摸出一个球是红球的概率为；
∴盒子中球的总量为6÷＝24 (个)，
∴可以将盒子中的黑球拿出30－24＝6(个)，
∴a＝6.
21．(8分)如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D，E分别在边AB，AC上，BD＝BC＝CE，连接CD，BE.
(1)若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度数；
(2)写出∠BEC与∠BDC之间的关系，并说明理由．
第21题图
解：(1)∵∠ABC＝80°，BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD＝50°.
在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，
∵∠A＝40°，
∴∠ACB＝60°，
∵CE＝BC，
∴∠EBC＝60°.
∴∠ABE＝∠ABC－∠EBC＝20°；
(2)∠BEC，∠BDC的关系：∠BEC＋∠BDC＝110°.
理由：设∠BEC＝α，∠BDC＝β.
在△ABE中，
α＝∠A＋∠ABE＝40°＋∠ABE，
∵CE＝BC，
∴∠CBE＝∠BEC＝α.
∴∠ABC＝∠ABE＋∠CBE＝∠A＋2∠ABE＝40°＋2∠ABE，
在△BDC中，∵BD＝BC，
∴∠BDC＋∠BCD＋∠DBC＝2β＋40°＋2∠ABE＝180°.
∴β＝70°－∠ABE.
∴α＋β＝40°＋∠ABE＋70°－∠ABE＝110°.
∴∠BEC＋∠BDC＝110°.
22．(8分)[2024·长沙]刺绣是我国民间传统手工艺，湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外．在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A，B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1 200元．
(1)求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？
(2)该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50 000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？
解：(1)设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元，
根据题意，得
解得
答：A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元；
(2)设购买A种湘绣作品m件，则购买B种湘绣作品(200－m)件，
根据题意，
得300m＋200(200－m)≤50 000，
解得m≤100，
∴m的最大值为100.
答：最多能购买100件A种湘绣作品．
23．(12分)如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，分别过B，C向过A的直线作垂线，垂足分别为E，F.
第23题图
(1)如图1，过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF＝BE＋CF；
(2)如图2，过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE＝10，CF＝3，求FE长．
解：(1)∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC＝∠BEA＝∠CFA＝90°，
∴∠EAB＋∠CAF＝90°，∠EBA＋∠EAB＝90°，
∴∠CAF＝∠EBA，
在△ABE和△AFC中，
∴△BEA≌△AFC(AAS)．
∴EA＝FC，BE＝AF.
∴EF＝EB＋CF；
(2)∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC＝∠BEA＝∠CFA＝90°，
∴∠EAB＋∠CAF＝90°，∠ABE＋∠EAB＝90°，
∴∠CAF＝∠ABE，
在△ABE和△CAF中，
∴△ABE≌△CAF(AAS)．
∴EA＝FC＝3，AF＝BE＝10.
∴EF＝AF－CF＝10－3＝7.
24．(14分)如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为t秒，连接AP.
(1)当t＝5秒时，求AP的长度；
(2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值；
(3)过点D作DE⊥AP于点E，连接PD，在点P的运动过程中，当PD平分∠APC时，直接写出t的值．
第24题图
解：(1)根据题意，得BP＝2t，
∴PC＝16－2t＝16－2×5＝6，
在Rt△APC中，AC＝8，
由勾股定理，得AP＝＝＝10；
(2)在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝16，
由勾股定理，得AB＝＝8 .
若BP＝BA，则2t＝8 ，解得t＝4 ；
若AP＝AB，则BP＝2BC＝2×16＝32，2t＝32，解得t＝16；
若PB＝PA，则(2t)2＝(16－2t)2＋82，解得t＝5.
答：当△ABP为等腰三角形时，t的值为4 ，16，5；
(3)①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于点E，如图1所示：
第24题图
则∠AED＝∠PED＝90°，
∴∠PED＝∠ACB＝90°，
∵PD平分∠APC，
∴∠EPD＝∠CPD，
又∵PD＝PD，
∴△PDE≌△PDC(AAS)，
∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝16－2t，
∴AD＝AC－CD＝8－3＝5，
∴AE＝＝＝4，
∴AP＝AE＋PE＝4＋16－2t＝20－2t，
在Rt△APC中，由勾股定理，得82＋(16－2t)2＝(20－2t)2，
解得t＝5；
②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，如图2所示：
第24题图
同①，得△PDE≌△PDC(AAS)，
∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝2t－16，
∴AD＝AC－CD＝8－3＝5，
∴AE＝＝＝4，
∴AP＝AE＋PE＝4＋2t－16＝2t－12，
在Rt△APC中，由勾股定理，得82＋(2t－16)2＝(2t－12)2，
解得t＝11；
综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，PD平分∠APC.期末综合测试卷( )
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列命题为假命题的是( )
A．三角形的三个内角的和为180°
B．三角形的两边之和大于第三边
C．若|a|＝|b|，则a＝b
D．8的立方根是2
2．在图中的各事件中，是随机事件的有( )
第2题图
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．[2024秋·浑南区月考]如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以BC和AC为边向两边分别作正方形，面积分别为S1和S2.已知S2＝36，且AB＝8，则S1的值为( )
第3题图
A．14 B．10 C．44 D．100
4．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，BC＝10，△BCD的面积为30，对角线BD平分∠ABC，则AD的长为( )
第4题图
A．3 B．6 C．5 D．无法确定
5．[2024·邯郸期末]关于x的不等式组有解，且其解都是不等式3x≤15的解，则a的取值范围为( )
A．a< B．－1≤a<
C．－26．有菜农共10人，每人可种茄子3亩或辣椒2亩，已知茄子每亩可收入0.5万元，辣椒每亩可收入0.8万元，若要使总收入不低于15.6万元，则最多只能安排种茄子的人数为( )
A．3人 B．4人 C．5人 D．6人
7．在一个不透明的口袋中，放置3个黄球，1个红球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了蓝球出现的频率(如图所示)，则n的值最可能是( )
第7题图
A．4 B．5 C．6 D．7
8．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是BC上的中点，点E，F分别在AB，AC上，且BE＝AF，若AB＝4，则EF的最小值为( )
第8题图
A. B．2 C．2 D．4
9．[2024·安徽]已知实数a，b满足a－b＋1＝0，0＜a＋b＋1＜1，则下列判断正确的是( )
A．－＜a＜0 B.＜b＜1
C．－2＜2a＋4b＜1 D．－1＜4a＋2b＜0
10．如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线BD和∠ACB相邻的外角平分线CD交于点D，过点D作DE∥BC交AB于E，交AC于G，若EG＝2，且GC＝6，则BE长为( )
第10题图
A．8 B．7 C．10 D．9
二、填空题(每题3分，共18分)
11．[2024·内蒙古]从一副普通的扑克牌中取出五张牌，它们的牌面数字分别是4，4，5，5，6.将这五张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是4的概率是 ．
12．平面直角坐标系中，若点P(a，2a－1)在第四象限，则a的取值范围是 ．
13．[2024·杭州期中]如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠C＝90°，将△ABC沿DE折叠，得到△A′DE，A′E∥BC，A′D与AB相交于点F，当∠A＝32°时，则∠ADE的度数为 ．
第13题图
14．[2024秋·青秀区月考]如图，OC平分∠AOB，P是OC上一点，过点P作PM⊥OA于M, PM＝4，N是OB上任意一点，连接NP，则NP的最小值为 ．
第14题图
15．如图，直线l1：y＝2x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，b)，则关于x，y的方程组的解为 ．
第15题图
16．如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC与BE相交于点M，AD与CE相交于点N，连接MN，PC，则下列五个结论：①∠BMC＝∠BMA ②∠APB＝60° ③AN＝BM ④△CMN是等边三角形 ⑤PC平分∠BPD.其中，正确的是 ．(填序号)
第16题图
三、解答题(共72分)
17．(8分)(1)解方程组：
(2)[2024·西藏]解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．
第17题图
18．(6分)如图，已知∠AOB，点M，N.求作：点P，使PM＝PN，并且点P到∠AOB两边的距离相等．(要求：不写作法，只保留作图痕迹)
第18题图
19．(8分)[2023·聊城]如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C.
求证：∠EAD＝∠EDA.
第19题图
20．(8分)[2024春·济宁期末]在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球6个，白球10个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是.
(1)求任意摸出一个球是黑球的概率；
(2)小明从盒子里取出a个黑球(其他颜色球的数量没有改变) ，使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概率为，请求出a的值．
21．(8分)如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D，E分别在边AB，AC上，BD＝BC＝CE，连接CD，BE.
(1)若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度数；
(2)写出∠BEC与∠BDC之间的关系，并说明理由．
第21题图
22．(8分)[2024·长沙]刺绣是我国民间传统手工艺，湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外．在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A，B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1 200元．
(1)求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？
(2)该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50 000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？
23．(12分)如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，分别过B，C向过A的直线作垂线，垂足分别为E，F.
第23题图
(1)如图1，过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF＝BE＋CF；
(2)如图2，过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE＝10，CF＝3，求FE长．
24．(14分)如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为t秒，连接AP.
(1)当t＝5秒时，求AP的长度；
(2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值；
(3)过点D作DE⊥AP于点E，连接PD，在点P的运动过程中，当PD平分∠APC时，直接写出t的值．
第24题图