期中综合测试卷
一、选择题(每题3分，共30分)
1．[2024·大同二模]若∠1＋∠2＝180°，则下列图形一定能推出l1∥l2的
是( C )
2．下列事件中，是随机事件的是( B )
A．标准大气压下加热到100℃时，水沸腾
B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数
C．任意画一个三角形，其内角和是360°
D．明天太阳从东方升起
3．利用加减消元法解方程组下列做法正确的是( D )
A．要消去y，可以将①×5＋②×2
B．要消去x，可以将①×3＋②×(－5)
C．要消去y，可以将①×5＋②×3
D．要消去x，可以将①×(－5)＋②×2
4．小花狗和波斯猫是一对好朋友， 它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候，若是早晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；若是晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声．细心的小娟对它们的叫声统计了15天，发现它们并不是每天早晚都见面，在这15天内它们共叫了61声．则波斯猫至少叫了( C )
A．25声 B．26声 C．27声 D．28声
5．下列四个命题中，真命题是( B )
A．“任意四边形内角和为360°”是不可能事件
B．二元一次方程3x＋2y＝14的一组整数解是x＝2，y＝4
C．“预计本题的正确率是95%”表示100位考生中一定有95人做对
D．频率就是概率
6．[2024·温江区模拟]在一只不透明的口袋中放入除颜色外规格完全相同的白球x个，黑球8个，黄球4个，搅匀后随机从中摸取一个恰好是白球的概率为，则x的值为( C )
A．4 B．5 C．6 D．7
7．[2023·朝阳]五一期间，商场推出购物有奖活动：如图，一个可以自由转动的转盘被平均分成六份，其中红色1份，黄色2份，绿色3份，转动一次转盘，指针指向红色为一等奖，指向黄色为二等奖，指向绿色为三等奖(指针指向两个扇形的交线时无效，需重新转动转盘)．转动转盘一次，获得一等奖的概率为( B )
第7题图
A．1 B. C. D.
8．如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为x cm 和y cm，则依题意可列方程组为( B )
第8题图
A. B.
C. D.
9．[2023·重庆]如图，AB∥CD，AD⊥AC，若∠1＝55°，则∠2的度数为( A )
第9题图
A．35° B．45° C．50° D．55°
10．如图，一次函数y＝x的图象与y＝kx＋7的图象相交于点A，则方程组的解是( A )
第10题图
A. B. C. D.
二、填空题(每题3分，共18分)
11．命题“三角形的三个内角中至少有两个锐角”是真命题．(填“真命题”或“假命题”)
12．一副三角板有两个直角三角形，其中一个锐角分别是30°，60°，另一个锐角都是45°，把这两个三角形如图方式摆放，那么∠AOC＝108度．
第12题图
13．[2024春·宜宾期末]解关于x，y的方程组时，正确的解是由于看错了系数c得到的解是则a＋b＋c的值是26．
14．[2024·烟台期末]已知数据：－，，－，，，，π.从中随机抽取一个数是无理数的概率为．
15．[2024春·雁塔区期末]如图是由7个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点P，则点P落在阴影部分的概率为．
第15题图
16．[2024·济宁一模]如图是一款长臂折叠LED护眼灯示意图，EF与桌面MN垂直，当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行时，∠DEF＝120°，∠BCD＝110°，则∠CDE的度数为100°.
第16题图
三、解答题(共72分)
17．(6分)解方程组：
解：
①×5＋②，14x＝－14，
解得x＝－1，
把x＝－1代入①，－2＋y＝－5，
解得y＝－3，
∴原方程组的解是
18．(8分)已知∠1＝∠2，∠D＝∠C.求证：∠A＝∠F.
第18题图
解：∵∠1＝∠2，
∴BD∥CE，
∴∠C＋∠CBD＝180°，
∵∠C＝∠D，
∴∠D＋∠CBD＝180°，
∴AC∥DF，
∴∠A＝∠F.
19．(8分)“五·一”期间，某书城为了吸引读者，设立了一个可以自由转动的转盘(如图，转盘被平均分成12份)，并规定：读者每购买100元的书，就可获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色，黄色，绿色区域，那么读者就可以分别获得45元，30元，25元的购书券，凭购书券可以在书城继续购书．如果读者不愿意转转盘，那么可以直接获得10元的购书券．
第19题图
(1)写出转动一次转盘获得45元购书券的概率；
(2)转转盘和直接获得购书券，你认为哪种方式对读者更合算？请说明理由．
解：(1)P(获得45元购书券)＝；
(2)转转盘对读者更合算．
理由：45×＋30×＋25×＝15(元)．
∵15元＞10元，
∴转转盘对读者更合算．
20．(8分)[2024·沂水县二模]根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元，已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元．
(1)求调整前甲、乙两地该商品的销售单价；
(2)若调整销售单价后，该商品每年在甲地销售m件，在乙地销售n件，用含有m，n的代数式表示，调整后该商品在两地年销售总额．
解：(1)设调整前甲地该商品的销售单价为x元，乙地该商品的销售单价为y元，
由题意，得
解得
答：调整前甲地该商品的销售单价为40元，乙地该商品的销售单价为50元；
(2)销售总额为(1＋10%)×40m＋(50－5)n＝(44m＋45n)元，
答：调整后该商品在两地年销售总额为(44m＋45n)元．
21．(8分)[2023春·西华县期末]命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
第21题图
(1)请将此命题改写成“如果……，那么……”的形式：______________；
(2)如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程(注明理由)．
已知：如图，a⊥l，________．
求证：________．
解：(1)在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行；
(2)已知：a⊥l，b⊥l，
求证：a∥b.
证明：如图，∵a⊥l，b⊥l(已知)，
第21题图
∴∠1＝∠2＝90°(垂直的定义)，
∴a∥b(同位角相等，两直线平行)．
故答案为：b⊥l，a∥b.
22．(10分)[2023春·高新区期末]在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1 000
摸到白球的次数m 58 96 b 295 480 601
摸到白球的频率 a 0.64 0.59 0.59 0.60 0.601
(1)表中的a＝________，b＝________；
(2)“摸到白球”的概率的估计值是________(精确到0.1)；
(3)如果袋中有15个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其他颜色的球．
解：(1)a＝58÷100＝0.58，
b＝200×0.59＝118，
故答案为：0.58，118；
(2)0.6；
(3)15÷0.6－15＝10(个)，
答：除白球外，还有大约10个其他颜色的小球．
23．(12分)[2024春·吉林期末]如图，直线l1：y＝2x＋1与直线l2：y＝mx＋4相交于点P(1，b)，与x轴分别交于A，B两点．
(1)求直线l2的表达式，并结合图象直接写出关于x，y的方程组的解；
第23题图
(2)若垂直于x轴的直线x＝a与直线l1，l2分别交于点C，D，线段CD的长为2，求a的值．
解：(1)把点P(1，b)代入y＝2x＋1，
得b＝2＋1＝3，
∴P(1，3)．
把点P坐标代入y＝mx＋4，得m＋4＝3，
∴m＝－1，
直线l2的表达式为y＝－x＋4；
方程组的解为
(2)直线x＝a与直线l1：y＝2x＋1的交点C为(a，2a＋1)，
与直线l2：y＝－x＋4的交点D为(a，－a＋4)．
∵CD＝2，
∴|2a＋1－(－a＋4)|＝2，
即|3a－3|＝2，
∴3a－3＝2或3a－3＝－2，
∴a＝或a＝.
24．(12分)在 △ABC中，∠A＝70°，D，E分别是边AC，AB上的点(点D不与点A，C重合，点E不与点A，B重合)，P是平面内一动点(点P不与点D，B在同一直线上)．设 ∠PEB＝∠1，∠DPE＝∠2，∠PDC＝∠3.
【类比思考】
(1)如图2，若点 P 在 △ABC的外部，则 ∠1，∠2，∠3之间有何关系？ 写出你的结论，并说明理由；
【拓展探究】
(2)当点P 在边CB的延长线上运动时，试画出相应图形，标注有关字母与数字，并直接写出对应的∠1，∠2，∠3之间的关系式．
第24题图
解：(1)结论：∠3＝∠1＋∠2－70°，理由：
如图1所示：
第24题图
由三角形外角的性质，得
∠4＝∠1－70°，∠3＝∠5＋∠2，
∵∠5＝∠4＝∠1－70°，
∴∠3＝∠1－70°＋∠2＝∠1＋∠2－70°；
第24题图
(2)如图2，
由外角的性质，得
∠4＝∠3－70°，∠1＝∠5＋∠2，
∵∠5＝∠4＝∠3－70°，
∴∠1＝∠3－70°＋∠2＝∠3＋∠2－70°；
如图3，
第24题图
由外角的性质，得
∠4＝∠3－70°，∠5＝∠2＋∠1，
∵∠5＝∠4＝∠3－70°，
∴∠3－70°＝∠1＋∠2，
即∠3＝∠1＋∠2＋70°.
综上所述，∠1＝∠3＋∠2－70°或∠3＝∠1＋∠2＋70°.期中综合测试卷
一、选择题(每题3分，共30分)
1．[2024·大同二模]若∠1＋∠2＝180°，则下列图形一定能推出l1∥l2的
是( )
2．下列事件中，是随机事件的是( )
A．标准大气压下加热到100℃时，水沸腾
B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数
C．任意画一个三角形，其内角和是360°
D．明天太阳从东方升起
3．利用加减消元法解方程组下列做法正确的是( )
A．要消去y，可以将①×5＋②×2
B．要消去x，可以将①×3＋②×(－5)
C．要消去y，可以将①×5＋②×3
D．要消去x，可以将①×(－5)＋②×2
4．小花狗和波斯猫是一对好朋友， 它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候，若是早晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；若是晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声．细心的小娟对它们的叫声统计了15天，发现它们并不是每天早晚都见面，在这15天内它们共叫了61声．则波斯猫至少叫了( )
A．25声 B．26声 C．27声 D．28声
5．下列四个命题中，真命题是( )
A．“任意四边形内角和为360°”是不可能事件
B．二元一次方程3x＋2y＝14的一组整数解是x＝2，y＝4
C．“预计本题的正确率是95%”表示100位考生中一定有95人做对
D．频率就是概率
6．[2024·温江区模拟]在一只不透明的口袋中放入除颜色外规格完全相同的白球x个，黑球8个，黄球4个，搅匀后随机从中摸取一个恰好是白球的概率为，则x的值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
7．[2023·朝阳]五一期间，商场推出购物有奖活动：如图，一个可以自由转动的转盘被平均分成六份，其中红色1份，黄色2份，绿色3份，转动一次转盘，指针指向红色为一等奖，指向黄色为二等奖，指向绿色为三等奖(指针指向两个扇形的交线时无效，需重新转动转盘)．转动转盘一次，获得一等奖的概率为( )
第7题图
A．1 B. C. D.
8．如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为x cm 和y cm，则依题意可列方程组为( )
第8题图
A. B.
C. D.
9．[2023·重庆]如图，AB∥CD，AD⊥AC，若∠1＝55°，则∠2的度数为( )
第9题图
A．35° B．45° C．50° D．55°
10．如图，一次函数y＝x的图象与y＝kx＋7的图象相交于点A，则方程组的解是( )
第10题图
A. B. C. D.
二、填空题(每题3分，共18分)
11．命题“三角形的三个内角中至少有两个锐角”是真命题．(填“真命题”或“假命题”)
12．一副三角板有两个直角三角形，其中一个锐角分别是30°，60°，另一个锐角都是45°，把这两个三角形如图方式摆放，那么∠AOC＝108度．
第12题图
13．[2024春·宜宾期末]解关于x，y的方程组时，正确的解是由于看错了系数c得到的解是则a＋b＋c的值是26．
14．[2024·烟台期末]已知数据：－，，－，，，，π.从中随机抽取一个数是无理数的概率为．
15．[2024春·雁塔区期末]如图是由7个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点P，则点P落在阴影部分的概率为．
第15题图
16．[2024·济宁一模]如图是一款长臂折叠LED护眼灯示意图，EF与桌面MN垂直，当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行时，∠DEF＝120°，∠BCD＝110°，则∠CDE的度数为100°.
第16题图
三、解答题(共72分)
17．(6分)解方程组：
18．(8分)已知∠1＝∠2，∠D＝∠C.求证：∠A＝∠F.
第18题图
19．(8分)“五·一”期间，某书城为了吸引读者，设立了一个可以自由转动的转盘(如图，转盘被平均分成12份)，并规定：读者每购买100元的书，就可获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色，黄色，绿色区域，那么读者就可以分别获得45元，30元，25元的购书券，凭购书券可以在书城继续购书．如果读者不愿意转转盘，那么可以直接获得10元的购书券．
第19题图
(1)写出转动一次转盘获得45元购书券的概率；
(2)转转盘和直接获得购书券，你认为哪种方式对读者更合算？请说明理由．
20．(8分)[2024·沂水县二模]根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元，已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元．
(1)求调整前甲、乙两地该商品的销售单价；
(2)若调整销售单价后，该商品每年在甲地销售m件，在乙地销售n件，用含有m，n的代数式表示，调整后该商品在两地年销售总额．
21．(8分)[2023春·西华县期末]命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
第21题图
(1)请将此命题改写成“如果……，那么……”的形式：______________；
(2)如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程(注明理由)．
已知：如图，a⊥l，________．
求证：________．
22．(10分)[2023春·高新区期末]在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1 000
摸到白球的次数m 58 96 b 295 480 601
摸到白球的频率 a 0.64 0.59 0.59 0.60 0.601
(1)表中的a＝________，b＝________；
(2)“摸到白球”的概率的估计值是________(精确到0.1)；
(3)如果袋中有15个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其他颜色的球．
23．(12分)[2024春·吉林期末]如图，直线l1：y＝2x＋1与直线l2：y＝mx＋4相交于点P(1，b)，与x轴分别交于A，B两点．
(1)求直线l2的表达式，并结合图象直接写出关于x，y的方程组的解；
第23题图
(2)若垂直于x轴的直线x＝a与直线l1，l2分别交于点C，D，线段CD的长为2，求a的值．
24．(12分)在 △ABC中，∠A＝70°，D，E分别是边AC，AB上的点(点D不与点A，C重合，点E不与点A，B重合)，P是平面内一动点(点P不与点D，B在同一直线上)．设 ∠PEB＝∠1，∠DPE＝∠2，∠PDC＝∠3.
【类比思考】
(1)如图2，若点 P 在 △ABC的外部，则 ∠1，∠2，∠3之间有何关系？ 写出你的结论，并说明理由；
【拓展探究】
(2)当点P 在边CB的延长线上运动时，试画出相应图形，标注有关字母与数字，并直接写出对应的∠1，∠2，∠3之间的关系式．
第24题图
