类型一 “猪蹄”型(含锯齿型)
1．如图，AB∥CD，EF平分∠BED，∠DEF＋∠D＝66°，∠B－∠D＝28°，则∠BED＝80°.
第1题图
2．[2023春·鞍山期中]如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∠BAD＝80°，∠BCD＝n°，则∠BED的度数为40°＋n°．(用含n的式子表示)
第2题图
3．已知直线AB∥CD，EF是截线，点M在直线AB，CD之间．
(1)如图1，连接GM，HM.求证：∠M＝∠AGM＋∠CHM；
(2)如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M，Q，使得∠AGM＝∠HGQ.试判断∠M与∠GQH之间的数量关系，并说明理由．
第3题图
解：(1)如图1，过点M作MN∥AB，
第3题图
∴MN∥AB∥CD，
∴∠AGM＝∠GMN，∠CHM＝∠HMN，
∵∠GMH＝∠GMN＋∠HMN，
∴∠GMH＝∠AGM＋∠CHM；
(2)∠GQH＝180°－∠M，理由：
如图2，过点M作MN∥AB，
第3题图
由(1)，得∠M＝∠AGM＋∠CHM，
∵HM平分∠GHC，
∴∠CHM＝∠GHM，
∵∠AGM＝∠HGQ，
∴∠M＝∠HGQ＋∠GHM，
∵∠HGQ＋∠GHM＋∠GQH＝180°，
∴∠GQH＝180°－∠M.
类型二 “铅笔”型
4．如图，AB∥ED，∠B＋∠C＋∠D＝( B )
第4题图
A．180° B．360°
C．540° D．270°
5．一大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝270°．
第5题图
6．[2023春·东莞期中]如图，已知AB∥CD.
第6题图
(1)如图1所示，∠1＋∠2＝________；
(2)如图2所示，∠1＋∠2＋∠3＝________，并写出求解过程；
(3)如图3所示，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________；
(4)如图4所示，试探究∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n＝________．
解：(1)180°；
(2)如图2，过点E作AB的平行线EF，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF，CD∥EF，
∴∠1＋∠AEF＝180°，
∠FEC＋∠3＝180°，
∴∠1＋∠2＋∠3＝360°；
第6题图
(3)如图3，过点E，点F分别作AB的平行线，
同理(2)，得∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°×3＝540°，
故答案为：540°；
(4)由(2)和(3)，得∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n＝(n－1)×180°，
故答案为：(n－1)×180°.
类型三 “鸡翅”型和“骨折”型
7．[2024·华蓥市模拟]如图，已知AB∥DE，∠ABC＝150°，∠CDE＝70°，则∠BCD的度数为( B )
第7题图
A．30° B．40°
C．35° D．45°
8．如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，则∠EAB的度数为57°．
第8题图
9．[2023春·河源期中]已知直线l1∥l2, A是l1上的一点，B是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于点C和D，直线CD上有一点P.
(1)如果P点在C，D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由；
(2)若点P在C，D两点的外侧运动时(P点与C，D不重合)，试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？(请直接写出答案，不需要证明)
第9题图
解：(1)∠PAC＋∠PBD＝∠APB.
过点P作PE∥l1，如图1所示．
第9题图
∵ PE∥l1，l1∥l2，
∴ PE∥l1∥l2，
∴∠PAC＝∠APE，∠PBD＝∠BPE，
∵∠APB＝∠APE＋∠BPE，
∴∠PAC＋∠PBD＝∠APB；
(2)结论：当点P在直线l1上方时，∠PBD－∠PAC＝∠APB；当点P在直线l2下方时，∠PAC－∠PBD＝∠APB.
①当点P在直线l1上方时，如图2所示．过点P作PE∥l1.
第9题图
∵ PE∥l1，l1∥l2，
∴ PE∥l1∥l2，
∴∠PAC＝∠APE，∠PBD＝∠BPE，
∵∠APB＝∠BPE－∠APE，
∴∠PBD－∠PAC＝∠APB；
②当点P在直线l2下方时，如图3所示．过点P作PE∥l1.
第9题图
∵PE∥l1，l1∥l2，
∴PE∥l1∥l2，
∴∠PAC＝∠APE，∠PBD＝∠BPE，
∵∠APB＝∠APE－∠BPE，
∴∠PAC－∠PBD＝∠APB.
10．(1)如图1，AB∥CD，CF平分∠DCE，若∠DCF＝30°，∠E＝20°，求∠ABE的度数；
第10题图
(2)如图2，AB∥CD，∠EBF＝2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数；
第10题图
(3)如图3，P为(2)中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，GN∥PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数．
解：(1)过点E作EM∥AB，如图1，
第10题图
∵AB∥CD，
∴CD∥EM∥AB，
∴∠ABE＝∠BEM，∠DCE＝∠CEM，
∵CF平分∠DCE，
∴∠DCE＝2∠DCF，
∵∠DCF＝30°，
∴∠DCE＝60°，
∴∠CEM＝60°，
又∵∠CEB＝20°，
∴∠BEM＝∠CEM－∠CEB＝40°，
∴∠ABE＝40°；
(2)过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，
第10题图
∵∠EBF＝2∠ABF，
∴设∠ABF＝x，∠EBF＝2x，则∠ABE＝3x，
∵CF平分∠DCE，
∴设∠DCF＝∠ECF＝y，则∠DCE＝2y，
∵AB∥CD，
∴EM∥AB∥CD，
∴∠DCE＝∠CEM＝2y，∠BEM＝∠ABE＝3x，
∴∠CEB＝∠CEM－∠BEM＝2y－3x，
同理∠CFB＝y－x，
∵2∠CFB＋(180°－∠CEB)＝190°，
∴2(y－x)＋180°－(2y－3x)＝190°，
∴x＝10°，
∴∠ABE＝3x＝30°；
(3)过点P作PL∥AB，
第10题图
∵GM平分∠DGP，
∴设∠DGM＝∠PGM＝y，则∠DGP＝2y，
∵PQ平分∠BPG，
∴设∠BPQ＝∠GPQ＝x，则∠BPG＝2x，
∵PQ∥GN，
∴∠PGN＝∠GPQ＝x，
∵AB∥CD，PL∥AB，
∴PL∥AB∥CD，
∴∠GPL＝∠DGP＝2y，
∠BPL＝∠ABP＝30°，
∵∠BPL＝∠GPL－∠BPG，
∴30°＝2y－2x，
∴y－x＝15°，
∵∠MGN＝∠PGM－∠PGN＝y－x，
∴∠MGN＝15°.类型一 “猪蹄”型(含锯齿型)
1．如图，AB∥CD，EF平分∠BED，∠DEF＋∠D＝66°，∠B－∠D＝28°，则∠BED＝ .
第1题图
2．[2023春·鞍山期中]如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∠BAD＝80°，∠BCD＝n°，则∠BED的度数为 ．(用含n的式子表示)
第2题图
3．已知直线AB∥CD，EF是截线，点M在直线AB，CD之间．
(1)如图1，连接GM，HM.求证：∠M＝∠AGM＋∠CHM；
(2)如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M，Q，使得∠AGM＝∠HGQ.试判断∠M与∠GQH之间的数量关系，并说明理由．
第3题图
类型二 “铅笔”型
4．如图，AB∥ED，∠B＋∠C＋∠D＝( )
第4题图
A．180° B．360°
C．540° D．270°
5．一大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝ ．
第5题图
6．[2023春·东莞期中]如图，已知AB∥CD.
第6题图
(1)如图1所示，∠1＋∠2＝________；
(2)如图2所示，∠1＋∠2＋∠3＝________，并写出求解过程；
(3)如图3所示，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________；
(4)如图4所示，试探究∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n＝________．
类型三 “鸡翅”型和“骨折”型
7．[2024·华蓥市模拟]如图，已知AB∥DE，∠ABC＝150°，∠CDE＝70°，则∠BCD的度数为( )
第7题图
A．30° B．40°
C．35° D．45°
8．如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，则∠EAB的度数为 ．
第8题图
9．[2023春·河源期中]已知直线l1∥l2, A是l1上的一点，B是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于点C和D，直线CD上有一点P.
(1)如果P点在C，D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由；
(2)若点P在C，D两点的外侧运动时(P点与C，D不重合)，试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？(请直接写出答案，不需要证明)
第9题图
10．(1)如图1，AB∥CD，CF平分∠DCE，若∠DCF＝30°，∠E＝20°，求∠ABE的度数；
第10题图
(2)如图2，AB∥CD，∠EBF＝2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数；
第10题图
(3)如图3，P为(2)中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，GN∥PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数．
