模型一 平移型
图示
模型总结 有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，常要在移动方向上加(减)公共线段，构造线段相等，并利用平行线性质找到对应角相等
1.如图，AB∥CD，点C是BE的中点，直接应用“ASA”定理证明△ABC≌△DCE还需要的条件是( B )
第1题图
A．AB＝CD B．∠ACB＝∠E
C．∠A＝∠D D．AC＝DE
2．[2022·柳州]如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF.有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE.
(1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF.
你选取的条件为(填序号)____(只需选一个条件，多选不得分)，你判定△ABC≌△DEF的依据是________(填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”)；
(2)利用(1)的结论△ABC≌△DEF.求证：AB∥DE.
第2题图
解：(1)(示例)在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SSS)，
故答案为：①，SSS；
(2)证明：∵△ABC≌△DEF，
∴∠A＝∠EDF，
∴AB∥DE.
模型二 旋转型
图示
模型总结 此模型可看成是将三角形绕着公共顶点旋转一定角度所构成的，在旋转过程中，两个三角形无重叠或有重叠，找等角或运用角的和差得到等角
3.[2023春·肥城市期末]如图，已知AE＝AC，∠C＝∠E，下列条件中，无法判定△ABC≌△ADE的是( D )
第3题图
A．∠B＝∠D B．BC＝DE
C．∠1＝∠2 D．AB＝AD
4．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝28°，∠2＝30°，则∠3＝58°．
第4题图
5．[徐州中考]如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE与BD交于点F.
第5题图
(1)求证：AE＝BD；
(2)求∠AFD的度数．
解：(1)证明：∵AC⊥BC，DC⊥EC，
∴∠ACB＝∠ECD＝90°.
∴∠ACB＋∠BCE＝∠ECD＋∠BCE，
即∠ACE＝∠BCD.
在△ACE与△BCD中，
∴△ACE≌△BCD(SAS)．
∴AE＝BD；
(2)设CE与BD交于O点，
第5题图
∵△ACE≌△BCD，
∴∠D＝∠E.
∵∠D＋∠2＝90°，
又∵∠E＝∠D，∠1＝∠2，
∴∠EFD＝90°.
∴∠AFD＝∠EFD＝90°.
模型三 轴对称型
图示
模型总结 所给图形可沿某一直线折叠， 直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意其隐含条件，即公共边或公共角相等
6.[2023春·榕城区期末]如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件，不能使△ABC≌△AED的条件是( A )
第6题图
A．BC＝ED B．AB＝AE
C．∠C＝∠D D．∠B＝∠E
7．如图，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD＝AE，AB＝AC.若∠B＝20°，CD＝5 cm，则∠C＝20°， BE＝5_cm．
第7题图
模型四 “一线三等角”型
图示
模型总结 三个等角(∠A＝∠CPD＝∠B)，称“一线三等角”模型(角度为锐角、钝角)，若等角为直角称“一线三垂直”
8.如图，在△ABC中，AB＝AC，点P, D分别是BC, AC边上的点，且BP＝CD，∠APD＝∠B，若∠APB＝100°，则∠CDP的度数为( C )
第8题图
A．30° B．60° C．100° D．150°
9．[2024·烟台节选]在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为直线BC上任意一点，连接AD.将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°得线段ED，连接BE.
【尝试发现】
(1)如图1，当点D在线段BC上时，线段BE与CD的数量关系为____________；
【类比探究】
(2)当点D在线段BC的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段BE与CD的数量关系并证明．
第9题图
解：(1)如图1，过点E作EM⊥CB交延长线于点M，
第9题图
由旋转得AD＝DE，∠ADE＝90°，
∴∠ADC＋∠EDM＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠DME，∠ADC＋∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠EDM，
∴△ACD≌△DME(AAS)，
∴CD＝EM，AC＝DM，
∵AC＝BC，
∴BM＝DM－BD＝AC－BD＝BC－BD＝CD，
∴BM＝EM，
∵EM⊥CB，
∴BE＝EM＝CD，
故答案为：BE＝CD；
(2)补全图形如图2，BE＝CD，理由：
过点E作EM⊥BC于点M，
第9题图
由旋转得AD＝DE，∠ADE＝90°，
∴∠ADC＋∠EDM＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠DME，∠ADC＋∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠EDM，
∴△ACD≌△DME(AAS)，
∴CD＝EM，AC＝DM，
∵AC＝BC，
∴DM＝BC，
∴DM－CM＝BC－CM，
∴CD＝BM，
∴EM＝BM，
∵EM⊥CB，
∴BE＝EM＝CD.
10．[2024·南宁期末]问题情境：如图1，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，可知∠BAD＝∠C(不需要证明)．
第10题图
特例探究：
如图2，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B，C在∠MAN的边AM，AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D.求证：△ABD≌△CAF；
归纳证明：
如图3，点B，C在∠MAN的边AM，AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1，∠2分别是△ABE，△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC.求证：△ABE≌△CAF；
拓展应用：
如图4，在△ABC中，AB＝AC，AB>BC.点D在边BC上，CD＝2BD，点E，F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC.若△ABC的面积为15，则△ACF与△BDE的面积之和为多少？
解：特例探究：∵CF⊥AE，BD⊥AE，
∴∠BDA＝∠AFC＝90°，
∵∠MAN＝90°，
∴∠ABD＋∠BAD＝90°＝∠BAD＋∠CAF，
∴∠ABD＝∠CAF，
在△ABD和△CAF中，
∴△ABD≌△CAF(AAS)；
归纳证明：∵∠1＝∠BAC，∠1＝∠BAE＋∠ABE，∠BAC＝∠BAE＋∠CAF，
∴∠ABE＝∠CAF，
∵∠2＝∠FCA＋∠CAF，∠BAC＝∠BAE＋∠CAF，∠2＝∠BAC，
∴∠BAE＝∠FCA，
在△ABE和△CAF中，
∴△ABE≌△CAF(ASA)；
拓展应用：∵CD＝2BD，
∴BD＝BC，
∴S△ABD＝S△ABC＝5，
由(2)同理可得△BAE≌△ACF，
∴S△BAE＝S△ACF，
∴S△ACF＋S△BDE＝S△BAE＋S△BDE＝S△ABD＝5.
模型五 半角模型
图示
模型总结 模型特点：∠EAF＝∠BAD，∠ABC＋∠ADC＝180°，AD＝AB.结论：△ADF≌△ABG，△AGE≌△AFE， 模型特点：∠EDF＝∠BDC，∠ABD＋∠ACD＝180°，BD＝CD.结论：△BDE≌△CDG，△FDE≌△FDG.
11.[2023·宜春期中]问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，点E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，连接EF，探究线段BE，EF，DF之间的数量关系．
第11题图
(1)探究发现：小明同学的方法是延长FD到点G，使DG＝BE.连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，从而得出结论：________；
(2)拓展延伸：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，请问(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；
(3)尝试应用：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠ADC＝180°，E，F分别是边BC，CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，请探究线段BE，EF，DF具有怎样的数量关系，并证明．
解：(1)EF＝BE＋FD.
如图1，延长FD到点G，使DG＝BE.连接AG，
第11题图
∵∠ABE＝∠ADG＝∠ADC＝90°，AB＝AD，
∴△ABE≌△ADG(SAS)．
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG.
∴∠BAE＋∠DAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠EAF＝60°.
∴∠GAF＝∠EAF＝60°.
又∵AF＝AF，
∴△AGF≌△AEF(SAS)．
∴FG＝EF.
∵FG＝DF＋DG.
∴EF＝BE＋FD.
故答案为：EF＝BE＋FD；
(2)(1)中的结论EF＝BE＋FD仍然成立．
证明：如图2，延长CB至点M，使BM＝DF，连接AM.
第11题图
∵∠ABC＋∠D＝180°，∠1＋∠ABC＝180°，
∴∠1＝∠D，
在△ABM与△ADF中，
∴△ABM≌△ADF(SAS)．
∴AF＝AM，∠2＝∠3.
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠2＋∠4＝∠BAD＝∠EAF.
∴∠3＋∠4＝∠EAF，即∠MAE＝∠EAF.
在△AME与△AFE中，
∴△AME≌△AFE(SAS)．
∴EF＝ME，即EF＝BE＋BM，
∴EF＝BE＋DF；
(3)结论：EF＝BE－FD.
证明：如图3，在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG.
第11题图
∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADF＋∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF.
在△ABG与△ADF中，
∴△ABG≌△ADF(SAS)．
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF.
∴∠BAG＋∠EAD＝∠DAF＋∠EAD＝∠EAF＝∠BAD.
∴∠GAE＝∠EAF.
∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF(SAS)，
∴EG＝EF，
∵EG＝BE－BG，
∴EF＝BE－FD.模型一 平移型
图示
模型总结 有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，常要在移动方向上加(减)公共线段，构造线段相等，并利用平行线性质找到对应角相等
1.如图，AB∥CD，点C是BE的中点，直接应用“ASA”定理证明△ABC≌△DCE还需要的条件是( )
第1题图
A．AB＝CD B．∠ACB＝∠E
C．∠A＝∠D D．AC＝DE
2．[2022·柳州]如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF.有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE.
(1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF.
你选取的条件为(填序号)____(只需选一个条件，多选不得分)，你判定△ABC≌△DEF的依据是________(填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”)；
(2)利用(1)的结论△ABC≌△DEF.求证：AB∥DE.
第2题图
模型二 旋转型
图示
模型总结 此模型可看成是将三角形绕着公共顶点旋转一定角度所构成的，在旋转过程中，两个三角形无重叠或有重叠，找等角或运用角的和差得到等角
3.[2023春·肥城市期末]如图，已知AE＝AC，∠C＝∠E，下列条件中，无法判定△ABC≌△ADE的是( )
第3题图
A．∠B＝∠D B．BC＝DE
C．∠1＝∠2 D．AB＝AD
4．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝28°，∠2＝30°，则∠3＝ ．
第4题图
5．[徐州中考]如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE与BD交于点F.
第5题图
(1)求证：AE＝BD；
(2)求∠AFD的度数．
模型三 轴对称型
图示
模型总结 所给图形可沿某一直线折叠， 直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意其隐含条件，即公共边或公共角相等
6.[2023春·榕城区期末]如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件，不能使△ABC≌△AED的条件是( )
第6题图
A．BC＝ED B．AB＝AE
C．∠C＝∠D D．∠B＝∠E
7．如图，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD＝AE，AB＝AC.若∠B＝20°，CD＝5 cm，则∠C＝ ， BE＝ _ ．
第7题图
模型四 “一线三等角”型
图示
模型总结 三个等角(∠A＝∠CPD＝∠B)，称“一线三等角”模型(角度为锐角、钝角)，若等角为直角称“一线三垂直”
8.如图，在△ABC中，AB＝AC，点P, D分别是BC, AC边上的点，且BP＝CD，∠APD＝∠B，若∠APB＝100°，则∠CDP的度数为( )
第8题图
A．30° B．60° C．100° D．150°
9．[2024·烟台节选]在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为直线BC上任意一点，连接AD.将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°得线段ED，连接BE.
【尝试发现】
(1)如图1，当点D在线段BC上时，线段BE与CD的数量关系为____________；
【类比探究】
(2)当点D在线段BC的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段BE与CD的数量关系并证明．
第9题图
10．[2024·南宁期末]问题情境：如图1，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，可知∠BAD＝∠C(不需要证明)．
第10题图
特例探究：
如图2，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B，C在∠MAN的边AM，AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D.求证：△ABD≌△CAF；
归纳证明：
如图3，点B，C在∠MAN的边AM，AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1，∠2分别是△ABE，△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC.求证：△ABE≌△CAF；
拓展应用：
如图4，在△ABC中，AB＝AC，AB>BC.点D在边BC上，CD＝2BD，点E，F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC.若△ABC的面积为15，则△ACF与△BDE的面积之和为多少？
模型五 半角模型
图示
模型总结 模型特点：∠EAF＝∠BAD，∠ABC＋∠ADC＝180°，AD＝AB.结论：△ADF≌△ABG，△AGE≌△AFE， 模型特点：∠EDF＝∠BDC，∠ABD＋∠ACD＝180°，BD＝CD.结论：△BDE≌△CDG，△FDE≌△FDG.
11.[2023·宜春期中]问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，点E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，连接EF，探究线段BE，EF，DF之间的数量关系．
第11题图
(1)探究发现：小明同学的方法是延长FD到点G，使DG＝BE.连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，从而得出结论：________；
(2)拓展延伸：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，请问(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；
(3)尝试应用：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠ADC＝180°，E，F分别是边BC，CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，请探究线段BE，EF，DF具有怎样的数量关系，并证明．
