第二十七章 相似
一、选择题（每小题5分，共40分）
1.下列各组图形中，一定相似的是（ B ）
A.两个平行四边形 B.两个正方形
C.两个矩形 D.两个菱形
2.若一栋楼房东西方向的长是40 m，在图纸上的长是50 cm，则这幅图纸的比例尺是（ D ）
A.1∶1.25 B.1∶125
C.1∶8 D.1∶80
3.如图，四边形ABCD与四边形EFGH相似，∠A＝80°，∠F＝70°，∠G＝90°，则∠D的度数为（ D ）
A.70° B.80° C.110° D.120°
4.如图，在△ECD中，∠C＝90°，AB⊥EC于点B，AB＝1.2，EB＝1.6，BC＝12.4，则CD的长为（ C ）
A.14 B.12.4 C.10.5 D.9.3
5.下列四个三角形中，与如图所示的三角形相似的是（ B ）
6.如图，P是正方形ABCD的边BC上的一点，且BP＝3PC，Q是DC的中点，则AQ∶QP＝（ A ）
A.2∶1 B.3∶1 C.3∶2 D.5∶2
7.如图，在△ABC纸片中，∠A＝76°，∠B＝34°.将△ABC纸片沿某处剪开，下列四种剪裁方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（ C ）
A.①② B.②④ C.①③ D.③④
8.如图，在△ABC中，点M在边AB上，且AM＝AB，阅读以下作图步骤：
①以点B为圆心，以小于AM的长为半径画弧，交BA于点D，交BC于点E；
②以点M为圆心，以BD长为半径画弧，交MA于点D'；
③以点D'为圆心，以DE长为半径画弧，交前一条弧于点E'；
④连接ME'并延长，交AC于点N.
根据以上作图，一定可以推得的结论是（ A ）
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
二、填空题（每小题5分，共20分）
9.若△ABC∽△DEF，AC＝2，DF＝6，则△ABC与△DEF的相似比为 1∶3 .
10.已知a，b，c，d是成比例线段，a＝3 cm，b＝2 cm，d＝6 cm，则线段c的长为 9 cm.
11.如图，直线a∥b∥c，直线AC，DF被直线a，b，c所截.若AB＝6，BC＝2，DE＝7，则EF的长为 .
第11题图
12.如图，在△ABC中，AB＝8 cm，AC＝16 cm，点P从点A出发沿边AB以 1 cm/s 的速度向点B运动，同时点Q从点C出发沿边CA以2 cm/s的速度向点A运动.其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是 4或 s.
第12题图
三、解答题（共40分）
13.（10分）如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长，交CE于点E.
（1）求证：△ABD∽△CED；
解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
又∵CE是外角平分线，
∴∠ACE＝∠FCE＝60°，∴∠ABC＝∠FCE，
∴AB∥CE，∴△ABD∽△CED.
（2）若AB＝6，AD＝2CD，求CE的长.
解：（2）由（1）可知△ABD∽△CED，
∴＝.∵AB＝6，AD＝2CD，∴＝2，解得CE＝3.
14.（14分）如图，已知CA⊥AD，ED⊥AD，B是线段AD上的一点，且CB⊥BE，AB＝8，AC＝6，DE＝4.
（1）求证：△ABC∽△DEB；
解：（1）证明：∵CA⊥AD，ED⊥AD，CB⊥BE，
∴∠A＝∠CBE＝∠D＝90°，
∴∠C＋∠CBA＝90°，∠CBA＋∠DBE＝90°，
∴∠C＝∠DBE，∴△ABC∽△DEB.
（2）求线段BD的长.
解：（2）∵△ABC∽△DEB，∴＝，
∴＝，∴BD＝3.
15.（16分）如图，☉O是△ABC的外接圆，BC是☉O的直径，D是的中点，BD交AC于点E.
（1）求证：AD2＝DE·DB；
解：（1）证明：∵D是的中点，∴＝，
∴∠ABD＝∠DAC.
∵∠ADB＝∠EDA，∴△ABD∽△EAD，
∴＝，∴AD2＝DE·DB.
（2）若BC＝5，CD＝，求DE的长.
解：（2）∵＝，∴AD＝DC，
∴DC2＝DE·DB.
∵BC是☉O的直径，∴△BCD是直角三角形，
∴BD＝＝＝2，
∴DE＝＝.第二十七章 相似
一、选择题（每小题5分，共40分）
1.下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A.两个平行四边形 B.两个正方形
C.两个矩形 D.两个菱形
2.若一栋楼房东西方向的长是40 m，在图纸上的长是50 cm，则这幅图纸的比例尺是（ ）
A.1∶1.25 B.1∶125
C.1∶8 D.1∶80
3.如图，四边形ABCD与四边形EFGH相似，∠A＝80°，∠F＝70°，∠G＝90°，则∠D的度数为（ ）
A.70° B.80° C.110° D.120°
4.如图，在△ECD中，∠C＝90°，AB⊥EC于点B，AB＝1.2，EB＝1.6，BC＝12.4，则CD的长为（ ）
A.14 B.12.4 C.10.5 D.9.3
5.下列四个三角形中，与如图所示的三角形相似的是（ ）
6.如图，P是正方形ABCD的边BC上的一点，且BP＝3PC，Q是DC的中点，则AQ∶QP＝（ ）
A.2∶1 B.3∶1 C.3∶2 D.5∶2
7.如图，在△ABC纸片中，∠A＝76°，∠B＝34°.将△ABC纸片沿某处剪开，下列四种剪裁方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（ ）
A.①② B.②④ C.①③ D.③④
8.如图，在△ABC中，点M在边AB上，且AM＝AB，阅读以下作图步骤：
①以点B为圆心，以小于AM的长为半径画弧，交BA于点D，交BC于点E；
②以点M为圆心，以BD长为半径画弧，交MA于点D'；
③以点D'为圆心，以DE长为半径画弧，交前一条弧于点E'；
④连接ME'并延长，交AC于点N.
根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
二、填空题（每小题5分，共20分）
9.若△ABC∽△DEF，AC＝2，DF＝6，则△ABC与△DEF的相似比为 .
10.已知a，b，c，d是成比例线段，a＝3 cm，b＝2 cm，d＝6 cm，则线段c的长为 cm.
11.如图，直线a∥b∥c，直线AC，DF被直线a，b，c所截.若AB＝6，BC＝2，DE＝7，则EF的长为 .
12.如图，在△ABC中，AB＝8 cm，AC＝16 cm，点P从点A出发沿边AB以 1 cm/s 的速度向点B运动，同时点Q从点C出发沿边CA以2 cm/s的速度向点A运动.其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是 s.
三、解答题（共40分）
13.（10分）如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长，交CE于点E.
（1）求证：△ABD∽△CED；
（2）若AB＝6，AD＝2CD，求CE的长.
14.（14分）如图，已知CA⊥AD，ED⊥AD，B是线段AD上的一点，且CB⊥BE，AB＝8，AC＝6，DE＝4.
（1）求证：△ABC∽△DEB；
（2）求线段BD的长.
15.（16分）如图，☉O是△ABC的外接圆，BC是☉O的直径，D是的中点，BD交AC于点E.
（1）求证：AD2＝DE·DB；
（2）若BC＝5，CD＝，求DE的长.
