期末检测卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.下列函数中，y是x的反比例函数的是（ B ）
A.y＝ B.xy＝2
C.y＝x－2 D.y＝
2.如图，该几何体的左视图是（ A ）
3.下列各组线段中，成比例的是（ D ）
A.1 cm，2 cm，3 cm，4 cm
B.2 cm，3 cm，4 cm，5 cm
C.1 cm，2 cm，3 cm，5 cm
D.1 cm，2 cm，5 cm，10 cm
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则cos A的值是（ B ）
A. B. C. D.
5.如图，已知一次函数y1＝kx＋b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象都经过点A（－1，2），B（2，－1）.观察图象可知，不等式kx＋b＜ 的解集是（ D ）
第5题图
A.x＜－1
B.－1＜x＜0
C.x＜－1或0＜x＜2
D.－1＜x＜0或x＞2
6.如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则sin C的值是（ C ）
第6题图
A. B. C. D.1
7.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行线组成的，同一条直线上的A，B，C三点都在平行线上.若线段BC＝4 cm，则线段AC的长是 （ C ）
第7题图
A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.7 cm
8.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，DE垂直平分AB分别交AC，AB于点D，E，连接BD，点C在直线AB上方运动.设BD＝x，AC＝y，则y与x之间的函数关系用图象可以大致表示为（ B ）
第8题图
9.为测量大楼AB的高度，小明测得斜坡CD＝52 m（点A，B，C，D在同一平面内），坡度i＝1∶2.4，坡底C到大楼底部A的水平距离AC＝52 m，在D处测得大楼顶部B的仰角为45°，则大楼AB的高度为（ C ）
第9题图
A.100 m B.104 m C.120 m D.125 m
10.如图，在△ABC中，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点D，交BC于点E.再分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P.作射线BP交AC于点F，过点F作BC的平行线交AB于点G.若AB＝4，BC＝6，则GF的长为（ B ）
第10题图
A.3 B. C.2 D.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11.若反比例函数y＝的图象在第二、四象限，则m的取值范围是 m＞3 .
12.如图，已知△ABC∽△ADB，若AD＝2，CD＝2，则AB的长为 2 .
13.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是 90π .（结果保留π）
14.如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y＝－（x＞0）的图象上，且AB∥y轴，BC⊥AB，垂足为B，交y轴于点C，则△ABC的面积为 2.5 .
第14题图
15.如图，在△ACB和△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BAC＝∠EDC＝α，BC＝4，EC＝，tan α＝，AD与BE所在的直线相交于点F，将△DCE绕点C在平面内旋转，当点F与点D重合时，线段AD的长为 4－2或4＋2 .
第15题图
三、解答题（共75分）
16.（10分）计算下列各题：
（1）cos 30°－tan 60°－cos 45°；
解：原式＝－－ ＝－.
（2）cos 45°－（tan 40°＋1）0＋＋sin 30°.
解：原式＝×－1＋＋＝－1＋1＝.
17.（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，延长AB到点D，使BD＝BC，延长BC到点E，连接DE，AE，且∠D＝∠AEC.
（1）求证：△DBE∽△ECA；
解：（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
∵∠ABC＋∠EBD＝∠ACB＋∠ACE＝180°，∴∠EBD＝∠ACE.
∵∠D＝∠AEC，∴△DBE∽△ECA.
（2）若BC＝3，CE＝2，求AD的长.
解：（2）∵BC＝3，CE＝2，∴BD＝3，BE＝5.
∵△DBE∽△ECA，∴＝，
∴＝，∴AC＝＝AB，
∴AD＝BD＋AB＝3＋＝.
18.（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，－2），B（3，－4），C（6，－3）.
（1）画出将△ABC向上平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求.
（2）以点M（1，2）为位似中心，在网格中画出在第一象限内与△A1B1C1位似的△A2B2C2，且使得△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2∶1.
解：（2）如图，△A2B2C2即为所求.
19.（8分）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是一种我国古代的农用工具，始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械.桔槔示意图如图2所示，OM是垂直于水平地面的支撑杆，OM＝3 m，AB是杠杆，且AB＝6 m，OA∶OB＝2∶1.当点A位于最高点时，∠AOM＝127°.
（1）求点A位于最高点时到地面的距离；
解：（1）如图2，过点O作EF⊥OM于点O，过点A作AG⊥EF于点G.
∵AB＝6 m，OA∶OB＝2∶1，
∴OA＝4 m，OB＝2 m.
∵∠AOM＝127°，∠EOM＝90°，
∴∠AOE＝127°－90°＝37°，
在Rt△AOG中，AG＝AO·sin 37°≈4×0.6＝2.4（m），
∴点A位于最高点时到地面的距离为2.4＋3＝5.4（m），
答：点A位于最高点时到地面的距离为5.4 m.
（2）当点A从最高点下降到最低点A1时，∠AOA1＝54.5°，求此时水桶B上升的高度.
（参考数据：sin 37°≈0.6，sin 17.5°≈0.3，tan 37°≈0.8，结果保留一位小数）
（2）如图2，过点B作BC⊥EF于点C，过点B1作B1D⊥EF于点D.∵∠AOE＝37°，∴∠BOC＝∠AOE＝37°，∠B1OD＝∠A1OE＝54.5°－37°＝17.5°.
∵OB1＝OB＝2 m，
在Rt△OBC中，BC＝sin 37°·OB≈0.6×2＝1.2（m），
在Rt△OB1D中，B1D＝sin 17.5°·OB1≈0.3×2＝0.6（m），
∴BC＋B1D＝1.2＋0.6＝1.8（m），
答：此时水桶B上升的高度为1.8 m.
20.（9分）如图1，点A（m，6），B（6，1）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，作直线AB，分别交坐标轴于点M，N，连接OA，OB.
（1）求反比例函数的解析式和m的值；
解：（1）设反比例函数的解析式为y＝（x＞0）.
将B（6，1）代入y＝，得k＝6.
∴反比例函数的解析式为y＝（x＞0）.
将A（m，6）代入y＝，得m＝1.
（2）求△AOB的面积；
解：（2）如图1，设直线AB的解析式为y＝ax＋b.
将A（1，6）和B（6，1）代入y＝ax＋b，得
解得
∴直线AB的解析式为y＝－x＋7，
∴M（0，7），N（7，0），
∴S△AOB＝S△MON－S△AOM－S△BON
＝OM·ON－OM·｜xA｜－ON·｜yB｜
＝×7×7－×7×1－×7×1＝.
（3）如图2，E是线段AB上一点，作AD⊥x轴于点D，过点E作EF∥AD，交反比例函数图象于点F.若EF＝AD，求点E的坐标.
解：（3）设点E（t，－t＋7），则点F（t，），
∴EF＝－t＋7－.∵EF＝AD，
∴－t＋7－＝×6.解得t1＝2，t2＝3，
∴－t＋7＝5或－t＋7＝4，
∴点E的坐标为（2，5）或（3，4）.
21.（8分）如图，☉O是△DBC的外接圆，过点B作☉O的切线交CD的延长线于点A，DF为☉O的直径，连接BF.
（1）求证：△ADB∽△ABC；
解：（1）证明：连接OB.
∵AB与☉O相切于点B，
∴∠OBA＝90°.
∵DF为☉O的直径，
∴∠DBF＝90°，
∴∠DBF－∠OBD＝∠OBA－∠OBD，
∴∠OBF＝∠DBA.
∵OB＝OF，∴∠OBF＝∠F，∴∠DBA＝∠F.
∵∠F＝∠C，∴∠DBA＝∠C.
∵∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC.
（2）若AB＝4，AD＝2，CD＝BC，求BD的长.
解：（2）∵△ADB∽△ABC，AB＝4，AD＝2，
∴＝＝＝＝，
∴＝＝，∴CD＝6，BD＝BC.
∵CD＝BC，∴BD＝CD＝3，
∴BD的长为3.
22.（12分）【背景】 在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12 V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值RL＝2 Ω）亮度的实验（如图）.已知在串联电路中，电流与电阻R，RL之间的关系为 I＝，通过实验得出的数据如下表所示.
R/Ω … 1 a 3 4 6 …
I/A … 4 3 2.4 2 b …
（1）a＝ 2 ，b＝ 1.5 .
（2）【探究】 根据以上实验，构建出函数y＝（x≥0），结合表格信息，探究函数y＝（x≥0）的图象与性质.
①在平面直角坐标系中画出函数y＝（x≥0）的图象；
解：（2）①函数图象如图所示.
②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是 不断减小 .
（3）【拓展】 结合（2）中的函数图象分析，当x≥0时，≥－x＋6的解集为 x≥2或x＝0 .
23.（12分）【问题初探】
（1）数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E为BC上的两点，连接AD，AE，∠DAE＝45°.李老师引导学生分析，发现图形中存在哪些结论.
①小东发现，∠ADE＝∠BAE.
②小红发现，∠AED＝∠CAD.
请你选择其中一名同学发现的结论，写出证明过程.
解：（1）答案不唯一，写出一个即可.
选小东发现的结论∠ADE＝∠BAE.
证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠C＝×90°＝45°，
∴∠ADE＝∠B＋∠BAD＝45°＋∠BAD，∠BAE＝∠DAE＋∠BAD＝45°＋∠BAD，
∴∠ADE＝∠BAE.
选小红发现的结论∠AED＝∠CAD.
证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝45°，
∴∠AED＝∠C＋∠CAE＝45°＋∠CAE，
∵∠CAD＝∠DAE＋∠CAE＝45°＋∠CAE，
∴∠AED＝∠CAD.
【问题再探】
（2）李老师引导学生们继续分析，当∠BAD为一定度数时，线段BD与DE具有一定的数量关系.小亮根据李老师的分析，提出下面问题，请你解答.
如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E为BC上的两点，连接AD，AE，∠DAE＝45°.若∠BAD＝15°，求证：BD＝DE.
解：（2）证明：如图2，将△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△AKB，连接DK.
∵∠BAK＋∠BAD＝∠EAC＋∠BAD＝∠BAC－∠DAE＝90°－45°＝45°，∴∠DAK＝∠DAE.
∵AD＝AD，AK＝AE，∴△DAK≌△DAE（SAS），
∴∠ADK＝∠ADE＝∠ABD＋∠BAD＝60°，DK＝DE，∴∠KDB＝60°.
∵∠ABK＝∠ABC＝45°，∴∠KBD＝90°，
∴∠BKD＝30°，∴DK＝2BD.
∵DK＝DE，∴BD＝DE.
【学以致用】
（3）如图3，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝5，AC＝3，D，E为BC上的两点，连接AD，AE.若∠DAE＝60°，且AD＝AE，求BE的长.
解：（3）如图3，作CG⊥BA交BA的延长线于点G，则∠G＝90°.
∵∠BAC＝120°，
∴∠CAG＝180°－∠BAC＝60°，
∴∠ACG＝180°－∠G－∠CAG＝30°，
∴AG＝AC＝，∴BG＝BA＋AG＝5＋＝.
在Rt△ACG中，sin∠CAG＝.
∴CG＝AC·sin∠CAG＝3×＝，
在Rt△BGC中，根据勾股定理，得BC＝＝＝7.∵∠DAE＝60°，AD＝AE，
∴△ADE是等边三角形，∴∠AED＝60°，∴∠ACE＋∠CAE＝60°.∵∠BAC＝120°，∴∠ACE＋∠B＝60°，∴∠CAE＝∠B.∵∠ACE＝∠BCA，∴△CAE∽△CBA，∴＝，∴＝，∴CE＝，
∴BE＝BC－CE＝7－＝.期末检测卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A.y＝ B.xy＝2
C.y＝x－2 D.y＝
2.如图，该几何体的左视图是（ ）
3.下列各组线段中，成比例的是（ ）
A.1 cm，2 cm，3 cm，4 cm
B.2 cm，3 cm，4 cm，5 cm
C.1 cm，2 cm，3 cm，5 cm
D.1 cm，2 cm，5 cm，10 cm
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则cos A的值是（ ）
A. B. C. D.
5.如图，已知一次函数y1＝kx＋b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象都经过点A（－1，2），B（2，－1）.观察图象可知，不等式kx＋b＜ 的解集是（ ）
A.x＜－1
B.－1＜x＜0
C.x＜－1或0＜x＜2
D.－1＜x＜0或x＞2
6.如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则sin C的值是（ ）
A. B. C. D.1
7.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行线组成的，同一条直线上的A，B，C三点都在平行线上.若线段BC＝4 cm，则线段AC的长是 （ ）
A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.7 cm
8.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，DE垂直平分AB分别交AC，AB于点D，E，连接BD，点C在直线AB上方运动.设BD＝x，AC＝y，则y与x之间的函数关系用图象可以大致表示为（ ）
9.为测量大楼AB的高度，小明测得斜坡CD＝52 m（点A，B，C，D在同一平面内），坡度i＝1∶2.4，坡底C到大楼底部A的水平距离AC＝52 m，在D处测得大楼顶部B的仰角为45°，则大楼AB的高度为（ ）
A.100 m B.104 m C.120 m D.125 m
10.如图，在△ABC中，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点D，交BC于点E.再分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P.作射线BP交AC于点F，过点F作BC的平行线交AB于点G.若AB＝4，BC＝6，则GF的长为（ ）
A.3 B. C.2 D.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11.若反比例函数y＝的图象在第二、四象限，则m的取值范围是 .
12.如图，已知△ABC∽△ADB，若AD＝2，CD＝2，则AB的长为 .
13.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是 .（结果保留π）
14.如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y＝－（x＞0）的图象上，且AB∥y轴，BC⊥AB，垂足为B，交y轴于点C，则△ABC的面积为 .
15.如图，在△ACB和△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BAC＝∠EDC＝α，BC＝4，EC＝，tan α＝，AD与BE所在的直线相交于点F，将△DCE绕点C在平面内旋转，当点F与点D重合时，线段AD的长为 .
三、解答题（共75分）
16.（10分）计算下列各题：
（1）cos 30°－tan 60°－cos 45°；
（2）cos 45°－（tan 40°＋1）0＋＋sin 30°.
17.（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，延长AB到点D，使BD＝BC，延长BC到点E，连接DE，AE，且∠D＝∠AEC.
（1）求证：△DBE∽△ECA；
（2）若BC＝3，CE＝2，求AD的长.
18.（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，－2），B（3，－4），C（6，－3）.
（1）画出将△ABC向上平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）以点M（1，2）为位似中心，在网格中画出在第一象限内与△A1B1C1位似的△A2B2C2，且使得△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2∶1.
19.（8分）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是一种我国古代的农用工具，始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械.桔槔示意图如图2所示，OM是垂直于水平地面的支撑杆，OM＝3 m，AB是杠杆，且AB＝6 m，OA∶OB＝2∶1.当点A位于最高点时，∠AOM＝127°.
（1）求点A位于最高点时到地面的距离；
（2）当点A从最高点下降到最低点A1时，∠AOA1＝54.5°，求此时水桶B上升的高度.
（参考数据：sin 37°≈0.6，sin 17.5°≈0.3，tan 37°≈0.8，结果保留一位小数）
20.（9分）如图1，点A（m，6），B（6，1）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，作直线AB，分别交坐标轴于点M，N，连接OA，OB.
（1）求反比例函数的解析式和m的值；
（2）求△AOB的面积；
（3）如图2，E是线段AB上一点，作AD⊥x轴于点D，过点E作EF∥AD，交反比例函数图象于点F.若EF＝AD，求点E的坐标.
21.（8分）如图，☉O是△DBC的外接圆，过点B作☉O的切线交CD的延长线于点A，DF为☉O的直径，连接BF.
（1）求证：△ADB∽△ABC；
（2）若AB＝4，AD＝2，CD＝BC，求BD的长.
22.（12分）【背景】 在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12 V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值RL＝2 Ω）亮度的实验（如图）.已知在串联电路中，电流与电阻R，RL之间的关系为 I＝，通过实验得出的数据如下表所示.
R/Ω … 1 a 3 4 6 …
I/A … 4 3 2.4 2 b …
（1）a＝ ，b＝ .
（2）【探究】 根据以上实验，构建出函数y＝（x≥0），结合表格信息，探究函数y＝（x≥0）的图象与性质.
①在平面直角坐标系中画出函数y＝（x≥0）的图象；
②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是 .
（3）【拓展】 结合（2）中的函数图象分析，当x≥0时，≥－x＋6的解集为 .
23.（12分）【问题初探】
（1）数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E为BC上的两点，连接AD，AE，∠DAE＝45°.李老师引导学生分析，发现图形中存在哪些结论.
①小东发现，∠ADE＝∠BAE.
②小红发现，∠AED＝∠CAD.
请你选择其中一名同学发现的结论，写出证明过程.
【问题再探】
（2）李老师引导学生们继续分析，当∠BAD为一定度数时，线段BD与DE具有一定的数量关系.小亮根据李老师的分析，提出下面问题，请你解答.
如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E为BC上的两点，连接AD，AE，∠DAE＝45°.若∠BAD＝15°，求证：BD＝DE.
【学以致用】
（3）如图3，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝5，AC＝3，D，E为BC上的两点，连接AD，AE.若∠DAE＝60°，且AD＝AE，求BE的长.
