题型03 函数的基本性质解题技巧
技法01 利用函数的奇偶性求参数值
纵观历年考题，函数的奇偶性一直是函数及其高考中的重要考点。掌握奇偶性的定义至关重要，若能熟练掌握奇偶性的相关运算，便能有效提升解题速度，实现快速求解。
奇偶性的运算
与指数函数相关的奇函数和偶函数
，（，且）为偶函数，
，（，且）为奇函数
和，（，且）为其定义域上的奇函数
和，（，且）为其定义域上的奇函数
为偶函数
与对数函数相关的奇函数和偶函数
，（且）为奇函数，
，（且）为奇函数
（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（ ）．
A． B．0 C． D．1
1．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知函数是偶函数，则 .
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数为奇函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．
1．（2023·全国·高考真题）已知是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
2．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则 ．
3．（2024·湖北·模拟预测）若函数为偶函数，则 .
技法02 求“奇函数+常函数”的最大值+最小值
在模拟考试和高考中，我们经常会遇到“奇函数+常函数”类型的问题。如果能够熟练掌握相关的本质结论以及奇偶函数的性质，那么求解最大值和最小值可秒解。
在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，则最大值，最小值有
即倍常数
已知分别是函数++1的最大值、最小值，则
1．已知，设函数的最大值是，最小值是，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数是不为0的常数），当时，函数的最大值与最小值的和为（ ）
A． B．6 C．2 D．
1．若函数在区间上的最大值 最小值分别为 ，则的值为（ ）
A．2 B．0 C． D．3
2．函数在区间内的最大值为M，最小值为N，其中，则 ．
3．函数的最大值为，最小值为，若，则 ．
技法03 求“奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)的值
在模拟考试和高考中，我们经常会遇到“奇函数+常函数”的题目类型。如果能够熟练掌握相关的本质结论以及奇偶函数的性质，那么对于表达式f(a)+f(-a)，可以秒解得出解答。
在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，有
即倍常数
（全国·高考真题）已知函数，，则 ．
1．已知，且，则 .
1．若定义在R上的函数为奇函数，设，且，则的值为 ．
2．函数，且，则的值为 .
技法04 函数周期性的应用及解题技巧
纵观历年考题，函数的周期性是函数及高考的重要考点。掌握周期性的定义至关重要，若能熟练掌握周期性的运算规则，则可以显著提高解题速度，实现快速求解。
①若，则的周期为：
②若，则的周期为：
③若，则的周期为：（周期扩倍问题）
④若，则的周期为：（周期扩倍问题）
⑤，周期为，，周期为
⑥，周期为，周期为；，周期为；，周期为
⑦复合函数：的周期为，则的周期也为
⑧若的周期为，则、的周期均为
（2024·河南驻马店·模拟）已知定义在上的奇函数满足，则（ ）
A．0 B． C．253 D．506
1．（2024·山西临汾·三模）已知函数的定义域为，且，，则 ．
2．（2024·四川德阳·一模）定义在R上的函数满足，则下列结论正确的有（ ）
A． B．为奇函数
C．6是的一个周期 D．
1．（2024·四川·模拟预测）已知函数满足，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A． B． C．0 D．1
3．（2024·广东韶关·一模）若为函数的导函数，对任意的，恒有，且，则（ ）
A． B．
C．为偶函数 D．若，则
技法05 函数对称性的应用及解题技巧
纵观历年来的考题，函数的对称性一直是高考数学中函数部分的重要考察点。掌握对称性的定义是解题的基础，而熟悉对称性的运算方法则能有效提升解题速度，实现快速而准确的解答。
轴对称
①若，则的对称轴为
②若，则的对称轴为
点对称
①若，则的对称中心为
②若，则的对称中心为
（全国·高考真题）已知函数，则
A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减
C．的图像关于直线x=1对称 D．的图像关于点（1，0）对称
1．（全国·高考真题）已知函数满足，若函数与图像的交点为则
A．0 B． C． D．
1．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知为奇函数，则（ ）
A． B．14 C． D．18
2．（2024·江西·二模）已知定义在上的函数满足且，则（ ）
A． B． C． D．
技法06 函数4大性质的综合应用及解题技巧
近年高考题中，常常把函数的基本性质结合在一起综合考查，常见的有对称性和周期性结合，奇偶性和周期性结合，掌握相关技巧后，可以做到快速求解，常在小题中使用.
周期性对称性综合问题
①若，，其中，则的周期为：
②若，，其中，则的周期为：
③若，，其中，则的周期为：
奇偶性对称性综合问题
①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为：
②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为：
（2021·全国·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
1．（2021·全国·高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高考真题）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·河北·模拟预测）已知函数的定义域为，且为奇函数，，则一定正确的是（ ）
A．的周期为2 B．图象关于直线对称
C．为偶函数 D．为奇函数
2．（2024·广东河源·模拟预测）已知定义在上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
3．（2024·安徽·模拟预测）已知函数的定义域均为，若为偶函数，为奇函数，且，则（ ）
A． B． C．为奇函数 D．为奇函数
4．（2024·河南·二模）（多选）定义在上的函数满足，则（ ）
A．是周期函数
B．
C．的图象关于直线对称
D．
1．已知函数，若，则（ ）
A． B．2 C．5 D．7
2．已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ．
3．已知关于函数在上的最大值为，最小值，且，则实数的值是 .
4．（2024·全国·模拟预测）（多选）已知函数的定义域为，满足且对任意的，有，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·新疆·一模）已知定义在上的函数，满足，且，，则 .
6．（2024·河南濮阳·模拟预测）（多选）已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意都满足，且为偶函数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．为奇函数
C．是周期函数 D．
7．（2024·广东茂名·一模）（多选）已知函数的定义域为，，且函数为偶函数，则下面说法一定成立的是（ ）
A．是奇函数 B．
C．的图象关于对称 D．
8．（2024·河南·一模）（多选）已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且，则（ ）
A．的图象关于点中心对称 B．
C． D．
9．（2024·辽宁·模拟预测）（多选）已知和分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．4为的一个周期 B．8为的一个周期
C． D．
10．（2024·新疆·三模）（多选）已知，都是定义在上的函数，对任意实数x，y满足，且，则下列结论正确的是
A． B．
C．为奇函数 D．
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技法01 利用函数的奇偶性求参数值
纵观历年考题，函数的奇偶性一直是函数及其高考中的重要考点。掌握奇偶性的定义至关重要，若能熟练掌握奇偶性的相关运算，便能有效提升解题速度，实现快速求解。
奇偶性的运算
与指数函数相关的奇函数和偶函数
，（，且）为偶函数，
，（，且）为奇函数
和，（，且）为其定义域上的奇函数
和，（，且）为其定义域上的奇函数
为偶函数
与对数函数相关的奇函数和偶函数
，（且）为奇函数，
，（且）为奇函数
（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（ ）．
A． B．0 C． D．1
思路点拨：利用函数奇偶性的运算及结论求解即可
思路详解：
【法一】为奇函数，则为奇函数，则
【法二】寻找必要条件，特值，例，略
【法三】定义法，略
1．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知函数是偶函数，则 .
思路详解：
【法一】为奇函数，则为偶函数，而为偶函数，则
【法二】寻找必要条件，特值，例，略
【法三】定义法，略
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数为奇函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．
思路详解：
【法一】为奇函数，则为奇函数，由结论可知，则
【法二】寻找必要条件，特值，例，略
【法三】定义法，略
1．（2023·全国·高考真题）已知是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
【详解】因为为偶函数，则，
又因为不恒为0，可得，即，
则，即，解得.
故选：D.
2．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则 ．
【答案】2
【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解.
【详解】因为为偶函数，定义域为，
所以，即，
则，故，
此时，
所以，
又定义域为，故为偶函数，
所以.
故答案为：2.
3．（2024·湖北·模拟预测）若函数为偶函数，则 .
【答案】
【分析】根据偶函数的定义得，代入化简即得值.
【详解】因为为偶函数，所以，即，
即，即，所以，
故答案为：
技法02 求“奇函数+常函数”的最大值+最小值
在模拟考试和高考中，我们经常会遇到“奇函数+常函数”类型的问题。如果能够熟练掌握相关的本质结论以及奇偶函数的性质，那么求解最大值和最小值可秒解。
在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，则最大值，最小值有
即倍常数
已知分别是函数++1的最大值、最小值，则
思路点拨：利用结论求解即可
思路详解：倍常数=2
【法二】
1．已知，设函数的最大值是，最小值是，则（ ）
A． B．
C． D．
思路详解：
所以
为奇函数，为奇函数
由结论可知
【法二】
2．已知函数是不为0的常数），当时，函数的最大值与最小值的和为（ ）
A． B．6 C．2 D．
思路详解：，由结论可知最大值与最小值的和为6
【法二】最大值+最小值
1．若函数在区间上的最大值 最小值分别为 ，则的值为（ ）
A．2 B．0 C． D．3
【答案】C
【解析】化简函数，得到，构造新函数，得出函数为奇函数，求得最大值与最小值之和为0，进而根据和的值域相同，即可求解.
【详解】由函数，
可得，
令，则，
所以函数为奇函数，图象关于原点对称，
设在上的最大值为，最小值为，则，
因为和的值域相同，
即的最大值与的最大值相同，最小值也相同，
所以，所以.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，函数的图象变换，以及函数的最值的求解，其中解答中合理构造新函数，利用函数的奇偶性求得最大值和最小值的关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
2．函数在区间内的最大值为M，最小值为N，其中，则 ．
【答案】6
【分析】把分离常数变形，再判断为奇函数，最后利用奇函数的对称性求出结果.
【详解】由题意可知，，
设，的定义域为，
所以，
所以为奇函数，所以，
所以
故答案为：
3．函数的最大值为，最小值为，若，则 ．
【答案】1
【分析】将函数解析式边形为，设，则，记，由奇函数的定义得出为奇函数，得出在的最值，结合，即可求出．
【详解】，
设，则，
记，
因为，
所以是在上的奇函数，最大值为，最小值为，
所以，
又因为，
所以，
故答案为：1．
技法03 求“奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)的值
在模拟考试和高考中，我们经常会遇到“奇函数+常函数”的题目类型。如果能够熟练掌握相关的本质结论以及奇偶函数的性质，那么对于表达式f(a)+f(-a)，可以秒解得出解答。
在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，有
即倍常数
（全国·高考真题）已知函数，，则 ．
思路点拨：利用结论求解即可
思路详解：在定义域内为奇函数
所以倍常数=2，解得
1．已知，且，则 .
思路详解：
1．若定义在R上的函数为奇函数，设，且，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据为奇函数得到的对称中心为，再结合得到的对称中心为，然后利用对称性求即可.
【详解】由可得，因为为奇函数，所以的对称中心为，则的对称中心为，又，则.
故答案为：-5.
2．函数，且，则的值为 .
【答案】0
【分析】构造，得到为奇函数，从而根据得到，由求出.
【详解】令，
定义域为或且，关于原点对称，
则，
故为奇函数，
又，故，
解得.
故答案为：0
技法04 函数周期性的应用及解题技巧
纵观历年考题，函数的周期性是函数及高考的重要考点。掌握周期性的定义至关重要，若能熟练掌握周期性的运算规则，则可以显著提高解题速度，实现快速求解。
①若，则的周期为：
②若，则的周期为：
③若，则的周期为：（周期扩倍问题）
④若，则的周期为：（周期扩倍问题）
⑤，周期为，，周期为
⑥，周期为，周期为；，周期为；，周期为
⑦复合函数：的周期为，则的周期也为
⑧若的周期为，则、的周期均为
（2024·河南驻马店·模拟）已知定义在上的奇函数满足，则（ ）
A．0 B． C．253 D．506
思路点拨：利用结论求解即可
思路详解：【详解】因为函数为上的奇函数，所以，
又，则，
所以，
所以函数是周期为8的周期函数，
又，则，
所以，
所以.
故选：A.
1．（2024·山西临汾·三模）已知函数的定义域为，且，，则 ．
思路详解：令，则，
因为，所以，
令，则，得，
令，则，即，
所以，
所以
所以，所以，即，
是以6为周期的周期函数，
所以
2．（2024·四川德阳·一模）定义在R上的函数满足，则下列结论正确的有（ ）
A． B．为奇函数
C．6是的一个周期 D．
思路详解：【详解】该函数满足且，
对于A，令，可得，解得，故A正确；
对于B，令，，所以，所以为偶函数，故B错误；
对于C，令，，
可得，令，可得，
将两式相加得：，所以，
所以，所以，
因此，6是的一个周期，故C正确；
对于D，令，，，所以，
所以，
因为，，
因为，令，，所以，
令，，所以，
令，，所以，
令，，所以，
由于6是的一个周期，
所以，
所以，故D正确；
故选：ACD
1．（2024·四川·模拟预测）已知函数满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依据题意先赋值代入等量关系式求出，再赋值得，进而依据此计算规则逐步求出，即求出是周期为6的周期函数，再依据此计算规则结合和求出，进而结合周期即可求解.
【详解】取代入，
得即，由题解得，
令代入得，
故，
所以是周期为6的周期函数，
又，，所以，
所以，
故选：D.
【点睛】思路点睛：依次赋值和代入分别得到和，再依据所得条件推出即函数周期为6和，进而根据周期性和即可求解.
2．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．
【详解】[方法一]：赋值加性质
因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由，联想到余弦函数和差化积公式
，可设，则由方法一中知，解得，取，
所以，则
，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，
所以．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.
3．（2024·广东韶关·一模）若为函数的导函数，对任意的，恒有，且，则（ ）
A． B．
C．为偶函数 D．若，则
【答案】ABD
【分析】对于A，令求解即可；对于B，令得即可判断；对于C，令得，判断出为偶函数即可做出判断；对于D，通过赋值法，分别求出，发现具有周期性，再利用周期性求解即可.
【详解】原式移项得，
即
对于A，令，则由可得，
故（舍去）或，故A正确：
对于B，令，则，故.
由于，令，则，所以，即有，故B正确：
对于C，令，则，即，
因为，所以，所以为偶函数，
对左右两边同时求导得，所以为奇函数，故C错误；
对于D，由A选项，若，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
由此可得的值有周期性，且周期为6，
且，
故，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】结论点睛：若，的定义域均为，且，则：
（1）若为奇函数，则为偶函数；若为偶函数，则为奇函数，反之未必成立.
（2）若为周期函数，则也是周期函数，且周期相同，反之未必成立.
技法05 函数对称性的应用及解题技巧
纵观历年来的考题，函数的对称性一直是高考数学中函数部分的重要考察点。掌握对称性的定义是解题的基础，而熟悉对称性的运算方法则能有效提升解题速度，实现快速而准确的解答。
轴对称
①若，则的对称轴为
②若，则的对称轴为
点对称
①若，则的对称中心为
②若，则的对称中心为
（全国·高考真题）已知函数，则
A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减
C．的图像关于直线x=1对称 D．的图像关于点（1，0）对称
思路点拨：利用对称性结论求解即可
思路详解：，所以的图象关于直线对称
1．（全国·高考真题）已知函数满足，若函数与图像的交点为则
A．0 B． C． D．
思路详解：
【详解】[方法一]：直接法.
由得关于对称，
而也关于对称，
∴对于每一组对称点，
∴，故选B．
[方法二]：特值法.
由得
不妨设因为，与函数的交点为
∴当时，，故选B．
[方法三]：构造法.
设，则，故为奇函数.
设，则，故为奇函数.
∴对于每一组对称点.
将，代入，即得
∴，故选B．
1．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知为奇函数，则（ ）
A． B．14 C． D．18
【答案】D
【分析】先根据条件得到的对称中心，再根据对称性求和即可.
【详解】因为为奇函数，所以，
即，故的对称中心为，即，
所以，
又，即，
所以.
故选：D
2．（2024·江西·二模）已知定义在上的函数满足且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，可得关于对称，进一步求得，结合条件求得，可求得.
【详解】由，可知关于对称，又，则，
又，则，
，.
故选：A.
技法06 函数4大性质的综合应用及解题技巧
近年高考题中，常常把函数的基本性质结合在一起综合考查，常见的有对称性和周期性结合，奇偶性和周期性结合，掌握相关技巧后，可以做到快速求解，常在小题中使用.
周期性对称性综合问题
①若，，其中，则的周期为：
②若，，其中，则的周期为：
③若，，其中，则的周期为：
奇偶性对称性综合问题
①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为：
②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为：
（2021·全国·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
思路点拨：利用函数的性质综合求解即可
思路详解：因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
故选：B.
1．（2021·全国·高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
思路详解：【详解】[方法一]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
[方法二]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
2．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．
思路详解：因为的图像关于直线对称，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
所以，
.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，
联立得，，
所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，
所以
因为，所以.
所以.
故选：D
3．（2022·全国·高考真题）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
思路详解：
【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；
对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为，均为偶函数，
所以即，，
所以，，则，故C正确；
函数，的图象分别关于直线对称，
又，且函数可导，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
1．（2024·河北·模拟预测）已知函数的定义域为，且为奇函数，，则一定正确的是（ ）
A．的周期为2 B．图象关于直线对称
C．为偶函数 D．为奇函数
【答案】D
【分析】根据函数奇偶性、对称性及周期性对选项逐一分析即可.
【详解】为奇函数，得，
即，则为奇函数，故C错误；
且图象关于点中心对称，故B错误；
可知，函数周期为4，故A错误；
，又图象关于点中心对称，知，
所以，得关于点对称，
则关于点对称，所以为奇函数，故D正确.
故选：D.
2．（2024·广东河源·模拟预测）已知定义在上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据奇函数性质、对称性求得、、，进而有，再确定的周期，利用周期性求函数值的和.
【详解】由为奇函数，知的图象关于点对称，则，
由，得．
由的图象关于直线对称，则的图象关于直线对称，
所以，，
综上，，
由上，，得，
所以，则4为的一个周期，
所以.
故选：C
【点睛】关键点点睛：根据函数的奇偶性、对称性求函数值，并确定周期为关键.
3．（2024·安徽·模拟预测）已知函数的定义域均为，若为偶函数，为奇函数，且，则（ ）
A． B． C．为奇函数 D．为奇函数
【答案】C
【分析】方法一：利用抽象函数的奇偶性和相关条件推导出函数的周期性、对称性等基本性质，逐一对选项进行分析判断；方法二：依题意构造函数法.依题意，可设，则，一一对选项进行计算、验证即得.
【详解】方法一 :（函数性质判断法）由为偶函数，得①．
由为奇函数，得．
又，则②．
则由①，（*），
由②，，
故得． 把取成，得③，
于是，，即函数的周期为2，故B错误；
又因为上的奇函数，则，的周期为2，则，故A错误；
由③得，，即，
故．因为奇函数，故为奇函数，故C正确；
由（*），，得，即为偶函数，
又，所以为偶函数，故D错误.
方法二：（构造函数法）依题意，可设，则为偶函数，
由为奇函数，且函数的定义域均为，
对于A，，排除A；
对于B，显然的最小正周期是2，排除B；
对于C，是奇函数，故C正确；
对于D，，显然是偶函数，排除D.
故选：C.
4．（2024·河南·二模）（多选）定义在上的函数满足，则（ ）
A．是周期函数
B．
C．的图象关于直线对称
D．
【答案】ABC
【分析】对于A，由已知，可得，则的周期为4，即可判断；对于B，令，可得，则，即可判断；对于C，由已知，可得函数关于对称，关于对称，则的的图象关于直线对称，即可判断；由已知，得，，代值可推得，即可判断.
【详解】由可得，
所以，所以的周期为4，故A正确；
由，令，
则，所以，
又，故B正确；
由，可知函数关于对称，
又的周期为4，则，
所以，即函数关于对称，
则的图象关于直线对称，故C正确；
由，且关于对称，
则，所以，
又，且，
则，又，
所以，
，故D错误.
故选：ABC.
1．已知函数，若，则（ ）
A． B．2 C．5 D．7
【答案】C
【分析】令，利用函数奇偶性计算作答.
【详解】设，
则，即函数是奇函数，
，则，而
所以.
故选：C
2．已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ．
【答案】6
【分析】设，分析可知为奇函数，根据奇函数的对称性分析求解.
【详解】设，
则的定义域为，且连续不断，
由，可知为奇函数，
设在上的最大值为，
由奇函数的对称性可知在上的最小值为，
则函数在区间上的最大值为，最小值为，
所以.
故答案为：6.
3．已知关于函数在上的最大值为，最小值，且，则实数的值是 .
【答案】
【分析】先利用常数分离法化得函数，再构造函数，判断得为奇函数，从而利用奇函数的性质求解即可.
【详解】因为，，
令，，则，
因为定义域关于原点对称，，
所以是在上的奇函数，
故由奇函数的性质得，
所以，
所以，则.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：由于奇函数的图像关于原点对称，所以其最大值与最小值也关于原点对称，这一性质是解决本题的关键所在.
4．（2024·全国·模拟预测）（多选）已知函数的定义域为，满足且对任意的，有，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】B选项，赋值得到；C选项，令，结合得到，故C正确；A选项，中，赋值得到，题目条件中令得到；D选项，求出函数的周期为，并且，从而求出D正确.
【详解】B选项，，
令得，因为，所以，故B正确：
C选项，令得，
即，所以，故C正确；
A选项，由C选项知，，故，
中，
令得，解得，故A错误；
D选项，中，令得
①，
中，将换成得
②，①②两式相加得，
即，
则，所以．
故函数的周期为，
由得，
由得，
故，
所以，故D正确.
故选：BCD．
【点睛】知识点点睛：设函数，，，．
（1）若，则函数的周期为2a；
（2）若，则函数的周期为2a；
（3）若，则函数的周期为2a；
（4）若，则函数的周期为2a；
（5）若，则函数的周期为；
（6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为；
（7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为；
（8）若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为；
5．（2024·新疆·一模）已知定义在上的函数，满足，且，，则 .
【答案】
【分析】根据所给条件推出为偶函数且周期为，再求出、、，最后根据周期性计算可得.
【详解】因为，所以，
所以，
又，所以，
即，即，所以为偶函数，
所以，
所以，所以的周期为，
又，，
所以，，，则，
，
所以，又，
所以
.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是由题干所给条件推出的奇偶性与周期性.
6．（2024·河南濮阳·模拟预测）（多选）已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意都满足，且为偶函数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．为奇函数
C．是周期函数 D．
【答案】ACD
【分析】令，可判定A正确；令，得到，可判定B错误；根据题意，推得，得到的周期为，令，求得，结合函数的周期性，求得，可判定D正确．
【详解】对于A，由对于任意都满足，
令，则，所以A正确；
对于B，令，可得，即，
所以函数关于点对称，所以B错误；
对于C，又由为偶函数知关于直线对称，即，
可得，则，所以，
所以函数的周期为，故C正确；
对于D，令，则，
可得，
所以，所以D正确．
故选：ACD．
【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键是得出函数的周期为，并利用函数性质求出，由此即可顺利得解.
7．（2024·广东茂名·一模）（多选）已知函数的定义域为，，且函数为偶函数，则下面说法一定成立的是（ ）
A．是奇函数 B．
C．的图象关于对称 D．
【答案】AC
【分析】选项C，由于函数为偶函数，得到，进而替换变量得到，判断即可；选项A，由于，变量替换后得到，结合已知，即可判断奇偶性；选项B，已知，得到，变量替换后得到，得到函数的周期性，进而求得结果；选项D，已知，得到，，同样利用函数的周期性得到，即可求得结果.
【详解】对于选项C，是偶函数，得：，
将替换为，得：，
所以函数关于直线对称，选项C正确；
对于选项A，因为，将替换为，得：，
又因为，即，
，是奇函数，选项A正确；
对于选项B，，将替换为，
得：，所以4为函数的周期，
又因为是奇函数，且函数的定义域为，，
，选项B错误.
对于选项D，由已知，
分别代入，得：，，
，
同时4为的周期，，选项D错误.
故选：AC.
8．（2024·河南·一模）（多选）已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且，则（ ）
A．的图象关于点中心对称 B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】先根据条件分析出的周期性和对称性，再得到的周期性，根据函数性质即可得结果.
【详解】由题意可得，两式相减可得①，
所以的图象关于点成中心对称，故A错误；
由②，②式两边对求导可得，
可知是偶函数，以替换①中的可得，
可得，所以是周期为4的周期函数，故B正确；
因为，可知也是周期为4的周期函数，
即，两边求导可得，所以，故C正确；
因为，令，则，即，
又因为是偶函数，所以，又因为是周期为4的周期函数，
则，由可得，
所以，D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：解决这类题的关键是熟练掌握对称与周期的关系，若关于两点（纵坐标相同）或者两条直线（平行于轴）对称，则周期为这两点或者这两条直线的距离的两倍，若关于一点和一直线（平行于轴）对称，则周期为这点和这条直线的距离的四倍.
9．（2024·辽宁·模拟预测）（多选）已知和分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．4为的一个周期 B．8为的一个周期
C． D．
【答案】BCD
【分析】由题意可得，用替换中的，得，于是可得，进而可得为周期函数，8为最小正周期，即可判断A；用替换且的，即可判断B；根据B及即可判断C；由，可得，即可判断D.
【详解】因为和分别是定义在上的偶函数和奇函数，
所以，，且，
又因为，所以，
即，①
用替换中的，得，
即，②
由①＋②，得，
所以函数关于中心对称，且，
由，可得，
，
所以，
所以为周期函数，8为周期，故A错误；
用替换且的，得，
又因为，
所以，所以，
所以为周期函数，8为周期，故B正确；
所以，故C正确；
又因为，即，
令，则有，
令，则有，
……
令，则有，
所以
所以，故D正确．
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题考查了判断抽象函数的对称性、周期性，考查函数的奇偶性，解题的关键是用替换中的，再结合函数的奇偶性分析，考查推理能力和计算能力，属于较难题．
10．（2024·新疆·三模）（多选）已知，都是定义在上的函数，对任意实数x，y满足，且，则下列结论正确的是
A． B．
C．为奇函数 D．
【答案】ABC
【分析】令即可判断A；令即可判断B；令可得，结合奇函数的定义即可判断C；由选项C，令可得，求出的周期即可求解.
【详解】.
A：令，得，则，故A正确；
B：令，得，即，
又且，所以，解得，故B正确；
C：令，得，即，
得，所以，得，
所以，则为奇函数，故C正确；
D：由选项C知，又，
得①，令替换成，得②，
①②相加，得，则，
得，即的周期为3，所以，
因为，
所以，故D错误.
故选：ABC
【点睛】思路点睛：对于含有，的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有双变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系.此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定.
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