题型02 7类平面向量解题技巧
（“爪子定理”、系数和（等和线、等值线）、极化恒等式、奔驰定理与三角形四心问题、投影法求范围与最值、向量矩形大法的应用、范围与最值综合问题）
技法01 爪子定理的应用及解题技巧
“爪子定理”来源于平面向量三点共线定理，是平面向量基本定理的拓展，用“爪子定理”能更快速求解平面向量中两个基底的系数问题，需同学们重点学习掌握.
“爪子定理”的图示及性质：
已知在线段上，且，则
（全国·高考真题）设为所在平面内一点，且，则（ ）
A. B.
C. D.
1．（2024·云南昆明·一模）在中，点满足，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·统考高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A． B． C． D．
1.（全国·高考真题）在中，，．若点满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·辽宁·模拟预测）在中，点、在边上，，设，，则（ ）
A． B． C． D．
3．在平行四边形ABCD中，点E满足，，则（ ）
A． B． C． D．1
4．如图，在中，是的中点，与交于点，则（ ）
A． B． C． D．
技法02 系数和（等和线、等值线）的应用及解题技巧
近年来，在高考和模拟考试中，涉及“系数和（等和线、等值线）定理”的题目频繁出现。学生们在解答这类问题时，常常需要通过建立坐标系或利用角度与数量积的方法来处理。然而，由于解题思路不够清晰和解题过程的复杂性，得分率往往不高。相比之下，向量三点共线定理与等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数运算转化为距离的比例运算。这种数形结合的思想不仅得到了有效体现，而且为解决相关问题提供了新的思路，大家可以学以致用。
如图，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知：
存在，使得
下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值
①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得
而，所以，于是
②若时，
（i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则
，不妨设与的相似比为
由三点共线可知：存在使得：
所以
（ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得：
所以
于是
综合上面的讨论可知：图中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。
我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则 (的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围
（全国·高考真题）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为
A．3 B．2 C． D．2
1．边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段(含短点)上运动，是圆上及其内部的动点，设向量，则的取值范围是（ ）
1．如图，点C在半径为1，圆心角的扇形的弧上运动．已知，则当时， ；的最大值为 ．
2．如图，已知正方形，点E，F分别为线段，上的动点，且，设（x，），则的最大值为 .
3．如图，在直角梯形中， ， ∥， ， ，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
技法03 极化恒等式的应用及解题技巧
通过应用向量的极化恒等式，我们可以迅速将共起点或共终点的两个向量的数量积问题转化为更易处理的形式。这一方法彰显了向量的几何特性，并使得迅速解决（秒杀）向量数量积问题成为现实。极化恒等式的巧妙之处在于它构建了向量数量积与几何长度（数量）之间的联系，巧妙地将向量学、几何学和代数学结合起来。对于那些不共起点或不共终点的向量问题，我们可以通过平移转化法将其等价转换为共起点或共终点的向量数量积问题，进而利用极化恒等式来求解。因此，深入学习和掌握这一方法是十分必要的。
极化恒等式
恒等式右边有很直观的几何意义:向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系
如图在平行四边形 中,
则
在上述图形中设平行四边形 对角线交于 点, 则对于三角形来说:
（2023·全国·统考高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A． B．3 C． D．5
1．（2022·北京·统考高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
，则
1．（2024·广东佛山·模拟预测）已知点在圆上运动，点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·辽宁·模拟预测）在矩形中，，为中点，为平面内一点，.则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·安徽芜湖·三模）已知与直线交于两点，且被截得两段圆弧的长度之比为，若为上一点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
技法04 奔驰定理与三角形四心问题的应用及解题技巧
平面向量问题在高中数学领域备受关注，尽管在高考中所占的比重并不大，通常以选择题或填空题的形式出现，难度也大多保持在中等水平。然而，偶尔也会作为压轴题目出现。在平面向量领域，有许多重要的应用，例如系数和（等和线）、极化恒等式等。此外，我们还将继续探讨另一个关键结论——奔驰定理。该定理巧妙地将三角形的四心与向量结合在一起，为高中生提供了一个课外拓展知识的机会，有助于加深对三角形的理解，并增强对数学的认识。
所谓的“奔驰定理”，因其图形与奔驰汽车的标志相似而得名，它揭示了平面向量与三角形面积之间的一个优雅关系。掌握这一定理不仅能够提高解题效率，而且对于强化数学学习具有显著效果。
奔驰定理
如图，已知P为内一点，则有.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.
奔驰定理的证明
如图：延长与边相交于点
则
奔驰定理的推论及四心问题
推论是内的一点,且,则
有此定理可得三角形四心向量式
（1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.
（2）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.
（3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r.
（4）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等.
奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.
已知点在内部，有以下四个推论：
①若为的重心，则；
②若为的外心，则；或
③若为的内心，则；备注：若为的内心，则也对.
④若为的垂心，则，或
宁夏·高考真题）已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）
A．重心外心垂心 B．重心外心内心
C．外心重心垂心 D．外心重心内心
1．（江苏·高考真题）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
2．（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）
A．若，则M为的重心
B．若M为的内心，则
C．若M为的垂心，，则
D．若，，M为的外心，则
1．已知是三角形内部的一点，，则的面积与的面积之比是（ ）
A． B．
C．2 D．1
2．点为所在平面内的点，且有，，，则点分别为的（ ）
A．垂心，重心，外心 B．垂心，重心，内心
C．外心，重心，垂心 D．外心，垂心，重心
3．（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足.则（ ）
A．为的外心
B．
C．
D．
技法05 向量投影法求范围与最值的应用及解题技巧
向量数量积的几何意义是:一个向量在另一个向量上的投影和这个向量模的积。如果能巧妙的找到投影长度,数量积就能快速算出，且不用知道两个向量的所成角,所以用投影法能有效解决一类问题
（2024·安徽安庆·三模）已知线段是圆的一条长为4的弦，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
1．如图，已知正六边形ABCDEF边长为1，点P是其内部一点，（包括边界），则的取值范围为
2．（2024·重庆·模拟预测）如图，圆O内接边长为1的正方形是弧（包括端点）上一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
1．的外接圆的半径等于，，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
2．（2024·陕西渭南·一模）已知圆的方程为，直线过点且与圆交于两点，当弦长最短时，（ ）
A． B． C．4 D．8
3．在梯形中，，为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
技法06 向量矩形法求范围与最值的应用及解题技巧
向量矩形法是数学中使用向量来解决范围和最值问题的方法，特别适用于寻找向量的长度范围和最值，常在小题中使用.
如图，在矩形中，若对角线和交于点，为平面内任意一点，有以下
两个重要的向量关系：①；②.
证明：①连接，根据极化恒等式，
可得；
②根据极化恒等式，可得.
在矩形中，，，为矩形所在平面上一点，满足，，则__________.
1．已知点为矩形所在平面上一点，若，，，则 .
2．已知O为矩形内一点，满足，，，则 ．
1．在四边形中，，，则的最小值为 .
2．已知圆，圆,定点,动点，分别在圆和圆上，满足,则线段的取值范围 .
3．在平面直角坐标系中，已知两圆和，又点A坐标为、是上的动点，为上的动点，则四边形能构成矩形的个数为
A．0个 B．2个 C．4个 D．无数个
技法07 范围与最值综合问题的应用及解题技巧
在平面向量的探讨中，范围与最值问题构成了高考命题的热点与难点，它们的复杂性凸显了高考在知识融合点出题的策略。这类题目通常以选择题或填空题的形式出现，解题时需要灵活运用多种方法，难度较大。基础题型涉及根据已知信息推导出某个变量的范围或最大最小值，例如涉及向量的模长、数量积、夹角大小以及系数范围等。在备考过程中，重视基础解题技巧的培养和对典型题型解法的掌握是至关重要的。本讲内容的难度较高，要求学生进行综合性的学习。
（浙江·高考真题）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是
A．1 B．2 C． D．
1．（四川·高考真题）在平面内，定点A，B，C，D满足==,===–2，动点P，M满足=1，=，则的最大值是
A． B． C． D．
2．已知平面向量，，，满足，，则向量与所成夹角的最大值是（ ）
A． B． C． D．
1．已知平面向量满足，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知平面向量满足，，则的最小值是 .
3．（2024·湖北黄冈·一模）已知向量，且，则与夹角的最大值为（ ）
A． B． C． D．
1．如图，在中，点在的延长线上，，如果，那么（ ）
A． B．
C． D．
2．平行四边形中，点在边上，，记，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知△ABC的外接圆半径长为1，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．在扇形中，，为弧上的一动点，若，则的取值范围是 ．
5．（多选）在平行四边形中，，，点是的三边上的任意一点，设，则下列结论正确的是（ ）
A．，
B．当点为中点时，
C．的最大值为
D．满足的点有且只有一个
6．（2024·湖北·一模）如图，在中，是边上靠近点的三等分点，是边上的动点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知是半径为2的圆上的三个动点，弦所对的圆心角为，则的最大值为（ ）
A．6 B．3 C． D．
8．（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为，，，且．设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是的△ABC三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若，则
B．若，，，则
C．若O为△ABC的内心，，则
D．若O为△ABC的垂心，，则
9．如图，在中，，，，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．设，，，则的最大值是 ；的最小值是 .
10．已知，，，，，则的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．
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（“爪子定理”、系数和（等和线、等值线）、极化恒等式、奔驰定理与三角形四心问题、投影法求范围与最值、向量矩形大法的应用、范围与最值综合问题）
技法01 爪子定理的应用及解题技巧
“爪子定理”来源于平面向量三点共线定理，是平面向量基本定理的拓展，用“爪子定理”能更快速求解平面向量中两个基底的系数问题，需同学们重点学习掌握.
“爪子定理”的图示及性质：
已知在线段上，且，则
（全国·高考真题）设为所在平面内一点，且，则（ ）
A. B.
C. D.
思路点拨：利用爪子定理直接求解即可
思路详解：解析：由图可想到“爪字形图得：，解得：，答案：A
1．（2024·云南昆明·一模）在中，点满足，则（ ）
A． B．
C． D．
思路详解：如下图所示：
利用爪子定理直接求解即可，可得.选：C
2．（2022·全国·统考高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A． B． C． D．
思路点拨：利用爪子定理先表示，再间接求解
思路详解：．选：B
1.（全国·高考真题）在中，，．若点满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】试题分析：，故选A．
2．（2024·辽宁·模拟预测）在中，点、在边上，，设，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，由平面向量的线性运算，即可得到结果.
【详解】
由，可得，
则，
又，，所以.
故选：A
3．在平行四边形ABCD中，点E满足，，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】根据向量的线性运算结合平面向量基本定理运算求解.
【详解】因为，则，
整理得，可得，
所以.
故选：A.
4．如图，在中，是的中点，与交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量之间的共线关系，结合共线定理的推论，利用不同的基底，表示向量，建立方程，可得答案.
【详解】在中，设，由，可得，故．
又是的中点，，所以，所以．
由点三点共线，可得，解得，
故．
故选：A．
技法02 系数和（等和线、等值线）的应用及解题技巧
近年来，在高考和模拟考试中，涉及“系数和（等和线、等值线）定理”的题目频繁出现。学生们在解答这类问题时，常常需要通过建立坐标系或利用角度与数量积的方法来处理。然而，由于解题思路不够清晰和解题过程的复杂性，得分率往往不高。相比之下，向量三点共线定理与等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数运算转化为距离的比例运算。这种数形结合的思想不仅得到了有效体现，而且为解决相关问题提供了新的思路，大家可以学以致用。
如图，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知：
存在，使得
下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值
①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得
而，所以，于是
②若时，
（i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则
，不妨设与的相似比为
由三点共线可知：存在使得：
所以
（ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得：
所以
于是
综合上面的讨论可知：图中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。
我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则 (的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围
（全国·高考真题）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为
A．3 B．2 C． D．2
思路点拨：利用系数和求解即可
思路详解：
分析：如图 ，
由系数和可知，当等和线与圆相切时， 最大，此时
故选 .
1．边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段(含短点)上运动，是圆上及其内部的动点，设向量，则的取值范围是（ ）
思路详解：分析:如图，设，由等和线结论，.此为的最小值；
同理，设，由等和线结论，.此为的最大值.
综上可知.
1．如图，点C在半径为1，圆心角的扇形的弧上运动．已知，则当时， ；的最大值为 ．
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，求得相关点坐标，求出或表示出向量坐标，根据列出方程组，对于第一空，可求得的值，即得答案；对于第二空，设，可求得的表达式，结合三角函数辅助角公式即可求得答案.
【详解】以O为坐标原点，以为x轴，过点O作的垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，
则,，
当时, ，则,
由于，故，
即，解得，故；
设,则，
于是由，得，
即，即，
故，
由于，故当时，取最大值2，
即的最大值为2，
故答案为：
【点睛】方法点睛：结合题意特点，建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算解决平面向量基本定理中的求解参数问题.
2．如图，已知正方形，点E，F分别为线段，上的动点，且，设（x，），则的最大值为 .
【答案】
【分析】设边长为1，，建立直角坐标系，求得的坐标，根据题设用表示出，再利用函数的性质，即可求解．
【详解】建立如图所示的直角坐标系，并设边长为1，，
则，可得，
由，
可得，解得其中，
所以，
令，则，
当且仅当时，即时取等号，
所以的最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，向量的坐标运算，以及利用基本不等式求最值的应用，其中解答中将平面向量问题坐标化，通过数形结合求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力．
3．如图，在直角梯形中， ， ∥， ， ，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立直角坐标系，将由点坐标转化后数形结合求解
【详解】以点为坐标原点， 方向为x,y轴正方向建立直角坐标系，则，
，设，则，解得，
故，即，
数形结合可得当时，取最小值2，
当直线与圆相切时，，取得最大值 .
故选：B
技法03 极化恒等式的应用及解题技巧
通过应用向量的极化恒等式，我们可以迅速将共起点或共终点的两个向量的数量积问题转化为更易处理的形式。这一方法彰显了向量的几何特性，并使得迅速解决（秒杀）向量数量积问题成为现实。极化恒等式的巧妙之处在于它构建了向量数量积与几何长度（数量）之间的联系，巧妙地将向量学、几何学和代数学结合起来。对于那些不共起点或不共终点的向量问题，我们可以通过平移转化法将其等价转换为共起点或共终点的向量数量积问题，进而利用极化恒等式来求解。因此，深入学习和掌握这一方法是十分必要的。
极化恒等式
恒等式右边有很直观的几何意义:向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系
如图在平行四边形 中,
则
在上述图形中设平行四边形 对角线交于 点, 则对于三角形来说:
（2023·全国·统考高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A． B．3 C． D．5
思路点拨：利用极化恒等式求解即可
思路详解：设CD中点为O点，由极化恒等式可得：，故选：B.
1．（2022·北京·统考高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
思路详解：记AB的中点为M，连接CM，则
由极化恒等式可得：
即
故选：D
1．（2024·广东佛山·模拟预测）已知点在圆上运动，点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用，计算可得结论.
【详解】由圆，可得圆心，半径，
又，所以，
所以，
因为，所以.
故选：A.
2．（2024·辽宁·模拟预测）在矩形中，，为中点，为平面内一点，.则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】建系，设，根据向量的坐标运算结合辅助角公式可得，再结合正弦函数的有界性分析求解.
【详解】如图，建立平面直角坐标系，
则，
因为，可设，
则，
可得，
其中，
因为，所以.
故选：A.
3．（2024·安徽芜湖·三模）已知与直线交于两点，且被截得两段圆弧的长度之比为，若为上一点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，得到，所以，设为边的中点，根据向量的运算法则，求得，结合圆的性质，即可求解.
【详解】由，可得圆心，半径，
因为直线交圆于两点，且圆被截得两段弧的长度比为，
所以，可得，
设为边的中点，可得，
则
，
当且仅当与方向相同时，等号成立，
因为，所以.
所以的最大值为.
故选：B.
技法04 奔驰定理与三角形四心问题的应用及解题技巧
平面向量问题在高中数学领域备受关注，尽管在高考中所占的比重并不大，通常以选择题或填空题的形式出现，难度也大多保持在中等水平。然而，偶尔也会作为压轴题目出现。在平面向量领域，有许多重要的应用，例如系数和（等和线）、极化恒等式等。此外，我们还将继续探讨另一个关键结论——奔驰定理。该定理巧妙地将三角形的四心与向量结合在一起，为高中生提供了一个课外拓展知识的机会，有助于加深对三角形的理解，并增强对数学的认识。
所谓的“奔驰定理”，因其图形与奔驰汽车的标志相似而得名，它揭示了平面向量与三角形面积之间的一个优雅关系。掌握这一定理不仅能够提高解题效率，而且对于强化数学学习具有显著效果。
奔驰定理
如图，已知P为内一点，则有.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.
奔驰定理的证明
如图：延长与边相交于点
则
奔驰定理的推论及四心问题
推论是内的一点,且,则
有此定理可得三角形四心向量式
（1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.
（2）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.
（3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r.
（4）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等.
奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.
已知点在内部，有以下四个推论：
①若为的重心，则；
②若为的外心，则；或
③若为的内心，则；备注：若为的内心，则也对.
④若为的垂心，则，或
宁夏·高考真题）已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）
A．重心外心垂心 B．重心外心内心
C．外心重心垂心 D．外心重心内心
思路详解：因为，所以到定点的距离相等，所以为的外心，由，则，取的中点，则，所以，所以是的重心；由，得，即，所以，同理，所以点为的垂心，故选C.
1．（江苏·高考真题）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
思路详解：【详解】，
令，
则是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，
即在的平分线上，
，共线，
故点P的轨迹一定通过△ABC的内心，
故选：B
2．（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）
A．若，则M为的重心
B．若M为的内心，则
C．若M为的垂心，，则
D．若，，M为的外心，则
思路详解：
【详解】A选项，因为，所以，
取的中点，则，所以，
故三点共线，且，
同理，取中点，中点，可得三点共线，三点共线，
所以M为的重心，A正确；
B选项，若M为的内心，可设内切圆半径为，
则，，，
所以，
即，B正确；
C选项，若M为的垂心，，
则，
如图，⊥，⊥，⊥，相交于点，
又，
，即，
，即，
，即，
设，，，则，，，
因为，，
所以，即，
同理可得，即，故，
，则，
故，
，则，
故，
，
故，
同理可得，
故，C正确；
D选项，若，，M为的外心，
则，
设的外接圆半径为，故，
，
故，，，
所以，D错误.
故选：ABC
【点睛】结论点睛：点为所在平面内的点，且，则点为的重心，
点为所在平面内的点，且，则点为的垂心，
点为所在平面内的点，且，则点为的外心，
点为所在平面内的点，且，则点为的内心，
1．已知是三角形内部的一点，，则的面积与的面积之比是（ ）
A． B．
C．2 D．1
【答案】B
【分析】取、分别是、中点，根据向量的加法运算以及向量共线可得，再由三角形的相似比即可求解.
【详解】如下图所示，、分别是、中点，
由
得即，所以，
由，，
设，，
则，，
由三角形相似比可得，解得，
因为，所以，即，
所以，
所以，即的面积与的面积之比是
故选：B.
2．点为所在平面内的点，且有，，，则点分别为的（ ）
A．垂心，重心，外心 B．垂心，重心，内心
C．外心，重心，垂心 D．外心，垂心，重心
【答案】A
【分析】由题中向量的关系，根据数量积转化为位置上的关系，进而可判断.
【详解】由，得，
即，
则，
得
所以，则，同理可得，，
即是三边上高的交点，则为的垂心；
由，得，
设的中点为，则，即，，三点共线，
所以在的中线上，同理可得在的其余两边的中线上，
即是三边中线的交点，故为的重心；
由，得，即，
又是的中点，所以在的垂直平分线上，
同理可得，在，的垂直平分线上，
即是三边垂直平分线的交点，故是的外心，
故选：A
3．（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足.则（ ）
A．为的外心
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】由根据数量积的运算律可得,可得为的垂心；结合与三角形内角和等于可证明B选项；结合B选项结论证明即可证明C选项，利用奔驰定理证明可证明D选项．
【详解】解：因为，
同理，，故为的垂心，故A错误；
，所以，
又，所以，
又，所以，故B正确；
故，同理，
延长交与点，则
，
同理可得，所以，故C正确；
，
同理可得，所以，
又，所以，故D正确．
故选：BCD．
技法05 向量投影法求范围与最值的应用及解题技巧
向量数量积的几何意义是:一个向量在另一个向量上的投影和这个向量模的积。如果能巧妙的找到投影长度,数量积就能快速算出，且不用知道两个向量的所成角,所以用投影法能有效解决一类问题
（2024·安徽安庆·三模）已知线段是圆的一条长为4的弦，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
思路点拨：利用向量投影法求解即可
思路详解：取中点，
1．如图，已知正六边形ABCDEF边长为1，点P是其内部一点，（包括边界），则的取值范围为
思路详解：由向量投影法可知，当P点在A点和C点时，分别取得最小值和最大值，
由正六边形的性质得： ，则，，
所以的取值范围为
2．（2024·重庆·模拟预测）如图，圆O内接边长为1的正方形是弧（包括端点）上一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
思路详解：由向量投影法可知，当P点在B点或C点时，取得最小值1，当P点在弧中点时，取得最大值，由几何关系知，最大值为
1．的外接圆的半径等于，，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】以为原点建立平面直角坐标系，设出点坐标，利用向量数量积的坐标运算求得，结合三角函数的取值范围求得的取值范围.
【详解】依题意，的外接圆的半径等于，，
以为原点，为轴建立如图所示平面直角坐标系，，
圆心到，也即轴的距离为，
故圆心，半径，所以圆的标准方程为.
设，与不重合.
所以，由于，所以.
故选：C
2．（2024·陕西渭南·一模）已知圆的方程为，直线过点且与圆交于两点，当弦长最短时，（ ）
A． B． C．4 D．8
【答案】B
【分析】根据题意，由条件可知，当最短时，直线，然后再结合向量的数量积，从而得到结果.
【详解】
当最短时，直线，
，
.
故选：B.
3．在梯形中，，为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，由平面向量的线性运算可得，再结合数量积的运算，即可得到结果.
【详解】
由题意可得，，，则，
则
，
所以.
故选：A
技法06 向量矩形法求范围与最值的应用及解题技巧
向量矩形法是数学中使用向量来解决范围和最值问题的方法，特别适用于寻找向量的长度范围和最值，常在小题中使用.
如图，在矩形中，若对角线和交于点，为平面内任意一点，有以下
两个重要的向量关系：①；②.
证明：①连接，根据极化恒等式，
可得；
②根据极化恒等式，可得.
在矩形中，，，为矩形所在平面上一点，满足，，则__________.
思路点拨：利用向量矩形大法求解即可
思路详解：连接，取的中点，连接和，
因为，
所以.
1．已知点为矩形所在平面上一点，若，，，则 .
思路详解：利用向量矩形大法求解即可，答案为：
2．已知O为矩形内一点，满足，，，则 ．
思路详解：
1．在四边形中，，，则的最小值为 .
【答案】
【分析】构造正方形和圆弧，根据矩形大法可知，，数形结合得到最小值.
【详解】如图所示，构造正方形，边长为，
以为圆心，为半径在正方形内部作作圆，
显然在圆弧上，根据矩形大法可知，，
故当，，三点共线时，取得最小值，
由于，，
故最小值为.
故答案为：
2．已知圆，圆,定点,动点，分别在圆和圆上，满足,则线段的取值范围 .
【答案】
【解析】因为，可得，根据向量和可得，即，由，分别在圆和圆上点设，，求得，由，可得，即可得到，设中点为，求得的取值范围，即可求得答案.
【详解】
，
，
，分别在圆和圆上点
设，，
则，
由，
可，
即，
整理可得：，
，
设中点为，则，
，
即，
点的轨迹是以为圆心，半径等于的圆，
的取值范围是，
的范围为，
故：的范围为
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求同心圆上两点间距离的范围问题，解题关键是掌握向量加法原理和将两点间距离问题转化为中点轨迹问题，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
3．在平面直角坐标系中，已知两圆和，又点A坐标为、是上的动点，为上的动点，则四边形能构成矩形的个数为
A．0个 B．2个 C．4个 D．无数个
【答案】D
【分析】根据题意画出图形，通过计算得出公共弦也是以为直径的圆的直径，结合图形得出满足条件的四边形能构成矩形的个数为无数个．
【详解】解：如图所示，任取圆上一点Q，以为直径画圆，交圆与两点，
设，则中点坐标，
有，
以为直径的圆的方程为，
即，
用的方程减去以为直径的圆的方程，可得公共弦所在的直线方程，
即，
将中点坐标代入上式得：
左边=
右边，
所以公共弦也是以为直径的圆的直径，
则，
根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形即可得出四边形是矩形，
由的任意性知，四边形能构成无数个矩形，
故选D．
【点睛】本题考查两圆的位置关系应用问题，是难题
技法07 范围与最值综合问题的应用及解题技巧
在平面向量的探讨中，范围与最值问题构成了高考命题的热点与难点，它们的复杂性凸显了高考在知识融合点出题的策略。这类题目通常以选择题或填空题的形式出现，解题时需要灵活运用多种方法，难度较大。基础题型涉及根据已知信息推导出某个变量的范围或最大最小值，例如涉及向量的模长、数量积、夹角大小以及系数范围等。在备考过程中，重视基础解题技巧的培养和对典型题型解法的掌握是至关重要的。本讲内容的难度较高，要求学生进行综合性的学习。
（浙江·高考真题）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是
A．1 B．2 C． D．
思路详解：由于垂直，不妨设，，，则，
，表示到原点的距离，表示圆心，为半径的圆，因此的最大值，故答案为C．
1．（四川·高考真题）在平面内，定点A，B，C，D满足==,===–2，动点P，M满足=1，=，则的最大值是
A． B． C． D．
思路详解：由已知易得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则设由已知，得，又
，它表示圆上的点与点的距离的平方的，，故选B.
2．已知平面向量，，，满足，，则向量与所成夹角的最大值是（ ）
A． B． C． D．
思路详解：【详解】，
即，；
，
即，；
设向量与所成夹角为，
（当且仅当时取等号）；
又，.
故选：A.
1．已知平面向量满足，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，求出，建立平面直角坐标系，设，求出轨迹方程，利用几何意义即可求出的最大值.
【详解】由可知,，故，
如图建立坐标系，，，
设，由可得：
，
所以的终点在以为圆心,1为半径的圆上，
所以，几何意义为到距离的2倍，
由儿何意义可知，
故选：D.
2．已知平面向量满足，，则的最小值是 .
【答案】
【分析】根据余弦定理求解长度，进而可判断点的轨迹为以为直径的圆，进而根据三点共线求解最值.
【详解】
令，，，中点为，中点为，为中点，
由，得，
即，即，
所以，即有，
即、,
故，
由，
即，
即有，故点的轨迹为以为直径的圆，
由，
，
故，
则，
故当、、三点共线，且点在点、之间时，最小，
此时，
故.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于利用平面向量的几何意义得到各向量所表示的有向线段的关系，从而将问题化为点到圆上的点的距离的最小值问题，由此得解.
3．（2024·湖北黄冈·一模）已知向量，且，则与夹角的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先得到的夹角为，设，，故，设，由得到，设，设夹角为，表达出，换元后得到，由对勾函数性质得到其值域，从而确定，得到夹角最大值.
【详解】因为，所以，解得，故，
设，，则，
设，则，
则，即，
设，
设夹角为，则，
令，则，
则，令，则，
则，
其中在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得最小值，最小值为，
当或3时，取得最大值，最大值为1，
故，
由于在上单调递减，故，
与夹角的最大值为.
故选：A
【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；
②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.
1．如图，在中，点在的延长线上，，如果，那么（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】用向量的线性运算把向量分解成形式即可得答案.
【详解】∵，
∴，
故选：B．
2．平行四边形中，点在边上，，记，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据给定的几何图形，结合向量的线性运算求解作答.
【详解】在中，，，
所以.
故选：D
3．已知△ABC的外接圆半径长为1，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先分析取最小值的状态，结合数量积的意义和二次函数可求答案.
【详解】由题意，为钝角时，取到最小值；如图，为的中点，在上的投影向量为；
由可知当在上的投影长最长时，即 与圆 相切时，可取到最小值；
，
当时，，所以的最小值为.
故选：B.
4．在扇形中，，为弧上的一动点，若，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】以O为原点，分别为x，y轴正方向建立平面直角坐标系.向量坐标化进行坐标运算，利用三角函数求出的取值范围.
【详解】以O为原点，分别为x，y轴正方向建立平面直角坐标系.
则.不妨设.
因为，所以，解得：，
所以.
因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递减.
所以当时最大；当时最小.
所以的取值范围是.
故答案为：.
5．（多选）在平行四边形中，，，点是的三边上的任意一点，设，则下列结论正确的是（ ）
A．，
B．当点为中点时，
C．的最大值为
D．满足的点有且只有一个
【答案】ABC
【分析】建立坐标系，将四边形的四个点的坐标求出来，利用坐标逐一判断即可.
【详解】解：如图，建立直角坐标系，其中
设点，则，
由，
，故A正确，
对于，当点为中点时，，，B正确；
对于，(此时，即P与C重合时取最大值1)，C正确
对于，由令，
满足条件的点不只有一个，如和，D错误．
故选：ABC.
6．（2024·湖北·一模）如图，在中，是边上靠近点的三等分点，是边上的动点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先用余弦定理求出，再将向量用基底表示，借助向量运算性质计算即可.
【详解】由，解得.
设，
则.
故选：C
7．已知是半径为2的圆上的三个动点，弦所对的圆心角为，则的最大值为（ ）
A．6 B．3 C． D．
【答案】A
【分析】将中向量进行分解，即：，
由是的中点，可将上式进行化简整理为，所以只需求最大，即的长加圆的半径即可，然后代入即可求得的最大值.
【详解】因为弦所对的圆心角为，且圆的半径为2，所以，
取的中点，所以，，如图所示：
因为,
因为是的中点，所以，
，
所以若最大，所以只需最大，
所以，
所以.
故选：A
8．（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为，，，且．设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是的△ABC三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若，则
B．若，，，则
C．若O为△ABC的内心，，则
D．若O为△ABC的垂心，，则
【答案】ACD
【分析】对A，由奔驰定理即可判断；
对B，由面积公式求出，结合奔驰定理即可求；
对C，由奔驰定理，结合内心性质可得，即可得；
对D，由垂心性质及向量数量积的垂直表示可得，
结合奔驰定理结合三角形面积公式，可得，
如图所示分别为垂足，可设，，即可由几何关系列式解出，最后由正切求出余弦值，则由可求
【详解】对A，由奔驰定理可得，，又不共线，故，A对；
对B，，由得，故，B错；
对C，若O为△ABC的内心，，则，又（为内切圆半径），三边满足勾股定律，故，C对；
对D，若O为△ABC的垂心，则，，
又，
同理，∴，
∵，则，
且
如图，分别为垂足，
设，，则，
又，故，
由，解得，
由，故，D对故选：ACD
9．如图，在中，，，，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．设，，，则的最大值是 ；的最小值是 .
【答案】 90
【分析】由，可得当点在线段的延长线上时，共线同向，取得最大值；在线段上取一点，使得，证明，则，可得，当，，三点共线时取“”．
【详解】解：设为中点，
因为
，当点D在线段AC的延长线上取“=”；
所以的最大值是90
在线段AC上取一点M，使得，又，，，而，
，则．
又因为
，当D，M，B三点共线时取“=”.
所以的最小值是
故答案为：90，
【点睛】本题考查平面向量数量积的运算与应用，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，考查运算求解能力，属于难题．
10．已知，，，，，则的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【分析】由题意首先得出为两外切的圆和椭圆上的两点间的距离，再由三角形三边关系将问题转换为椭圆上点到另一个圆的圆心的最大值即可.
【详解】如图所示：
不妨设，
满足，，，
又，即，
由椭圆的定义可知点在以为焦点，长轴长为4的椭圆上运动，
，
所以该椭圆方程为，
而，即，即，
这表明了点在圆上面运动，其中点为圆心，为半径，
又，等号成立当且仅当三点共线，
故只需求的最大值即可，
因为点在椭圆上面运动，所以不妨设，
所以，
所以当且三点共线时，
有最大值.
故选：A.
【点睛】关键点睛：解题的关键是将向量问题转换为圆锥曲线中的最值问题来做，通过数学结合的方法巧妙的将几何问题融入代数方法，从而顺利得解.
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