题型04 4类比较函数值大小关系解题技巧
（两类经典的超越不等式、泰勒不等式、
不等式放缩合集、帕德近似）
技法01 两类经典的超越不等式的应用及解题技巧
关于函数值大小比较的试题在高考中以小题形式考查，本题型可以用方法技巧作答，用两类超越不等式是解决此类问题的突破口，需重点掌握.
，，，
已知 , 则 的大小关系为 ( )
A. B. C. D.
1．（2024·青海西宁·模拟预测）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知则（ ）
A． B． C． D．
1．（2024··安徽合肥·模拟预测）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河南·模拟预测）已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·安徽芜湖·三模）设，则（ ）
A． B． C． D．
技法02 泰勒不等式的应用及解题技巧
本题型在高考中以小题形式考查，是高频考题；本题型可以用方法技巧作答，能用泰勒公式展开是解决此类问题的突破口，需重点掌握.
常见函数的泰勒展开式：
（1），其中；
（2），其中；
（3），其中；
（4），其中；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）．
由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：
，，，
，，，
，，．
（2022年新Ⅰ卷高考真题第7题）设，，则（ ）
A． B． C． D．
1．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国·统考高考真题）设，，．则（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·湖南益阳·三模）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
技法03 不等式放缩的应用及解题技巧
本题型在高考中以小题形式考查，是高频考题；本题型可以用方法技巧作答，能用不等式来放缩是解决此类问题的突破口，需重点掌握.
，，
，，
，
，
放缩程度综合
，
（2022·全国·统考高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
1．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设，则大小关系（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·贵州遵义·三模）设，，，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山东威海·二模）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
技法04 帕德近似的应用及解题技巧
站在竞赛的角度，用帕德近似能快速求解
帕德近似是法国数学家帕德发明的用多项式近似特定函数的方法．
给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：
，
且满足：，，，…，．
注：，，，
已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
1．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
1．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·吉林长春·模拟预测）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·江西宜春·模拟预测）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川成都·模拟预测）已知，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知，，，则它们的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·新疆喀什·三模）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·福建南平·模拟预测）设，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·湖北武汉·二模）设，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·四川·三模）已知则（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·湖北武汉·二模）设，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·江西宜春·三模）已知，，，其中为自然对数的底数，则（ ）
A． B． C． D．
13．（2024·安徽·三模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
14．（2024·河南新乡·三模）设，其中是自然对数的底数，则（ ）
A． B． C． D．
15．（2024·陕西安康·模拟预测）若，则（ ）
A． B．
C． D．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)题型04 4类比较函数值大小关系解题技巧
（两类经典的超越不等式、泰勒不等式、
不等式放缩合集、帕德近似）
技法01 两类经典的超越不等式的应用及解题技巧
关于函数值大小比较的试题在高考中以小题形式考查，本题型可以用方法技巧作答，用两类超越不等式是解决此类问题的突破口，需重点掌握.
，，，
已知 , 则 的大小关系为 ( )
A. B. C. D.
思路点拨：利用结论求解即可
思路详解：，，【答案】
1．（2024·青海西宁·模拟预测）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
思路详解：，，，故选：A.
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知则（ ）
A． B． C． D．
思路详解：
【详解】令，则，所以单调递增，
又，所以，即，
所以，所以，即，所以，
设，则，所以单调递减，
，即，故，，即，所以，
所以，
故选：A.
1．（2024··安徽合肥·模拟预测）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造函数，利用导数求得的单调性和最小值，得到，得出；再构造函数，求得在上递增，结合，得到，即可求解.
【详解】构造函数，则，
令时，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以函数在处取最小值，所以，（且），
可得，所以；
再构造函数，可得，
因为，可得，，所以，在上递增，
所以，可得，即，所以，
综上可得：.
故选：A.
2．（2024·河南·模拟预测）已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据式子结构特征构造函数，利用单调性判断可得，再令，求导判断出单调性可得，即可求得结果.
【详解】由可构造函数，
则，令，解得，
因此可得当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
可知在处取得极小值，也是最小值，所以，
即，故，即
当时，有，所以，可得；
令，
则，
故在上单调递增，
可得，即，
取，则，所以，可得；
综上可得，.
故选：A
【点睛】方法点睛：比较指数以及对数大小问题时，经常通过观察式子的特征合理构造函数并利用导数求得单调性即比较得出结论.
3．（2024·安徽芜湖·三模）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先构造函数，利用导数证明，则，再构造函数，利用导数求出其单调区间，即可比较，构造函数，利用导数求出其单调区间，即可比较，即可得解.
【详解】令，则，
令，则，
所以函数在上单调递增，
所以，即，
所以，
而，
令，
则，
当时，，
所以函数在上单调递减，
所以，
即，所以，
,
令，
则，
令，则，
当时，，
所以函数在上单调递减，
所以，
即当时，，
所以函数在上单调递增，
所以，
即，所以，
综上所述，.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：构造和两个函数，是解决本题的关键.
技法02 泰勒不等式的应用及解题技巧
本题型在高考中以小题形式考查，是高频考题；本题型可以用方法技巧作答，能用泰勒公式展开是解决此类问题的突破口，需重点掌握.
常见函数的泰勒展开式：
（1），其中；
（2），其中；
（3），其中；
（4），其中；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）．
由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：
，，，
，，，
，，．
（2022年新Ⅰ卷高考真题第7题）设，，则（ ）
A． B． C． D．
思路点拨：利用泰勒展开式求解即可
思路详解：泰勒公式法：
因为，所以，所以
因为
所以
综上所述：
故选：C
1．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
思路详解：泰勒展开
设，则，，
，计算得，故选A.
2．（2021·全国·统考高考真题）设，，．则（ ）
A． B． C． D．
思路详解：由泰勒公式, 可知
将 , 分别相应代入估算, 得.
由此可知 .
1．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用切线放缩公式：比较，再由三角函数的单调性，比较.
【详解】由，当时等号成立，知，∵，∴，.
故选：B.
2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先构造函数，再应用函数单调性得出，再根据，取对数判断得出，最后比较可得选项；
【详解】设，则，所以在上单调递增，
所以，即，所以；
因为，所以，即；
又，所以．
故选：C．
3．（2024·湖南益阳·三模）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先通过构造函数得到当时，，再通过构造函数进一步得到，，可比较大小.
【详解】根据题意，，
设，
则，
所以在上单调递增，
所以，即，
令，则，
所以在上单调递增，
从而，即，，
所以，，
从而当时，.
故选：D
技法03 不等式放缩的应用及解题技巧
本题型在高考中以小题形式考查，是高频考题；本题型可以用方法技巧作答，能用不等式来放缩是解决此类问题的突破口，需重点掌握.
，，
，，
，
，
放缩程度综合
，
（2022·全国·统考高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
思路点拨：利用不等式放缩求解即可
思路详解：因为，
所以，即
因为，
所以，即
综上所述：，故选：C
1．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
思路详解：【法一】：不等式放缩一
因为当，
取得：，故
，其中，且
当时，，及
此时，
故，故
所以，所以，故选A
【法二】不等式放缩二
因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．
故选：A．
1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设，则大小关系（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过证明确定的大小关系；通过证明确定的大小关系.
【详解】令，
，所以在上单调递增，
所以，即，，
，所以.
令，
，令，，
，令，则，
所以在上单调递减，，，
所以存在唯一，使得，即当时，，当时，，
即在上单调递增，在上单调递减，所以的最小值为中一个，而，
，所以，即，
所以在上单调递增，所以，
即，，
所以，即.
所以.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题使用构造函数并利用函数的单调性判断函数值大小关系，在构造函数时首先把要比较的值变形为含有一个共同的数值，将这个数值换成变量就有了函数的形式，如在本题中，将视为，将视为函数与的函数值，从而只需比较与这两个函数大小关系即可.
2．（2024·贵州遵义·三模）设，，，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数，利用导数判断出其单调性，即可比较，构造函数，，即可比较，即可得解.
【详解】，，
令，
则，
所以函数在上单调递增，
所以，即，所以，
令，
则，
所以在上单调递减，
所以，即，
令，则，
所以函数在上单调递减，
所以，即，
所以，即，
综上所述，.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：构造函数，，，是解决本题的关键.
3．（2024·山东威海·二模）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令，求导可证明，进而可得，可判断，令，求导可证，令，可判得.
【详解】令，可得，所以在上单调递增，
当时，，所以，
所以，所以，
令，求导可得，
当，，所以单调递减，所以，
即，所以，
令，可得，即，
所以.
故选：B.
技法04 帕德近似的应用及解题技巧
站在竞赛的角度，用帕德近似能快速求解
帕德近似是法国数学家帕德发明的用多项式近似特定函数的方法．
给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：
，
且满足：，，，…，．
注：，，，
已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
思路点拨：利用帕德近似求解即可
思路详解：利用帕德逼近，得，
，，综上，.故选：B
1．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
思路详解：【详解】，
，
.
综上，．故选：A
1．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】应用帕德逼近估算各值的近似值，比较大小关系.
【详解】，，
，
综上，．
故选：B
2．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】应用帕德逼近公式估算各值，比较大小关系即可.
【详解】利用帕德逼近可得，
综上，．
故选：B.
1．（2024·吉林长春·模拟预测）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】构造函数，判断函数单调性，代入数值可比较大小.
【详解】设，，
时，，为减函数，
时，，为增函数，所以，
，即.
设，，
时，，为增函数，
时，，为减函数，
所以，，即，所以.
设，，
为增函数，所以，所以，即.
故选：D
2．（2024·江西宜春·模拟预测）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用作商法可得；构建函数，，利用导数判断的单调性，可得，构建，，利用导数判断的单调性，可得.
【详解】显然，，
因为，所以；
又因为，，
令，．则，
可知在上单调递增，
则，可得，
令，，则在内恒成立，
可知在内单调递增，
则，即，所以；
综上所述：．
故选：A．
3．（2024·四川成都·模拟预测）已知，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】构造函数，研究单调性，进而比较大小即可.
【详解】构造函数，可得，
当时，，因此在单调递减，
又，，
由，故，即.
故选：D.
4．（2024·全国·模拟预测）已知，，，则它们的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由在区间上为单调递增函数，可得到，设，利用导数求得函数在单调递增，可得，进而得到，即可求解.
【详解】由幂函数的性质可知在区间上单调递增，
由于，故，即，
设，可得，
令，解得，
当时，单调递增，可得，
即，即，
两边取为底的指数，可得，即，所以.
故选：A.
5．（2024·新疆喀什·三模）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由正弦函数、对数函数性质易得，构造，利用导数判断单调性，再判断大小关系即可得，即可得结果.
【详解】因为在内单调递增，
则，即，
又因为在内单调递增，
则，，可得；
令，则，，
构建，
则，
可知在上递减，则，即；
综上所述：.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据构建，利用导数判断其单调性，进而可得.
6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】构造函数，和，利用导数求解函数的单调性，即可求解.
【详解】令，，则，
令，则即单调递增，所以，故为增函数，所以，可得，故.
令，则，故为增函数，所以0，即.所以，故，所以b
故选：B.
【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤
(1)作差或变形；
(2)构造新的函数；
(3)利用导数研究的单调性或最值；
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
7．（2024·福建南平·模拟预测）设，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据数据结构特征可通过和比较c和b的大小，再通过构造函数，研究函数的单调性可求解判断a和c，进而得解.
【详解】设函数，又，
所以当时，0，
所以在区间内单调递增，又，
所以当时，0恒成立，即，
所以当时， ，即，
所以，
所以．即；
设，
而，
设，则，
当时，单调递增，所以，
所以当时，，即当时单调递增，
所以，故当时，单调递增，所以，
即，所以，
即，即．
综上，，
故选：B．
【点睛】思路点睛：比较具有共性的复杂的数的大小，通常根据数据共性联系构造函数，通过研究函数单调性得函数的正负情况，从而比较得出数的大小关系.
8．（2024·湖北武汉·二模）设，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造函数、和，其中，利用导数得到它们的单调性即可比较出三者大小关系.
【详解】由已知可得，
设，，则，
所以在上单调递增，
所以，即，所以，
设，，则，
所以在上单调递增，
所以，即，
综上，
设，，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，所以，
所以
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键首先对进行合理变形得，再通过构造函数、和，利用它们的单调性即可比较三者大小关系.
9．（2024·四川·三模）已知则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】合理构造函数，利用导数判断函数的单调性，进而得到的范围，最后得到大小关系即可.
【详解】设
则在上单调递增, 则有即
故，显然，
而，则在上单调递减，
即，故
令，显然，故，而，
令，可得，故在上单调递增，
若，则，综上一定成立，故A正确.
故选：A
10．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造，利用导数证明，代入可比较的大小，根据对数函数的性质可判断的大小，从而可求解.
【详解】设，则，
所以在上单调递减，所以，
所以，所以，即，
所以，即，
所以，即.
由，可得，即，即，
所以，即.
综上所述，.
故选:B.
11．（2024·湖北武汉·二模）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题利用作差法构造出两个式子相减类型的函数，然后求导求得其在上的单调性，从而求得该函数是大于0还是小于0，从而可判断a、b的大小关系；用同样的方法进一步构造函数并求导来比较a、c的大小关系，最终确定a、b、c的大小关系.
【详解】令，易求，
当时，，所以在单调递增，
所以 ，所以，即，所以.
令，
则，
令，则，
因为，则，
可得，则，
所以在内单调递增，则，
即在内恒成立，则在内单调递增，
可得，即，所以，
综上所述：
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是合理构造函数，利用导数研究其单调性，然后再代入比较相关大小关系.
12．（2024·江西宜春·三模）已知，，，其中为自然对数的底数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先将化成统一形式，构造函数，研究单调性进而比较大小即可.
【详解】由题意得，，；
设，则，
当时，，所以单调递增，又，
所以，即，所以.
故选：A.
13．（2024·安徽·三模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造函数，利用导数求取单调性可得、之间大小关系，构造函数，利用导数求取单调性可得、之间大小关系，即可得解.
【详解】由，
即，
令，
则在上恒成立，
故在上单调递增，
则有，即，
令，
则在上恒成立，
故在上单调递减，
则有，即，
故.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造出函数、，以比较、与、之间大小关系.
14．（2024·河南新乡·三模）设，其中是自然对数的底数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定数据，构造函数，利用导数探讨单调性并比较大小即得.
【详解】令函数，求导得，即函数在上单调递减，
而，又，因此，
所以.
故选：B
【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.
15．（2024·陕西安康·模拟预测）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】构造函数以及，利用导数求解单调性，即可比较以及.
【详解】由题得，
构造函数，则，
所以在上单调递减，所以，
所以，即，所以.
构造函数，则，
所以在上单调递增，所以，所以，即，所以.
综上，.
故选:B.
【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤
(1)作差或变形；
(2)构造新的函数；
(3)利用导数研究的单调性或最值；
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
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