解答题02 7类数列答题模板
（构造数列、裂项相消、错位相减、奇偶并项、周期类周期、
数列与不等式（含放缩）、数列杂糅）
模板01 构造证明数列的答题模板
构造数列来证明数列和求数列的通项公式是高考、模考中常见题型，需强化训练、重点掌握
【模板01】题中有有，可用求通项公式
【模板02】已知用累加法求通项公式
【模板03】已知用累乘法求通项公式
【模板04】已知用求通项公式
【模板05】已知用求通项公式
【模板06】已知用求通项公式
【模板07】已知用求通项公式
【模板08】已知用求通项公式
【模板09】已知用求通项公式
【模板10】已知用求通项公式
（2022·全国·高考真题）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
1．（2021·全国·高考真题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
2．（2024·四川巴中·模拟预测）已知数列的首项，且满足．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)若，求满足条件的最大整数n．
3．（2024·湖北·模拟预测）数列中，，，且，
(1)求数列的通项公式；
(2)数列的前项和为，且满足，，求．
1．（2024·湖北·一模）已知数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；(2)证明：.
2．（2024·四川成都·模拟预测）记数列的前n项和为，已知．
(1)若，证明：是等比数列；
(2)若是和的等差中项，设，求数列的前n项和为．
3．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．
模板02 裂项相消求和的答题模板
裂项相消求和是把数列拆分，然后抵消后即可求和，此类题型较简单，也是高考中的常考考点，需强加练习、重点掌握
常见的裂项技巧：
指数型 对数型
（2022·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
1．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）已知数列的前项和满足，且．
(1)求数列的前项和；
(2)求数列的通项公式；
(3)记，为前项和，求．
2．（2024·福建龙岩·三模）若数列是公差为1的等差数列，且，点在函数的图象上，记数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式;
(2)设，记数列的前项和为，证明:.
1．已知数列的首项为1，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知数列满足.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设，求的前n项和.
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）在等差数列（）中，，.
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，证明.
模板03 错位相减求和的答题模板
错位相减求和一般是等差数列乘等比数列求和，即差比数列，解题的关键是乘公比错位相减，也可以用万能公式求解，是高考中的高频考点，需强加练习
常规方法：“乘公比错位相减”
万能公式：
形如的数列求和为，
其中，，
（2024·全国·高考真题）记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
1．（2023·全国·高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
2．（2021·全国·高考真题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
1．（2024·湖北·一模）在公差不为0的等差数列中，，且是与的等比中项.
(1)求的通项公式；
(2)若，，求数列的前项和.
2．（2024·广东广州·模拟预测）已知数列的前项和公式为，数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的通项公式.
3．（2024·河南·三模）已知数列的各项都为正数，且其前项和.
(1)证明：是等差数列，并求；
(2)如果，求数列的前项和.
模板04 奇偶并项求和的答题模板
有关数列奇偶项的问题是高考中经常涉及的问题，解决此类问题的难点在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差(比)等。这类题目对大部分学生来说难度较大，需强化练习
奇偶并项的难点在于搞清首项、项数、公差（比），运用分类讨论的思想来求解
（2023·全国·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
1．（2024·湖南湘西·模拟预测）记为等比数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设求数列的前20项和．
2．（2024·陕西咸阳·三模）数列满足，.
(1)求数列通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
3．（2024·福建泉州·二模）已知数列和的各项均为正，且，是公比3的等比数列．数列的前n项和满足．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
1．（2024·湖南·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且.等比数列是正项递增数列，且.
(1)求数列的通项和数列的通项；
(2)若，求数列的前项和.
2．（2024·陕西西安·一模）已知数列的前项和为，，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
3．（2024·河北衡水·模拟预测）记各项均为正数的数列的前项和为，已知是与的等差中项.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
模板05 周期与类周期求和的答题模板
数列是一种特殊的函数，函数的周期性考察往往也存在于数列题中。周期性数列求和相对简单，但在高考和模拟考题中经常出现一类与周期数列结合的类周期数列求和问题。我们称其为“类周期数列”，该类数列求和往往具有一定的迷惑性和难度，需强化学习
周期数列的求和一般可以从并项求和或分组求和两种思路出发,并项求和步骤是先每个周期进行求和,将求和问题转化为多个周期和的问题,然后再进行整体求和;分组求和就是先将相等的项组合在一起求和然后整体求和.
类比周期函数 , 当数列递推公式经过运算满足 形式时，我们都可以称数列 为"类周期数列”，类周期数列求和的一般策略是将其转化为一个新数列的求和问题，其方法是将连续的一个周期内的项进行并项求和构造易于求和的新数列，或先按周期 将分成 组，先求出，再整体求和，数列求和是高考中的难点也是热点，类周期数列在复习备考中值得我们重视和研究.
（2024·福建福州·模拟预测）已知数列中，，．
(1)证明：数列为常数列；
(2)求数列的前2024项和．
1．已知数列满足，.
(1)求的值；
(2)求数列的前30项和.
2．已知数列满足（为实数），，求．
3．已知数列的前项和为，，，，其中为常数．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）是否存在实数λ，使得为等差数列？并说明理由；
（3）若为等差数列，令，求数列的前项和．
1．已知数列满足，，．
(1)求，，，并写出一个符合题意的的通项公式（不需要证明）；
(2)设，记为数列的前项和，求．
2．已知正项数列满足，且，.
(1)已知，求的通项公式；
(2)求数列的前2023项和.
3．在无穷数列中，，且，记的前n项和为.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值；
（3）证明：中必有一项为1或3.
模板06 数列与不等式、含（放缩）的答题模板
数列不等式及其证明是高中数学教学中极其重要的一部分，它不仅涉及到数学知识的综合运用，还要求学生具备严谨的逻辑思维和灵活的解题技巧。难度中等偏上.
放缩的基本思路是将通项适当放大或缩小，向便于相消或便于求和的方向转化.放缩的策略是通过多角度观察通项的结构，深入剖析其特征，思前想后，找准突破口，怡当放缩，难度中等偏上、需强加练习.
（1），其中：可称为“进可攻，退可守”，可依照所证不等式不等号的方向进行选择。
注：对于，可联想到平方差公式，从而在分母添加一个常数，即可放缩为符合裂项相消特征的数列，例如：，这种放缩的尺度要小于（1）中的式子。此外还可以构造放缩程度更小的，如：
（2），从而有：
注：对于还可放缩为：
（3）分子分母同加常数：
此结论容易记混，通常在解题时，这种方法作为一种思考的方向，到了具体问题时不妨先构造出形式再验证不等关系。
（4）
可推广为：
（2024·河北邢台·二模）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：．
1．已知为正项数列的前项的乘积，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，证明：．
2．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前n项和．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
3．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，证明：．
1．（2024·天津·模拟预测）数列是等差数列，其前n项和为，数列是等比数列，，，，，．
(1)求数列、的通项公式；
(2)的前n项和，求证：．
2．设为数列的前项和，已知为等比数列，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，设，记为数列的前项和，证明：．
3．已知正项数列满足
证明：
（Ⅰ）
（Ⅱ）
模板07 数列中杂糅问题的答题模板
在新高考中常涉及到数列与三角、数列与导数、数列与概率统计的杂糅问题，是新高考的命题热点，需重点学习掌握
数列杂糅问题处理的关键是依托知识载体，运用基本的分块知识解决即可
某商场拟在周末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：该游戏进行10轮，若在10轮游戏中，参与者获胜5次就送2000元礼券，并且游戏结束：否则继续游戏，直至10轮结束．已知该游戏第一次获胜的概率是，若上一次获胜则下一次获胜的概率也是，若上一次失败则下一次成功的概率是．记消费者甲第次获胜的概率为，数列的前项和，且的实际意义为前次游戏中平均获胜的次数．
(1)求消费者甲第2次获胜的概率；
(2)证明：为等比数列；并估计要获得礼券，平均至少要玩几轮游戏才可能获奖．
1．设正项数列的前项和为，已知.
(1)求的通项公式；
(2)记，是数列的前项和，求.
2．已知函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明:；
（3）试比较与 ，并证明你的结论．
1．（2024·全国·模拟预测）某商场为促销设计了一项回馈客户的抽奖活动，抽奖规则是：有放回地从装有大小相同的4个红球和2个黑球的袋中任意抽取一个，若第一次抽到红球则奖励40元的奖券，抽到黑球则奖励20元的奖券；第二次开始，每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的2倍，抽到黑球则奖励20元的奖券．记顾客甲第n次抽奖所得的奖券数额的数学期望为．
(1)求及的分布列；
(2)写出与的递推关系式，并证明为等比数列；
(3)若顾客甲一共有6次抽奖机会，求该顾客所得的所有奖券数额的期望值．（参考数据：）
2．已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若恒成立，求的取值范围；
(3)若数列满足，记为数列的前项和．证明：．
1．已知数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
2．（2024·四川·模拟预测）已知数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，，求证：．
3．（2024·湖南长沙·模拟预测）数列为等差数列，为正整数，其前n项和为，数列为等比数列，且，数列是公比为64的等比数列，．
(1)求；
(2)求证：．
4．（2024·四川内江·一模）已知数列、满足，，，，其中、、．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
5．（2024·四川雅安·一模）已知数列满足，（，且）．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和；
(3)令，数列的前n项和为，证明：．
6．（2024·山东·二模）已知是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
7．（2024·广东广州·模拟预测）已知数列的前项和为，数列是公差为的等差数列，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围.
8．（2024·浙江·一模）已知数列的首项是1，其前项和是，且，.
(1)求，的值及数列的通项公式；
(2)若存在实数，使得关于的不等式，有解，求实数取到最大值时的值.
9．（2024·福建厦门·模拟预测）已知为等差数列的前n项和，，，.
(1)求的通项公式；
(2)记为数列的前n项和，若，求n的最小值.
10．（2024·河南信阳·模拟预测）在数列中，，．
(1)记，证明：为等比数列；
(2)记为的前项和，若是递增数列，求实数的取值范围．
11．（2024·天津·二模）设是等差数列，其前项和，是等比数列，且，，.
(1)求与的通项公式；
(2)设，求数列的前项和；
(3)若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围.
12．（2024·广东佛山·二模）已知数列满足，，且．
(1)证明为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，且数列的前项和为，证明：当时，．
13．（2024·山东泰安·模拟预测）在足球比赛中，有时需通过点球决定胜负．
(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将(也称为守门员)也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲 乙 丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外人中的 人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外人中的人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第次传球之前球在甲脚下的概率为，易知．
① 试证明：为等比数列；
② 设第次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小．
14．（2024·广东广州·模拟预测）甲、乙、丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留继续投掷骰子；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙.初始时，球在甲手中.
(1)求三次投掷骰子后球在甲手中的概率；
(2)投掷次骰子后，记球在乙手中的概率为，求数列的通项公式；
(3)设，求证：.
15．（2024·天津武清·模拟预测）已知数列是正项等比数列，是等差数列，且，
(1)求数列和的通项公式;
(2)，求数列的前项和.
(3)表示不超过的最大整数，表示数列的前项和，集合共有4个元素，求范围;
21世纪教育网(www.21cnjy.com)解答题02 7类数列答题模板
（构造数列、裂项相消、错位相减、奇偶并项、周期类周期、
数列与不等式（含放缩）、数列杂糅）
模板01 构造证明数列的答题模板
构造数列来证明数列和求数列的通项公式是高考、模考中常见题型，需强化训练、重点掌握
【模板01】题中有有，可用求通项公式
【模板02】已知用累加法求通项公式
【模板03】已知用累乘法求通项公式
【模板04】已知用求通项公式
【模板05】已知用求通项公式
【模板06】已知用求通项公式
【模板07】已知用求通项公式
【模板08】已知用求通项公式
【模板09】已知用求通项公式
【模板10】已知用求通项公式
（2022·全国·高考真题）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
思路详解：（1）因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时，．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，即有.
则当或时，．
1．（2021·全国·高考真题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
思路详解：（1）[方法一]：
由已知得,且，,
取,由得,
由于为数列的前n项积，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以数列是以为首项，以为公差等差数列;
[方法二]【最优解】：
由已知条件知 ①
于是． ②
由①②得． ③
又， ④
由③④得．
令，由，得．
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
[方法三]：
由，得，且，，．
又因为，所以，所以．
在中，当时，．
故数列是以为首项，为公差的等差数列．
[方法四]：数学归纳法
由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且．
下面用数学归纳法证明．
当时显然成立．
假设当时成立，即．
那么当时，．
综上，猜想对任意的都成立．
即数列是以为首项，为公差的等差数列．
（2）
由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
,
,
当n=1时，,
当n≥2时,,显然对于n=1不成立,
∴.
2．（2024·四川巴中·模拟预测）已知数列的首项，且满足．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)若，求满足条件的最大整数n．
思路详解：（1）由得，
则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）得，
所以
，
数列是单调递增数列，
当时，，
当时，，
所以满足条件的最大整数为.
3．（2024·湖北·模拟预测）数列中，，，且，
(1)求数列的通项公式；
(2)数列的前项和为，且满足，，求．
思路详解：（1）因为，所以，
所以数列是公差为的等差数列，其首项为，
于是，
则，，，
，，
所以，
所以；而符合该式，故.
（2）由（1）问知，，则，
又，则，两式相乘得，即，
因此与同号，
因为，所以当时，，此时，
当为奇数时，，
当为偶数时，；
当时，，此时，
当为奇数时，，
当为偶数时，；
综上，当时，；当时，.
1．（2024·湖北·一模）已知数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据前项和为与的关系，利用相减法得数列递推关系式，从而根据等比数列可得的通项公式；
（2）由（1）得，根据不等式，，即可证得结论.
【详解】（1）当时，由，得，
则，整理得.
因为，所以是以为首项，为公比的等比数列，
则.
（2）证明：由（1）可得，则.
当时，对于，
所以，
从而.
2．（2024·四川成都·模拟预测）记数列的前n项和为，已知．
(1)若，证明：是等比数列；
(2)若是和的等差中项，设，求数列的前n项和为．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用公式得到数列的递推公式，构造法证明是等比数列；
（2）由已知求出，裂项相消求数列的前n项和为．
【详解】（1）对①，当时，有②，
：，即，
经整理，可得，
，故是以为首项、为公比的等比数列．
（2）由（1）知，有，，
题设知，即，则，故．
而，
故.
3．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）当时，求得，当时，得到，两式相减化简得到，结合叠加法，即可求得数列的通项公式；
（2）由（1）得到，求得，
解法1：根据题意，转化为，结合，结合基本不等式，即可求解；
解法2：根据题意，转化为，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：当时，，解得，
当时，，
两式相减可得，，
则，
叠加可得，，则，
而时也符合题意，
所以数列的通项公式为．
（2）解：由（1）知，可得，
故；
解法1：由，可得，
即，即则，又由，
当且仅当时取等号，故实数的取值范围为．
解法2：由，
可得，
当，即时，，
则，故实数的取值范围为．
模板02 裂项相消求和的答题模板
裂项相消求和是把数列拆分，然后抵消后即可求和，此类题型较简单，也是高考中的常考考点，需强加练习、重点掌握
常见的裂项技巧：
指数型 对数型
（2022·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
思路详解：（1）∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
（2）
∴
1．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）已知数列的前项和满足，且．
(1)求数列的前项和；
(2)求数列的通项公式；
(3)记，为前项和，求．
思路详解：（1）由已知，
数列是公差为的等差数列，且首项，
，即.
（2）由（1）知当时，，
又也满足上式，．
（3）由（2）知，，
2．（2024·福建龙岩·三模）若数列是公差为1的等差数列，且，点在函数的图象上，记数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式;
(2)设，记数列的前项和为，证明:.
思路详解：（1）由得，，
点在函数的图象上，
（2）,显然数列为等比数列，首项为1，公比为3，则，
.
1．已知数列的首项为1，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合题意，利用等比数列的概念即可求解等比数列通项；
（2）结合（1）的结论，利用裂项相消法即可求解.
【详解】（1）因为数列的首项为1，且，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以；
（2）由（1）知，
所以，
所以
.
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知数列满足.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设，求的前n项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）利用等差数列的定义即可证明；
（2）根据（1）问，求出数列的通项公式，从而求得数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式，最后利用裂项相消求和法求得
【详解】（1）证明：令，又，则有
，
又，所以
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列
（2）由（1）知，，
又，所以，
所以，
所以
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）在等差数列（）中，，.
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，证明.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出等差数列的首项与公差，即可得解；
（2）利用裂项相消法求出，进而可得出结论.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由，即，解得，
所以，
所以数列的通项公式为；
（2）∵，∴，
（方法一）
，
∴
化简得：，
∴.
（方法二）
，
∴
.
模板03 错位相减求和的答题模板
错位相减求和一般是等差数列乘等比数列求和，即差比数列，解题的关键是乘公比错位相减，也可以用万能公式求解，是高考中的高频考点，需强加练习
常规方法：“乘公比错位相减”
万能公式：
形如的数列求和为，
其中，，
（2024·全国·高考真题）记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
思路详解：（1）当时，，解得．
当时，，所以即，
而，故，故，
∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，
所以.
（2）,
所以
故
所以
，
.
1．（2023·全国·高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
思路详解：（1）因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
（2）因为，所以，
，
两式相减得，
，
，即，．
2．（2021·全国·高考真题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
思路详解：（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
，
，
．
设， ⑧
则． ⑨
由⑧-⑨得．
所以．
因此．
故．
[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
证明：由（1）可得，
，①
，②
①②得 ，
所以，
所以，
所以.
[方法三]：构造裂项法
由（Ⅰ）知，令，且，即，
通过等式左右两边系数比对易得，所以．
则，下同方法二．
[方法四]：导函数法
设，
由于，
则．
又，
所以
，下同方法二．
1．（2024·湖北·一模）在公差不为0的等差数列中，，且是与的等比中项.
(1)求的通项公式；
(2)若，，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根据等差数列通项公式把、、都用与表示，结合已知解出，即可得出的通项公式；
（2）先表示出，再表示出，用错位相减法即可求解.
【详解】（1）设的公差为，因为是与的等比中项，
所以，即，
整理得.
又，，所以，
则.
（2）由（1）可得，，
则①，
②，
①-②得
则.
2．（2024·广东广州·模拟预测）已知数列的前项和公式为，数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的通项公式.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据的关系即可求解，
（2）根据，利用累加法，结合错位相减即可化简求解.
【详解】（1）由可得时，，
故，
当时，也符合要求，
故，
（2）由可得，
故时，，则，
相减可得，
故，
化简可得，故，
当时，也符合要求，
故
3．（2024·河南·三模）已知数列的各项都为正数，且其前项和.
(1)证明：是等差数列，并求；
(2)如果，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析，
(2).
【分析】（1）借助与的关系，结合等差数列定义计算即可得解；
（2）借助错位相减法计算即可得.
【详解】（1）当时，或，
因为，所以，
，
两式相减得，
因为，所以，
故是首项为1，公差为的等差数列，
；
（2）由（1）知，
，
，
则，
，
所以.
模板04 奇偶并项求和的答题模板
有关数列奇偶项的问题是高考中经常涉及的问题，解决此类问题的难点在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差(比)等。这类题目对大部分学生来说难度较大，需强化练习
奇偶并项的难点在于搞清首项、项数、公差（比），运用分类讨论的思想来求解
（2023·全国·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
思路详解：（1）设等差数列的公差为，而，
则，
于是，解得，，
所以数列的通项公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
当为偶数时，，
，
当时，，因此，
当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
方法2：由（1）知，，，
当为偶数时，，
当时，，因此，
当为奇数时，若，则
，显然满足上式，因此当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
1．（2024·湖南湘西·模拟预测）记为等比数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设求数列的前20项和．
思路详解：（1）当时，，
∴，
∴等比数列的公比.
当时，由得，即，解得，
∴.
（2）由题意得，当为奇数时，，
当为偶数时，，
∴，
，
∴
.
2．（2024·陕西咸阳·三模）数列满足，.
(1)求数列通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
思路详解：（1）数列中，，，显然，则，
数列是首项为1，公差为1的等差数列，，
所以数列通项公式是.
（2）由（1）知，，
当时，，，
当时，，
所以.
3．（2024·福建泉州·二模）已知数列和的各项均为正，且，是公比3的等比数列．数列的前n项和满足．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
思路详解：（1）由题设，当时或（舍），
由，知，
两式相减得，
（舍）或，即，
∴数列是首项为2，公差为2的等差数列，．
又．
（2）
则
当n为偶数时，；
当n为奇数时，．
所以.
1．（2024·湖南·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且.等比数列是正项递增数列，且.
(1)求数列的通项和数列的通项；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)（或）
【分析】（1）根据题意分别求出数列的首项和公差，以及数列的首项和公比，进而可得出答案；
（2）利用并项求和法求解即可.
【详解】（1）由题意，设等差数列的首项为，公差为，又，
所以解得，
故，
因为数列为各项为正的递增数列，设公比为，且，
因为，所以，得，
又，所以，即，又，
解得，从而，
所以；
（2）由（1）得，
所以，
所以数列的前项和为
（或）.
2．（2024·陕西西安·一模）已知数列的前项和为，，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用构造法和等差数列的定义与通项公式可得，结合即可求解；
（2）由（1）知，利用分组求和法计算即可求解.
【详解】（1）根据题意，，所以，
由于，则是以首项为1，公差为的等差数列，
所以，所以，
当时，.
验证时满足通项公式，故数列的通项公式为.
（2）由（1）知.
设的前项和为，则当为偶数时，
.
当为奇数时，，
设的前项和为，则.
因为，所以
3．（2024·河北衡水·模拟预测）记各项均为正数的数列的前项和为，已知是与的等差中项.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由是与的等差中项,可得，化简得，可得，作差可得，则可得的通项公式；
（2）由（1）得，，分组求，可得，可得，即可得证.
【详解】（1）由题意，得，
即，即①，
所以②，
①-②，得，
即.
又，所以.
由是与的等差中项，得当时，
，解得，
所以是以1为首项，2为公差的等差数列，
故.
（2）由（1）得，则
，
所以
，
所以，
所以.
模板05 周期与类周期求和的答题模板
数列是一种特殊的函数，函数的周期性考察往往也存在于数列题中。周期性数列求和相对简单，但在高考和模拟考题中经常出现一类与周期数列结合的类周期数列求和问题。我们称其为“类周期数列”，该类数列求和往往具有一定的迷惑性和难度，需强化学习
周期数列的求和一般可以从并项求和或分组求和两种思路出发,并项求和步骤是先每个周期进行求和,将求和问题转化为多个周期和的问题,然后再进行整体求和;分组求和就是先将相等的项组合在一起求和然后整体求和.
类比周期函数 , 当数列递推公式经过运算满足 形式时，我们都可以称数列 为"类周期数列”，类周期数列求和的一般策略是将其转化为一个新数列的求和问题，其方法是将连续的一个周期内的项进行并项求和构造易于求和的新数列，或先按周期 将分成 组，先求出，再整体求和，数列求和是高考中的难点也是热点，类周期数列在复习备考中值得我们重视和研究.
（2024·福建福州·模拟预测）已知数列中，，．
(1)证明：数列为常数列；
(2)求数列的前2024项和．
思路详解：（1）依题意，
，
则化为，
而，则，因此，
所以数列为常数列.
（2）由（1）知，，由，即是以6为周期的周期数列，令，
所以数列的前2024项和
.
1．已知数列满足，.
(1)求的值；
(2)求数列的前30项和.
思路详解：（1）因为，则，，
，
所以.
（2）由（1）知，
，
，
.
2．已知数列满足（为实数），，求．
思路详解：可变形为．
结合，设（其中），
则，
∴，即．
∴，即，则数列的周期是6．
∵，
∴．
3．已知数列的前项和为，，，，其中为常数．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）是否存在实数λ，使得为等差数列？并说明理由；
（3）若为等差数列，令，求数列的前项和．
思路详解：（1）证明：由题意，，，两式相减得．因为，所以，所以，数列是等差数列．
（2）由题设，，，可得，由（1）知，．若为等差数列，则，解得，故．由此可得是首项为1，公差为4的等差数列，；是首项为3，公差为4的等差数列，．所以，．因此存在，使得数列为等差数列．
（3）由题意可知，
当n为偶数时，
当n为奇数时，
所以
1．已知数列满足，，．
(1)求，，，并写出一个符合题意的的通项公式（不需要证明）；
(2)设，记为数列的前项和，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）代入求出，依次代入求出，看出数列的周期为3，写出通项公式；
（2）在第一问的基础上，写出的通项公式，并分组求和.
【详解】（1），，
，
可看出数列为周期为3的数列，故，
理由如下：为周期为3的数列，当时，，
当时，，当时，；
（2）由第一问可知：
，
则，
故
.
2．已知正项数列满足，且，.
(1)已知，求的通项公式；
(2)求数列的前2023项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由可得，从而得到，进而得到是以为首项，公比为的等比数列，再根据等比数列的通项公式即可求解；
（2）由可得，从而有，得到数列偶数项具有周期性，最后根据分组求和即可.
【详解】（1），，
，，
即，，即，
是以为首项，公比为的等比数列，
.
（2），
又，
，，
，即，
，即数列偶数项具有周期性，
，
所以·
3．在无穷数列中，，且，记的前n项和为.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值；
（3）证明：中必有一项为1或3.
【答案】（1）37（2）5（3）证明见解析
【分析】（1）计算数列前9项，再计算和得到答案.
（2）讨论为偶数，为偶数，为偶数，为奇数，为奇数，为偶数，为奇数，为奇数四种情况，计算得到答案.
（2）设中最小的奇数为，则，，讨论为奇数，为偶数两种情况，计算得到答案.
【详解】（1），故，故.
（2）当为偶数，为偶数时，，无整数解；
当为偶数，为奇数时，，解得，验证不成立；
当为奇数，为偶数时，，解得，验证成立；
当为奇数，为奇数时，，无整数解；
综上所述：.
（3）设中最小的奇数为，则，，
若为奇数，则，解得；
若为偶数，则，，为奇数，解得；
又，∴中必有一项为1或3.
综上所述：，故中必有一项为1或3.
【点睛】本题考查了数列求和，证明数列中的项，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.
模板06 数列与不等式、含（放缩）的答题模板
数列不等式及其证明是高中数学教学中极其重要的一部分，它不仅涉及到数学知识的综合运用，还要求学生具备严谨的逻辑思维和灵活的解题技巧。难度中等偏上.
放缩的基本思路是将通项适当放大或缩小，向便于相消或便于求和的方向转化.放缩的策略是通过多角度观察通项的结构，深入剖析其特征，思前想后，找准突破口，怡当放缩，难度中等偏上、需强加练习.
（1），其中：可称为“进可攻，退可守”，可依照所证不等式不等号的方向进行选择。
注：对于，可联想到平方差公式，从而在分母添加一个常数，即可放缩为符合裂项相消特征的数列，例如：，这种放缩的尺度要小于（1）中的式子。此外还可以构造放缩程度更小的，如：
（2），从而有：
注：对于还可放缩为：
（3）分子分母同加常数：
此结论容易记混，通常在解题时，这种方法作为一种思考的方向，到了具体问题时不妨先构造出形式再验证不等关系。
（4）
可推广为：
（2024·河北邢台·二模）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：．
思路详解：（1）当时，.
当时，，，两式相减得：
.
所以是以为首项，以为公比的等比数列.
所以.
（2）由（1）知：
所以.
当时，，
当时，，故，
所以.
1．已知为正项数列的前项的乘积，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，证明：．
思路详解：（1），，
所以，即，
两边取常用对数得，
得，所以，
所以数列为常数列，所以，
所以.
（2）证明：由（1）知，所以，
则
又因为，
所以
故.
2．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前n项和．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
思路详解：（1）因为①．
令得，解得．
当时，②，
由①②得，
即
又，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
故，所以．
（2）因为，
当时，，
当时，
．
综上，．
3．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，证明：．
思路详解：（1）当时，；
当时，①，
②．
①②得，
因为不满足上式，所以.
（2）由（1），
因为，所以，
当时，；
当时，
，
综上，对任意的，.
1．（2024·天津·模拟预测）数列是等差数列，其前n项和为，数列是等比数列，，，，，．
(1)求数列、的通项公式；
(2)的前n项和，求证：．
【答案】(1)，；
(2)证明见详解.
【分析】（1）记数列的公差为，数列的公比为，根据已知列方程组求解即可；
（2）根据错位相减法求和，记，判断其单调性即可得证.
【详解】（1）记数列的公差为，数列的公比为，，
由题知，，解得，所以.
由，解得或（舍去），所以.
（2）由（1）可知，
则，
，
两式相减得，
所以，
记，则，
所以单调递减，所以，且，
所以，即.
2．设为数列的前项和，已知为等比数列，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，设，记为数列的前项和，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由，得，等比数列的首项为1公比为2，可得通项；
（2）由与的关系，求出的通项，通过放缩法证明不等式.
【详解】（1）为数列的前项和，，
则有，所以，等比数列的公比为2，
又，所以；
（2）证明：由（1）知，，当时，，
所以，所以，
则，
因此．
3．已知正项数列满足
证明：
（Ⅰ）
（Ⅱ）
【答案】(1)证明见解析.
(2)证明见解析.
【详解】分析：（Ⅰ）直接利用递推关系式和正项数列及关系式的分解因式求出结果．
（Ⅱ）利用放缩法和递推关系式和关系式的恒等变换进行求解．
详解：
（Ⅰ）由题，
与同号，
即
从而
（Ⅱ）易知即
，
因为所以
得
所以可得
求得
所以即
点睛：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用
模板07 数列中杂糅问题的答题模板
在新高考中常涉及到数列与三角、数列与导数、数列与概率统计的杂糅问题，是新高考的命题热点，需重点学习掌握
数列杂糅问题处理的关键是依托知识载体，运用基本的分块知识解决即可
某商场拟在周末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：该游戏进行10轮，若在10轮游戏中，参与者获胜5次就送2000元礼券，并且游戏结束：否则继续游戏，直至10轮结束．已知该游戏第一次获胜的概率是，若上一次获胜则下一次获胜的概率也是，若上一次失败则下一次成功的概率是．记消费者甲第次获胜的概率为，数列的前项和，且的实际意义为前次游戏中平均获胜的次数．
(1)求消费者甲第2次获胜的概率；
(2)证明：为等比数列；并估计要获得礼券，平均至少要玩几轮游戏才可能获奖．
思路详解：（1）
（2）
,
,
,
为等比数列, 且公比为；.
,
因为单调递增，
当n为奇数时， ，所以得获奖至少要玩9轮.
当n为偶数时，，得奖至少要玩10轮，
所以平均至少要玩9轮才可能获奖.
1．设正项数列的前项和为，已知.
(1)求的通项公式；
(2)记，是数列的前项和，求.
思路详解：（1）解：当时，，所以，又，故；
当时，，而，两式相减得，
整理得，因为，所以，
故是以为公差的等差数列，从而.
（2）解：，
设
，其中，
所以.
2．已知函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明:；
（3）试比较与 ，并证明你的结论．
思路详解：（1）函数的定义域为：，
①当时，，所以在上单调递增
②当时，令，解得 ．
当时，，所以， 所以在上单调递减；
当时，，所以，所以在上单调递增．
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）当 时，，要证明，
即证，即证：.
设，则 ，令得，.
当时，，当时，.
所以为极大值点，且在处取得最大值．
所以，即．故.
（3）证明：（当且仅当时等号成立），即,
则有+
,
故：+
1．（2024·全国·模拟预测）某商场为促销设计了一项回馈客户的抽奖活动，抽奖规则是：有放回地从装有大小相同的4个红球和2个黑球的袋中任意抽取一个，若第一次抽到红球则奖励40元的奖券，抽到黑球则奖励20元的奖券；第二次开始，每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的2倍，抽到黑球则奖励20元的奖券．记顾客甲第n次抽奖所得的奖券数额的数学期望为．
(1)求及的分布列；
(2)写出与的递推关系式，并证明为等比数列；
(3)若顾客甲一共有6次抽奖机会，求该顾客所得的所有奖券数额的期望值．（参考数据：）
【答案】(1)，分布列见解析
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据题意，直接求出和的可能取值，计算出概率，由期望公式求出；列出的分布列即可；
（2）根据条件，得到，化简可得，再由等比数列的定义证明即可；
（3）代入（2）结论求出即可.
【详解】（1）依题意知，抽到一个红球的概率为，抽到一个黑球的概率为，
显然的值为20，40，则，，所以，
又的值为20，40，80，则，，，
所以的分布列为
20 40 80
P
（2）依题意，当时，甲第次抽到红球所得的奖券数额为，对应概率为，
抽到黑球所得的奖券数额为20元，对应概率为，
因此当时，，
则，即，
又，
故数列是首项为、公比为的等比数列．
（3）由（2）得，即，
所以顾客甲抽奖6次，所得奖券数额的期望为．
2．已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若恒成立，求的取值范围；
(3)若数列满足，记为数列的前项和．证明：．
【答案】(1)的单调递减区间为，单调递增区间为．
(2)．
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，即可根据导函数的正负即可求解，
（2）根据题意可得，即可由导数结合分类讨论求解最值，进一步将问题转化为，构造函数，求导即可求解最值求解，
（3）根据（2）的求解可得不等式和，即可根据，得，由累加法以及裂项求和即可求证.
【详解】（1）当时，，
故当单调递减；
当单调递增．
综上，的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）由题意，．
①当时，在单调递减，
由，不合题意；
②当时，在单调递减，单调递增．
由恒成立，得．
即．
令，
恒成立，
所以在单调递减，且．
故当，符合题意，
当，不合题意．
综上，的取值范围为．
（3）由，
得，且．
由（2）可知，令，有可得，
令可得即．
由得即．
两边取对数得，由上述不等式得
于是，
所以．
当时，，不等式成立；
当时，
．即当时，不等式成立．
综上，得证．
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
1．已知数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件可得数列是以1为首项，为公差的等差数列，即可求出结果；
（2）由（1）可得，再利用裂项相消法即可求出结果.
【详解】（1）由，可得，又，
故数列是以1为首项，为公差的等差数列，
所以，得到．
（2）由（1）可知，
故．
2．（2024·四川·模拟预测）已知数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）构造新数列，是等差数列，通过的通项公式得到的通项公式.
（2）由，得到，进而，裂项相消法求和.
【详解】（1）由知，若，则，若，则．
又，所以．
由，可得即（常数），
故是首项为2，公差为1的等差数列，所以．
故．
（2）由得，①
由得，②
①②可得．
当时，，则．
所以
，
所以，
当时，也满足上式，所以．
由上可知，，
所以
，
即．
3．（2024·湖南长沙·模拟预测）数列为等差数列，为正整数，其前n项和为，数列为等比数列，且，数列是公比为64的等比数列，．
(1)求；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析．
【分析】（1）利用基本量代换，列方程组求出d、q，即可得到；
（2）利用裂项相消法求和即可证明．
【详解】（1）设的公差为d，的公比为q，则d为正整数，
依题意有①．
由知q为正有理数，故d为6的因子1，2，3，6之一，
解①得
故
（2），∴
∴
即证．
4．（2024·四川内江·一模）已知数列、满足，，，，其中、、．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分析可得对任意的，，利用前项和与通项的关系可求得数列的通项公式；
（2）由题意得出，可求得数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式，利用裂项求和法可求得.
【详解】（1）由题意可知，对任意的，，
当时，由，可得，
上述两个等式作差可得，可得，
也满足，故对任意的，.
（2）由题意可知，，所以，.
所以，，
所以，.
5．（2024·四川雅安·一模）已知数列满足，（，且）．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和；
(3)令，数列的前n项和为，证明：．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，求出，再利用构造法，结合等比数列定义推理即得.
（2）由（1）求出，再利用分组求和法及错位相减法求即得.
（3）利用（2）的信息求出，再利用不等式的性质，结合等比数列求和公式推理得证.
【详解】（1）数列中，当时，，则，
而，又，解得，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）知，，即，，
则，
令，
则，
两式相减得，
则，所以.
（3）由（2）知，，，显然，
则；又，
于是，
所以.
【点睛】方法点睛：如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解．
6．（2024·山东·二模）已知是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出公差，借助等差数列性质与等比数列性质计算即可得；
（2）分奇数项及偶数项分组求和，结合等比数列的性质与裂项相消法计算即可得.
【详解】（1）设的公差为，由题意知，即，
即有，因为，可得，，
所以；
（2）设数列的前项中的奇数项之和为，偶数项之和为，
则
，
，
所以．
7．（2024·广东广州·模拟预测）已知数列的前项和为，数列是公差为的等差数列，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的通项公式可得，结合计算即可求解；
（2）由（1）可得，利用裂项相消求和法可得，则，结合基本不等式计算即可求解.
【详解】（1）由题意知：数列是公差为的等差数列，又，
所以，整理得：，
又当时，，
因为满足上式，所以，
故数列的通项公式为.
（2）由（1）知，可得，
故；
解法1：由，可得，
即，则，
又由，
当且仅当即时取等号，故实数的取值范围为.
解法2：由，
可得，
当，即时，，
则，故实数的取值范围为.
8．（2024·浙江·一模）已知数列的首项是1，其前项和是，且，.
(1)求，的值及数列的通项公式；
(2)若存在实数，使得关于的不等式，有解，求实数取到最大值时的值.
【答案】(1)，，
(2)4或5
【分析】（1）用累加法得到数列通项公式；
（2）求出数列前项和，列出不等式，构造函数利用导函数求最大值，并找到最大值点.
【详解】（1）∵，∴
当时，，
即，
当时，也满足，
∴，
∴，.
（2）由（1）可知，
∴，∴
令，
，当时，，当时，
∵
∴的最大值为70，即当或时，取得最大值70，
∴取得最大值时，取4或5.
9．（2024·福建厦门·模拟预测）已知为等差数列的前n项和，，，.
(1)求的通项公式；
(2)记为数列的前n项和，若，求n的最小值.
【答案】(1)
(2)5
【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解，
（2）根据等差求和公式以及等比求和公式，结合分组求解可求解，即可根据不等式求解.
【详解】（1）设数列的公差为d，
依题意，， 即，解得，
所以的通项公式是.
（2）由（1）知，所以，
，
恒成立，
令，
由，由于，所以.
所以
又，，，
所以的最小值为5.
10．（2024·河南信阳·模拟预测）在数列中，，．
(1)记，证明：为等比数列；
(2)记为的前项和，若是递增数列，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）根据递推公式结合等比数列定义分析证明；
（2）由（1）可得，进而可得，结合二次函数性质分析求解.
【详解】（1）因为，即，
则，且，
所以数列是以首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）可知：，即，
所以
，
可知，
若是递增数列，结合二次函数对称性可得，解得，
所以实数的取值范围为.
11．（2024·天津·二模）设是等差数列，其前项和，是等比数列，且，，.
(1)求与的通项公式；
(2)设，求数列的前项和；
(3)若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
(3).
【分析】（1）结合等差数列的通项公式，求和公式以及等比数列的通项公式进行求解；
（2）可以采取分组求和的方式，即将奇数项与偶数项的和分开求解，再利用错位相减法以及裂项相消法分别求和；
（3）对于求参数的范围，一般可以采用分离参数的方法，对于求后面式子的最值，结合函数的单调性进行分析求解．
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，，又，，，
由，，又，，，
，，
即，．
（2）当为奇数时，，
记，则有
，
，
得：
，
，
，
当为偶数时，，
记，
，
．
（3）由与恒成立，
可得恒成立，
恒成立，即求的最大值，
设，
，
单调递增，
又，
，
．
12．（2024·广东佛山·二模）已知数列满足，，且．
(1)证明为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，且数列的前项和为，证明：当时，．
【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析
【分析】（1）利用等比数列的定义证明数列是等比数列.
（2）先把数列进行适当的放缩，再用分组求和的方法求满足的关系，并证明.
【详解】（1）因为，，
所以，，.
易知，所以，
因为．
所以是等比数列，首项，公比，所以．
（2）由（1）可得，
先证明左边：即证明，
当时，，
所以，
所以，
再证明右边：，
因为，
所以，
即，下面证明，
即证，即证，
设，，则，设，，
因为，所以函数在上单调递增，
则，即，，
所以，所以．
综上，．
【点睛】方法点睛：数列不等式的证明方法主要有：
（1）作差比较法：不等式两边作差与0比较大小.
（2）放缩比较法：对表达式适当放缩，证出不等式.
13．（2024·山东泰安·模拟预测）在足球比赛中，有时需通过点球决定胜负．
(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将(也称为守门员)也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲 乙 丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外人中的 人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外人中的人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第次传球之前球在甲脚下的概率为，易知．
① 试证明：为等比数列；
② 设第次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小．
【答案】(1)分布列见解析，数学期望为；
(2)①证明见解析；②.
【分析】（1）解法一：由题意可得，然后根据二项分布的概率公式求解概率，从而可求出分布列和期望；解法二：的所有可能取值为，且在一次扑球中，扑到点球的概率，然后分别求出各自对应的概率，从而可求出分布列和期望；
（2）①由题意可得第次传球之前球在甲脚下的概率为，第次传球之前球不在甲脚下的概率为，则，化简变形后可证得结论；②分别表示出，化简后与比较大小可得结论.
【详解】（1）解法一：依题意可得，门将每次可以扑到点球的概率为，
门将在前三次扑到点球的个数可能的取值为
易知，
所以
故的分布列为：
0 1 2 3
所以的数学期望．
解法二：的所有可能取值为
在一次扑球中，扑到点球的概率，
所以
所以的分布列如下：
0 1 2 3
所以的数学期望：
（2）①第次传球之前球在甲脚下的概率为，
则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，
第次传球之前球不在甲脚下的概率为，
则
即，又，
所以是以为首项，公比为的等比数列．
②由①可知，所以，
所以，
故．
【点睛】关键点点睛：此题考查二项分布的分布列和期望，考查等比数列的证明，第（2）问解题的关键是根据题意用表示出，考查理解能力和计算能力，属于较难题.
14．（2024·广东广州·模拟预测）甲、乙、丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留继续投掷骰子；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙.初始时，球在甲手中.
(1)求三次投掷骰子后球在甲手中的概率；
(2)投掷次骰子后，记球在乙手中的概率为，求数列的通项公式；
(3)设，求证：.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）分析事件“三次投掷骰子后球在甲手中”包括四类情况，由独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式即得；
（2）经分析，满足递推公式，变形后转化成等比数列，即可求得通项；
（3）将（2）代入化简得，利用裂项求和法得，再对分奇偶进行讨论，利用函数单调性求出和的范围即得.
【详解】（1）依题意，球在甲手中时，保留在自己手中的概率为，传给乙的概率为；
球在乙手中时，传给甲的概率为，传给丙的概率为；球在丙手中时，传给甲和丙的概率都是.
则三次投掷骰子后球在甲手中包括四类的情况，
第一类情况：甲→甲→甲→甲，概率为；
第二类情况：甲→乙→甲→甲，概率为；
第三类情况：甲→乙→丙→甲，概率为；
第四类情况：甲→甲→乙→甲，概率为
由互斥事件的概率加法公式，三次投掷骰子后球在甲手中的概率为.
（2）由于投掷次骰子后球不在乙手中的概率为，此时无论球在甲手中还是球在丙手中，均有的概率传给乙，
故有，变形为.
又，所以数列是首项为，公比为的等比数列.
所以.
所以数列的通项公式.
（3）由（2）可得，
则
① 当是奇数时，因是单调增函数，故，则，
于是，，故；
② 当是偶数时，因是单调减函数，故，则，
于是，，故.
综上，.
【点睛】方法点睛：本题主要考查随机事件的概率与数列知识点的交叉融合，属于难题.
解决概率与数列知识点交叉题的方法，一般是从概率问题中寻求相关概率间的递推关系，利用转化思想将其化归为等差或等比数列求解；对于利用数列的通项公式证明不等式时，常用到裂项相消法和错位相减法求和，以及就的奇偶分类讨论和函数的单调性.
15．（2024·天津武清·模拟预测）已知数列是正项等比数列，是等差数列，且，
(1)求数列和的通项公式;
(2)，求数列的前项和.
(3)表示不超过的最大整数，表示数列的前项和，集合共有4个元素，求范围;
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）设出公比和公差，得到方程组，求出公比和公差，求出通项公式；
（2）设，错位相减法求得，设，裂项相消法求得，进而可得结果；
（3）求出，设，作差法得到其单调性，结合集合有4个元素，求出.
【详解】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，
因为，
则，解得或（舍去），
所以；.
（2）因为，，
设，
，
两式相减得
，
所以，
当n为奇数时，，
设
，
.
（3）由题意可知：，
其中，
所以，
集合，设，
则，
所以当时，，当时，．
计算可得，，，，，
因为集合有4个元素，．
【点睛】结论点睛：常见的裂项相消法求和类型：
分式型：，，等；
指数型：，等；
根式型：等；
对数型：，且.
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