一元二次方程根的判别式和根与系数的关系

课件18张PPT。“一元二次方程根的判别式和根与系数的关系”aX2 + bx + c = 01、一元二次方程根的判别式：（1）、一元二次方程根的判别式：把 b － 4ac做一元二次方程a x +bx+c = 0的判别式，常用“△”来表示。22（2）、判别式定理：①、△﹥0　　　　方程有两个不相等的实数根②、△＝0　　　　　　方程有两个相等的实数根③、△＜0　　　　　　方程没有实数根④、△≥0　　　　　　方程有实数根（3）、实际应用：①、不解方程判定方程根的情况。②、根据系数的性质关系确定根的取值范围。③、解决与根有关的证明题。2、一元二次方程与系数的关系：（1）、一元二次程的根与系数的关系（韦达定理）：如果ax + bx +c =0(a ≠0)的两个根是 x 、x 那么x + x = －b/a ,x x = c/a 11 22122（2）、根与系数关系定理的推论：推论1：如果方程 x + px +q = 0 的两个根为 x 、 x , 那么x + x = －p , x x = q ,1112222推论2：以两个数 x 、x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x －(x + x )x + x x = 0 一元二次方程的构造公式12 2 2 2 11（3）、在数学生活中的应用：①、已知一根求另一根及未知系数；②、已知两根求作一个方程；③、不解方程求与两根有关的代数式的值；④、已知两个数的和与积，求这两个数；3、巩固与应用：（1）、不解方程，判别下列关于 x 的一元二次方程根的情况。①、mx ﹣ 2x ﹣ 3m = 0222②、x + 2ax ﹣ 1 = 0③、x ﹣ mx + m /2 + m + 3/2 = 02
解：①　∵　△　＝（－2）－4m×(－3m) = 4 + 12m
又根据题意有m≠0,m >0
∴ 4 + 12m ≥4
∴ 方程有两个不相等的实数根。222　　2222②、∵△＝（2a) －4(a－1) = 4a －4a +4 = 4a －4a +1 + 3 = (2a －1) + 3 ≥3
∴方程有两个不相等的实数根。2③、∵　△＝（－m) －4×1×(m /2 + m + 3/2) = m －2m －4m －6
= －m －4m －6
= －(m +4m +4) －2
= －(m +2) －2≤－2＜0
∴△＜0
∴此方程无实数根。2222222点评：对于字母系数的一元二次方程，要判别其方程的情况，先求出判别式的代数式，然后进行整理，一般化成完全平方式或完全平方式加上一个常数的形式。既 m + n的形式，最后判断出判别式的符号，确定方程的根的情况 。但是，在运用配方时，要注意符号。2（2）、求证：关于 x 的方程　x －( k +2)x + 2k －1= 0有两个不相等的实数根。22222证明：∵x －( k + 2)x + 2k －1 = 0
∴△= [－( k + 2)] －4×1×(2k －1)
= k －4k +8
= ( k －2) +4≥4
∴△>0
∴方程有两个不相等的实数根。点评：证明方程有怎样的根，一般先求出判别式，然后将其配方，与完全平方公式建立联系，从而应用完全平方公式的非负数的性质来确定“△”的符号。（3）、①、若方程( x －1)( x + 8x －3) = 0的三根分别为　x 、x 、x ，　求 x x + x x + x x 的值。222222111113323②、已知方程 x + 3x －5 = 0的两根是　x 、x ，求　x + x 的值222③、若方程　x －2x －3 = 0的两根分别是 x 、x ，求代数式 x + x －2x －2x 的值。22211122解：①、∵( x －1)( x + 8x －3) = 0
∴ x －1 = 0 或 x +8x －3 = 0
由根与系数的关系得：x = 1 , x + x = －8 , x x = －3
∴x x + x x +x x = x ( x + x ) + x x = 1×(－8) －3 = －1111112222333333122 222②、∵　x + 3x －5 = 0
∴ x + x = －3 , x x = －5
∴ x + x = ( x + x ) －2x x = (－3) －2×(－5) = 191122222221122③、解法一：∵ x －2x －3 =0
由根与系数的关系得：x + x = 2 , x x = －3
∴ x + x －2x －2x = ( x + x ) －2 x x －2( x + x ) = 2 －2×(－3) －2×2 =6111112222222222211112解法二：∵　X －2X－3 = 0
　由根的定义得：x －2x －3 = 0
x －2x －3 = 0
∴x －2x =3 , x －2x =3
∴x + x －2x －2x =(x －2x ) +( x －x )= 3 + 3 = 611122222222221222211222点评：不解方程，求关于一元二次方程的两个实数根x , x 的对称式的值时，方法是先将式子化成只有x + x 、x x 的形式，然后利用根与系数的关系的关系代入求值。111222要注意以下几个公式：
①、x + x = ( x + x ) －2 x x
②、1/x + 1/x = ( x + x )/x x
③、( x － x ) = ( x + x ) －4x x 1111112222222 22221112 2 2 (4)、已知关于x的方程　k x +( 2k +1)x + 1 = 0有两个不相等的实数根 x 、x
①、求 k的取值范围
②、是否存在实数k ,使方程的两个实数根互为相反数？如果存在，求出k
的取值。如果不存在，请说明理由。2221(5)、已知方程 x + ( 2m －2)x + 2m + 1 = 0有两个正根，求m的取值范围2(6)、己知关于 x 的方程 ( k －2)x －2( k －1)x +( k + 1) ,且k≤3
①、求证：此方程总有实数根；
②、当方程有两数根，且两实数根的平方和等于4时，k的值等于多少？2(7)、已知关于x的方程 x －2mx + 3m = 0的两个实数根是 x 、x ,且( x － x ) = 16 ;如果关于x的另一方程 x －2mx +6m －9 = 0的两个实数根都在 x 和 x 之间，求m 的值？111222222