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第四章 三角形及四边形
4.4 平行四边形与特殊的平行四边形
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 多边形的相关概念 ☆☆ 浙江中考数学（省卷）中，（特殊）平行四边形的部分，考查4道题，分值为20分左右，通常以选填题（3题）、解答题（1题）的形式考查。内容上既有（特殊）平行四边形的相关知识点的单独考查，也有和其他几何内容综合考查，对于本考点内容，要注重基础，反复练习，灵活运用。
考点2 平行四边形的判定及性质 ☆☆☆
考点3 矩形的判定及性质 ☆☆☆
考点4 菱形的判定及性质 ☆☆☆
考点5 正方形的判定及性质 ☆☆☆
多边形与（特殊）平行四边形是历年浙江中考考查重点，年年都会考查，在选择、填空题中考查多边形的内角和、平行四边形性质和判定、与三角形中位线有关计算、利用特殊四边形性质和判定求角度、长度问题的可能性比较大。解答题中考查特殊四边形的性质和判定，一般和三角形全等（相似）、解直角三角形、二次函数、动态问题综合应用的可能性比较大。
2
4
■考点一 多边形的相关概念 4
■考点二 平行四边形的判定及性质 7
■考点三 矩形的判定及性质 12
■考点四 菱形的判定及性质 16
■考点五 正方形的判定及性质 20
28
43
■考点一 多边形的相关概念
1）多边形的定义：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做 多边形 。
2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的 对角线 。
3）多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引 （n－3） 条对角线，并且这些对角线把多边形分成了 (n－2) 个三角形，n边形的对角线条数为 。
4）多边形内角和定理：n边形的内角和为 (n 2) 180°（n≥3） 。
5）多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于 360° ，与多边形的形状和边数无关。
6）正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做 正多边形 。
7）平面镶嵌（密铺）的条件：在同一顶点内的几个角的和等于360° ；所有正多边形中，单独使用其中一种能够进行密铺(镶嵌)的只有正三角形 、正方形 、正六边形 。如果选用多种，则需要满足：(1)边长相等；(2)选用正多边形若干个内角的和恰好等于360°。
■考点二 平行四边形的判定与性质
1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做 平行四边形 。
2）平行四边形的表示：用符号“ ”表示，平行四边形ABCD记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
3）平行四边形的性质：（1）两组对边平行且相等 ；（2）对角相等 、邻角互补 ；（3）对角线互相平分 ；（4）平行四边形是中心对称图形 ，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心 。
4）补充性质：
（1）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积和周长 。
（2）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰 三角形，即AB=BE。
（3）如图②，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等 ，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE。
（4）如图③，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD。
5）平行四边形的判定定理：
①定义：两组对边分别平行 的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等 的四边形是平行四边形；
③两组对边分别相等 的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等 的四边形是平行四边形；
⑤对角线互相平分 的四边形是平行四边形。
6）三角形中位线概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线 。
7）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边 ，并且等于第三边的一半 。
8）三角形中位线定理的作用：（1）证明位置关系：可以证明两条直线平行 ；（2）证明数量关系：可以证明线段的倍分 关系。
■考点三 矩形的判定及性质
1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2）矩形的性质：（1）矩形两组对边平行且相等；（2）矩形的四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形.矩形的对称中心是矩形对角线的交点；矩形有两条对称轴，矩形的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过矩形的对称中心。
【推论】在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半。
3）矩形的判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；
（3）有三个角是直角的四边形是矩形。
矩形的判定思路：要证明一个四边形是矩形，首先要判断四边形是否为平行四边形，若是，则需要再证明对角线相等或有一个角是直角；若不易判断，则可通过证明有三个角是直角来直接证明。
4）矩形的折叠问题：（1）对折叠前后的图形进行细致分析，折叠后的图形与原图形全等，对应边、对应角分别相等，找出各相等的边或角；（2）折痕可看作角平分线（对称线段所在的直线与折痕的夹角相等）；（3) 折痕可看作垂直平分线（互相重合的两点之间的连线被折痕垂直平分）；（4）选择一个直角三角形(不找以折痕为边长的直角三角形)，利用未知数表示其它直角三角形三边，通过勾股定理/相似三角形知识求解。
■考点四 菱形的判定及性质
1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2）菱形的性质：1）具有平行四边形的所有性质；2）四条边都相等；3）两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角；4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点，菱形的对称轴是菱形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心。
3）菱形的判定：（1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（2）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（3）四条边相等的四边形是菱形。
菱形的判定思路：判定一个四边形是菱形时，可先说明它是平行四边形，再说明它的一组邻边相等或它的对角线互相垂直，也可直接说明它的四条边都相等或它的对角线互相垂直平分。
4）菱形的面积：S=ah=对角线乘积的一半（其中a为边长，h为高）；菱形的周长：周长C=4a。
■考点五 正方形的判定及性质
1）正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形。
2）正方形的性质：（1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质；
（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；（3）正方形对边平行且相等；
（4）正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角；
（5）正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形，正方形对角线与边的夹角为45°；
（6）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形。
3）正方形的判定：（1）平行四边形+ 一组邻边相等+ 一个角为直角；（2）矩形+ 一组邻边相等；
（3）矩形+对角线互相垂直；（4）菱形+一个角是直角；（5）菱形+对角线相等.
正方形的判定思路：判定一个四边形是正方形通常先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直；或者先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等；还可以先判定四边形是平行四边形，再证明它有一个角为直角和一组邻边相等。
4）正方形的面积：S正方形＝a2＝对角线乘积的一半；正方形的周长：C正方形=4a。
5）平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
■考点一 多边形的相关概念
◇典例1：（2024·浙江台州·模拟预测）如图，在正五边形内部作等边三角形，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵等边三角形，∴，
∵正五边形，∴，∴，故选：C．
◆变式训练
1．（2024·浙江台州·二模）如图，由六个正九边形中间可以拼接出一个美丽的“梅花形图案”，则图中的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，图中6个都是正九边形正九边形的每个外角为
正九边形的每个内角为即
．故选：C．
2．（2024·河北石家庄·一模）淇淇用图1的六个全等纸片拼接出图2，图2的外轮廓是正六边形．如果用若干个纸片按照图3所示的方法拼接，外轮廓是正n边形图案，那么n的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【详解】解：正六边形每一个内角为，，，
图3中正多边形的每一个内角为，．故选C
3．（2024·浙江杭州·一模）问题情境：在探索多边形的内角与外角关系的活动中，同学们经历了观察、猜想、实验、计算、推理、验证等过程，提出了问题，请解答．
（1）若四边形的一个内角的度数是α．①求和它相邻的外角的度数（用含α的代数式表示）；②求其它三个内角的和（用含α的代数式表示）．
（2）若一个n边形，除了一个内角，其余内角的和为，求n的值．
深入探究：（3）探索n边形的一个外角与和它不相邻的个内角的和之间满足的等量关系，说明理由．
【答案】（1）①，②（2）；（3），理由见解析
【详解】解：（1）①四边形的一个内角的度数是，则与它相邻的外角的度数；
②由于四边形的内角和是其中一个内角为，则其它三个内角的和为；
（2）由题意得，，
的正整数，，，即这个多边形为八边形；
（3）设边形的一个外角为，它不相邻的个内角的和为，
则有，即．
◇典例2：（2024·江苏·校考模拟预测）一个正多边形的内角和是，则此多边形的边数是 ，对角线共有 条．
【答案】 10 35
【详解】解：设此多边形的边数是n，，解得：，
∴对角线条数为：，故答案为：10，35．
◆变式训练
1.（2024·浙江·模拟预测）用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点在一起，刚好能完全铺满地面，已知正多边形的边数为x、y、z，则的值为 ．
【答案】/
【详解】解：根据题意，这三种边长相等的正多边形的内角和为，
则，
∴，∴，故答案为：．
2.（2024·浙江丽水·统考一模）已知一个多边形内角和为，则这个多边形可连对角线的条数是（ ）
A．10 B．16 C．20 D．40
【答案】C
【详解】设这个多边形为n边形，由题意得，，∴，∴这个多边形为八边形，
∴这个多边形可连对角线的条数是，故选C．
■考点二 平行四边形的判定及性质
◇典例3：（2024·浙江台州·模拟预测）如图，在中，，已知点D是边的中点，点E是平面内一点，连接，若分别是的中点，连接，则的长度为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】A
【详解】解：如图，连接，∵点D是边的中点，∴，
∵， ∴，∴，∴，
∵分别是的中点，∴是的中位线，∴，故选∶A．
◆变式训练
1．（2024·浙江台州·二模）如图，在一次数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的，两点的距离，同学们在外选择一点，测得，两边中点的距离为，则，两点的距离是（ ）m
A．12 B．14 C．16 D．24
【答案】C
【详解】解：，，是的中位线，，
．．故选：C．
2．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，，D，E分别为，的中点，平分，交于点F，若，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【详解】解：在中，，由勾股定理得：，
∵F平分，∴，∵D，E分别为，的中点，
∴，，∴，
∴，∴，∴，故选：B．
◇典例4：（2024·浙江·一模）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，，，与交于点G．已知四边形是平行四边形，且．
(1)若，求线段，的长．
(2)若四边形的面积为48，求的面积．
【答案】(1)， (2)125
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，∴，，，
，，，，，
，，，，，；
（2）解：，，，
，，
四边形的面积为48，，∵，
∴，∴，即，解得．
◆变式训练
1．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在中，是边上一点，，若，则的度数为 ．
【答案】/度
【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴
∴∴
∵∴，∵∴，
∵∴∴，
∴故答案为：．
2．（2024·浙江·模拟预测）在中，，过点A作于M．若，则的值为 ．
【答案】或4
【详解】解：①在线段上，∵四边形是平行四边形，∴，设，
，，∵，，∴，∴，
∵，∴，∴，
②在线段延长线上，设，，，，
∵，，∴，，
∵四边形是平行四边形，∴，；故答案为：或．
◇典例5：（2024·浙江杭州·三模）如图，在平行四边形中，点E，F在对角线上，且，顺次连接．(1)求证：四边形是平行四边形．(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴，
在与中，，∴，∴，
∴，∴，∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，∴，
∵四边形是平行四边形，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，∴．
◆变式训练
1．（2023·浙江宁波·三模）如图，在四边形中，对角线，相交于点，为的中点．连结，，，，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．(2)求的值．
【答案】(1)见解析 (2)
【详解】（1）证明：延长，交于点Q，∵∴
在中，点M为中点∴
∵在中，，∴∴∴
∵∴，∵∴四边形是平行四边形
（2）延长，交于点Q，由（1）得
∵M是中点，点Q是的中点，∴
又∵∴，∴
∵中，∴∴
2．（2025·浙江·一模）如图，在平行四边形中，平分交于点．
(1)用直尺和圆规作的平分线交于点．
(2)在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形．
【答案】(1)作图见解析(2)见解析
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）证明：四边形是平行四边形，，
平分平分，，
，，，，四边形是平行四边形．
■考点三 矩形的判定及性质
◇典例6：（2025·浙江·一模）如图，在正方形中，连接，点是线段上一点（），连接，过点作交于点，连接，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，过点作于点，交于点，
∵四边形是正方形，∴，，，，
∴，，∴四边形是矩形，，
∴，在中，，，
∴，∴，在中，，
∴，在中，由勾股定理，得，
∵，∴，，∴，
在和中，，∴，∴，
∴，∴，故选：．
◆变式训练
1．（2025·浙江宁波·一模）在矩形中， ， ， 点F在线段上， 且， 则点 P到矩形对角线所在直线的距离是 ．
【答案】或
【详解】解： 如图1，过点作于点，
四边形是矩形，，，，，
∵， ，，由勾股定理得，，
，，，，
，，；如图2，过点作于点，
，，，，
，，；
综上，点到矩形对角线所在直线的距离是或．故答案为：或．
2．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，矩形中，点E在边上，将矩形沿直线折叠，点A恰好落在边的点F处．若，，则的长是 ．
【答案】
【详解】解：由折叠的性质可知，，
∵四边形为矩形，∴，，，
∴根据勾股定理得：，设，则，
根据勾股定理得：，∴，解得：．故答案为：．
3．（2024·浙江宁波·二模）如图，已知在矩形 中， ，点是的中点，点为边 上的动点，将矩形 绕点 逆时针旋转，得到矩形，在矩形 绕点 逆时针旋转的过程中，记 的对应点是点，则线段长度的最大值与最小值的差为 ．
【答案】10
【详解】解：∵矩形中，，∴，
先固定点，我们发现随着矩形绕点逆时针旋转的过程中，
点的轨迹是以为圆心，为半径的圆上，∴，
∵是中点，∴，∴当有最大值和最小值时，对应得会有最大值和最小值，
再把看成一个动点，当点与点重合时，，此时最小，
∴，当点与点重合时，，此时最大，
∴，∴，
即线段长度的最大值与最小值的差为10．故答案为：10．
◇典例7：（2024·浙江·模拟预测）已知：如图，在中，对角线相交于点O，．(1)求证：是矩形．(2)若，求对角线的长．
【答案】(1)证明见解析(2)8
【详解】（1）证明：在中，，，
又∵，∴，∴，∴，∴是矩形；
（2）解：∵，∴，
∵，∴为等边三角形，∴，∴．
◆变式训练
1．（2024·浙江宁波·模拟预测）下列命题中，属于真命题的是（ ）
对角线垂直且互相平分的四边形是菱形；对角线相等的四边形是矩形；四个角相等的四边形是正方形；四个角相等的四边形是矩形．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，原命题是真命题，符合题意；
对角线相等的平行四边形是是矩形，原命题是假命题，不符合题意；
四个角相等的菱形是正方形，原命题是假命题，不符合题意；
四个角相等的四边形是矩形，原命题是真命题，符合题意；∴是真命题，故选：．
2．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，是平行四边形的对角线的交点，，，分别是，，的中点．连结，．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，求的值．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：，分别是， 的中点，，
四边形为平行四边形，是中点，，
，四边形是平行四边形，
又，是中点，，平行四边形是矩形；
（2）解：延长交于，
，分别是， 的中点，，，，
，，，，，
，，，，．
■考点四 菱形的判定及性质
◇典例8：（2024·浙江·一模）如图，在菱形中，过顶点作，，垂足分别为，，连接，若，的面积为，则菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，
，，，
四边形是菱形，，，，
在和中，，，，
，即，设，，，
，，，
，，，
，，，，
，故选：D．
◆变式训练
1．（2025·浙江·一模）如图，在菱形中，，，点为中点，将菱形沿折叠，使点与点重合，连结、，则 ．
【答案】
【详解】解：过作交的延长线于，
四边形是菱形，，，，
，，点为中点，，
，，设，则，，
由折叠得：，，，
解得：，，故答案为：．
2．（2024·浙江台州·模拟预测）如图，四边形为菱形，过点D分别作的垂线，垂足为．(1)求证；(2)若，求的值．
【答案】(1)见解析 (2)
【详解】（1）证明：四边形是菱形，，
，，．
（2）解：， ，
四边形是菱形，，， ，
，，．
◇典例9：（2024·四川德阳·二模）如图，矩形的对角线，相交于点O，．
(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析 (2)3
【详解】（1）解：∵，∴四边形是平行四边形，
又∵矩形中，，∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵，∴，∴，∴，∴，
∵，∴．
◆变式训练
1．（2024·浙江杭州·一模）已知四边形为平行四边形，（ ）
A．若，则该四边形为矩形 B．若，则该四边形为菱形
C．若，则该四边形为菱形 D．若，则该四边形为矩形
【答案】D
【详解】解：A、∵四边形为平行四边形，，
∴平行四边形为菱形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形为平行四边形，，∴平行四边形为矩形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形是平行四边形，∴，∴，
∵，∴，∴平行四边形是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形为平行四边形，，
∴平行四边形为矩形，故选项D符合题意；故选：D．
2．（2024·浙江杭州·二模）如图，平行四边形中，与相交于点O，点P为中点，交于点E，连接，．
(1)求证：平行四边形为菱形；(2)若，，①求的值．②求的长．
【答案】(1)见解析(2)①，②
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，，
在和中，（），，
，，，四边形是菱形；
（2）解：①∵平行四边形对角线的交点为O，，，，
，，∵P为的中点，，设，
则，，，解得：，，，；
②设，则，，在中，，
在中，，
，解得：，，．
3．（2024·浙江杭州·二模）如图，在中，，点D是中点，分别过点A，D作，的平行线交于点E，且交于点O，连结、．
(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）解：∵，，∴四边形是平行四边形．∴．
∵点D是中点∴∴．∴四边形是平行四边形．
在中，为边上的中线，∴．∴平行四边形是菱形；
（2）解：中，为边上的中线，，，∴．
由（1）得四边形是平行四边形．∴,∴．
■考点五 正方形的判定及性质
◇典例10：（2025·浙江·一模）如图，在正方形中，点是上一动点（不与重合），对角线相交于点，过点分别作的垂线，分别交于点，交于点．下列结论：①；②；③；④；⑤点O在M、N两点的连线上．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②③④⑤ D．③④⑤
【答案】B
【详解】解：∵四边形是正方形∴．
∵，∴，
∵在和中，，∴，故①正确；
∴，同理，．∵正方形中，
又∵，∴，且中
∴四边形是矩形．∴，∴，
又∵，∴，故②正确；
∵四边形是矩形，∴，在直角中，，
∴，故③正确．
∵是等腰直角三角形，而不一定是等腰直角三角形，故④错误；
连接，∵垂直平分线段垂直平分线段，
∴，∴，∴点是的外接圆的圆心，
∵，∴为直径，∴在上，∴点O在M、N两点的连线上，故⑤正确；
综上所述： ①②③⑤正确．故答案：B．
◆变式训练
1．（23-24九年级下·浙江杭州·期中）如图，已知正方形为的中点，是边上的一个动点，连接将沿折叠得，延长交于，现在有如下5个结论：①定是直角三角形；②；③当与重合时，有；④平分正方形的面积．在以上结论中，正确的有（ ）
A．①② B．②③④ C．①②③ D．①③④
【答案】C
【详解】解：四边形是正方形，，
为的中点，，由翻折可知：，，，，，，，，
，，
是直角三角形，故①②正确；如图1中，当与重合时，
设．则，，
，，
又，，，，，，故③正确，如图2中，当点与点重合时，显然直线不平分正方形的面积，故④错误；
综上所述，正确的有：①②③，故选：C．
2．（2025·浙江宁波·一模）如图， 已知正方形的边长为3， P是中点， 点F在上且满足，延长分别交于点M，交的延长线于点E，则 的长为 ．
【答案】
【详解】解：如图，连接，过作于，交于，
∵正方形，∴四边形，四边形为矩形，，
，，
∴，，∵P是中点，∴，∴，
∵，∴，∴四点在同一个圆上，
∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，，设，则，∴，
解得：，（舍去），∴，，
∵，∴，解得：，经检验符合题意；
∵，，同理：，∴，
∴，∴；故答案为：
3．（2024·浙江·一模）如图1，已知矩形中，，点是边的中点，点是线段上的一个动点，将沿直线翻折，点落在点．(1)在点的运动过程中，请判断线段与的位置关系，并说明理由；(2)连接，求周长的最小值；(3)如图2，若，连接，延长交对角线于点，当时，求的长．
【答案】(1)，理由见解析(2)(3)
【详解】（1）解：，理由如下：连接，如图所示：
点是的中点，，由折叠可得，
，即点的轨迹为半圆，，，
，，由折叠可得，
则，，；
（2）解：由（1）可知，点的轨迹为半圆，连接，，如图所示：
在，，由折叠可得，，，
，，
在中，，
最小值为，
周长的最小值，
，当时，周长的最小值；
（3）解：若，则矩形为正方形，连接，如图所示：由为直径，可得，
将和分别沿、翻折到和处，延长、相交于点，如图所示：
由对称性知，，，则，四边形为正方形，
在中，，，由勾股定理可得，
，由折叠可知，
设，则，，，
在中，，则由勾股定理可得，解得，．
◇典例11：（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，的对角线交于点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接．(1)试判断四边形的形状，并说明理由；(2)请说明当的对角线满足什么条件时，四边形是正方形？
【答案】(1)平行四边形，见解析(2)且
【详解】（1）四边形是平行四边形．理由如下：
∵的对角线交于点，∴，
∵以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，
∴∴四边形是平行四边形．
（2）∵对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形，
∴且时，四边形是正方形．
◆变式训练
1．（2025·浙江·模拟预测）下列命题中，真命题是（ ）
A．一组对边平行的四边形是平行四边形 B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相垂直四边形是菱形 D．四边相等的四边形是正方形
【答案】B
【详解】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题；
C、对角线互相垂直平分四边形是菱形，原命题是假命题；
D、四条边都相等的四边形是菱形，原命题是假命题；故选：B．
2．（2024·陕西咸阳·统考三模）如图，已知，过点D作交的延长线于点E，过点C作交的延长线于点F．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)请添加一个条件：______，使得四边形是正方形，不用说明理由．
【答案】(1)见解析(2)（答案不唯一）
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，
∵，∴四边形是平行四边形，
∵，∴，∴四边形是矩形；
（2），理由是：∵四边形是矩形，，∴四边形是正方形．
故答案为：（答案不唯一）
◇典例12：（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，在矩形中，为对角线的中点，．动点在线段上，动点在线段上，点同时从点出发，分别向终点运动，且始终保持．点关于的对称点为；点关于的对称点为．在整个过程中，四边形形状的变化依次是（ ）
A．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
B．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形
C．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
D．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形
【答案】A
【详解】∵四边形是矩形，∴，，
∴，，∵、，∴
∵对称，∴，∴
∵对称，∴，
∴，同理，∴∴
∴四边形是平行四边形，如图所示，
当三点重合时，，∴即∴四边形是菱形，
如图所示，当分别为的中点时，设，则，，
在中，，连接，，
∵，∴是等边三角形，
∵为中点，∴，，∴，
根据对称性可得，∴，
∴，∴是直角三角形，且，∴四边形是矩形，
当分别与重合时，都是等边三角形，则四边形是菱形
∴在整个过程中，四边形形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形，
故选：A．
◆变式训练
1.（2024·山西·统考二模）在平行四边形的复习课上，小明绘制了如下知识框架图，箭头处添加条件错误的是（ ）
A．①：对角线相等 B．②：对角互补 C．③：一组邻边相等 D．④：有一个角是直角
【答案】B
【分析】由矩形，菱形，正方形的判定，即可判断．
【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故A正确，不符合题意；
B、对角互补的矩形不一定是正方形，错误，故B符合题意；
C、一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，故C不符合题意；
D、有一个角是直角的菱形是正方形，正确，故D不符合题意．故选：B．
【点睛】本题考查矩形，菱形，正方形的判定，关键是熟练掌握矩形，菱形，正方形的判定方法．
1．（2024·河北·中考真题）直线l与正六边形的边分别相交于点M，N，如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：正六边形每个内角为：，
而六边形的内角和也为，
∴，∴，
∵，∴，故选：B．
2．（2024·四川遂宁·中考真题）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：设这个正多边形的边数为，则，
∴，∴这个正多边形的每个外角为，故选：．
3．（2024·贵州·中考真题）如图，的对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵是平行四边形，∴，故选B．
4．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在中，点是的中点，过点，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：四边形是平行四边形，，，，故①③正确，
，，
点是的中点，，又，，，
，，，故②不正确，
，，，
即，故④正确，综上所述，正确结论的个数为3个，故选：C．
5．（2024·河北·中考真题）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
已知：如图，中，，平分的外角，点是的中点，连接并延长交于点，连接．求证：四边形是平行四边形．
证明：∵，∴．
∵，，，∴①______．
又∵，，∴（②______）．
∴．∴四边形是平行四边形．
若以上解答过程正确，①，②应分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【详解】证明：∵，∴．
∵，，，∴①．
又∵，，∴（②）．
∴．∴四边形是平行四边形．故选：D．
6．（2024·四川乐山·中考真题）下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A、∵，∴四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
B、∵，∴四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
C、∵，∴四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
D、∵，不能得出四边形是平行四边形，故此选项符合题意；故选：D．
7．（2024·甘肃·中考真题）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，则的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【详解】根据矩形的性质，得，
∵，∴是等边三角形，
∵，∴，解得．故选C．
8．（2024·上海·中考真题）四边形为矩形，过作对角线的垂线，过作对角线的垂线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（ ）
A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形
【答案】A
【详解】解：如图所示：四边形为矩形，，，
过作对角线的垂线，过作对角线的垂线，
，
如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为菱形，故选：A．
9．（2024·广西·中考真题）如图，边长为5的正方形，E，F，G，H分别为各边中点，连接，，，，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形的面积为（ ）
A．1 B．2 C．5 D．10
【答案】C
【详解】解：∵四边形是正方形，∴，，，，∵E，F，G，H分别为各边中点，
∴，，∴，∴四边形是平行四边形，
∴，同理，∴四边形是平行四边形，
∵，∴，∴，同理，
∵，，，∴，∴，
∵，∴，∴，同理，
∴平行四边形是矩形，∵，，，
∴，∴，又，，∴，
∴矩形是正方形，在中，，∴，∴，
∴正方形的面积为5，故选：C．
10．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在正方形中，点E，F分别为对角线的三等分点，连接并延长交于点G，连接，若，则用含α的代数式表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵正方形中，点E，F分别为对角线的三等分点，
∴，，，∴，
∵，，∴，∴，
∵点E，F分别为对角线的三等分点，∴，
∵正方形，∴，∴，∴，
∴，∴，∴，∴，
∴，故选：B．
11．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，点D，E分别是的中点，连接．若，则的长为 ．
【答案】24
【详解】解：∵D，E分别是，的中点，
∴是的中点，∴，故答案为：．
12．（2024·广东广州·中考真题）如图，中，，点在的延长线上，，若平分，则 ．
【答案】5
【详解】解：在中，，，，，
平分，，，
，，故答案为：5．
13．（2024·广西·中考真题）如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为 ．
【答案】
【详解】解：过点作于，于，则，
∵两张纸条的对边平行，∴，，∴四边形是平行四边形，
又∵两张纸条的宽度相等，∴，∵，∴，
∴四边形是菱形，在中，，，
∴，∴四边形的周长为，故答案为：．
14．（2024·浙江·中考真题）如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为
【答案】4
【详解】解：∵D，E分别是边，的中点，
∴是的中位线，∴∴
∵∴∴故答案为：4
15．（2024·天津·中考真题）如图，正方形的边长为，对角线相交于点，点在的延长线上，，连接．
（1）线段的长为 ；（2）若为的中点，则线段的长为 ．
【答案】 2 /
【详解】（1）四边形是正方形，，
在中，，，，
；
（2）延长到点，使，连接 由点向作垂线，垂足为
∵为的中点，为的中点，∴为的中位线，
在中， ，
，
在中，，
为的中位线，；故答案为：2；.
16．（2024·浙江·中考真题）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，．线段与关于过点O的直线l对称，点B的对应点在线段上，交于点E，则与四边形的面积比为 .
【答案】/
【详解】∵四边形是菱形，
∴设，∴，
如图所示，连接，，直线l交于点F，交于点G，
∵线段与关于过点O的直线l对称，点B的对应点在线段上，
∴，，
∴∴点，D，O三点共线∴，
∴∴∵∴
由对称可得，∴∴
又∵∴∴∵∴
又∵，∴∴
∴．故答案为：．
17．（2024·北京·中考真题）如图，在正方形中，点在上，于点，于点．若，，则的面积为 ．
【答案】
【详解】解：根据正方形的性质，得，，∴，
∵，∴,，
，∴，∴，∴，
∴的面积为；故答案为：．
18．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知菱形中对角线相交于点O，添加条件 可使菱形成为正方形．
【答案】或
【详解】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：；
根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：；
故添加的条件为：或．
19．（2024·北京·中考真题）如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，.(1)求证：四边形为平行四边形；(2)若，，，求的长.
【答案】(1)见详解(2)
【详解】（1）证明：∵是的中点，，∴，
∵，∴四边形为平行四边形；
（2）解：∵，∴，
在中，，，∴，
∵是的中点，∴，∵四边形为平行四边形，∴，
∴在中，由勾股定理得．
20．（2024·江西·中考真题）追本溯源：
题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）．
（1）如图1，在中，平分，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并说明理由．
方法应用：（2）如图2，在中，平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G．
①图中一定是等腰三角形的有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
②已知，，求的长．
【答案】（1）是等腰三角形；理由见解析；（2）①B；②．
【详解】解：（1）是等腰三角形；理由如下：∵平分，∴，
∵，∴，∴，∴，∴是等腰三角形；
（2）①∵中，∴，，同（1），∴，
∵，∴，∵，，∴，，
∵，∴，，，∴，，，
即、、、是等腰三角形；共有四个，故选：B．
②∵中，，，∴，，由①得，
∴．
21．（2024·江苏盐城·中考真题）如图1，E、F、G、H分别是平行四边形各边的中点，连接交于点M，连接AG、CH交于点N，将四边形称为平行四边形的“中顶点四边形”．
(1)求证：中顶点四边形为平行四边形；(2)①如图2，连接交于点O，可得M、N两点都在上，当平行四边形满足________时，中顶点四边形是菱形；
②如图3，已知矩形为某平行四边形的中顶点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】(1)见解析(2)①；②见解析．
【详解】（1）证明：∵， ∴，
∵点E、F、G、H分别是各边的中点，∴，
∴四边形为平行四边形，同理可得：四边形为平行四边形，
∴，∴四边形是平行四边形；
（2）①当平行四边形满足时，中顶点四边形是菱形，
由（1）得四边形是平行四边形，∵，∴，
∴中顶点四边形是菱形，故答案为：；
②如图所示，即为所求，连接，作直线，交于点O，然后作（或作BM=MN=ND），然后连接即可，
∴点M和N分别为的重心，符合题意；
证明：矩形，∴，
∵，∴，∴四边形为平行四边形；
分别延长交四边于点E、F、G、H如图所示：
∵矩形，∴，，由作图得，
∴，∴，∴点F为的中点，
同理得：点E为的中点，点G为的中点，点H为的中点．
22．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知矩形．
(1)尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点E，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)连接．求证：四边形是菱形．
【答案】(1)见解析；(2)见解析．
【详解】（1）解：如图1所示，直线为所求；
（2）证明：如图2，设与的交点为O，
由（1）可知，直线是线段的垂直平分线．
∴，，，，
又∵四边形是矩形，∴，∴，
∴，∴，∴，∴四边形是菱形．
23．（2024·四川遂宁·中考真题）康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其它判定定理．
(1)实践与操作
①任意作两条相交的直线，交点记为O；
②以点为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段；
③顺次连结所得的四点得到四边形．
于是可以直接判定四边形是平行四边形，则该判定定理是：______．
(2)猜想与证明:通过和同伴交流，他们一致认为四边形是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形．并写出了以下已知、求证，请你完成证明过程．
已知：如图，四边形是平行四边形，．求证：四边形是矩形．
【答案】(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形(2)证明见解析
【详解】（1）解：由作图可得：，，∴四边形是平行四边形，
该判定定理是：对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（2）∵四边形是平行四边形，∴，，∴，
∵，，∴，∴，∴四边形是矩形．
23．（2024·河北·中考真题）情境 图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的．
该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示．
（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）
操作 嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形．
如图3，嘉嘉沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题：
（1）直接写出线段的长；
（2）直接写出图3中所有与线段相等的线段，并计算的长．
探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形．
请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段）的位置，并直接写出的长．
【答案】（1）；（2），；的长为或．
【详解】解：如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，∴，
由拼接可得：，由正方形的性质可得：，
∴，，为等腰直角三角形，∴为等腰直角三角形，
设，∴，∴，，
∵正方形的边长为，∴对角线的长，∴，
∴，解得：，∴；
（2）∵为等腰直角三角形，；∴，∴，
∵，，∴；
如图，以为圆心，为半径画弧交于，交于，则直线为分割线，
此时，，符合要求，
或以圆心，为半径画弧，交于，交于，则直线为分割线，
此时，，∴，综上：的长为或．
1．（2024·安徽·模拟预测）过等腰的顶点画线段，使得线段与边平行且相等，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则以为顶点的四边形是正方形
B．若以为顶点的四边形是正方形，则
C．若，则以为顶点的四边形是菱形
D．若以为顶点的四边形是菱形，则
【答案】C
【详解】解：线段与平行且相等，以为顶点的四边形是平行四边形，
，只有为底角时，才可能有以为顶点的四边形是正方形，
∴A选项为假命题；同理，B选项也为假命题；
若，一定有，∴以为顶点的四边形一定是菱形，∴C为真命题；
若以为顶点的四边形是菱形，则有四边相等，但不能得到，∴D选项为假命题．
2．（2023·浙江丽水·一模）已知一个多边形内角和为，则这个多边形可连对角线的条数是（ ）
A．10 B．16 C．20 D．40
【答案】C
【详解】解：设这个多边形为n边形，由题意得，，∴，
∴这个多边形为八边形，∴这个多边形可连对角线的条数是，故选C．
3．（2023·浙江台州·模拟预测）如图为矩形，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则不可能是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，一条直线将该矩形分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是的倍数，都能被整除，∵不能被整除，∴不可能是．故选：C．
4．（2024·河北石家庄·一模）如图，嘉琪从点A出发，沿正东方向前进5m后向左转30°，再前进5m后又向左转30°，这样一直走下去．以下说法错误的是（ ）
A．第二次左转后行走的方向是北偏东30° B．第六次左转后行走的方向是正西方向
C．第八次左转后行走的方向是南偏西60° D．嘉琪第一次回到点A时，一共走了60m
【答案】C
【详解】解：根据题意走过的图形是正多边形，设边数为，则，
第一次行走的方向与正东方向的夹角为30度，则第二次行走的方向与正东方向的夹角为60度，以此类推可知，第次行走的方向与正东方向的夹角为度，
第二次左转后行走的方向是北偏东30°，故A选项正确，不符合题意；
第六次左转后行走的方向是正西方向，故B选项正确，不符合题意；
第八次左转后行走的方向是南偏西30°,故C选项不正确，符合题意；
嘉琪第一次回到点A时，一共走了60m，故D选项正确，不符合题意；故选C．
5．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，在中，过点作的平分线的垂线，垂足为，点为的中点，连接交于点．若，，则的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【答案】B
【详解】解：如图，分别延长、交于，
过点作的平分线的垂线，垂足为，
，，而，（ASA），
，而，，
点为的中点，点为的中点，为的中位线，，
，，．故选：B．
6．（2025·浙江宁波·一模）在菱形中， 点E，F分别是， 的中点， 连接， ．若 ，， 则的长为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】A
【详解】解：延长，交于点M，
在菱形中，点E，F分别是，的中点，
，，，，
在和中，，，
在和中，，，，
过E点作于N点，
，，，，，，
在中，即，
，，故选：A．
7．（2024·浙江·模拟预测）如图，点E，F分别为正方形的边上的点，交于点G，连接，已知与的面积之差，若要求正方形面积，只需要知道下列哪条线段的长（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
【答案】A
【详解】解：∵正方形，∴，
∴，
∵的面积等于，的面积等于，
∴与的面积之差等于，即：，
∵与的面积之差已知，
∴只需知道线段的长，即可求出的长，进而求出正方形的面积；故选A．
8．（2024·陕西·统考三模）如果过某多边形的一个顶点的对角线有5条，则该多边形是 边形．
【答案】8
【详解】解：∵过某多边形的一个顶点的对角线有5条，∴n-3=5∴n=8 故答案为：8．
9．（2024·浙江温州·三模）如图①是某创意图书馆设计的一款壁灯图案的设计图，象征着欣欣向荣，代表一种生机盎然的自然和谐美．图②是从图①图案中提取的图形，已知正八边形被分割成两个正方形和四个菱形，则 °．
【答案】
【详解】解：如图，由正八边形被分割成两个正方形和四个菱形，得：
，得．故答案为：．
10．（2024·浙江台州·模拟预测）如图，平行四边形沿对角线折叠，点B落在点E处，与交于点F，若，，则平行四边形的面积为 ．
【答案】24
【详解】解：由折叠可得：，
∵平行四边形，∴，∴，∴，∴，
∵，∴，，∵，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴．答案：24．
11．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图．在中，对角线，交于点，且，平分交的延长线于点，点为的中点．若，，则的长为 ．
【答案】2
【详解】解：如图，设交于点H，
∵四边形是平行四边形，对角线交于点O，，
∴， ∴，
∵平分， ∴， ∴， ∴，
∵， ∴， ∴，
∵，， ∴， ∴，
∵点O是的中点，点E是的中点，是的中位线，
∴， 故答案为：2．
12．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知中，，与的角平分线分别交边于点，，且，则边的长为 ．
【答案】或
【详解】解：平分，，
四边形是平行四边形，，，
，，，同理：，
分两种情况：①如图所示：，；
②如图2所示：，，，；
综上所述：的长为或．故答案为：或6
13．（2024·浙江温州·模拟预测）如图， 在等腰 中，，若点 D是边上一点， E是的中点，C关于直线 对称的点为，交于点 F．
（1）若，则 度（用含的代数式表示）；
（2）若，则 ．
【答案】
【详解】解：（1）∵，，∴，
∵C关于直线 对称的点为，∴，∴，
∴，在等腰 中，，
∴，∴；故答案为：；
（2）如图，过点E作的中点G，连接，并延长交于点H，
∵E是的中点，∴，∴，
∴是等腰直角三角形，∴，由（1）得：，
由折叠的性质得：，∵，
∴，∴，设，则，
∴，∴，∴，，∴，
∴是等腰直角三角形，∴，∴，
∴，∴，设交于点N，过点N作于点M，
∴，，∴，，
∴，∴，∴，∴，∴，
∴，∴．故答案为：
14．（2024·浙江杭州·一模）如图，在中，点D在边上，，与边交于点E，连接．记，的面积分别为，．（1）若是的中位线，则 ；
（2）若，，则线段的长为 ．
【答案】 ．
【详解】解：（1）∵是的中位线，
∵，，∴，∴，即，
∵点E是的中点，∴，∴，故答案为：；
（2）过点A作于点G，交于点F，过点E作于点H，
∵，∴，∴，∵，∴，
∴，设，即，∴，
∴，即，∵，∴，
∴，∴，整理得，
解得，（舍去），∴，即，
∵，∴，故答案为：．
15．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在矩形中，，是边的中点，，分别是边，上的点，且，垂足为点．若，，则的值为 ．
【答案】/
【详解】解：过点作，垂足为，
点是边的中点，，四边形是矩形，，，
四边形是矩形，，，，，
，，，，，
，，，，，
，，，，
，，
，，，，
，，故答案为：．
16．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，在矩形中，，E为边上的一个动点，连接，点B关于的对称点为，连接．若的最大值与最小值之比为2，则的长为 ．
【答案】
【详解】解；如图所示，连接，
由轴对称的性质可得，∴点在以A为圆心，半径为3的圆上运动，
∴当三点共线时，最小，∴；
∵点E在线段上，∴当点E与点B重合时，最大，最大值即为的长，
∴，
∵的最大值与最小值之比为2，∴，∴，
∴，解得或，故答案为：．
17．（2024·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，，，点E在线段上，．连结，二者相交于点F，连结，与相交于点G，则 ．
【答案】/1.5
【详解】解：∵四边形为矩形，∴，
∴在中，由勾股定理，∴，∴，
∵，∴，∴，∵，∴，
∴，∴，∴，故答案为：．
18．（2024·浙江·模拟预测）如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处（不与重合），折痕为，若，，则点到的距离为 ．
【答案】
【详解】解：作于H ，由折叠的性质可知，，由题意得，，
四边形是菱形，∴，，
∴为等边三角形，∴，设，则，
在中，，，
∴在中，，即，
解得，，∴，故答案为：
19．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知菱形的面积是52，一条对角线长为13，则另一条对角线长为 ．
【答案】8
【详解】解：菱形面积是52，一条对角线长为13，
另一条对角线长是：．故答案为：8．
20．（2025·浙江杭州·模拟预测）（1）如图1，在矩形中，为边上一点，连接，若，过作交于点，①求证：；②若时，则____．
（2）如图2，在菱形中，，过作交的延长线于点，过作交于点，若时，求的值．（3）如图3，在平行四边形中，，，，点在上，且，点为上一点，连接，过作交平行四边形的边于点，若时，请直接写出的长．
【答案】（1）①见解析；②；（2）；（3）的长为或或
【详解】解：（1）①四边形是矩形，则，°，
，，，
，；
②由①可得，．，
，，
（2）在菱形中，，，，
，，，
，，，
，，，；
（3）①当点在边上时，如图所示，延长交的延长线于点，连接，过点作于点，
平行四边形中，，，，
，，，，
， 在Rt△DEH 中，∠HDE＝∠A＝60°，
则，，，，
，，，
，，设，则，
，，
解得：或，即或，
②当点在边上时，如图所示，
连接，延长交的延长线于点，过点作，则，
四边形是平行四边形，设，则，，
，，，，
，，，
过点作于点，在中，，
∴，，，，，
，，
，，，
即 ，，即 ，
解得： ，（舍去），即 ；
③当点在边上时，如图所示，过点作于点，
在中，，
，
，，，点不可能在边上，
④当点在上时，，不符合相交，舍去，综上所述，的长为或或 ．
21．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，点分别在的延长线上，连结，若．
(1)求证：．(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，．
，．，．
又，；
（2）解：如图．在延长线上截取．连结．
由（1）可知，．
四边形是平行四边形，，，
是等边三角形，， 是等边三角形，
，，．
又，，．
，，．，．
22．（2024·浙江温州·二模）如图，在矩形中，，分别过点，作，交于点，，连结，．(1)求证：四边形为平行四边形．(2)分别取，的中点，，连结，．若，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：∵矩形，∴,∴，
∵，，∴,，∴，∴，
∵，∴四边形为平行四边形．
（2）解：∵矩形，∴，，
∵，∴，∴,∴
∵，∴，∴,∵，∴
∴,∴,
∵的中点，∴；同理可得：，
∴四边形的面积为
23．（2024·浙江宁波·一模）如图，已知和均是等边三角形，F点在上，延长交于点D，连接．(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当点D在线段上什么位置时，四边形是矩形？请说明理由．
【答案】(1)见解析(2)当点D在中点时，四边形是矩形，见解析
【详解】（1）证明：∵和均是等边三角形，
∴，
∴，∴四边形是平行四边形；
（2）解：当点D在中点时，四边形是矩形，理由如下；
∵，点D在中点，∴，
∵四边形是平行四边形，∴，∴，
∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是矩形．
24．（2023·浙江温州·二模）如图，在中，是上一点，，过点D作于点F，过点C作交的延长线于点E．
(1)求证：四边形是平行四边形．(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：，，
，，，，四边形是平行四边形；
（2）解：，，四边形是平行四边形，，
，，，设，则，
，，解得．．
25．（2024·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，，．点M，N分别是，边上的动点，连接、．请你解答下列问题：
(1)如图1，若M是边上的中点且，求的值；
(2)如图2，若M是边上的三等分点且，连接，求的面积．
【答案】(1)(2)或5
【详解】（1）解：在矩形中，，，，则
∵是边上的中点，∴，∵，∴，
∴，∴，∴，即，解得：，
则，∴；
（2）过点作交延长线于，过点作延长线于，延长交于，
则四边形是矩形，，，，
∵，，则∴，∴，
又∵，∴，∴，
∴，，则，∵，
∴，则∵是的三等分点，∴，或，，
当，时，，则，
∵，即：，∴，，
则；
当，，时，，则，
∵，即：，∴，，
则；
综上，的面积为或5．
26．（2025·浙江杭州·一模）如图，四边形是菱形，是的中点，的垂线交于点，交的延长线于点．(1)求证： ；(2)连接，．
①求菱形的周长；②若，求的长．
【答案】(1)见解析(2)①16；②
【详解】（1）证明：如图，连接，四边形是菱形，，，
，，点是的中点，∴，，
点是的中点，，；
（2）解：由（1）得，点是的中点，，
四边形是菱形，，，，
，，，，，
菱形的周长为；
如图，连接，记与交点为点，，，
，，，，
，，，，
，，，，，
∴，，，，
，为直角三角形，，，，
，．
27．（2024·浙江台州·一模）如图，已知，是正方形的对角线上的两点，且．连接，，，．(1)请判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若四边形的周长为 且 求正方形的边长．
【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析(2)
【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下：
连接，交于点，四边形是正方形，，，，
，，即，四边形是平行四边形，
，四边形是菱形；
（2）解：由（1）知，四边形是菱形，菱形的周长，，
设，则，在中，，，
，（舍去），，，故正方形的边长为．
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第四章 三角形及四边形
4.4 平行四边形与特殊的平行四边形
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 多边形的相关概念 ☆☆ 浙江中考数学（省卷）中，（特殊）平行四边形的部分，考查4道题，分值为20分左右，通常以选填题（3题）、解答题（1题）的形式考查。内容上既有（特殊）平行四边形的相关知识点的单独考查，也有和其他几何内容综合考查，对于本考点内容，要注重基础，反复练习，灵活运用。
考点2 平行四边形的判定及性质 ☆☆☆
考点3 矩形的判定及性质 ☆☆☆
考点4 菱形的判定及性质 ☆☆☆
考点5 正方形的判定及性质 ☆☆☆
多边形与（特殊）平行四边形是历年浙江中考考查重点，年年都会考查，在选择、填空题中考查多边形的内角和、平行四边形性质和判定、与三角形中位线有关计算、利用特殊四边形性质和判定求角度、长度问题的可能性比较大。解答题中考查特殊四边形的性质和判定，一般和三角形全等（相似）、解直角三角形、二次函数、动态问题综合应用的可能性比较大。
2
4
■考点一 多边形的相关概念 4
■考点二 平行四边形的判定及性质 7
■考点三 矩形的判定及性质 12
■考点四 菱形的判定及性质 16
■考点五 正方形的判定及性质 20
28
43
■考点一 多边形的相关概念
1）多边形的定义：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做 。
2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的 。
3）多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引 条对角线，并且这些对角线把多边形分成了 个三角形，n边形的对角线条数为 。
4）多边形内角和定理：n边形的内角和为 。
5）多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于 ，与多边形的形状和边数无关。
6）正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做 。
7）平面镶嵌（密铺）的条件：在同一顶点内的几个角的和等于 ；所有正多边形中，单独使用其中一种能够进行密铺(镶嵌)的只有 、 、 。如果选用多种，则需要满足：(1)边长相等；(2)选用正多边形若干个内角的和恰好等于360°。
■考点二 平行四边形的判定与性质
1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做 。
2）平行四边形的表示：用符号“ ”表示，平行四边形ABCD记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
3）平行四边形的性质：（1）两组对边 ；（2）对角 、邻角 ；（3）对角线 ；（4）平行四边形是 ，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的 。
4）补充性质：
（1）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的 。
（2）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为 三角形，即AB=BE。
（3）如图②，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离 ，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE。
（4）如图③，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD。
5）平行四边形的判定定理：
①定义： 的四边形是平行四边形；② 的四边形是平行四边形；
③ 的四边形是平行四边形；④ 的四边形是平行四边形；
⑤ 的四边形是平行四边形。
6）三角形中位线概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形 。
7）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于 ，并且等于 。
8）三角形中位线定理的作用：（1）证明位置关系：可以证明两条直线 ；（2）证明数量关系：可以证明线段的 关系。
■考点三 矩形的判定及性质
1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2）矩形的性质：（1）矩形两组对边平行且相等；（2）矩形的四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形.矩形的对称中心是矩形对角线的交点；矩形有两条对称轴，矩形的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过矩形的对称中心。
【推论】在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半。
3）矩形的判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；
（3）有三个角是直角的四边形是矩形。
矩形的判定思路：要证明一个四边形是矩形，首先要判断四边形是否为平行四边形，若是，则需要再证明对角线相等或有一个角是直角；若不易判断，则可通过证明有三个角是直角来直接证明。
4）矩形的折叠问题：（1）对折叠前后的图形进行细致分析，折叠后的图形与原图形全等，对应边、对应角分别相等，找出各相等的边或角；（2）折痕可看作角平分线（对称线段所在的直线与折痕的夹角相等）；（3) 折痕可看作垂直平分线（互相重合的两点之间的连线被折痕垂直平分）；（4）选择一个直角三角形(不找以折痕为边长的直角三角形)，利用未知数表示其它直角三角形三边，通过勾股定理/相似三角形知识求解。
■考点四 菱形的判定及性质
1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2）菱形的性质：1）具有平行四边形的所有性质；2）四条边都相等；3）两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角；4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点，菱形的对称轴是菱形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心。
3）菱形的判定：（1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（2）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（3）四条边相等的四边形是菱形。
菱形的判定思路：判定一个四边形是菱形时，可先说明它是平行四边形，再说明它的一组邻边相等或它的对角线互相垂直，也可直接说明它的四条边都相等或它的对角线互相垂直平分。
4）菱形的面积：S=ah=对角线乘积的一半（其中a为边长，h为高）；菱形的周长：周长C=4a。
■考点五 正方形的判定及性质
1）正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形。
2）正方形的性质：（1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质；
（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；（3）正方形对边平行且相等；
（4）正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角；
（5）正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形，正方形对角线与边的夹角为45°；
（6）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形。
3）正方形的判定：（1）平行四边形+ 一组邻边相等+ 一个角为直角；（2）矩形+ 一组邻边相等；
（3）矩形+对角线互相垂直；（4）菱形+一个角是直角；（5）菱形+对角线相等.
正方形的判定思路：判定一个四边形是正方形通常先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直；或者先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等；还可以先判定四边形是平行四边形，再证明它有一个角为直角和一组邻边相等。
4）正方形的面积：S正方形＝a2＝对角线乘积的一半；正方形的周长：C正方形=4a。
5）平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
■考点一 多边形的相关概念
◇典例1：（2024·浙江台州·模拟预测）如图，在正五边形内部作等边三角形，则的值为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2024·浙江台州·二模）如图，由六个正九边形中间可以拼接出一个美丽的“梅花形图案”，则图中的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河北石家庄·一模）淇淇用图1的六个全等纸片拼接出图2，图2的外轮廓是正六边形．如果用若干个纸片按照图3所示的方法拼接，外轮廓是正n边形图案，那么n的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．（2024·浙江杭州·一模）问题情境：在探索多边形的内角与外角关系的活动中，同学们经历了观察、猜想、实验、计算、推理、验证等过程，提出了问题，请解答．
（1）若四边形的一个内角的度数是α．①求和它相邻的外角的度数（用含α的代数式表示）；②求其它三个内角的和（用含α的代数式表示）．
（2）若一个n边形，除了一个内角，其余内角的和为，求n的值．
深入探究：（3）探索n边形的一个外角与和它不相邻的个内角的和之间满足的等量关系，说明理由．
◇典例2：（2024·江苏·校考模拟预测）一个正多边形的内角和是，则此多边形的边数是 ，对角线共有 条．
◆变式训练
1.（2024·浙江·模拟预测）用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点在一起，刚好能完全铺满地面，已知正多边形的边数为x、y、z，则的值为 ．
2.（2024·浙江丽水·统考一模）已知一个多边形内角和为，则这个多边形可连对角线的条数是（ ）
A．10 B．16 C．20 D．40
■考点二 平行四边形的判定及性质
◇典例3：（2024·浙江台州·模拟预测）如图，在中，，已知点D是边的中点，点E是平面内一点，连接，若分别是的中点，连接，则的长度为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
◆变式训练
1．（2024·浙江台州·二模）如图，在一次数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的，两点的距离，同学们在外选择一点，测得，两边中点的距离为，则，两点的距离是（ ）m
A．12 B．14 C．16 D．24
2．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，，D，E分别为，的中点，平分，交于点F，若，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
◇典例4：（2024·浙江·一模）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，，，与交于点G．已知四边形是平行四边形，且．
(1)若，求线段，的长．(2)若四边形的面积为48，求的面积．
◆变式训练
1．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在中，是边上一点，，若，则的度数为 ．
2．（2024·浙江·模拟预测）在中，，过点A作于M．若，则的值为 ．
◇典例5：（2024·浙江杭州·三模）如图，在平行四边形中，点E，F在对角线上，且，顺次连接．(1)求证：四边形是平行四边形．(2)若，，求的度数．
◆变式训练
1．（2023·浙江宁波·三模）如图，在四边形中，对角线，相交于点，为的中点．连结，，，，，．(1)求证：四边形是平行四边形．(2)求的值．
2．（2025·浙江·一模）如图，在平行四边形中，平分交于点．(1)用直尺和圆规作的平分线交于点．(2)在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形．
■考点三 矩形的判定及性质
◇典例6：（2025·浙江·一模）如图，在正方形中，连接，点是线段上一点（），连接，过点作交于点，连接，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2025·浙江宁波·一模）在矩形中， ， ， 点F在线段上， 且， 则点 P到矩形对角线所在直线的距离是 ．
2．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，矩形中，点E在边上，将矩形沿直线折叠，点A恰好落在边的点F处．若，，则的长是 ．
3．（2024·浙江宁波·二模）如图，已知在矩形 中， ，点是的中点，点为边 上的动点，将矩形 绕点 逆时针旋转，得到矩形，在矩形 绕点 逆时针旋转的过程中，记 的对应点是点，则线段长度的最大值与最小值的差为 ．
◇典例7：（2024·浙江·模拟预测）已知：如图，在中，对角线相交于点O，．(1)求证：是矩形．(2)若，求对角线的长．
◆变式训练
1．（2024·浙江宁波·模拟预测）下列命题中，属于真命题的是（ ）
对角线垂直且互相平分的四边形是菱形；对角线相等的四边形是矩形；四个角相等的四边形是正方形；四个角相等的四边形是矩形．
A． B． C． D．
2．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，是平行四边形的对角线的交点，，，分别是，，的中点．连结，．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，求的值．
■考点四 菱形的判定及性质
◇典例8：（2024·浙江·一模）如图，在菱形中，过顶点作，，垂足分别为，，连接，若，的面积为，则菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2025·浙江·一模）如图，在菱形中，，，点为中点，将菱形沿折叠，使点与点重合，连结、，则 ．
2．（2024·浙江台州·模拟预测）如图，四边形为菱形，过点D分别作的垂线，垂足为．(1)求证；(2)若，求的值．
◇典例9：（2024·四川德阳·二模）如图，矩形的对角线，相交于点O，．
(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求四边形的面积．
◆变式训练
1．（2024·浙江杭州·一模）已知四边形为平行四边形，（ ）
A．若，则该四边形为矩形 B．若，则该四边形为菱形
C．若，则该四边形为菱形 D．若，则该四边形为矩形
2．（2024·浙江杭州·二模）如图，平行四边形中，与相交于点O，点P为中点，交于点E，连接，．(1)求证：平行四边形为菱形；(2)若，，①求的值．②求的长．
3．（2024·浙江杭州·二模）如图，在中，，点D是中点，分别过点A，D作，的平行线交于点E，且交于点O，连结、．
(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求四边形的面积．
■考点五 正方形的判定及性质
◇典例10：（2025·浙江·一模）如图，在正方形中，点是上一动点（不与重合），对角线相交于点，过点分别作的垂线，分别交于点，交于点．下列结论：①；②；③；④；⑤点O在M、N两点的连线上．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②③④⑤ D．③④⑤
◆变式训练
1．（23-24九年级下·浙江杭州·期中）如图，已知正方形为的中点，是边上的一个动点，连接将沿折叠得，延长交于，现在有如下5个结论：①定是直角三角形；②；③当与重合时，有；④平分正方形的面积．在以上结论中，正确的有（ ）
A．①② B．②③④ C．①②③ D．①③④
2．（2025·浙江宁波·一模）如图， 已知正方形的边长为3， P是中点， 点F在上且满足，延长分别交于点M，交的延长线于点E，则 的长为 ．
3．（2024·浙江·一模）如图1，已知矩形中，，点是边的中点，点是线段上的一个动点，将沿直线翻折，点落在点．(1)在点的运动过程中，请判断线段与的位置关系，并说明理由；(2)连接，求周长的最小值；(3)如图2，若，连接，延长交对角线于点，当时，求的长．
◇典例11：（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，的对角线交于点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接．(1)试判断四边形的形状，并说明理由；(2)请说明当的对角线满足什么条件时，四边形是正方形？
◆变式训练
1．（2025·浙江·模拟预测）下列命题中，真命题是（ ）
A．一组对边平行的四边形是平行四边形 B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相垂直四边形是菱形 D．四边相等的四边形是正方形
2．（2024·陕西咸阳·统考三模）如图，已知，过点D作交的延长线于点E，过点C作交的延长线于点F．(1)求证：四边形是矩形；(2)请添加一个条件：______，使得四边形是正方形，不用说明理由．
◇典例12：（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，在矩形中，为对角线的中点，．动点在线段上，动点在线段上，点同时从点出发，分别向终点运动，且始终保持．点关于的对称点为；点关于的对称点为．在整个过程中，四边形形状的变化依次是（ ）
A．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
B．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形
C．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
D．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形
◆变式训练
1.（2024·山西·统考二模）在平行四边形的复习课上，小明绘制了如下知识框架图，箭头处添加条件错误的是（ ）
A．①：对角线相等 B．②：对角互补 C．③：一组邻边相等 D．④：有一个角是直角
1．（2024·河北·中考真题）直线l与正六边形的边分别相交于点M，N，如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川遂宁·中考真题）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·贵州·中考真题）如图，的对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在中，点是的中点，过点，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2024·河北·中考真题）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
已知：如图，中，，平分的外角，点是的中点，连接并延长交于点，连接．求证：四边形是平行四边形．
证明：∵，∴．
∵，，，∴①______．
又∵，，∴（②______）．
∴．∴四边形是平行四边形．
若以上解答过程正确，①，②应分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
6．（2024·四川乐山·中考真题）下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·甘肃·中考真题）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，则的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
8．（2024·上海·中考真题）四边形为矩形，过作对角线的垂线，过作对角线的垂线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（ ）
A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形
9．（2024·广西·中考真题）如图，边长为5的正方形，E，F，G，H分别为各边中点，连接，，，，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形的面积为（ ）
A．1 B．2 C．5 D．10
10．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在正方形中，点E，F分别为对角线的三等分点，连接并延长交于点G，连接，若，则用含α的代数式表示为（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，点D，E分别是的中点，连接．若，则的长为 ．
12．（2024·广东广州·中考真题）如图，中，，点在的延长线上，，若平分，则 ．
13．（2024·广西·中考真题）如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为 ．
14．（2024·浙江·中考真题）如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为 。
15．（2024·天津·中考真题）如图，正方形的边长为，对角线相交于点，点在的延长线上，，连接．（1）线段的长为 ；（2）若为的中点，则线段的长为 ．
16．（2024·浙江·中考真题）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，．线段与关于过点O的直线l对称，点B的对应点在线段上，交于点E，则与四边形的面积比为 .
17．（2024·北京·中考真题）如图，在正方形中，点在上，于点，于点．若，，则的面积为 ．
18．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知菱形中对角线相交于点O，添加条件 可使菱形成为正方形．
19．（2024·北京·中考真题）如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，.(1)求证：四边形为平行四边形；(2)若，，，求的长.
20．（2024·江西·中考真题）追本溯源：题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）．
（1）如图1，在中，平分，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并说明理由．
方法应用：（2）如图2，在中，平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G．
①图中一定是等腰三角形的有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
②已知，，求的长．
21．（2024·江苏盐城·中考真题）如图1，E、F、G、H分别是平行四边形各边的中点，连接交于点M，连接AG、CH交于点N，将四边形称为平行四边形的“中顶点四边形”．
(1)求证：中顶点四边形为平行四边形；(2)①如图2，连接交于点O，可得M、N两点都在上，当平行四边形满足________时，中顶点四边形是菱形；
②如图3，已知矩形为某平行四边形的中顶点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法）
22．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知矩形．
(1)尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点E，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)连接．求证：四边形是菱形．
23．（2024·四川遂宁·中考真题）康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其它判定定理．
(1)实践与操作①任意作两条相交的直线，交点记为O；
②以点为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段；
③顺次连结所得的四点得到四边形．
于是可以直接判定四边形是平行四边形，则该判定定理是：______．
(2)猜想与证明:通过和同伴交流，他们一致认为四边形是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形．并写出了以下已知、求证，请你完成证明过程．
已知：如图，四边形是平行四边形，．求证：四边形是矩形．
23．（2024·河北·中考真题）情境 图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的．
该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示．
（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）
操作 嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形．
如图3，嘉嘉沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题：
（1）直接写出线段的长；
（2）直接写出图3中所有与线段相等的线段，并计算的长．
探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形．
请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段）的位置，并直接写出的长．
1．（2024·安徽·模拟预测）过等腰的顶点画线段，使得线段与边平行且相等，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则以为顶点的四边形是正方形
B．若以为顶点的四边形是正方形，则
C．若，则以为顶点的四边形是菱形
D．若以为顶点的四边形是菱形，则
2．（2023·浙江丽水·一模）已知一个多边形内角和为，则这个多边形可连对角线的条数是（ ）
A．10 B．16 C．20 D．40
3．（2023·浙江台州·模拟预测）如图为矩形，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则不可能是( )
A． B． C． D．
4．（2024·河北石家庄·一模）如图，嘉琪从点A出发，沿正东方向前进5m后向左转30°，再前进5m后又向左转30°，这样一直走下去．以下说法错误的是（ ）
A．第二次左转后行走的方向是北偏东30° B．第六次左转后行走的方向是正西方向
C．第八次左转后行走的方向是南偏西60° D．嘉琪第一次回到点A时，一共走了60m
5．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，在中，过点作的平分线的垂线，垂足为，点为的中点，连接交于点．若，，则的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
6．（2025·浙江宁波·一模）在菱形中， 点E，F分别是， 的中点， 连接， ．若 ，， 则的长为（ ）
A． B． C． D．6
7．（2024·浙江·模拟预测）如图，点E，F分别为正方形的边上的点，交于点G，连接，已知与的面积之差，若要求正方形面积，只需要知道下列哪条线段的长（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
8．（2024·陕西·统考三模）如果过某多边形的一个顶点的对角线有5条，则该多边形是 边形．
9．（2024·浙江温州·三模）如图①是某创意图书馆设计的一款壁灯图案的设计图，象征着欣欣向荣，代表一种生机盎然的自然和谐美．图②是从图①图案中提取的图形，已知正八边形被分割成两个正方形和四个菱形，则 °．
10．（2024·浙江台州·模拟预测）如图，平行四边形沿对角线折叠，点B落在点E处，与交于点F，若，，则平行四边形的面积为 ．
11．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图．在中，对角线，交于点，且，平分交的延长线于点，点为的中点．若，，则的长为 ．
12．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知中，，与的角平分线分别交边于点，，且，则边的长为 ．
13．（2024·浙江温州·模拟预测）如图， 在等腰 中，，若点 D是边上一点， E是的中点，C关于直线 对称的点为，交于点 F．（1）若，则 度（用含的代数式表示）；（2）若，则 ．
14．（2024·浙江杭州·一模）如图，在中，点D在边上，，与边交于点E，连接．记，的面积分别为，．（1）若是的中位线，则 ；
（2）若，，则线段的长为 ．
15．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在矩形中，，是边的中点，，分别是边，上的点，且，垂足为点．若，，则的值为 ．
16．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，在矩形中，，E为边上的一个动点，连接，点B关于的对称点为，连接．若的最大值与最小值之比为2，则的长为 ．
17．（2024·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，，，点E在线段上，．连结，二者相交于点F，连结，与相交于点G，则 ．
18．（2024·浙江·模拟预测）如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处（不与重合），折痕为，若，，则点到的距离为 ．
19．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知菱形的面积是52，一条对角线长为13，则另一条对角线长为 ．
20．（2025·浙江杭州·模拟预测）（1）如图1，在矩形中，为边上一点，连接，若，过作交于点，①求证：；②若时，则____．
（2）如图2，在菱形中，，过作交的延长线于点，过作交于点，若时，求的值．（3）如图3，在平行四边形中，，，，点在上，且，点为上一点，连接，过作交平行四边形的边于点，若时，请直接写出的长．
21．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，点分别在的延长线上，连结，若．(1)求证：．(2)若，，求的长．
22．（2024·浙江温州·二模）如图，在矩形中，，分别过点，作，交于点，，连结，．(1)求证：四边形为平行四边形．(2)分别取，的中点，，连结，．若，求四边形的面积．
23．（2024·浙江宁波·一模）如图，已知和均是等边三角形，F点在上，延长交于点D，连接．(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当点D在线段上什么位置时，四边形是矩形？请说明理由．
24．（2023·浙江温州·二模）如图，在中，是上一点，，过点D作于点F，过点C作交的延长线于点E．(1)求证：四边形是平行四边形．(2)若，求的长．
25．（2024·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，，．点M，N分别是，边上的动点，连接、．请你解答下列问题：(1)如图1，若M是边上的中点且，求的值；(2)如图2，若M是边上的三等分点且，连接，求的面积．
26．（2025·浙江杭州·一模）如图，四边形是菱形，是的中点，的垂线交于点，交的延长线于点．(1)求证： ；(2)连接，．
①求菱形的周长；②若，求的长．
27．（2024·浙江台州·一模）如图，已知，是正方形的对角线上的两点，且．连接，，，．(1)请判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若四边形的周长为 且 求正方形的边长．
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