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第四章 三角形及四边形
4.3 锐角三角函数
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 特珠角的三角函数值 ☆☆ 浙江中考数学（省卷）中，锐角三角函数及其应用的部分，考查1-2道题，分值为10分左右，通常以选填题（1题）、 应用题或解答题（1题）的形式考查。对于实数的复习，在牢固掌握定义的同时，一定要理解基本的方法，利用辅助线构造直角三角形，是得分的关键。
考点2 直角三角形的边角关系 ☆☆
考点3 锐角三角函数的实际应用 ☆☆☆
锐角三角函数及其应用是数学中考中比较重要的考点,主要考查锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数，尤其是应用主要在综合题中考查，是考查重点，每年都有一道三角函数的综合题，还常和四边形、圆、网格图形等结合考察，是近几年中考填空压轴题常考题型。
2
4
■考点一 特珠角的三角函数值 4
■考点二 直角三角形的边角关系 8
■考点三 锐角三角函数的实际应用 14
24
38
■考点一 特珠角的三角函数值
1）锐角三角函数的概念：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数 。（其中0＜∠A＜90°）
2）正弦、余弦、正切的概念：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，
正弦：sinA= ；余弦：cosA= ；正切：tanA= ．
3）特殊角的三角函数值
α sinα cosα tanα
30° . . .
45° . . 1 .
60° . . .
【补充】表中是特殊角的三角函数值.反过来，若已知一个特殊角的三角函数值，则可求出相应的锐角.
■考点二 直角三角形的边角关系
1）解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．
2）在解直角三角形的过程中，常用关系：
在Rt△ABC中，∠C=90°，则：（1）三边关系：a2+b2=c2 ； （2）两锐角关系：∠A+∠B=90° ；
（3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； 4）sin2A+cos2A=1 ．
3）锐角三角函数的性质
当0°＜∠A＜90°时，sin A随∠A的增大而增大 ；cos A随∠A的增大而减小 ；tan A随∠A的增大而增大 。
■考点三 锐角三角函数的实际应用
1）解直角三角形的相关的名词、术语：（1）视角：视线与水平线的夹角叫做视角。
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角 。
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角 。
（2）方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角 ．
（3）坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比） ，记作i= ．
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角 ，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．
2）解直角三角形实际应用的一般步骤：
（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
3）测量物体的高度（距离）的常见模型：
（1）利用水平距离测量物体高度（双直角三角形）
解题方法：（已知条件：，求高m）这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解。
（2）测量底部可以到达的物体高度
解题方法：1）已知测量仪高m，水平距离n，角α，求高h；2）已知水平距离n，角α，角β，求高h=h1+h2；这两种模型种可结合水平距离和相应角度，用正切值解题。
（3）测量底部不可到达的物体的高度
注意：1）在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素（至少有一条边），可求出其余的三个未知元素（知二求三）；2）已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，因此其边的大小不确定。
■考点一 特珠角的三角函数值
◇典例1：（24-25九年级上·浙江金华·期末）在中，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如下图所示，中，，，，
，． 故选：D ．
◆变式训练
1．（24-25九年级上·浙江衢州·阶段练习）在中，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，在中，，，
∴设，则，∴，∴，故选：A．
2．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）在中，，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，∴． ∵，∴，∴．
故选B．
3．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）在中，，则 ．
【答案】
【详解】中，，即，设，，其中，
∴，∴，故答案为：．
◇典例2：（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，是放置在正方形网格中的一个角，、、都是格点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：连接，由网格可得，，，，
∴，∴是直角三角形，且，∴．故选：C．
◆变式训练
1．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角，点都在格点上，则的值是 ．
【答案】
【详解】解：如图，连接，，
设菱形的边长为，由题意得，，，，
则，∴，∵，∴，
∴、、共线，在中，．故答案为：．
2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在由相同的菱形组成的网格中，等于，小菱形的顶点称为格点．已知点A，B，C，D，E都在格点上，连结，，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：如图，取格点，连接交于点O，
则，∵，此图为相同的菱形组成的网格，
∴四边形，四边形为菱形，∴，
设菱形网格的边长为a，则，∴，
∴，∴，∴，
∴．故答案为：．
◇典例3：（2025·浙江宁波·模拟预测）计算：．
【答案】
【详解】解：
◆变式训练
1．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）计算：．
【答案】
【详解】解：原式 ．
2．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）计算：．
【答案】
【详解】解：．
◇典例4：（2025九年级下·浙江·专题练习）在中，已知，都是锐角，且，判断的形状．
【答案】等边三角形
【详解】解：，，，
则，，故，则是等边三角形．
◆变式训练
1.（2024·江苏盐城·校考一模）已知 ，则锐角的度数等于（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【详解】解：，锐角的度数为，故选：C．
2．（2024·贵州·统考模拟预测）在中，若，都是锐角，且，，则的形状是（ ）
A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形
【答案】D
【详解】∵，都是锐角，且，，∴，，
∴，∴的形状是直角三角形．故选D．
■考点二 直角三角形的边角关系
◇典例5：（2024·黑龙江·校考模拟预测）在中，，则边的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意可得：，∴为直角三角形，如下图：
由三角函数的定义可得，，即
可得A选项符合题意，B、C、D选项不符合题意，故选：A
◆变式训练
1．（2024·上海虹口·统考一模）如图，在中，已知，，，那么的长为（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】A
【详解】解：∵，∴，
∵，∴，∴，故选：A．
◇典例6：（2024·浙江·模拟预测）如图，在四边形中，，．记，．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：过点作于，作的角平分线交于，过点作于，则，
∵，，，∴，，，
∵平分，∴，设，，
∵，∴，∴，在和中，，
∴，∴，，∴，
∵，∴，∴，∴，在中，，
∴，∴，，当时，，∴不合，舍去，
∴，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
故选：．
◆变式训练
1．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，中，，，，为边上一动点，且，则的长度为 ．
【答案】/
【详解】解：如图，作于点，设长为，则，，
，，，，
．故答案为：．
2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，，，点D在上，且，以D为旋转中心将直线绕点D顺时针方向旋转，旋转后所得的直线将分成两部分，若其中一部分为等腰三角形，则该等腰三角形的面积为 ．
【答案】或或或
【详解】解：∵在中，，，，∴，
∵，∴，设所在直线为，直线与相交时，设交点为，
当时，如图，过点E作于点H，
则（三线合一），∵，∴，
∴等腰三角形的面积为；
当时，如图，过点D作于点G，则，
同理得：，∴，
∴等腰三角形的面积为；直线与相交时，设交点为，
当时，如图，过点D作于点P，同理得：，
∴，∴，∴（三线合一），
∴等腰三角形的面积为；
当时，如图，过点F作于点Q，则，
同理得：，∴，
∴等腰三角形的面积为；
综上，该等腰三角形的面积为或或或．故答案为：或或或．
◇典例7：（23-24九年级上·广东梅州·期末）若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，正弦值随着角的增大而增大，
，，故选C．
◆变式训练
1．（23-24九年级上·北京·单元测试）下列结论（其中是锐角）：①；②；③当时，；④．其中正确的有 ．
【答案】③④
【详解】解：①∵，，∴不一定小于等于1，故①错误；
②若，则，，∴
∴，故②错误；
③当时，，∴越大，对边越大，且越接近斜边，
∴越大，∴当时，，故③正确；
④∵，，，∴，故④正确．故答案为：③④．
2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中） （选填“”或“”或“”）．
【答案】
【详解】解：∵，且，
∴，故答案为：．
◇典例8：（2025九年级下·浙江温州·学业考试）已知，则（ ）
A． B． C．4 D．2
【答案】B
【详解】解：∵，∴，故选：B ．
◆变式训练
1．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如果α是锐角，且，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，，；故选：B．
2．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图所示，根据提供的数据回答下列问题：
(1)在图①，______，______，______；
在图②中，______，______，______；
通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明；
(2)在图①中，______，______；
在图②中，______，______；
通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明．
【答案】(1)；；证明见解析
(2)；；证明见解析
【详解】（1）解：，，，，，，
规律：对于任意锐角有，故答案为：，，1，，，1；
证明：如图所示，在中，，
，，，．
（2）解：，，，
规律：对于任意锐角有，
证明：如图，，，．故答案为：，，，．
■考点三 锐角三角函数的实际应用
◇典例9：（24-25九年级下·湖北荆州·阶段练习）2025年在湖北某市举办马拉松赛事．如图，某校数学兴趣小组在A处用仪器测得赛场一宣传气球顶部E处的仰角为，仪器与气球的水平距离为22米，且距地面高度为1.5米，则气球顶部离地面的高度是 米（结果精确到0.1米，，，）．
【答案】10.3
【详解】解：根据题意得，，∴四边形是矩形，
∴ 在中，，
∴，∴，故答案为：10.3．
◆变式训练
1．（24-25九年级下·陕西商洛·阶段练习）一路边灯杆如图所示，垂直于地面．小唯所在的兴趣小组要测量该灯杆的长度，将测角仪垂直于地面放置，移动位置并观察，使A，B，F三点在一条直线上，此时在点F处测得点B的仰角为，兴趣小组取点A正下方的点D，用皮尺测量出，，已知测角仪的高度为，点C，D，E在同一直线上．求灯杆的长度．（结果保留根号）
【答案】
【详解】解：如图，过点作的平行线，分别交于点，
由题意得：，，，，
∴，，∴四边形和四边形都是矩形，
∴，，，
在中，，
在中，，，
∴，，
∴，答：灯杆的长度为．
2．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，建筑物垂直于地面，测角机器人在点测得建筑物顶端的仰角为，向前走9米到点，测得建筑物顶端的仰角为．求该建筑物的高度（结果精确到米）．（参考数据：）
【答案】
【详解】解: 由题意得: 米,设 米,
在 中, ,则 米米,
在 中, ,解得: ，
经检验， 是方程的解，且符合题意．答: 建筑物 的高度约为 21 米．
◇典例10：（24-25九年级下·重庆万州·阶段练习）烟花三月，是油菜花盛开的季节，漫山遍野、满河道的油菜花，形成了一幅壮观的自然画卷．周末，小钟一家去某油菜花基地游玩，他们从基地大门A处去景点C．小钟的父母沿A→B→C路线步行到景点C，途中在B点停留4分钟照相；小钟则先步行到达正东方向D处，再慢跑去景点C处和父母汇合．父母提前出发2分钟后，小钟才出发．已知B在A北偏东方向上且米，C在B北偏东方向上，且在D的西北方向300米处．
(1)求基地大门A处与D处的距离（结果保留根号）；(2)父母的平均速度为30米/分，小钟的步行速度为50米/分，慢跑速度为100米/分，请用计算说明小钟的父母和小钟谁先到达景点C？（结果精确到0.1，参考数据：，，）
【答案】(1)米(2)小钟先到达景点C，理由见解析
【详解】（1）解：过点作于点，过点作于点，作于点，
则，
四边形是矩形，，，由题意可得，
在 中， 米，米，米，
由题意可得，在中，米，，
米，在中，，
米，米，
米，
即游船起点处与处的距离为米；
（2）解：父母走过的路程为米，
则父母到达景点C的时间为分，
小钟步行的时间为分；小钟跑步的时间为分，
则小钟到达景点C的时间为分，则小钟先到达景点C．
◆变式训练
1．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，所示，在某海域，一艘指挥船在C处收到渔船在B处发出的求救信号，经确定，遇险抛锚的渔船所在的B处位于C处的南偏西方向上，且海里；指挥船搜索发现，在C处的南偏西方向上有一艘海监船A，恰好位于B处的正西方向．于是命令海监船A前往搜救，已知海监船A的航行速度为40海里/小时，问渔船在B处需要等待多长时间才能得到海监船A的救援？（已知，）
【答案】渔船在B处需要等待1.3小时
【详解】解：因为A在B的正西方，延长交南北轴于点D，则于点D，
∵，，∴，在中，，海里，
即，解得海里，∴海里，
在中，，即，解得海里，
∵，∴海里，∵海监船A的航行速度为40海里/小时，
则渔船在B处需要等待的时间为（小时），
∴渔船在B处需要等待1.3小时．
◇典例11：（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，重庆八中某校区足球场有一根旗杆，小杰从篮球场的点处观察到旗杆顶端的仰角是，往前走50米到点处，再沿着坡度为的阶梯走到足球场的点，米，测得之间的水平距离米，则旗杆的高度为 米（参考数据：，，
A．37.8米 B．42.8米 C．52.8米 D．56.5 米
【答案】D
【详解】解：延长交于，过点作于．
，四边形是矩形，，（米，
在中，，米，，
（米，（米，（米，（米，
在中，（米，（米，选：D．
◆变式训练
1．（24-25九年级下·海南儋州·开学考试）如图，大楼上悬挂一条幅，小颖在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为，沿坡面向下走到坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部B的仰角为，此时小颖距大楼底端N处20米．已知坡面米，山坡的坡度（即），且D，M，E，C，N，B，A在同一平面内，E，C，N在同一条直线上．（参考数据：）
(1)填空：________，________；(2)求条幅的长度．（结果精确到1米）
【答案】(1)，(2)条幅的长度是17米
【详解】（1）解：过点作于，则，
∵，∴，∴，
故答案为：，；
（2）过点作于，∵坡面米， 山坡的坡度米，米，
米， ，米，
米，，米，
米，答：条幅的长度是17米．
2．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在一次数学实践活动中，张老师带领学生去测量学校附近一座垂直于地面的古塔的高度，小凡同学从古塔底部的点B处前行到达斜坡的底部点D处，然后沿着斜坡前行到达最佳测量点E处，在点E处测得塔顶A的仰角为，已知斜坡与水平地面的夹角为，且点A，B，C，D，E在同一个平面内，求该古塔的高度．（参考数据：，，，）
【答案】
【详解】解：过作于，于，
则，∴四边形是矩形，，，
斜坡与水平地面的夹角为，，，
，则，∴，，即，
∵从古塔底部的点B处前行到达斜坡的底部点D处，∴，
在中，，即，解得，
∴，∴该古塔的高度为．
◇典例12：（2025九年级下·浙江·专题练习）如图是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图，打开后备厢，车后盖落在处，与水平面的夹角．
AI
(1)求打开后备厢后，车后盖最高点到地面的距离；
(2)若小明爸爸的身高为，他从打开的车后盖C处经过，有没有碰头的危险请说明理由．（结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】(1) (2)没有碰头的危险，见解析
【详解】（1）解：如图，过点于，在中，，，
，，
∴点到地面的距离为：，
答：车后盖最高点到地面的距离约为；
（2）没有碰头的危险，理由如下：如图，过点作于点，
在中，，则，
，，，
，∴点到地面的距离为：，
，∴没有碰头的危险．
◆变式训练
1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了如图1所示的护眼灯，其侧面示意图如图2所示（台灯底座高度忽略不计），其中灯柱，灯臂，灯罩，，，分别可以绕点上下调节一定的角度．经使用发现：当，且时，台灯光线最佳．
(1)求台灯光线最佳时的度数；(2)求台灯光线最佳时点到桌面的距离．（精确到，参考数值：，，）
【答案】(1)(2)点到桌面的距离约为
【详解】（1）解：过点C作，
∵，∴，∴，
∵，，∴，∴，
∴，∴；
（2）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，如图所示，
∵，，，∴，
∴四边形为矩形，∴，，
又∵，，，∴，
∴（cm），答：点到桌面的距离约为．
2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）图1是某种笔记本电脑支架．如图2，其底座放置在水平桌面上，通过调节点，点处的角度，控制托盘的位置．电脑机身和屏幕分别用线段、表示，；，．(1)若，．①为使屏幕与桌面保持垂直，求的度数．②求点到桌面的最大距离（不计材料的厚度）．(2)在（1）的情况下，保持，并逐渐减小的度数．圆圆同学说：“点到桌面的距离越来越小．”点点同学说：“点到桌面的距离先变大，后变小．”你认为谁的说法正确，说明理由．
【答案】(1)①；②；(2)点点同学的说法正确，理由见解析
【详解】（1）解：①如图，延长交于点，，
，，，，
，
②如图，过点作，，则四边形是矩形，，
在中，，，
，，，
在中，，，
，即点到桌面的最大距离为；
（2）解：点点同学的说法正确，理由如下：设，则，
点到桌面的距离为，
当时，点到桌面的距离为，
当时，点到桌面的距离为，
当时，点到桌面的距离为，
点到桌面的距离先变大，后变小，点点同学的说法正确．
1．（2024·吉林长春·中考真题）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（ ）
A．千米 B．千米 C．千米 D．千米
【答案】A
【详解】解：由题意得：∴千米 故选：A
2．（2024·广东深圳·中考真题）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪测得的仰角为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得的仰角为，则电子厂的高度为（ ）（参考数据：，，）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图：延长交于一点，
∵∴四边形是矩形
∵∴四边形是矩形 同理得四边形是矩形
依题意，得，
∴，∴
∴设，则 在∴即
在∴即
∴∴∴
∴ 故选：A
3．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在中，，，则的长是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【详解】解：如图，过点A作于点D．
∵，∴．在中，，
∴，∴，∴．故选B．
4．（2024·四川德阳·中考真题）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为．（在同一平面内，在同一水平面上），则建筑物的高为（ ）米
A．20 B．15 C．12 D．
【答案】B
【详解】解：如图，过作于，依题意，
∴四边形为矩形，∴，，
设，而，∴，
∵，∴，解得：，
经检验是原方程的解，且符合题意；∴，故选B
5．（2024·天津·中考真题）的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，故选：A.
6．（2024·四川达州·中考真题）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，，其中点，，都在格点上，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】B
【详解】解：如图所示，延长交格点于点，连接，分别在格点上，
依题意，，
∴∴
又，∴
∴ 故选：B．
7．（2024·山东泰安·中考真题）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度，他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机，如图，无人机在河上方距水面高60米的点处测得瞭望台正对岸A处的俯角为，测得瞭望台顶端处的俯角为，已知瞭望台高12米（图中点，，，在同一平面内），那么大汶河此河段的宽为 米．（参考数据：，，，）
【答案】74
【详解】解：由题知,
∴,在，∴,∴,
在中，,∴,∴．故答案为：74．
8．（2024·黑龙江绥化·中考真题）在矩形中，，，点在直线上，且，则点到矩形对角线所在直线的距离是 ．
【答案】或或
【详解】解：∵四边形是矩形，，，
∴，，∴
∴，，
如图所示，设交于点，点在线段上，在的延长线上，过点作，的垂线，垂足分别为 ∵∴
当在线段上时，∴
在中，
∵在中，；
当E在射线上时，在中，
∴∴∴∴，
在中，
综上所述，点到对角线所在直线的距离为：或或故答案为：或或．
9．（2024·四川广元·中考真题）如图，在中，，，则的最大值为 ．
【答案】
【详解】解：过点作，垂足为，如图所示：
，在中，设，则，由勾股定理可得，
，即，，
延长到，使，连接，如图所示： ，
，，是等腰直角三角形，则，
在中，，，由辅助圆-定弦定角模型，作的外接圆，如图所示：
由圆周角定理可知，点在上运动，是的弦，求的最大值就是求弦的最大值，根据圆的性质可知，当弦过圆心，即是直径时，弦最大，如图所示：
是的直径，，，是等腰直角三角形，，
，则由勾股定理可得，即的最大值为，
故答案为：．
10．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点测得该楼顶部点的仰角为，测得底部点的俯角为，点与楼的水平距离，则这栋楼的高度为 m（结果保留根号）．
【答案】/
【详解】解：依题意，．
在中，，
在中，，
∴．故答案为：．
11．（2024·江苏盐城·中考真题）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，则教学楼的高度约为 m．（精确到，参考数据：，，）
【答案】17
【详解】解：如图，延长交直线于点H，则，
由题意知，在中，，即，
解得，，
，，，，
，故答案为：17．
12．（2024·湖南·中考真题）如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知于点B，与水平线l相交于点O，．若分米，分米．，则点C到水平线l的距离为 分米（结果用含根号的式子表示）．
【答案】/
【详解】解：延长交l于点H，连接，如图所示：
在中，，，
即，
解得：．故答案为：．
12．（2024·眉山·中考真题）如图，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子长为10米，则大树的高为 米．
【答案】/
【详解】解：如图，过点作水平地面的平行线，交的延长线于点，
则，在中，，
设米，米，，，
米，米，，（米），
（米），答：大树的高度为米．故答案为：．
13．（2024·福建·中考真题）无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力为．根据物理知识，可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力仪可以分解为两个力与与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：，则 ．（单位：）（参考数据：）
【答案】128
【详解】解：如图，∵帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，∴，，
∵，∴，在中，，，
∴，
由题意可知， ，∴，∴
在中，，
∴，故答案为：
14．（2024·内蒙古通辽·中考真题）在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从C点测得杨树底端B点的仰角是，长6米，在距离C点4米处的点测得杨树顶端A点的仰角为，求杨树的高度（精确到米，，，在同一平面内，点C，D在同一水平线上．参考数据：．
【答案】米
【详解】解：过点B作于点E，在中，，米，
∴米，米，米米
在中，， 米，米，
，米．答：杨树的高度约米．
15．（2024·广东广州·中考真题）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从点垂直下降到点，再垂直下降到着陆点，从点测得地面点的俯角为，米，米．(1)求的长；(2)若模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，求模拟装置从点下降到点的时间．（参考数据：，，）
【答案】(1)的长约为8米；(2)模拟装置从点下降到点的时间为秒．
【详解】（1）解：如图，过点作交于点，
由题意可知，，，在中，，米，
，米，即的长约为8米；
（2）解：米，米，米，在中，，米，
，米，米，
模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，
模拟装置从点下降到点的时间为秒，即模拟装置从点下降到点的时间为秒．
16．（2024·广东·中考真题）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．
根据以上信息回答下列问题：（结果精确到，参考数据）
(1)求的长；(2)该充电站有20个停车位，求的长．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，∴，
在中，，，∴，，
∵四边形是矩形，∴，
∴，∴，∴；
∵，∴，∴
（2）解：在中，，在中，，
∵该充电站有20个停车位，∴，
∵四边形是矩形，∴．
17．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，学校数学兴趣小组开展“实地测量教学楼的高度”的实践活动．教学楼周围是开阔平整的地面，可供使用的测量工具有皮尺、测角仪（皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪的功能是测量角的大小）．
(1)请你设计测量教学楼的高度的方案，方案包括画出测量平面图，把应测数据标记在所画的图形上（测出的距离用等表示，测出的角用等表示），并对设计进行说明；
(2)根据你测量的数据，计算教学楼的高度（用字母表示）．
【答案】(1)见解析 (2)
【详解】（1）解：如图，将测角仪放在D处，用皮尺测量出D到的距离为m，用测角仪测出A的仰角为，测出B的俯角为；
（2）解：如图，过C作于E，则四边形是矩形，，，
∴，，在中，，
在中，，∴，
答：教学楼的高度为．
18．（2024·四川广元·中考真题）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征．
(1)若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且，，求该介质的折射率；
(2)现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图②，已知，，求截面的面积．
【答案】(1)；(2)．
【详解】（1）∵，∴如图，
设，则，由勾股定理得，，∴，
又∵，∴，∴折射率为：．
（2）根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为，∵，∴，∴．
∵四边形是矩形，点O是中点，∴，，
又∵，∴，在中，设，，
由勾股定理得，，∴．
又∵，∴，∴，∴，
∴截面的面积为：．
19．（2024·河北·中考真题）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离，仰角为；淇淇向前走了后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面的距离，点P到的距离，的延长线交于点E．（注：图中所有点均在同一平面）；(1)求的大小及的值；(2)求的长及的值．
【答案】(1)，(2)，
【详解】（1）解：由题意可得：，，，
，，∴，，，
∴，∴，；
（2）解：∵，，∴，如图，过作于，
∵，设，则，
∴，解得：，∴，∴．
20．（2024·浙江·中考真题）如图，在中，，是边上的中线，．(1)求的长；(2)求的值．
【答案】(1)14(2)
【详解】（1）解：在中，，∴，
在中，，∴，∴；
（2）∵是边上的中线，∴，∴，
∴，∴．
1.（2023·安徽·统考一模）在ABC中， ，则ABC一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【详解】解：∵∴，
∴，∴，∴，
∴，∴ABC一定是等腰直角三角形，故选：D．
2．（24-25九年级上·浙江温州·期末）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角，点在伞柄上，，则的长度可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如下图所示，连接交于点，
，四边形是菱形，，，
，，在中，，
，，． 故选： D．
3．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）因为，所以；猜想推理知：当为锐角时有，由此可知：（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，．故选：C．
4．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示．若该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A、，原说法错误，不符合题意；
B、，原说法错误，不符合题意；C、，原说法正确，符合题意；
D、，原说法错误，不符合题意；故选：C．
5．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）观察下列各式：①；②（是锐角）；③，其中成立的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【详解】解：由正弦值随着角度的增大而增大可知，故①正确，符合题意；
是锐角，，故②正确，符合题意；
，故③错误，不符合题意；
综上所述，成立的有①②，共2个，故选：C．
6．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，是边上的高线，设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：，在中，，，，
在中，，，
是边上的高线，，，
在中，，A选项正确、B选项错误；
在中，，C、D选项错误；故选：A．
7．（2025·上海·模拟预测）已知在中，，若，，则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：在中，，若，，
，，故选：C．
8．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，教室内的地面上有个倾倒的畚箕，手柄，，小天将畚箕绕点A按顺时针方向旋转后平放在地面，则的长可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解∶ ，，
在中，，，，由旋转得∶ ，
，故选∶B．
9．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，点P在线段上，，，，若，，，则的长是 ．
【答案】
【详解】解：∵，，，∴，
∴，∴，
∴，∴，
∵，∴，∵，∴，
∵，∴，故答案为：．
10．（2025九年级下·浙江温州·学业考试）已知，则 ．
【答案】
【详解】解：在中，，，∴，
设，∴由勾股定理可得．
，，
．故答案为：．
11．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，的顶点都在方格纸的格点上，则 ．
【答案】/
【详解】解：取格点D，连接，
由网格线的特征得：，∴．故答案为：．
12．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，点在边上，满足，若，则图中等于的角有 个．
【答案】2
【详解】解：∵，∴，
∵，∴，∴，，
∵，，∴，
∴；故答案为：2
13．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，在中，，，，点在边上运动，于点，则的面积的最大值为 ．
【答案】
【详解】解：设，，的最大值为：，
，，，则，，
，
当时，的面积取得最大值为：；故答案为：
14．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）在中，，，则
【答案】
【详解】解：由题意可画图如下：在中，，，．
设，，则，，故答案是：．
15．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）（1）计算：；
（2）在中，若，求的度数．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）解：；
（2）解：∵，，，
∴，，∴，，
∴，∴．
16．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在中，，再添加一个条件就能够证明是直角三角形．
(1)给出下列四个条件：①；②；③；④，其中可以选择的条件有____________（填序号）；
(2)在你所填的序号中，选择其中一个加以证明．
【答案】(1)②④(2)见解析
【详解】（1）解：当时，如图可知，均为锐角，∴，
∴是等腰三角形，无法得到是直角三角形；故①错误；
②当时，∵，∴，
∴，，∴，
∴，∴，∴，∴是直角三角形，故②正确；
若是直角三角形，则：，
∵，∴，∴，
∴，与不符；故③错误；
当，则：，∵，∴，
∴，∴，∴，
∴是直角三角形，故④正确；综上：可以选择的是②④；故答案为：②④；
（2）选择②，证明如下：当时，∵，∴，
∴，，∴，
∴，∴，∴，∴是直角三角形；
选择④，证明如下：当，则：，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴是直角三角形．
17．（2025·河北保定·一模）折纸中蕴含着很多数学知识．小珍和小轩分别将手中的正方形纸片按如图1所示的方法对折两次，小珍按图2中的虚线剪，小轩按图3中的虚线剪去两个角，剩余部分展开后得到一个多边形．
(1)将小珍剪的角展开后，其图形一定是___________（填“菱形”或“矩形”）；
(2)若小轩按图3剪掉两个角后，剩余图形展开后是如图4所示的边长为的正八边形，图中虚线是折痕，则原正方形纸片的长为___________；
(3)小珍和小轩要通过各自的剪切方法，得到相同大小的正方形．当小轩在边长为的正方形纸片中剪下一个最大的正方形，若要满足前面的条件，此时图2中的虚线长应为___________．
【答案】(1)菱形(2)(3)
【详解】（1）解：如图所示：小珍剪的角展开后，其图形是图中虚线组成的，四条边相等，根据四条边相等的四边形是菱形，故答案为：菱形；
（2）解：如图所示：根据题意，，正八边形的内角，
，为剪下去的一个角，，
同理可求，原正方形的边长，故答案为：；
（3）解：当小轩在边长为的正方形纸片中剪下一个最大的正方形，如图所示：
他应沿剪，此时为正方形的边的中点，， ，
， ，展开后的图如图所示：
由折叠可知， ，
若要满足前面的条件，此时图2中的虚线长应为，故答案为：．
18．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，为了计算风筝的垂直高度的长，现测得如下数据：放出的风筝线长，风筝的仰角．(1)求的长；(2)收回一部分风筝线后，风筝从下降到了的位置，在的正下方，此时风筝的仰角，求收回的风筝线长．（结果精确到，参考数据：，，）
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵，∴
（2）解：∵，∴
∵，∴，∴
∴收回的风筝线长为．
19．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图1，是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点A到地面的高度．他们绘制了如图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，．请帮助该数学学习小组求出展板最高点A到地面的距离（精确到，参考数据：，）．
【答案】展板最高点A到地面的距离为
【详解】解：如图，过点A作于点G，与直线交于点H，过点B作于点M，过点D作于点N，∴四边形，四边形均为矩形，
∴，，，∴，
∴，在中，，
∵，∴，
在中，，∵，
∴，∴，
∴，
答：展板最高点A到地面的距离为．
20．（24-25九年级上·浙江金华·期末）台风“康妮”来袭，小胜发现校园内一棵大树被吹斜了，他想利用所学知识测算倾斜后的大树顶端A距离地面的高度．他在同一时刻测得如下数据：①大树的影长为；②大树与地面所成锐角大约为；③点处竖直放置的竹杆，其影长为．
（参考数据：，，，）
(1)该时刻太阳光线与水平地面所成夹角为多少度？(2)小胜收集的数据能否帮助他计算出大树顶端A距离地面的高度？若能，请计算出结果；若不能，请说明理由．
【答案】(1)(2)能，高度为10米
【详解】（1）解：由题意得，，所以，
因为，所以．因此．∴该时刻太阳光线与水平地面所成夹角．
（2）解：能，计算如下，过点作 ，
因为，所以，设为，则，
又因为，所以，
因为，所以，解得，所以，
∴大树顶端A距离地面的高度为10米．
21．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，山坡上有一座古塔，为了测量古塔的高度，从点B处看塔顶P的仰角为，向前移动到达C点，从点处看塔顶的仰角为．
(1)求点D与塔顶P的距离；(2)若在点D处看塔底E的仰角为，且测得点E到塔中心F的距离为．求古塔的高度（参考数据：，，，，结果精确到米）．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）解：∵，，
∴，∴，答：点D与塔顶P的距离为．
（2）解：过点作的垂线，分别交的延长线于点，如图
∵，，∴，，
∵，∴，∵，∴，
∴，
答：古塔的高度为．
22．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）小明对笔记本电脑使用角度与高度的舒适性进行了思考与研究．已知笔记本电脑屏幕宽．笔记本电脑厚度忽略不计．（参考数据：，）(1)如图1，小明将笔记本电脑放在水平桌面上，将电脑屏幕打开使，求此时电脑屏幕上点与桌面的距离．
图1 图2
(2)为改善坐姿守护健康，小明购买了如图2所示的电脑支架，该支架可通过调节支撑杆位置来调整高度．若小明在使用电脑支架时，电脑屏幕始终垂直于桌面，求电脑屏幕打开使分别为与时，点距离桌面的高度差．
【答案】(1)此时电脑屏幕上点与桌面的距离约为(2)点距离桌面的高度差约为
【详解】（1）解：过点作，垂足为，
图1 图2
．，
在中，，，
此时电脑屏幕上点与桌面的距离约为；
（2）延长交于点，由题意得：，，
当时，，
在中，，，
当时，，
在中，，，
点距离桌面的高度差，点距离桌面的高度差约为．
23．（24-25九年级下·浙江杭州·开学考试）某班的同学想测量教学楼的高度，大楼前有一段斜坡，已知的长为8米，它的坡比，从C点向前进30米后，又在D处测得教学楼顶端A的仰角为．(1)_________；(2)求点C到的距离；(3)教学楼的高度约为多少米．（结果精确到米）（参考数据：，，，）
【答案】(1)(2)米(3)教学楼的高度约为米
【详解】（1）解：由题意得，．故答案为：．
（2）解：如图，延长交延长线于点，则，
在中，，，
设米，则米，（米），
又米，，解得：，（米），点C到的距离为米．
（3）解：由（2）得，米，米，米，
在中，，（米），
（米）．教学楼的高度约为米．
24．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，某地有甲，乙两栋建筑物，小明于乙楼楼顶点处看甲楼楼底点处的俯角为，走到乙楼点处看甲楼楼顶点处的俯角为，已知，求乙楼的高度（参考数据：，，精确到）
【答案】乙楼的高度约为
【详解】解：如图，过点作于，则四边形为矩形．
，由题意得，
设，则，
在中，，即，解得．
答：乙楼的高度约为．
25．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，某处有一座塔，塔的正前方有一平台，平台的高米，斜坡的坡度，点，，，在同一条水平直线上．某数学兴趣小组为测量该塔的高度，在斜坡处测得塔顶部的仰角为，在斜坡处测得塔顶部的仰角为，求塔高．（精确到0.1米）（参考数据：，，，，，）
【答案】塔高AB约为17.1米
【详解】解：过点作，垂足为，由题意得：米，，，
斜坡的坡度，米，，米，
设米，米，
在中，，（米，
在中，，米，
，，解得：，
（米，塔高约为17.1米．
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第四章 三角形及四边形
4.3 锐角三角函数
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 特珠角的三角函数值 ☆☆ 浙江中考数学（省卷）中，锐角三角函数及其应用的部分，考查1-2道题，分值为10分左右，通常以选填题（1题）、 应用题或解答题（1题）的形式考查。对于实数的复习，在牢固掌握定义的同时，一定要理解基本的方法，利用辅助线构造直角三角形，是得分的关键。
考点2 直角三角形的边角关系 ☆☆
考点3 锐角三角函数的实际应用 ☆☆☆
锐角三角函数及其应用是数学中考中比较重要的考点,主要考查锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数，尤其是应用主要在综合题中考查，是考查重点，每年都有一道三角函数的综合题，还常和四边形、圆、网格图形等结合考察，是近几年中考填空压轴题常考题型。
2
4
■考点一 特珠角的三角函数值 4
■考点二 直角三角形的边角关系 8
■考点三 锐角三角函数的实际应用 14
24
38
■考点一 特珠角的三角函数值
1）锐角三角函数的概念：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的 。（其中0＜∠A＜90°）
2）正弦、余弦、正切的概念：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，
正弦：sinA= ；余弦：cosA= ；正切：tanA= ．
3）特殊角的三角函数值
α sinα cosα tanα
30° . . .
45° . . .
60° . . .
【补充】表中是特殊角的三角函数值.反过来，若已知一个特殊角的三角函数值，则可求出相应的锐角.
■考点二 直角三角形的边角关系
1）解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．
2）在解直角三角形的过程中，常用关系：
在Rt△ABC中，∠C=90°，则：（1）三边关系： ； （2）两锐角关系：∠A+∠B= ；
（3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； 4）sin2A+cos2A= ．
3）锐角三角函数的性质
当0°＜∠A＜90°时，sin A随∠A的增大而 ；cos A随∠A的增大而 ；tan A随∠A的增大而 。
■考点三 锐角三角函数的实际应用
1）解直角三角形的相关的名词、术语：（1）视角：视线与水平线的夹角叫做视角。
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做 。
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做 。
（2）方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做 ．
（3）坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的 ，记作i= ．
坡角：坡面与水平面的夹角叫做 ，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．
2）解直角三角形实际应用的一般步骤：
（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
3）测量物体的高度（距离）的常见模型：
（1）利用水平距离测量物体高度（双直角三角形）
解题方法：（已知条件：，求高m）这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解。
（2）测量底部可以到达的物体高度
解题方法：1）已知测量仪高m，水平距离n，角α，求高h；2）已知水平距离n，角α，角β，求高h=h1+h2；这两种模型种可结合水平距离和相应角度，用正切值解题。
（3）测量底部不可到达的物体的高度
注意：1）在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素（至少有一条边），可求出其余的三个未知元素（知二求三）；2）已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，因此其边的大小不确定。
■考点一 特珠角的三角函数值
◇典例1：（24-25九年级上·浙江金华·期末）在中，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（24-25九年级上·浙江衢州·阶段练习）在中，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）在中，，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）在中，，则 ．
◇典例2：（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，是放置在正方形网格中的一个角，、、都是格点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角，点都在格点上，则的值是 ．
2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在由相同的菱形组成的网格中，等于，小菱形的顶点称为格点．已知点A，B，C，D，E都在格点上，连结，，则的值为 ．
◇典例3：（2025·浙江宁波·模拟预测）计算：．
◆变式训练
1．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）计算：．
2．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）计算：．
◇典例4：（2025九年级下·浙江·专题练习）在中，已知，都是锐角，且，判断的形状．
◆变式训练
1.（2024·江苏盐城·校考一模）已知 ，则锐角的度数等于（ ）
A． B． C． D．或
2．（2024·贵州·统考模拟预测）在中，若，都是锐角，且，，则的形状是（ ）
A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形
■考点二 直角三角形的边角关系
◇典例5：（2024·黑龙江·校考模拟预测）在中，，则边的长是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2024·上海虹口·统考一模）如图，在中，已知，，，那么的长为（ ）
A． B． C．4 D．5
◇典例6：（2024·浙江·模拟预测）如图，在四边形中，，．记，．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，中，，，，为边上一动点，且，则的长度为 ．
2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，，，点D在上，且，以D为旋转中心将直线绕点D顺时针方向旋转，旋转后所得的直线将分成两部分，若其中一部分为等腰三角形，则该等腰三角形的面积为 ．
◇典例7：（23-24九年级上·广东梅州·期末）若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（23-24九年级上·北京·单元测试）下列结论（其中是锐角）：①；②；③当时，；④．其中正确的有 ．
2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中） （选填“”或“”或“”）．
◇典例8：（2025九年级下·浙江温州·学业考试）已知，则（ ）
A． B． C．4 D．2
◆变式训练
1．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如果α是锐角，且，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图所示，根据提供的数据回答下列问题：
(1)在图①，______，______，______；
在图②中，______，______，______；
通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明；
(2)在图①中，______，______；
在图②中，______，______；
通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明．
■考点三 锐角三角函数的实际应用
◇典例9：（24-25九年级下·湖北荆州·阶段练习）2025年在湖北某市举办马拉松赛事．如图，某校数学兴趣小组在A处用仪器测得赛场一宣传气球顶部E处的仰角为，仪器与气球的水平距离为22米，且距地面高度为1.5米，则气球顶部离地面的高度是 米（结果精确到0.1米，，，）．
◆变式训练
1．（24-25九年级下·陕西商洛·阶段练习）一路边灯杆如图所示，垂直于地面．小唯所在的兴趣小组要测量该灯杆的长度，将测角仪垂直于地面放置，移动位置并观察，使A，B，F三点在一条直线上，此时在点F处测得点B的仰角为，兴趣小组取点A正下方的点D，用皮尺测量出，，已知测角仪的高度为，点C，D，E在同一直线上．求灯杆的长度．（结果保留根号）
2．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，建筑物垂直于地面，测角机器人在点测得建筑物顶端的仰角为，向前走9米到点，测得建筑物顶端的仰角为．求该建筑物的高度（结果精确到米）．（参考数据：）
◇典例10：（24-25九年级下·重庆万州·阶段练习）烟花三月，是油菜花盛开的季节，漫山遍野、满河道的油菜花，形成了一幅壮观的自然画卷．周末，小钟一家去某油菜花基地游玩，他们从基地大门A处去景点C．小钟的父母沿A→B→C路线步行到景点C，途中在B点停留4分钟照相；小钟则先步行到达正东方向D处，再慢跑去景点C处和父母汇合．父母提前出发2分钟后，小钟才出发．已知B在A北偏东方向上且米，C在B北偏东方向上，且在D的西北方向300米处．
(1)求基地大门A处与D处的距离（结果保留根号）；(2)父母的平均速度为30米/分，小钟的步行速度为50米/分，慢跑速度为100米/分，请用计算说明小钟的父母和小钟谁先到达景点C？（结果精确到0.1，参考数据：，，）
◆变式训练
1．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，所示，在某海域，一艘指挥船在C处收到渔船在B处发出的求救信号，经确定，遇险抛锚的渔船所在的B处位于C处的南偏西方向上，且海里；指挥船搜索发现，在C处的南偏西方向上有一艘海监船A，恰好位于B处的正西方向．于是命令海监船A前往搜救，已知海监船A的航行速度为40海里/小时，问渔船在B处需要等待多长时间才能得到海监船A的救援？（已知，）
◇典例11：（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，重庆八中某校区足球场有一根旗杆，小杰从篮球场的点处观察到旗杆顶端的仰角是，往前走50米到点处，再沿着坡度为的阶梯走到足球场的点，米，测得之间的水平距离米，则旗杆的高度为 米（参考数据：，，
A．37.8米 B．42.8米 C．52.8米 D．56.5 米
◆变式训练1．（24-25九年级下·海南儋州·开学考试）如图，大楼上悬挂一条幅，小颖在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为，沿坡面向下走到坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部B的仰角为，此时小颖距大楼底端N处20米．已知坡面米，山坡的坡度（即），且D，M，E，C，N，B，A在同一平面内，E，C，N在同一条直线上．（参考数据：）
(1)填空：________，________；(2)求条幅的长度．（结果精确到1米）
2．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在一次数学实践活动中，张老师带领学生去测量学校附近一座垂直于地面的古塔的高度，小凡同学从古塔底部的点B处前行到达斜坡的底部点D处，然后沿着斜坡前行到达最佳测量点E处，在点E处测得塔顶A的仰角为，已知斜坡与水平地面的夹角为，且点A，B，C，D，E在同一个平面内，求该古塔的高度．（参考数据：，，，）
◇典例12：（2025九年级下·浙江·专题练习）如图是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图，打开后备厢，车后盖落在处，与水平面的夹角．
AI
(1)求打开后备厢后，车后盖最高点到地面的距离；
(2)若小明爸爸的身高为，他从打开的车后盖C处经过，有没有碰头的危险请说明理由．（结果精确到，参考数据：，，，）
◆变式训练
1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了如图1所示的护眼灯，其侧面示意图如图2所示（台灯底座高度忽略不计），其中灯柱，灯臂，灯罩，，，分别可以绕点上下调节一定的角度．经使用发现：当，且时，台灯光线最佳．
(1)求台灯光线最佳时的度数；(2)求台灯光线最佳时点到桌面的距离．（精确到，参考数值：，，）
2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）图1是某种笔记本电脑支架．如图2，其底座放置在水平桌面上，通过调节点，点处的角度，控制托盘的位置．电脑机身和屏幕分别用线段、表示，；，．(1)若，．①为使屏幕与桌面保持垂直，求的度数．②求点到桌面的最大距离（不计材料的厚度）．(2)在（1）的情况下，保持，并逐渐减小的度数．圆圆同学说：“点到桌面的距离越来越小．”点点同学说：“点到桌面的距离先变大，后变小．”你认为谁的说法正确，说明理由．
1．（2024·吉林长春·中考真题）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（ ）
A．千米 B．千米 C．千米 D．千米
2．（2024·广东深圳·中考真题）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪测得的仰角为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得的仰角为，则电子厂的高度为（ ）（参考数据：，，）
A． B． C． D．
3．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在中，，，则的长是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
4．（2024·四川德阳·中考真题）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为．（在同一平面内，在同一水平面上），则建筑物的高为（ ）米
A．20 B．15 C．12 D．
5．（2024·天津·中考真题）的值等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·四川达州·中考真题）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，，其中点，，都在格点上，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．3
7．（2024·山东泰安·中考真题）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度，他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机，如图，无人机在河上方距水面高60米的点处测得瞭望台正对岸A处的俯角为，测得瞭望台顶端处的俯角为，已知瞭望台高12米（图中点，，，在同一平面内），那么大汶河此河段的宽为 米．（参考数据：，，，）
8．（2024·黑龙江绥化·中考真题）在矩形中，，，点在直线上，且，则点到矩形对角线所在直线的距离是 ．
9．（2024·四川广元·中考真题）如图，在中，，，则的最大值为 ．
10．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点测得该楼顶部点的仰角为，测得底部点的俯角为，点与楼的水平距离，则这栋楼的高度为 m（结果保留根号）．
11．（2024·江苏盐城·中考真题）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，则教学楼的高度约为 m．（精确到，参考数据：，，）
12．（2024·湖南·中考真题）如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知于点B，与水平线l相交于点O，．若分米，分米．，则点C到水平线l的距离为 分米（结果用含根号的式子表示）．
12．（2024·眉山·中考真题）如图，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子长为10米，则大树的高为 米．
13．（2024·福建·中考真题）无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力为．根据物理知识，可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力仪可以分解为两个力与与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：，则 ．（单位：）（参考数据：）
14．（2024·内蒙古通辽·中考真题）在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从C点测得杨树底端B点的仰角是，长6米，在距离C点4米处的点测得杨树顶端A点的仰角为，求杨树的高度（精确到米，，，在同一平面内，点C，D在同一水平线上．参考数据：．
15．（2024·广东广州·中考真题）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从点垂直下降到点，再垂直下降到着陆点，从点测得地面点的俯角为，米，米．(1)求的长；(2)若模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，求模拟装置从点下降到点的时间．（参考数据：，，）
16．（2024·广东·中考真题）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．
根据以上信息回答下列问题：（结果精确到，参考数据）
(1)求的长；(2)该充电站有20个停车位，求的长．
17．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，学校数学兴趣小组开展“实地测量教学楼的高度”的实践活动．教学楼周围是开阔平整的地面，可供使用的测量工具有皮尺、测角仪（皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪的功能是测量角的大小）．
(1)请你设计测量教学楼的高度的方案，方案包括画出测量平面图，把应测数据标记在所画的图形上（测出的距离用等表示，测出的角用等表示），并对设计进行说明；
(2)根据你测量的数据，计算教学楼的高度（用字母表示）．
18．（2024·四川广元·中考真题）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征．
(1)若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且，，求该介质的折射率；
(2)现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图②，已知，，求截面的面积．
19．（2024·河北·中考真题）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离，仰角为；淇淇向前走了后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面的距离，点P到的距离，的延长线交于点E．（注：图中所有点均在同一平面）；(1)求的大小及的值；(2)求的长及的值．
20．（2024·浙江·中考真题）如图，在中，，是边上的中线，．(1)求的长；(2)求的值．
1.（2023·安徽·统考一模）在ABC中， ，则ABC一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
2．（24-25九年级上·浙江温州·期末）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角，点在伞柄上，，则的长度可表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）因为，所以；猜想推理知：当为锐角时有，由此可知：（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示．若该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）观察下列各式：①；②（是锐角）；③，其中成立的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，是边上的高线，设，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·上海·模拟预测）已知在中，，若，，则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，教室内的地面上有个倾倒的畚箕，手柄，，小天将畚箕绕点A按顺时针方向旋转后平放在地面，则的长可表示为（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，点P在线段上，，，，若，，，则的长是 ．
10．（2025九年级下·浙江温州·学业考试）已知，则 ．
11．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，的顶点都在方格纸的格点上，则 ．
12．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，点在边上，满足，若，则图中等于的角有 个．
13．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，在中，，，，点在边上运动，于点，则的面积的最大值为 ．
14．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）在中，，，则
15．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）（1）计算：；
（2）在中，若，求的度数．
16．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在中，，再添加一个条件就能够证明是直角三角形．
(1)给出下列四个条件：①；②；③；④，其中可以选择的条件有____________（填序号）；
(2)在你所填的序号中，选择其中一个加以证明．
17．（2025·河北保定·一模）折纸中蕴含着很多数学知识．小珍和小轩分别将手中的正方形纸片按如图1所示的方法对折两次，小珍按图2中的虚线剪，小轩按图3中的虚线剪去两个角，剩余部分展开后得到一个多边形．
(1)将小珍剪的角展开后，其图形一定是___________（填“菱形”或“矩形”）；
(2)若小轩按图3剪掉两个角后，剩余图形展开后是如图4所示的边长为的正八边形，图中虚线是折痕，则原正方形纸片的长为___________；
(3)小珍和小轩要通过各自的剪切方法，得到相同大小的正方形．当小轩在边长为的正方形纸片中剪下一个最大的正方形，若要满足前面的条件，此时图2中的虚线长应为___________．
18．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，为了计算风筝的垂直高度的长，现测得如下数据：放出的风筝线长，风筝的仰角．(1)求的长；(2)收回一部分风筝线后，风筝从下降到了的位置，在的正下方，此时风筝的仰角，求收回的风筝线长．（结果精确到，参考数据：，，）
19．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图1，是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点A到地面的高度．他们绘制了如图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，．请帮助该数学学习小组求出展板最高点A到地面的距离（精确到，参考数据：，）．
20．（24-25九年级上·浙江金华·期末）台风“康妮”来袭，小胜发现校园内一棵大树被吹斜了，他想利用所学知识测算倾斜后的大树顶端A距离地面的高度．他在同一时刻测得如下数据：①大树的影长为；②大树与地面所成锐角大约为；③点处竖直放置的竹杆，其影长为．（参考数据：，，，）
(1)该时刻太阳光线与水平地面所成夹角为多少度？(2)小胜收集的数据能否帮助他计算出大树顶端A距离地面的高度？若能，请计算出结果；若不能，请说明理由．
21．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，山坡上有一座古塔，为了测量古塔的高度，从点B处看塔顶P的仰角为，向前移动到达C点，从点处看塔顶的仰角为．
(1)求点D与塔顶P的距离；(2)若在点D处看塔底E的仰角为，且测得点E到塔中心F的距离为．求古塔的高度（参考数据：，，，，结果精确到米）．
22．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）小明对笔记本电脑使用角度与高度的舒适性进行了思考与研究．已知笔记本电脑屏幕宽．笔记本电脑厚度忽略不计．（参考数据：，）(1)如图1，小明将笔记本电脑放在水平桌面上，将电脑屏幕打开使，求此时电脑屏幕上点与桌面的距离．
图1 图2
(2)为改善坐姿守护健康，小明购买了如图2所示的电脑支架，该支架可通过调节支撑杆位置来调整高度．若小明在使用电脑支架时，电脑屏幕始终垂直于桌面，求电脑屏幕打开使分别为与时，点距离桌面的高度差．
23．（24-25九年级下·浙江杭州·开学考试）某班的同学想测量教学楼的高度，大楼前有一段斜坡，已知的长为8米，它的坡比，从C点向前进30米后，又在D处测得教学楼顶端A的仰角为．(1)_________；(2)求点C到的距离；(3)教学楼的高度约为多少米．（结果精确到米）（参考数据：，，，）
24．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，某地有甲，乙两栋建筑物，小明于乙楼楼顶点处看甲楼楼底点处的俯角为，走到乙楼点处看甲楼楼顶点处的俯角为，已知，求乙楼的高度（参考数据：，，精确到）
25．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，某处有一座塔，塔的正前方有一平台，平台的高米，斜坡的坡度，点，，，在同一条水平直线上．某数学兴趣小组为测量该塔的高度，在斜坡处测得塔顶部的仰角为，在斜坡处测得塔顶部的仰角为，求塔高．（精确到0.1米）（参考数据：，，，，，）
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