2025年九年级中考数学三轮冲刺练习四边形中的相似三角形压轴题练习（含解析）

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2025年九年级中考数学三轮冲刺练习四边形中的相似三角形压轴题练习
1．如图，C为∠AOB的边OA上一点，OC＝6，N为边OB上异于点O的一动点，P是线段CN上一点，过点P分别作PQ∥OA交OB于点Q，PM∥OB交OA于点M．
（1）若∠AOB＝60°，OM＝4，OQ＝1，求CP的长；（提示：过点P作PE⊥OA）
（2）当点N在边OB上运动时，四边形OMPQ始终保持为菱形，
①证明：是定值；
②设菱形OMPQ的面积为S1，△NOC的面积为S2，求的取值范围．
2．如图，在正方形ABCD中，点G是对角线上一点，CG的延长线交AB于点E，交DA的延长线于点F，连接AG．
（1）求证：AG＝CG；
（2）求证：△AEG∽△FAG；
（3）若GE GF＝9，求AG的长．
3．如图，在矩形ABCD中，AC为矩形ABCD对角线，DG⊥AC于点G，延长DG的延长线交AB于点E，已知AD＝6，CD＝8．
（1）求AE的长；
（2）∠ACD的角平分线CF交AD于点F，求tan∠DCF的值；
（3）若O1、O2分别是△ADG、△DCG的内心，求O1、O2两点间的距离．
4．如图1，折叠矩形纸片ABCD，具体操作：①点E为AD边上一点（不与点A，D重合），把△ABE沿BE所在的直线折叠，A点的对称点为F点；②过点E对折∠DEF，折痕EG所在的直线交DC于点G，D点的对称点为H点．
（1）求证：△ABE∽△DEG．
（2）若AB＝6，BC＝10．
①点E在移动的过程中，求DG的最大值；
②如图2，若点C恰在直线EF上，连接DH，求线段DH的长．
5．矩形ABCD的边CD上有一动点E，连接AE，把△ADE沿着AE翻折，使点D落在边BC上的F点处（如图）．
（1）求证：．
（2）若矩形ABCD的边AD＝5，AB＝4，求DE的长．
（3）若S△AEF＝S△ABF+S△CEF，试判断的值与的值的大小关系，并证明你的判断．
6．在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．
（1）求证：△ABF∽△FCE；
（2）若AB＝2，AD＝4，求EC的长；
（3）若AE﹣DE＝2EC，记∠BAF＝α，∠FAE＝β，求tanα+tanβ的值．
7．矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．
（1）如图1，若点P恰好在边BC上．
①求证：△EBP∽△PCD；
②求AE的长；
（2）如图2，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．
8．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠CBD的平分线BG交AC于E，交CD于F，且DG⊥BG．
（1）求证：BF＝2DG；
（2）若BE，求BF的长．
9．如图，正方形ABCD的边长为1．对角线AC、BD相交于点O，P是BC延长线上的一点，AP交BD于点E，交CD于点H，OP交CD于点F，且EF与AC平行．
（1）求证：EF⊥BD．
（2）求证：四边形ACPD为平行四边形．
（3）求OF的长度．
10．根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边对应成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．
（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．
①四条边成比例的两个凸四边形相似；（ 　 　命题）
②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（ 　 　命题）
③两个大小不同的正方形相似．（ 　 　命题）
（2）如图1，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，．求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．
（3）如图2，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O作EF∥AB分别交AD，BC于点E，F．记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFCD的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求的值．
11．如图，平行四边形ABCD中，点P为CB延长线上点，连接DP交AC于点M、交AB于点N，已知DA＝DC，∠ACD＝45°．
（1）求证：四边形ABCD为正方形；
（2）连接BM，若N为AB的中点，求tan∠BMP的值；
（3）若MN＝2，PN＝6，求DM的长．
12．如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G．
（1）求四边形OEBF的面积；
（2）求证：OG BD＝EF2；
（3）在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，求AE的长．
13．如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，G在BC上移动，P是线段DF的中点，连接PG，PC．
（1）求∠DBF的大小；
（2）证明：DB∥PG；
（3）若∠BEF＝60°，求PG：PC的值．
14．已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF和CE；过点E作EG⊥AD交AC于点G．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）求证：2AF2＝AC AG；
（3）若AE＝a，在△ABF中，AB＞BF，△ABF的面积为b，且b，求tan∠OEG．
15．在 ABCD中，AC为对角线，点G在AB的延长线上，连接CG，点F在CG上，线段AF交BC于点E，若FA＝FC，如图1．
（1）已知∠CAD＝∠G，求证：AC2＝CE BC；
（2）如图2，已知AF⊥BC，垂足为点E．
①若∠GCB＝∠DAC，求证：AE＝FE；
②若，AD＝4，tan∠ABC＝2，求BG的长．
16．在矩形ABCD中，点E在AB边上，CE＝CD，过点B作BF∥CE交DE的延长线于点F，连接AF．
（1）如图1，求证：△AFB≌△CBE；
（2）如图2，连接BD交CE于点G，若CG＝BF．
（i）求证：AF∥DG；
（ii）求的值．
17．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E，F分别是AB，AD上的动点，满足AE＝DF，连接CE，CF，EF，EF与AC交于点G．
（1）求∠ECF的度数；
（2）填空：
① 　 　，
② 　 　，
③ 　 　；
（3）记△AEG的面积为S1，△AFG的面积为S2，△AEC的面积为S3，△AFC的面积为S4．
①若CF2＝3AF FD，求的值；
②试判断的值是否存在最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．
18．在四边形ABCD中，点E为AB的中点，分别连接CE，DE．
（1）如图1，若∠A＝∠B，∠ADE＝∠BEC．
（i）求证：AE2＝AD BC；
（ii）求证：DE平分∠ADC；
（2）如图2，若∠DAB+∠B＝90°，∠DEC＝90°，AD＝3，BC＝1，求CD的长．
19．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
（1）如1，在正方形ABCD中，E，F分别是AB、AD上两点，连接DE，CF，若AE＝DF，求证：△AED≌△DFC；
（2）在（1）的条件下，求证：DE⊥CF；
（3）如图2，在矩形ABCD中，过点C作CE⊥BD交AD于点E，若，求的值；
（4）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于F，且AB＝5，AD＝3，CF＝6，求DE的长．
参考答案
1．【解答】解：（1）如图1，过点P作PE⊥OA于点E．
∵PQ∥OA，PM∥OB，
∴四边形OMPQ为平行四边形，
∴PM＝OQ＝1，∠PME＝∠AOB＝60°，
∴PE＝PM sin60°，ME，
∴CE＝OC﹣OM﹣ME，
由勾股定理得；
（2）①证明：设OM＝x，ON＝y，
∵四边形OMPQ为菱形，
∴OQ＝QP＝OM＝x，NQ＝y﹣x，
∵PQ∥OA，
∴△NQP∽△NOC，
∴，
即，
∴6y﹣6x＝xy，两边都除以6xy，得，
即；
②如图2，过点P作PE⊥OA于点E，过点N作NF⊥OA于点F，
则S1＝OM PE，S2OC NF，
∴，
∵PM∥OB，
∴△CPM∽△CNO．
∴，
∴，
∵0＜x＜6，
∴．
2．【解答】（1）证明：∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB＝∠CDB＝45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴AG＝CG；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥CB，
∴∠FCB＝∠F，
由（1）可知△ADG≌△CDG，
∴∠DAG＝∠DCG，
∴∠DAB﹣∠DAG＝∠DCB﹣∠DCG，即∠BCF＝∠BAG，
∴∠EAG＝∠F，
又∠EGA＝∠AGF，
∴△AEG∽△FAG；
（3）解：由（2）得△AEG∽△FAG，
∴，即GA2＝GE GF＝9，
∴GA＝3或GA＝﹣3（舍去），
故AG的长为3．
3．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝BAD＝90°，AB＝CD＝8，AD＝BC＝6，
∴∠DAG+∠BAC＝90°，
∵DG⊥AC，
∴∠DAG+∠ADE＝90°，
∴∠BAC＝∠ADE，
∴tan∠BAC＝tan∠ADE，
∴，即：，
∴AE；
（2）如图1，过点F作FH⊥AC于点H，
∵CF平分∠ACD，FD⊥CD，FH⊥CA，
∴FD＝FH，
∵∠ADC＝90°，
∴AC10，
∵S△ACF+S△DCF＝S△ACD，
∴AC FHCD FDAD CD，
∴10×FD8×FD6×8，
∴FD，
∴tan∠DCF；
（3）过点O1作O1N⊥AC于点N，过点O2作O2M⊥AC于点M，作O1K⊥O2M于点K，
则∠O1NMK是矩形，
∵DG AC＝AD CD，
∴DG，
∴AG＝DG tan∠ADE＝DG，
∴CG＝AC﹣AG＝10，
∵O1、O2分别是Rt△ADG、Rt△DCG的内心，设⊙O1的半径为r1，⊙O2的半径为r2，
∴r1，r2，
∴O1K＝MN＝r1+r2，O2K＝r2﹣r1，
∵∠O1KO2＝90°，
∴O1O22．
4．【解答】解：（1）如图1中，
由折叠可知，∠AEB＝∠FEB，∠DEG＝∠HEG，
∵∠AEB+∠FEB+∠DEG+∠HEG＝180°，
∴∠AEB+∠DEG＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠ABE＝∠DEG，
∴△ABE∽△DEG．
（2）①设AE＝x，
∵△ABE∽△DEG，
∴，
∴，
∴DG（x﹣5）2，
∵0（0＜x＜10），
∴x＝5时，DG有最大值，最大值为．
②如图2中，连接DH．
由折叠可知∠AEB＝∠FEB，AE＝EF，AB＝BF＝6，∠BFE＝∠A＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∴∠FEB＝∠EBC，
∴CE＝CB＝10，
∵点C在直线EF上，
∴∠BFC＝90°，CF＝10﹣EF＝10﹣AE，
∴CF8，
∴AE＝EF＝CE﹣CF＝10﹣8＝2，
∴DG，
∴EG，
由折叠可知，EG垂直平分线段DH，
∴DH＝22．
5．【解答】（1）证明：∵△ADE沿着AE翻折，使点D落在边BC上的F点处，
∴△AED≌△AFE，
∴∠CFE+∠BFA＝90°，
∴∠AFE＝∠D＝90°，
在矩形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，
∴∠BFA+∠BAF＝90°，
∴∠CFE＝∠BAF，
∴△ABF∽△FCE，
∴，
∵AB＝CD，
∴；
（2）解：设ED＝x，
∵CD＝AB＝4，
∴CE＝4﹣x，FE＝x，
又∵AF＝AD＝5，AB2+BF2＝AF2，
∴BF3，
∴CF＝5﹣3＝2，
∵CF2+CE2＝EF2，
∴22+（4﹣x）2＝x2，
∴x，
∴DE；
（3）答：相等．
证明：∵S△AEF＝S△ABF+S△EFC，
∴S△AEF，
过F作AB的平行线交AE于G，则（AB+CE）BC，
∴FG（AB+CE），
过E作EH⊥AB于H，交FG于M．
∵FG∥AB∥CE，
∴FM（BH+CE），
∴FM+GM（BH+AH+CE），
∴GMAH，
∴G，F分别为AE、BC中点．
在Rt△ABF中，BFBCAF．
∴∠BAF＝30°，
∴∠BAF＝∠CFE＝∠EAF＝30°，
∵∠ABF＝∠AFE＝∠FCE＝90°，
∴△ABF∽△AEF，△AFE∽△FCE，
∴，，
∴AF2＝AE AB，EF2＝AE CE，
∴，
∴．
6．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，
由翻折可知，∠D＝∠AFE＝90°，
∴∠AFB+∠EFC＝90°，∠EFC+∠CEF＝90°，
∴∠AFB＝∠FEC，
∴△ABF∽△FCE．
（2）设EC＝x，
由翻折可知，AD＝AF＝4，
∴BF2，
∴CF＝BC﹣BF＝2，
∵△ABF∽△FCE，
∴，
∴，
∴x，
∴EC．
（3）∵△ABF∽△FCE，
∴，
∴tanα+tanβ，
设AB＝CD＝a，BC＝AD＝b，DE＝x，
∴AE＝DE+2CE＝x+2（a﹣x）＝2a﹣x，
∵AD＝AF＝b，DE＝EF＝x，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴BF，CF，
∵AD2+DE2＝AE2，
∴b2+x2＝（2a﹣x）2，
∴a2﹣axb2，
∵△ABF∽△FCE，
∴，
∴，
∴a2﹣ax ，
∴b2 ，
整理得，16a4﹣24a2b2+9b4＝0，
∴（4a2﹣3b2）2＝0，
∴，
∴tanα+tanβ．
7．【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，
∴∠BPE+∠BEP＝90°，
由折叠知，∠DPE＝∠BAD＝90°，
∴∠BPE+∠CPD＝90°，
∴∠BEP＝∠CPD，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴△EBP∽△PCD；
②∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝8，BC＝AD＝12，
由折叠知，PE＝AE，DP＝AD＝12，
在Rt△DPC中，CP4，
∴BP＝BC﹣CP＝12﹣4，
在Rt△PBE中，PE2﹣BE2＝BP2，
∴AE2﹣（8﹣AE）2＝（12﹣4）2，
∴AE＝18﹣6；
（2）如图，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．
则四边形AGHD是矩形，
设EG＝x，则BG＝4﹣x，
∵∠A＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DHP＝90°，
∴∠EPG+∠DPH＝90°，∠DPH+∠PDH＝90°，
∴∠EPG＝∠PDH，
∴△EGP∽△PHD，
∴，
∴PH＝3EG＝3x，DH＝AG＝4+x，
在Rt△PHD中，PH2+DH2＝PD2，
∴（3x）2+（4+x）2＝122，
解得x（负值已经舍弃），
∴BG＝4，
在Rt△EGP中，GP，
∵GH∥BC，
∴△EGP∽△EBF，
∴，
∴，
∴BF＝3．
8．【解答】（1）证明：延长DG、BC交于点H，
∵BG平分∠CBD，
∴∠1＝∠2，
∵DG⊥BG，
∴∠BGD＝∠BGH＝90°，
又∵BG＝BG，
∴△BGD≌△BGH（ASA），
∴BD＝BH，
∴DH＝2DG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCF＝∠DCH＝90°，
又∵∠BGD＝90°，∠3＝∠4，
∴∠2＝∠5，
∴△BCF≌△DCH（ASA），
∴BF＝DH，
∴BF＝2DG；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠BDC＝45°，
∴∠BCE＝∠BDF，
又∵∠1＝∠2，
∴△BEC∽△BFD，
∴，
∵BE，
∴BF．
9．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵EF∥AC，
∴EF⊥BD；
（2）证明：
∵EF∥AC，
∴，，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥CP，OA＝OC，
∴，
即，
∴AO∥DP，
∵AD∥CP，
∴四边形ACPD为平行四边形；
（3）解：由勾股定理得：AC＝BD，
∵四边形ACPD为平行四边形，
∴CP＝AD＝BC，
∴，
∵AD∥BP，
∴，
∴DEBD，OE＝OD﹣DE，
∵DOBD，
∵∠DEF＝∠DOC＝90°﹣∠EDF＝45°，
∴∠DFE＝45°，
∴EF＝DE，
在Rt△OEF中，由勾股定理得：OF．
10．【解答】（1）解：①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等．
②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例．
③两个大小不同的正方形相似．是真命题．
故答案为假，假，真．
（2）证明：如图1中，连接BD，B1D1．
∵∠BCD＝∠B1C1D1，且，
∴△BCD∽△B1C1D1，
∴∠CDB＝∠C1D1B1，∠C1B1D1＝∠CBD，
∵，
∴，
∵∠ABC＝∠A1B1C1，
∴∠ABD＝∠A1B1D1，
∴△ABD∽△A1B1D1，
∴，∠A＝∠A1，∠ADB＝∠A1D1B1，
∴，∠ADC＝∠A1D1C1，∠A＝∠A1，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，
∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．
（3）如图2中，
∵四边形ABFE与四边形EFCD相似．
∴，
∵EF＝OE+OF，
∴，
∵EF∥AB∥CD，
∴，，
∴，
∴，
∵AD＝DE+AE，
∴，
∴2AE＝DE+AE，
∴AE＝DE，
∴四边形ABFE与四边形EFCD相似比为1
∴1．
11．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，DA＝DC，
∴四边形ABCD是菱形，
∵DA＝DC，
∴∠ACD＝∠CAD＝45°，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD为正方形；
（2）解：作BE⊥PD，如图所示：
则∠PEB＝∠MEB＝90°，
设正方形ABCD的边长为a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝AD＝a，∠PBN＝∠DAB＝∠BCD＝90°，
∵N为AB的中点，
∴AN＝BNABa，
在△BPN和△ADN中，，
∴△BPN≌△ADN（ASA），
∴BP＝AD＝a，PN＝DNa，PC＝BP+BC＝2a，
∴PD＝2DNa，
∵AD∥BC，
∴△ADM∽△CPM，
∴，
∴PMPDa，
∵∠PEB＝∠PCD＝90°，∠P＝∠P，
∴△PBE∽△PDC，
∴，即，
解得：BEa，PEa，
∴EM＝PM﹣PEa，
∴tan∠BMP；
（3）解：MN＝2，PN＝6，
∴MP＝8，
∵AB∥CD，
∴AM：MC＝MN：MD，
∵AD∥BC，
∴AM：MC＝DM：MP，
∴MN：MD＝DM：MP，
∴MD2＝MN MP＝2×8＝16，
∴MD＝4．
12．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°，
∴∠BOF+∠COF＝90°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠BOF+∠COE＝90°，
∴∠BOE＝∠COF，
在△BOE和△COF中，
，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴S四边形OEBF＝S△BOE+S△BOE＝S△BOE+S△COF＝S△BOCS正方形ABCD1×1；
（2）证明：∵∠EOG＝∠BOE，∠OEG＝∠OBE＝45°，
∴△OEG∽△OBE，
∴OE：OB＝OG：OE，
∴OG OB＝OE2，
∵OBBD，OEEF，
∴OG BD＝EF2；
（3）如图，过点O作OH⊥BC，
∵BC＝1，
∴OHBC，
设AE＝x，则BE＝CF＝1﹣x，BF＝x，
∴S△BEF+S△COFBE BFCF OHx（1﹣x）（1﹣x）（x）2，
∵a0，
∴当x时，S△BEF+S△COF最大；
即在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE．
13．【解答】解：（1）在菱形ABCD和菱形BEFG中，
∵∠DBC∠ABC，∠FBG∠EBG，
∵∠ABC+∠EBG＝180°，
∴∠DBF＝∠DBC+∠FBG＝90°；
（2）如图，
延长GP交DC于点H，
∵P是线段DF的中点，
∴FP＝DP，
由题意可知DC∥GF，
∴∠GFP＝∠HDP，
∵∠GPF＝∠HPD，
∴△GFP≌△HDP（ASA），
∴GP＝HP，GF＝HD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，
∴CG＝CH，
∴1，
∵∠HCG＝∠DCB，
∴△CHG∽△CDB，
∴∠CGP＝∠CBD，
∴DB∥PG；
（3）∵CG＝CH，
∴△CHG是等腰三角形，
∴PG⊥PC，（三线合一）
又∵∠ABC＝∠BEF＝60°，
∴∠GCPBCD＝60°，
∴．
14．【解答】（1）证明：当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，
∴OA＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE与△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE是菱形．
（2）证明：∵EG⊥AD
∴∠AEG＝90°，
∵∠AOE＝90°，
∴∠AEG＝∠AOE，
∵∠EAO＝∠EAG，
∴△AOE∽△AEG，
∴，
∴AE2＝AO AG，即2AF2＝AC AG；
（3）解：∵四边形AFCE是菱形，
∴AF＝AE＝a，
在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，
∴AB2+BF2＝a2，
∴（AB+BF）2﹣2AB BF＝a2①，
∵△ABF的面积为b，
∴AB BF＝b，
∴AB BF＝2b②，
由①、②得：（AB+BF）2＝a2+4b，
∵AB+BF＞0，
∴AB+BFa，
设DE＝x，则CD＝（a﹣x），则
x（a﹣x）＝b，
解得x1a，x2a（舍去），
∴CDa，
∵∠EAG+∠EGA＝∠OEG+∠EGA＝90°，
∴∠EAG＝∠OEG，
∴tan∠OEG＝tan∠EAG．
15．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D，AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB，
∵∠CAD＝∠G，
∴∠ACB＝∠G，
∵∠ABC＝∠G+∠BCG，∠ACG＝∠ACB+∠BCG，
∴∠ABC＝∠ACG，
∵FA＝FC，
∴∠CAF＝∠ACG，
∴∠ABC＝∠CAF，
∵∠ACB＝∠ECA，
∴△ACB∽△ECA，
∴，
∴AC2＝CE BC；
（2）①证明：∵∠GCB＝∠DAC，由（1）得∠CAD＝∠ACB，
∴∠GCB＝∠ACB，
∵AF⊥BC，
∴∠FEC＝∠AEC＝90°，
∵CE＝CE，
∴△FEC≌△AEC（ASA），
∴AE＝FE；
②解：过点F作 FH⊥AC于点H，延长AD与GC的延长线交于点K，如下图所示：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，BC＝AD＝4，AB∥CD，BC∥AD，
又∵AE⊥BC，在Rt△ABE中，，
∴AE＝2BE，
由勾股定理得AE2+BE2＝AB2，
即，
∴BE＝1，
∴AE＝2BE＝2，
∴CE＝BC﹣BE＝3，
在Rt△ACE中，由勾股定理得，
∵FA＝FC，FH⊥AC，
∴，
∵，
∴，
在Rt△AFH中，由勾股定理得AF2﹣FH2＝AH2，
即（）2，
∴AF（负值舍去），
∴FE＝AF﹣AE，
∵CE∥AK，
∴△CEF∽△KAF，
∴，
∴，
∴AK，
∵CD∥AG，
∴△KDC∽△KAG，
∴，
∴，
∴AG，
∴BG＝AG﹣AB．
16．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠CDE＝∠BEF，
∵BF∥CE，
∴∠CED＝∠BFE，∠ABF＝∠CEB，
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED，AB＝CE，
∴∠BEF＝∠BFE，
∴BF＝BE，
在△AFB和△CBE中，
，
∴△AFB≌△CBE（SAS）；
（2）（i）证明：连接GF，如图2，
∵CG＝BF，CG∥BF，
∴四边形BCGF为平行四边形，
∴GF＝BC，GF∥BC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴AD＝GF，AD∥GF，
∴四边形ADGF为平行四边形，
∴AF∥DG；
（ii）解：∵BF＝BE，CG＝BF，
∴CG＝BF＝BE，
∵AB＝CE，
∴EG＝AE，
设CG＝BF＝BE＝y，EG＝AE＝x，则AB＝x+y，
∵AF∥DG，
∴∠BAF＝∠EBG，
又∵∠ABF＝∠BEG，
∴△ABF∽△BEG，
∴，
即，
解得，
又∵AF∥DB，
∴△AFE∽△BDE，
∴．
17．【解答】解：（1）在菱形ABCD中，∵AB＝BC＝CD＝AD，且∠B＝∠D＝60°
∴△ABC，△ADC都是等边三角形，
∴AC＝CD，∠CAE＝60°＝∠D＝∠ACD．
∵AE＝DF，
∴△AEC≌△DFC（SAS），
∴∠ACE＝∠DCF，
∴∠ECF＝60°；
（2）由（1）△ABC，△ADC都是等边三角形，
∴AB＝AC＝AD，
∵AE＝DE，
∴①1，
②由（1）知△AEC≌△DFC，
∴CE＝CF，
∵∠ECF＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴∠CFE＝60°＝∠CAF，
∵∠FCG＝∠ACF，
∴△CFG∽△CAF，
∴，
∴，
∵AC＝CD，CF＝CE，
∴，
∴0；
③∵∠EAG＝∠CFG＝60°，∠AGE＝∠CGF，
∴△AGE∽△FGC，
∴，
同理，，
∴1，
故答案为：1，0，1；
（3）①由△AGF∽△DFC可得，
即AF DF＝AG CD＝AG AC，
由△CGF∽△CFA可得，
即CF2＝AC CG
∵CF＝3AF FD，
∴CG＝3AG，
∴AC＝4AG，
∴；
②由（2）知△AEG∽△FCG，
∴∠AEG＝∠FCG，
∵∠EAG＝∠CAF＝60°，
∴△AGE∽△AFC，
同理△AGF∽△AEC，
∴．
设AE＝DF＝x，
则，
当x＝3时，的值最小，最小值为．
18．【解答】（1）证明：（i）∠A＝∠B，∠ADE＝∠BEC，
∴△AED∽△BCE，
∴，
∵E为AB的中点，
∴AE＝BE，
∴，
即AE2＝AD BC；
（ii）∵∠AED+∠DEC+∠CEB＝180°，∠AED+∠ADE+∠A＝180°，
∴∠A+∠ADE＝∠DEC+∠CEB，
∵∠ADE＝∠BEC，
∴∠A＝∠DEC，
∵∠A＝∠B，∠ADE＝∠BEC，
∴△AED∽△BCE，
∴，
∵AE＝BE，
∴，
∴△ADE∽△EDC，
∴∠ADE＝∠EDC，
∴DE平分∠ADC；
（2）解：如图，过点A作AF∥BC，交CE的延长线于点F，连接DF，
∴∠FAE＝∠B，
∵AE＝BE，∠AEF＝∠BEC，
∴△AEF≌△BEC（ASA），
∴AF＝BC，EF＝EC，
∵∠DAB+∠B＝90°，
∴∠DAB+∠BAF＝90°，
∴∠DAF＝90°．
∵∠DEC＝90°，
∴DF＝DC，
在Rt△ADF中，AD2+AF2＝DF2，
∵AD＝3，BC＝1，
∴AF＝1，
∴CD＝DF．
19．【解答】（1）证明：由正方形可知∠A＝∠FDC＝90°，AD＝CD，
在△AED与△DFC中，
，
∴△AED≌△DFC（SAS）；
（2）证明：由正方形性质可知∠ADE+∠AED＝90°，
∵△AED≌△DFC（AAS），
∴∠DFC＝∠AED，
∴∠DFC+∠ADE＝90°，
∴DE⊥CF；
（3）解：如图2，设BD与CE交于点G，
由条件可知∠A＝∠EDC＝90°，AB＝CD，
∵CE⊥BD，
∴∠DGC＝90°，
∴∠CDG+∠ECD＝90°，∠ADB+∠CDG＝90°，
∴∠ECD＝∠ADB，
∵∠CDE＝∠A，
∴△DEC∽△ABD，
∴，
∵，
∴；
（4）解：如图3，过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H，
由条件可知∠G＝∠H＝∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABCH为矩形，
∴AB＝CH，∠FCH+∠CFH＝∠DFG+∠FDG＝90°，
∴∠FCH＝∠FDG＝∠ADE，∠A＝∠H＝90°，
∴△DEA∽△CFH，
∴，
∴，
∴，
∴．
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