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秘籍11 电磁感应现象中的单双棒问题
一、单棒问题考向
1、单棒与电阻组合的运动分析：考查学生分析导体棒有初速度、受恒定拉力启动、磁场先运动这三种情形。需综合运用电磁感应、电路、牛顿定律知识，判断棒的速度、加速度变化趋势。
2、单棒与电源组合的能量转化分析：考查学生对单棒与电源构成回路时能量转化的理解，结合能量守恒和电路知识求解相关物理量。
3、单棒与电容器组合的电荷与运动分析：考查学生理解电容器在电磁感应回路中的作用，分析其充放电时棒的运动及电荷量变化。
二、双棒问题考向
1、双棒在水平导轨上的动量与能量分析：考查学生应用双棒系统动量守恒和能量守恒的能力，分析受力、运动过程求解相关物理量。
2、不等间距双棒问题中的运动差异分析：考查学生分析不等间距双棒的感应电动势、电流及运动状态差异，通过受力分析求解相关物理量。
3、双棒在倾斜导轨上的综合问题分析：考查学生对双棒在倾斜导轨上受重力、安培力等多力作用下的受力、运动及能量转化分析能力。
题型一 以等间距双导体棒模型考动量能量问题（计算题）
题型二 以不等间距双导体棒模型考动量定理与电磁规律的综合问题（计算题）
题型三 以棒+电容器模型考查力电综合问题（计算题）
1、电磁感应的动力学问题
1．安培力的大小
由感应电动势E＝Blv、感应电流I＝和安培力公式F＝BIl得F＝.
2．安培力的方向判断
(1)对导体切割磁感线运动，先用右手定则确定感应电流的方向，再用左手定则确定安培力的方向．
(2)根据安培力阻碍导体和磁场的相对运动判断．
3．电磁感应中的力和运动
电磁感应与力学问题的综合，涉及两大研究对象：电学对象与力学对象．联系两大研究对象的桥梁是磁场对感应电流的安培力，其大小与方向的变化，直接导致两大研究对象的状态改变．
2、电磁感应中的动力学和能量问题
1．能量转化
导体切割磁感线或磁通量发生变化，在回路中产生感应电流，这个过程中机械能或其他形式的能转化为电能，具有感应电流的导体在磁场中受安培力作用或通过电阻发热，又可使电能转化为机械能或内能．因此，电磁感应过程中总是伴随着能量的转化．
2．电磁感应过程的实质是不同形式的能量转化的过程，而能量的转化是通过安培力做功的形式实现的，安培力做功的过程，是电能转化为其他形式能的过程，外力克服安培力做功，则是其他形式的能转化为电能的过程．
3、动量定理在电磁感应现象中的应用
导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时，安培力的冲量为：
1．（2025 青浦区模拟）2022年4月16日上午，神舟十三号结束太空出差，顺利回到地球。为了能更安全着陆，现设计师在返回舱的底盘安装了4台电磁缓冲装置，其主要部件有两部分：
（1）缓冲滑块，外部由高强度绝缘材料制成，内部边缘绕有闭合单匝矩形线圈abcd；
（2）返回舱，包括绝缘光滑缓冲轨道MN、PQ，轨道内存在稳定匀强磁场。
（3）当缓冲滑块接触地面时，滑块立即停止运动。
现已知缓冲滑块竖直向下撞向地面时，返回舱的速度大小为v0，4台电磁缓冲装置结构相同，如图为其中一台电磁缓冲装置的结构简图，线圈的电阻为R，ab边长为L，返回舱质量为m，磁感应强度大小为B，重力加速度为g，一切摩擦阻力不计。
①返回舱下降过程中ab杆两端 a 端的电势高，ab两端电势差为 。
②（计算）缓冲滑块着地时，求返回舱的加速度a。
③（论证）假设缓冲轨道足够长，线圈足够高，试分析返回舱的运动情况及最终软着陆的速度v。
④（计算）若返回舱的速度大小从v0减到v的过程中，经历的时间为t，求该过程中每台电磁缓冲装置中产生的焦耳热Q（结果保留v）。
【解答】解：①由题意缓冲滑块刚停止运动后，磁场向下运动，线框相对磁场向上运动，由右手定则可知a端的电势高。
缓冲滑块刚停止运动时ab边产生的电动势为：E＝BLv0
流过线圈ab边的电流为：
此时ab两端电势差为：Uab
②缓冲滑块着地时，每台缓冲装置对返回舱竖直向上的安培力为F＝BIL，根据牛顿第二定律得：
4F﹣mg＝ma
解得返回舱的加速度大小为：a，方向竖直向上。
③返回舱向下做减速运动，受向上的安培力和向下的重力，随速度的减小，安培力减小，加速度减小，直到加速度为零，即合力为零时，速度达到最小，此后做匀速运动，即达到软着落速度v。可知返回舱的运动情况是先做加速度减小到减速直线运动，再做匀速直线运动。
由平衡条件得：4F′＝mg
其中安培力F′＝BI′L＝BL
联立解得：，方向竖直向下。
④返回舱的速度大小从v0减到v的过程中，以竖直向下为正方向，由动量定理得：
mgt﹣4BLmv﹣mv0
其中：
设返回舱此过程下降的高度为h，则有：
解得：
由能量守恒定律得：
解得：
2．（2025 青羊区校级模拟）如图所示，电阻不计足够长的光滑平行金属导轨与水平面夹角θ＝30°，导轨间距l，所在平面的正方形区域abcd内存在有界匀强磁场，磁感应强度方向垂直斜面向上。甲、乙金属杆质量均为m＝0.02kg、电阻均为R＝1.6Ω，甲金属杆处在磁场的上边界，乙金属杆距甲也为l，其中l＝0.4m。同时无初速释放两金属杆，此刻在甲金属杆上施加一个沿着导轨的外力F，保持甲金属杆在运动过程中始终与乙金属杆未进入磁场时的加速度相同。（取g＝10m/s2）
（1）乙金属杆刚进入磁场后做匀速运动，求匀强磁场的磁感应强度？
（2）若从开始释放到乙金属杆离开磁场，乙金属杆中共产生热量Q＝0.03J，试求此过程中外力F对甲做的功。
【解答】解：（1）乙进入磁场前的加速度
a＝gsinθ
解得
a＝5m/s2
甲、乙加速度相同，当乙进入磁场时，甲刚出磁场；
乙进入磁场时
解得
v＝2m/s
乙在磁场中匀速运动
所以
B＝1.0T
（2）乙进入磁场前，甲、乙产生相同热量，均设为Q，此过程中甲一直在磁场中，外力F始终等于安培力，则有
WF＝WK＝2Q1
乙在磁场中运动产生热量Q2，利用动能定理
mglsinθ﹣2Q2＝0
得
Q2＝0.02J
甲、乙产生相同热量
Q1＝Q﹣Q2
解得
Q1＝0.01J
由于甲出磁场以后，外力F为零，可得
WF＝2Q1
解得
WF＝0.02J
3．（2025 安康二模）如图所示，M、N是两根固定在水平面内的平行金属导轨，导轨间距为L＝3m，电阻不计。两虚线EF、GH与导轨垂直，GH的左侧导轨光滑，右侧导轨粗糙，金属棒与导轨间的动摩擦因数，EF的左侧存在垂直于导轨平面向下的匀强磁场，GH的右侧存在垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小均为B＝1T，质量为m＝2kg的金属棒cd与导轨垂直，静置在右侧磁场中，相同质量的金属棒ab与导轨夹角为θ＝37°，t＝0时刻金属棒ab在外力的作用下以速度v＝2m/s从E点进入左侧磁场，金属棒ab向左始终做匀速直线运动，当ab棒的b端进入磁场时，电路中的电流为I0＝2.25A。两个金属棒的电阻相同均为R＝1Ω，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：
（1）当金属棒cd开始运动时，金属棒ab运动的时间；
（2）当金属棒cd开始运动时，金属棒ab受到的安培力；
（3）从ab棒开始运动到b端进入磁场时，通过回路的电荷量q。
【解答】解：（1）金属棒cd开始运动时有：BIL＝μmg
解得此时的感应电流为：I＝1.5A
此时ab棒产生的感应电动势为：E＝I×2R＝0.5×2×1Ω＝3V
由法拉第电磁感应定律得：E＝BL′v
其中切割磁感线的有效长度L′＝vt tanθ
联立解得：t＝1s
（2）此时金属棒ab在磁场中的长度为：，解得：L1＝2.5m
受到的安培力大小为：F＝BIL1
解得：F＝3.75N
金属棒ab中的电流方向由a→b，由左手定则可知，受到的安培力方向与水平方向夹角为53°指向右上方。
（3）cd棒未运动的过程，只有ab棒切割磁感线产生电流，此过程通过回路的电荷量为：
，
联立可得：
又有：
联立解得：
已知当ab棒的b端进入磁场时，电路中的电流为I0＝2.25A。设此时cd棒的速度大小为vc。
此时的感应电动势为：E′＝BLv﹣BLvc
则有：
解得：vc＝0.5m/s
cd棒开始运动到b端进入磁场的时间为：
，解得：t'＝1s
以cd棒运动方向为正方向，对cd棒，根据动量定理得：
cd棒开始运动后通过回路的电荷量为：
联立解得：
从ab棒开始运动到b端进入磁场时，通过回路的电荷量为：
q＝q1+q2
解得：q
4．（2025 天津二模）某电磁轨道炮的简化模型如图所示，两光滑导轨相互平行，固定在光滑绝缘水平桌面上，导轨的间距为L，导轨左端通过单刀双掷开关与电源、电容器相连，电源电动势为E，内阻不计，电容器的电容为C。EF、PQ区域内有垂直导轨平面向下、磁感应强度为B的匀强磁场，EF、PQ之间的距离足够长。一炮弹可视为宽为L、质量为m、电阻为R的金属棒静置于EF处，与导轨始终保持良好接触。当把开关S1、S2分别接a、b时，导轨与电源相连，炮弹中有电流通过，炮弹受到安培力作用向右加速，同时炮弹中产生感应电动势，当炮弹的感应电动势与电源的电动势相等时，回路中电流为零，炮弹达到最大速度。不考虑空气阻力，其它电阻都不计，忽略导轨电流产生的磁场。求：
（1）炮弹运动到PQ边界过程的最大加速度am；
（2）炮弹运动达到最大速度的过程中，流过炮弹横截面的电荷量q和回路产生的焦耳热Q；
（3）将炮弹放回原位置，断开S2，把S1接c，让电源给电容器充电，充电完成后，再将S1断开，把S2接d，求炮弹运动到PQ边界时电容器上剩余的电荷量q′。
【解答】解：（1）炮弹刚开始运动时通过炮弹的电流最大，炮弹受到的安培力最大，加速度最大，根据欧姆定律有
F安＝BIL＝mam
得
（2）随着炮弹速度的增大，炮弹的感应电动势增大，通过炮弹的电流减小，当感应电动势与电源电动势相等时回路中电流为零，炮弹达到最大速度。
即E＝BLvm
得
炮弹从静止到达到最大速度过程流过炮弹横截面的电荷量
由动量定理有
得
电源做的功转化为炮弹的动能和回路产生的焦耳热有
得
（3）充满电时电容器的电荷量为q0＝CE
当电容器与炮弹连接后电容器放电，炮弹向右加速，电容器的电荷量、电压减小，当炮弹的感应电动势与电容器两极板间的电压相等时，回路中电流为零，炮弹达到最大速度v′m，此后电容器不再放电。设此时电容器剩余电荷量为q′
有E′＝BLvm
根据电容的定义式可知
由动量定理有I′A＝BL（q0﹣q′）＝mv′m﹣0
解得
5．（2025 湖南模拟）如图所示，足够长的两平行光滑金属导轨固定在水平面上，导轨间距为L＝1m，导轨水平部分的矩形区域abcd有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝0.5T，导轨的左侧和一光滑四分之一金属圆弧轨道平滑连接，圆弧轨道半径R＝4m，此部分有沿半径方向的磁场，图中未画出。导轨水平部分的右侧和光滑倾斜导轨（足够长）平滑连接，倾斜部分的倾角为30°。质量为m1＝1kg的金属棒P从四分之一圆弧的最高点由静止释放，经过AA′滑上水平轨道，在AA′对轨道的压力大小为26N；P穿过磁场abcd区域后，与另一根质量为m2＝2kg的静止在导轨上的金属棒Q发生弹性碰撞，碰后Q沿斜面上升的高度h＝0.8m，两金属棒的阻值均为r＝0.2Ω，重力加速度g＝10m/s2，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计，两根金属棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好。求：
（1）金属棒P从静止释放运动到AA′时克服安培力做的功；
（2）求矩形磁场沿导轨方向的长度；
（3）若Q从右侧倾斜导轨滑下时，P已从磁场中滑出，求从P运动到水平导轨AA′开始到P、Q第二次碰撞时，Q棒上产生的焦耳热。
【解答】解：（1）金属棒P运动到AA′时，根据牛顿第二定律有：
代入数据解得：v0＝8m/s
由开始释放到AA′，对P，由动能定理得：
联立代入解得：W克＝8J
（2）对Q棒，由CC′运动到斜面的最高点时，由动能定理得：
代入数据解得：vC＝4m/s
设P碰撞前、后的速度分别为v1、v2，根据动量守恒定律有：m1v1＝m1v2+m2vC
根据能量守恒定律有：
代入数据解得：v1＝6m/s，v2＝﹣2m/s
对于P第一次通过磁场，取向右为正方向，根据动量定理有：
又由电流的定义有：
代入数据解得：x＝3.2m
（3）设P第二次离开磁场时的速度为v3，取向左为正方向，根据动量定理有：
代入数据解得：v3＝0
Q第一次进入磁场时的速度为：v4＝vC＝4m/s，方向向左
设Q出磁场时的速度为v5，取向左为正方向，根据动量定理有：
联立代入数据解得：v5＝3m/s，方向向左；
Q通过磁场后与静止的P第二次碰撞，从P运动到AA′开始后的全过程由能量守恒定律得：
联立解得：Q＝23J
则Q棒上产生的焦耳热：Q111.5J
6．（2025 浙江模拟）如图所示，两光滑平行金属导轨正对放置，均由三部分组成，倾斜部分与水平面的夹角均为θ、长度均为x，在水平部分正中间通过导线连接电容为C的电容器。水平部分两侧边缘分别垂直放置光滑金属杆ab、de，金属杆质量均为m、长度均为L。开关S处于断开状态，左侧倾斜导轨间有垂直该部分导轨所在平面向下、磁感应强度大小为B1的匀强磁场，右侧倾斜导轨间有垂直该部分导轨所在平面向上、磁感应强度大小为B2的匀强磁场。已知重力加速度为g，导轨间距为L。某时刻ab杆在微小扰动下开始下滑。已知杆运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，导轨与杆的电阻均可忽略。
（1）金属杆ab下滑过程中电容器 B极板 （选填“A极板”或“B极板”）的电势较高；
（2）ab杆下滑到倾斜导轨底端时，求电容器两极板间的电势差U和电容器储存的能量；
（3）ab杆滑离导轨后，闭合开关S，de杆在微小扰动下开始下滑，最终以速度v1滑离导轨。
①求de杆在倾斜导轨上滑动的时间t；
②求de杆下滑过程中整个电路因电流变化产生电磁辐射损失的能量（电容器储存的能量E＝kCU2，其中k为常数且未知）。
【解答】解：（1）金属杆ab下滑过程中，根据右手定则判断可知，ab杆中的感应电流由a流向b，b端相当于电源正极，则电容器B极板的电势较高；
（2）杆ab下滑过程中，设某时刻回路中电流为i，之后一段较短时间Δt内，对电容器有
i
设杆ab的加速度为a，根据牛顿第二定律有
mgsinθ﹣B1iL＝ma
由法拉第电磁感应定律可得
U＝B1Lv
则杆ab产生感应电动势的变化量
ΔU＝B1LΔv
由加速度的定义有
联立得
可知，杆ab沿斜导轨向下做匀加速直线运动。根据匀变速直线运动规律可得，杆ab运动到斜导轨底端时的速度v满足
v2＝2ax
ab杆下滑到倾斜导轨底端时电容器两极板间的电势差为
U＝B1Lv
联立解得
杆ab下滑过程中，回路电流恒定，则杆ab减小的重力势能等于杆ab增加的动能和电容器储存能量之和；则ab杆下滑到倾斜导轨底端时，电容器储存的能量为
E＝mgxsinθ
联立解得
E
（3）①设杆de下滑过程中通过杆de的平均电流为，对杆de下滑过程，取沿导轨向下为正方向，根据动量定理有
整个过程中，B板所带电荷量的变化量的大小
Δq＝C（U﹣U1）
即通过杆de横截面的电荷量；
其中
U1＝B2Lv1
联立得
②电容器储存的能量E＝kCU2，结合（2）中分析可得
在de杆下滑过程中，由能量守恒定律有
联立解得
7．（2025 广东一模）足够高的光滑水平桌面存在着两个宽为l的垂直桌面的匀强磁场区域，磁感应强度大小均为B，方向相反。边长为l的均匀正方形导线框，质量为m，电阻为R，通过细绳跨过定滑轮与质量为M的铁块相连，如图甲所示，开始时线框右边与磁场边界平行，相隔一定距离。由静止释放铁块，当线框刚进磁场时恰好能做匀速直线运动，最终线框左边能够匀速穿过磁场右边界。已知重力加速度为g。求：
（1）初始时，线框右边与磁场边界的距离x；
（2）穿过磁场的整个过程中导线框产生的热量Q；
（3）在如图乙所示的坐标图上大致描绘线框运动的v﹣t图像。
【解答】解：（1）释放铁块后铁块和线框一起加速，由牛顿第二定律有
Mg＝（M+m）a，
当线框右边界刚进入磁场时由匀变速直线运动有
v2＝2ax，
此时线框中产生的感应电动势
E＝Blv
此时线框中产生的感应电流
I
此时线框受到的安培力
F安＝BIl
由受力分析有
F安＝Mg
联立解得：
x；
（2）由能量转化与守恒可知，线框在此过程中产生的热量等于铁块减小的重力势能，
Q＝Mgh
由几何关系有
h＝3l
联立解得：
Q＝3Mgl；
（3）如图
线框运动过程分为A、B、C、D、E五个过程。
A过程：线框未进入磁场前的运动，系统做匀加速直线运动；
B过程：线框右边界切割磁感线的过程，系统做匀速直线运动；
C过程：线框左边右边分别切割不同方向的磁感线过程，系统先做加速度逐渐减小的减速运动，后做匀速直线运动；
D过程：线框右边界出磁场，左边界切割磁感线的过程，系统先做加速度逐渐减小的加速运动，后做匀速直线运动；
E过程：线框穿出磁场，系统做匀加速直线运动，加速度跟过程A的加速度相同。
8．（2025 宁波校级模拟）2024年10月31日，由中国中车自主研制的国内首套高温超导电动悬浮全要素。试验系统完成第10次悬浮运行试验如图甲。该磁悬浮列车涡流制动原理的模型如图乙所示。模型车的头部车厢下端装有电磁铁系统，该电磁铁系统在其正下方产生的磁场，可看成磁感应强度大小为B＝10T、方向竖直向下的长为L＝2m，宽为d＝0.5m矩形区域的匀强磁场。将长大于L、宽为d、电阻为R＝20Ω，匝数为100的矩形线圈（粗细忽略不计，线圈之间彼此绝缘）等间隔铺设在轨道正中央，相邻两线圈的间隔也恰好为d。在某次试验中模型车初速度v0＝30m/s，电磁铁系统进入线圈AA′BB′左侧AA′时开启电磁制动。模型车（含电磁铁系统）的质量为M＝105kg，模型车与轨道之间无摩擦。求：
（1）该模型车的磁场全部进入任意一个线圈的过程中，流过线圈的电荷量q。
（2）该模型车头部车厢的电磁铁系统经过多少个矩形线圈制动能够停下。
（3）若该模型车头部车厢的电磁铁系统相邻处加装一个相同尺寸的电磁铁系统如图丙，产生方向相反大小一样的竖直方向匀强磁场。求该模型车制动过程头部车厢到达的最后1个线圈所产生的热量。
【解答】解：（1）在电磁铁系统通过线圈的过程中，任意线圈中的平均感应电动势为：
平均感应电流：
流过线圈的电荷量：q
联立代入得：qC＝50C
（2）该模型车经过极短的时间Δt′，速度减小Δv，运动的位移为Δx，由动量定理得：﹣FΔt′＝MΔv
两边求和有：∑﹣nBL Δt′＝∑M Δv
又因为电流：
联立可得：∑v Δt＝Mv0
结合v Δt＝Δx上式可得，模型车停止的总距离xm＝15m
所以通过线圈的个数为：N个＝15个
（3）该模型车头部车厢的电磁铁系统相邻处加装一个相同尺寸的电磁铁系统，当该系统通过线圈时，相当于同时有两组线圈产生感应电流，也受到安培力
产生的平均感应电动势nBL
平均感应电流：
受到的平均安培力为：2BIL
联立以上各式可得：
此种情况下设通过的线圈个数为N，从打开制动系统到停止，对列车根据动量定理有：： Δt＝0﹣Mv0
结合位移规律：x
联立以上可知：xm＝3.75m
那么线圈的个数为N4
设进入第四个线圈的速度为v4，在通过前三个线圈的过程中，根据动量定理有： Δt＝Mv4﹣Mv0
结合以上结论有：v4＝v030m/sm/s＝24m/s
根据能量守恒定律，通过最后一个线圈产生的热量：QJ＝2.88×107J
9．（2024 辽宁模拟）如图1所示，水平面内有abc和de两光滑导体轨道，bc与de平行且足够长，ab与bc成135°角，两导轨左右两端接有定值电阻，阻值分别为R和2R，不计导轨电阻。一质量为m，电阻不计的导体棒横跨在两导轨上，导体棒与ab，de两轨道分别接触于G、H。导体棒与de轨道垂直，GH间距为L，导体棒与b点间距也为L。以H点为原点建立坐标系，x、y两轴分别与de轨道和导体棒重合。空间存在一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。从某时刻开始，给导体棒一水平向右的初速度v0，同时在一沿x轴方向的外力F作用下开始运动，运动至b点前的图像如图2所示，导体棒运动至b点时撤去外力F，随后又前进一段距离后停止运动，此过程中棒与两导轨始终接触良好且保持与de轨道垂直。
（1）求导体棒在bc轨道上通过的距离d；
（2）求撤去外力F前流过电阻R的电流；
（3）求导体棒运动过程中电阻2R中产生的焦耳热。
【解答】解：（1）由图2知，导体棒运动至b点时速度为。对导体棒从b点开始沿轨道运动直至静止，取向右为正方向，根据动量定理有
又有通过导体棒的电荷量为
其中R总R
联立解得：
（2）导体棒在ab轨道上运动时，产生的感应电动势为
E＝B（L+x）v
由闭合电路欧姆定律得
由图像可知：
流过电阻R的电流
联立解得：
（3）撤去力F前电路中的总热量为
其中t可以从图像中围成图形的面积得
撤去力F后导轨运动，整个回路产生的热量
根据并联电路知识可得，电阻2R产生的热量为Q
联立解得：
10．（2022 湖南模拟）如图所示，平行光滑的金属导轨由倾斜部分和水平部分组成，倾斜导轨与水平导轨由两小段光滑绝缘圆弧（长度可忽略）相连，倾斜部分由倾角为θ、间距为l的导轨ab、fg构成，水平部分由两段足够长但不等宽的平行金属导轨构成，bc、gh段间距为l，de、ij段间距为2l，导轨的a、f之间接有阻值为R的定值电阻。倾斜导轨处于垂直导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为2B，水平导轨处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B（磁场方向均未画出）。导体棒Ⅱ静止于de、ij段，导体棒Ⅰ从倾斜导轨上与bg相距为L处由静止释放，到达bg前速度已达到最大。导体棒Ⅰ、Ⅱ的质量均为m，电阻均为R，两导体棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g，导轨电阻和空气阻力均可忽略不计。求：
（1）导体棒Ⅰ到达bg时的速度大小；
（2）导体棒Ⅰ在水平导轨上运动的过程中，导体棒Ⅰ、Ⅱ达到稳定前，两导体棒和导轨围成的回路面积的改变量大小；
（3）整个运动过程中，导体棒Ⅰ上产生的焦耳热。
【解答】解：（1）由题意知，导体棒Ⅰ从到达bg前速度已达到最大，由平衡条件可得：2BIl＝mgsinθ
又：I
联立解得：vm；
（2）稳定时，两导体棒两端的感应电动势相等，则有：Blv1＝B 2lv2
解得：v1＝2v2
取向右为正方向，对Ⅰ棒由动量定理得：﹣Blt＝mv1﹣mvm
对Ⅱ棒由动量定理得：2Blt＝mv2
又：qt
解得：q
又有：q
解得：ΔS；
（3）设导体棒Ⅰ在倾斜导轨上运动时产生的热为Q1，根据能量守恒定律可得：
mgLsinθ＝2Q1
解得：Q1
设导体棒Ⅰ在水平导轨上运动时产生的热为Q2，根据能量守恒定律可得：
2Q2
解得：Q2
整个运动过程中，导体棒Ⅰ上产生的焦耳热为：Q＝Q1+Q2
联立解得：Q。
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秘籍11 电磁感应现象中的单双棒问题
一、单棒问题考向
1、单棒与电阻组合的运动分析：考查学生分析导体棒有初速度、受恒定拉力启动、磁场先运动这三种情形。需综合运用电磁感应、电路、牛顿定律知识，判断棒的速度、加速度变化趋势。
2、单棒与电源组合的能量转化分析：考查学生对单棒与电源构成回路时能量转化的理解，结合能量守恒和电路知识求解相关物理量。
3、单棒与电容器组合的电荷与运动分析：考查学生理解电容器在电磁感应回路中的作用，分析其充放电时棒的运动及电荷量变化。
二、双棒问题考向
1、双棒在水平导轨上的动量与能量分析：考查学生应用双棒系统动量守恒和能量守恒的能力，分析受力、运动过程求解相关物理量。
2、不等间距双棒问题中的运动差异分析：考查学生分析不等间距双棒的感应电动势、电流及运动状态差异，通过受力分析求解相关物理量。
3、双棒在倾斜导轨上的综合问题分析：考查学生对双棒在倾斜导轨上受重力、安培力等多力作用下的受力、运动及能量转化分析能力。
题型一 以等间距双导体棒模型考动量能量问题（计算题）
题型二 以不等间距双导体棒模型考动量定理与电磁规律的综合问题（计算题）
题型三 以棒+电容器模型考查力电综合问题（计算题）
1、电磁感应的动力学问题
1．安培力的大小
由感应电动势E＝Blv、感应电流I＝和安培力公式F＝BIl得F＝.
2．安培力的方向判断
(1)对导体切割磁感线运动，先用右手定则确定感应电流的方向，再用左手定则确定安培力的方向．
(2)根据安培力阻碍导体和磁场的相对运动判断．
3．电磁感应中的力和运动
电磁感应与力学问题的综合，涉及两大研究对象：电学对象与力学对象．联系两大研究对象的桥梁是磁场对感应电流的安培力，其大小与方向的变化，直接导致两大研究对象的状态改变．
2、电磁感应中的动力学和能量问题
1．能量转化
导体切割磁感线或磁通量发生变化，在回路中产生感应电流，这个过程中机械能或其他形式的能转化为电能，具有感应电流的导体在磁场中受安培力作用或通过电阻发热，又可使电能转化为机械能或内能．因此，电磁感应过程中总是伴随着能量的转化．
2．电磁感应过程的实质是不同形式的能量转化的过程，而能量的转化是通过安培力做功的形式实现的，安培力做功的过程，是电能转化为其他形式能的过程，外力克服安培力做功，则是其他形式的能转化为电能的过程．
3、动量定理在电磁感应现象中的应用
导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时，安培力的冲量为：
1．（2025 青浦区模拟）2022年4月16日上午，神舟十三号结束太空出差，顺利回到地球。为了能更安全着陆，现设计师在返回舱的底盘安装了4台电磁缓冲装置，其主要部件有两部分：
（1）缓冲滑块，外部由高强度绝缘材料制成，内部边缘绕有闭合单匝矩形线圈abcd；
（2）返回舱，包括绝缘光滑缓冲轨道MN、PQ，轨道内存在稳定匀强磁场。
（3）当缓冲滑块接触地面时，滑块立即停止运动。
现已知缓冲滑块竖直向下撞向地面时，返回舱的速度大小为v0，4台电磁缓冲装置结构相同，如图为其中一台电磁缓冲装置的结构简图，线圈的电阻为R，ab边长为L，返回舱质量为m，磁感应强度大小为B，重力加速度为g，一切摩擦阻力不计。
①返回舱下降过程中ab杆两端 a 端的电势高，ab两端电势差为 。
②（计算）缓冲滑块着地时，求返回舱的加速度a。
③（论证）假设缓冲轨道足够长，线圈足够高，试分析返回舱的运动情况及最终软着陆的速度v。
④（计算）若返回舱的速度大小从v0减到v的过程中，经历的时间为t，求该过程中每台电磁缓冲装置中产生的焦耳热Q（结果保留v）。
2．（2025 青羊区校级模拟）如图所示，电阻不计足够长的光滑平行金属导轨与水平面夹角θ＝30°，导轨间距l，所在平面的正方形区域abcd内存在有界匀强磁场，磁感应强度方向垂直斜面向上。甲、乙金属杆质量均为m＝0.02kg、电阻均为R＝1.6Ω，甲金属杆处在磁场的上边界，乙金属杆距甲也为l，其中l＝0.4m。同时无初速释放两金属杆，此刻在甲金属杆上施加一个沿着导轨的外力F，保持甲金属杆在运动过程中始终与乙金属杆未进入磁场时的加速度相同。（取g＝10m/s2）
（1）乙金属杆刚进入磁场后做匀速运动，求匀强磁场的磁感应强度？
（2）若从开始释放到乙金属杆离开磁场，乙金属杆中共产生热量Q＝0.03J，试求此过程中外力F对甲做的功。
3．（2025 安康二模）如图所示，M、N是两根固定在水平面内的平行金属导轨，导轨间距为L＝3m，电阻不计。两虚线EF、GH与导轨垂直，GH的左侧导轨光滑，右侧导轨粗糙，金属棒与导轨间的动摩擦因数，EF的左侧存在垂直于导轨平面向下的匀强磁场，GH的右侧存在垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小均为B＝1T，质量为m＝2kg的金属棒cd与导轨垂直，静置在右侧磁场中，相同质量的金属棒ab与导轨夹角为θ＝37°，t＝0时刻金属棒ab在外力的作用下以速度v＝2m/s从E点进入左侧磁场，金属棒ab向左始终做匀速直线运动，当ab棒的b端进入磁场时，电路中的电流为I0＝2.25A。两个金属棒的电阻相同均为R＝1Ω，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：
（1）当金属棒cd开始运动时，金属棒ab运动的时间；
（2）当金属棒cd开始运动时，金属棒ab受到的安培力；
（3）从ab棒开始运动到b端进入磁场时，通过回路的电荷量q。
4．（2025 天津二模）某电磁轨道炮的简化模型如图所示，两光滑导轨相互平行，固定在光滑绝缘水平桌面上，导轨的间距为L，导轨左端通过单刀双掷开关与电源、电容器相连，电源电动势为E，内阻不计，电容器的电容为C。EF、PQ区域内有垂直导轨平面向下、磁感应强度为B的匀强磁场，EF、PQ之间的距离足够长。一炮弹可视为宽为L、质量为m、电阻为R的金属棒静置于EF处，与导轨始终保持良好接触。当把开关S1、S2分别接a、b时，导轨与电源相连，炮弹中有电流通过，炮弹受到安培力作用向右加速，同时炮弹中产生感应电动势，当炮弹的感应电动势与电源的电动势相等时，回路中电流为零，炮弹达到最大速度。不考虑空气阻力，其它电阻都不计，忽略导轨电流产生的磁场。求：
（1）炮弹运动到PQ边界过程的最大加速度am；
（2）炮弹运动达到最大速度的过程中，流过炮弹横截面的电荷量q和回路产生的焦耳热Q；
（3）将炮弹放回原位置，断开S2，把S1接c，让电源给电容器充电，充电完成后，再将S1断开，把S2接d，求炮弹运动到PQ边界时电容器上剩余的电荷量q′。
5．（2025 湖南模拟）如图所示，足够长的两平行光滑金属导轨固定在水平面上，导轨间距为L＝1m，导轨水平部分的矩形区域abcd有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝0.5T，导轨的左侧和一光滑四分之一金属圆弧轨道平滑连接，圆弧轨道半径R＝4m，此部分有沿半径方向的磁场，图中未画出。导轨水平部分的右侧和光滑倾斜导轨（足够长）平滑连接，倾斜部分的倾角为30°。质量为m1＝1kg的金属棒P从四分之一圆弧的最高点由静止释放，经过AA′滑上水平轨道，在AA′对轨道的压力大小为26N；P穿过磁场abcd区域后，与另一根质量为m2＝2kg的静止在导轨上的金属棒Q发生弹性碰撞，碰后Q沿斜面上升的高度h＝0.8m，两金属棒的阻值均为r＝0.2Ω，重力加速度g＝10m/s2，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计，两根金属棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好。求：
（1）金属棒P从静止释放运动到AA′时克服安培力做的功；
（2）求矩形磁场沿导轨方向的长度；
（3）若Q从右侧倾斜导轨滑下时，P已从磁场中滑出，求从P运动到水平导轨AA′开始到P、Q第二次碰撞时，Q棒上产生的焦耳热。
6．（2025 浙江模拟）如图所示，两光滑平行金属导轨正对放置，均由三部分组成，倾斜部分与水平面的夹角均为θ、长度均为x，在水平部分正中间通过导线连接电容为C的电容器。水平部分两侧边缘分别垂直放置光滑金属杆ab、de，金属杆质量均为m、长度均为L。开关S处于断开状态，左侧倾斜导轨间有垂直该部分导轨所在平面向下、磁感应强度大小为B1的匀强磁场，右侧倾斜导轨间有垂直该部分导轨所在平面向上、磁感应强度大小为B2的匀强磁场。已知重力加速度为g，导轨间距为L。某时刻ab杆在微小扰动下开始下滑。已知杆运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，导轨与杆的电阻均可忽略。
（1）金属杆ab下滑过程中电容器 B极板 （选填“A极板”或“B极板”）的电势较高；
（2）ab杆下滑到倾斜导轨底端时，求电容器两极板间的电势差U和电容器储存的能量；
（3）ab杆滑离导轨后，闭合开关S，de杆在微小扰动下开始下滑，最终以速度v1滑离导轨。
①求de杆在倾斜导轨上滑动的时间t；
②求de杆下滑过程中整个电路因电流变化产生电磁辐射损失的能量（电容器储存的能量E＝kCU2，其中k为常数且未知）。
7．（2025 广东一模）足够高的光滑水平桌面存在着两个宽为l的垂直桌面的匀强磁场区域，磁感应强度大小均为B，方向相反。边长为l的均匀正方形导线框，质量为m，电阻为R，通过细绳跨过定滑轮与质量为M的铁块相连，如图甲所示，开始时线框右边与磁场边界平行，相隔一定距离。由静止释放铁块，当线框刚进磁场时恰好能做匀速直线运动，最终线框左边能够匀速穿过磁场右边界。已知重力加速度为g。求：
（1）初始时，线框右边与磁场边界的距离x；
（2）穿过磁场的整个过程中导线框产生的热量Q；
（3）在如图乙所示的坐标图上大致描绘线框运动的v﹣t图像。
8．（2025 宁波校级模拟）2024年10月31日，由中国中车自主研制的国内首套高温超导电动悬浮全要素。试验系统完成第10次悬浮运行试验如图甲。该磁悬浮列车涡流制动原理的模型如图乙所示。模型车的头部车厢下端装有电磁铁系统，该电磁铁系统在其正下方产生的磁场，可看成磁感应强度大小为B＝10T、方向竖直向下的长为L＝2m，宽为d＝0.5m矩形区域的匀强磁场。将长大于L、宽为d、电阻为R＝20Ω，匝数为100的矩形线圈（粗细忽略不计，线圈之间彼此绝缘）等间隔铺设在轨道正中央，相邻两线圈的间隔也恰好为d。在某次试验中模型车初速度v0＝30m/s，电磁铁系统进入线圈AA′BB′左侧AA′时开启电磁制动。模型车（含电磁铁系统）的质量为M＝105kg，模型车与轨道之间无摩擦。求：
（1）该模型车的磁场全部进入任意一个线圈的过程中，流过线圈的电荷量q。
（2）该模型车头部车厢的电磁铁系统经过多少个矩形线圈制动能够停下。
（3）若该模型车头部车厢的电磁铁系统相邻处加装一个相同尺寸的电磁铁系统如图丙，产生方向相反大小一样的竖直方向匀强磁场。求该模型车制动过程头部车厢到达的最后1个线圈所产生的热量。
9．（2024 辽宁模拟）如图1所示，水平面内有abc和de两光滑导体轨道，bc与de平行且足够长，ab与bc成135°角，两导轨左右两端接有定值电阻，阻值分别为R和2R，不计导轨电阻。一质量为m，电阻不计的导体棒横跨在两导轨上，导体棒与ab，de两轨道分别接触于G、H。导体棒与de轨道垂直，GH间距为L，导体棒与b点间距也为L。以H点为原点建立坐标系，x、y两轴分别与de轨道和导体棒重合。空间存在一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。从某时刻开始，给导体棒一水平向右的初速度v0，同时在一沿x轴方向的外力F作用下开始运动，运动至b点前的图像如图2所示，导体棒运动至b点时撤去外力F，随后又前进一段距离后停止运动，此过程中棒与两导轨始终接触良好且保持与de轨道垂直。
（1）求导体棒在bc轨道上通过的距离d；
（2）求撤去外力F前流过电阻R的电流；
（3）求导体棒运动过程中电阻2R中产生的焦耳热。
10．（2022 湖南模拟）如图所示，平行光滑的金属导轨由倾斜部分和水平部分组成，倾斜导轨与水平导轨由两小段光滑绝缘圆弧（长度可忽略）相连，倾斜部分由倾角为θ、间距为l的导轨ab、fg构成，水平部分由两段足够长但不等宽的平行金属导轨构成，bc、gh段间距为l，de、ij段间距为2l，导轨的a、f之间接有阻值为R的定值电阻。倾斜导轨处于垂直导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为2B，水平导轨处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B（磁场方向均未画出）。导体棒Ⅱ静止于de、ij段，导体棒Ⅰ从倾斜导轨上与bg相距为L处由静止释放，到达bg前速度已达到最大。导体棒Ⅰ、Ⅱ的质量均为m，电阻均为R，两导体棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g，导轨电阻和空气阻力均可忽略不计。求：
（1）导体棒Ⅰ到达bg时的速度大小；
（2）导体棒Ⅰ在水平导轨上运动的过程中，导体棒Ⅰ、Ⅱ达到稳定前，两导体棒和导轨围成的回路面积的改变量大小；
（3）整个运动过程中，导体棒Ⅰ上产生的焦耳热。
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