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秘籍9 带电粒子在电场、磁场中的动力学问题
一、带电粒子在电场中的动力学考向
1、电场力作用下的匀变速直线运动：考查学生依粒子电荷量、电场强度分析电场力，用牛顿第二定律求加速度，结合运动学公式求速度、位移和时间。多以平行板电容器的匀强电场为背景，要求学生明确初速度与电场力方向关系及运动性质。
2、电场中的类平抛运动：考查学生将垂直电场方向进入匀强电场的粒子运动，分解为沿电场匀加速和垂直电场匀速运动的能力，结合平抛规律求偏转位移、速度等，需具备运动合成与分解思维。
3、非匀强电场中的变加速运动：针对电场强度变化的非匀强电场，考查学生用微元法或能量观点分析粒子运动的能力。因加速度变化，要通过分析电场力做功、能量转化，或分割运动过程来处理。
二、带电粒子在磁场中的动力学考向
1、洛伦兹力作用下的匀速圆周运动：考查学生运用洛伦兹力提供向心力知识，依粒子质量、电荷量、速度及磁场磁感应强度，求圆周运动半径、周期等。常涉及有界磁场，要求学生通过几何关系确定圆心、半径和轨迹，对几何分析能力要求高。
2、磁场与其他力共同作用下的复杂运动：考查粒子在磁场受重力、电场力等时，学生综合分析受力与运动的能力。要先全面受力分析，将合力等效为 “向心力”，结合运动学知识分析轨迹，涉及运动合成与分解、能量转化知识综合运用。
三、电场与磁场综合的动力学考向
1、电场加速与磁场偏转的组合：考查学生对粒子先在电场加速，再在磁场偏转过程的衔接与综合运用能力。要求把握不同场中运动特点，准确求解相关物理量。
2、电场、磁场交替作用下的复杂运动：考查学生梳理粒子在电场、磁场交替中运动过程，把握各阶段衔接点的能力。需在不同场分别用相应规律分析，建立各阶段物理量联系求解，对逻辑和运算能力要求高。
题型一 优化场区分布创新考察电、磁偏转（计算题）
题型二 利用交变电场考带电粒子在运动的多过程问题（计算题）
题型三 借助电子仪器考带电粒子运动的应用问题（计算题）
1、带电粒子在电场中的偏转
Ⅰ、带电粒子在电场中的偏转
(1)条件分析：带电粒子垂直于电场线方向进入匀强电场．
(2)运动性质：匀变速曲线运动．
(3)处理方法：分解成相互垂直的两个方向上的直线运动，类似于平抛运动．
(4)运动规律：
①沿初速度方向做匀速直线运动，运动时间
②沿电场力方向，做匀加速直线运动
Ⅱ、带电粒子在匀强电场中偏转时的两个结论
(1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时，偏移量和偏转角总是相同的．
证明：由qU0＝mv
y＝at2＝··()2
tan θ＝
得：y＝，tan θ＝
(2)粒子经电场偏转后，合速度的反向延长线与初速度延长线的交点O为粒子水平位移的中点，即O到偏转电场边缘的距离为.
Ⅲ、带电粒子在匀强电场中偏转的功能关系
当讨论带电粒子的末速度v时也可以从能量的角度进行求解：qUy＝mv2－mv，其中Uy＝y，指初、末位置间的电势差．
2、带电粒子在电场中运动问题的两种求解思路
(1)运动学与动力学观点
①运动学观点是指用匀变速运动的公式来解决实际问题，一般有两种情况：
a．带电粒子初速度方向与电场线共线，则粒子做匀变速直线运动；
b．带电粒子的初速度方向垂直电场线，则粒子做匀变速曲线运动(类平抛运动)．
②当带电粒子在电场中做匀变速曲线运动时，一般要采取类似平抛运动的解决方法．
(2)功能观点：首先对带电粒子受力分析，再分析运动形式，然后根据具体情况选用公式计算．
①若选用动能定理，则要分清有多少个力做功，是恒力做功还是变力做功，同时要明确初、末状态及运动过程中的动能的增量．
②若选用能量守恒定律，则要分清带电粒子在运动中共有多少种能量参与转化，哪些能量是增加的，哪些能量是减少的．
3、带电粒子做圆周运动的分析思路
Ⅰ、匀速圆周运动的规律
若v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动．
Ⅱ、圆心的确定
(1)已知入射点、出射点、入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图3甲所示，P为入射点，M为出射点)．
图3
(2)已知入射方向、入射点和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)．
Ⅲ、半径的确定
可利用物理学公式或几何知识(勾股定理、三角函数等)求出半径大小．
Ⅳ、运动时间的确定
粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为θ时，其运动时间表示为t＝T(或t＝)．
1．（2025 南通模拟）如图所示，xOy平面内0≤x≤12d、﹣∞＜y＜+∞区域存在两个有界匀强磁场，右边界与x轴的交点为Q，x轴上方磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为3B，x轴下方磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为2B。质量为m、电荷量为﹣q的粒子，从y轴上P点以初速度v0沿x轴正方向射入磁场，v0大小可调，P点的纵坐标为d。不计粒子重力，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。
（1）若v0，求粒子第二次经过x轴位置的横坐标x0；
（2）求粒子从左边界射出时的位置与P点的最大距离L；
（3）若v0在0～范围内，求粒子从P点运动到Q点的最短时间t。
2．（2024 河南模拟）如图1所示为某同学设计的控制带电粒子运动轨迹的装置模型。这个装置由两个圆形区域磁场Ⅰ和Ⅱ以及第一象限内的平行板电容器MN组成。磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度分别为B1、B2，方向分别为垂直纸面向里和向外（磁场方向未画出），半径分别为R1、R2，其中。磁场Ⅱ的右边界与y轴相切于B点，两个圆形磁场相切于x轴上的A点。宽度为R1、运动方向与x轴平行的带正电粒子束，某时刻平行且关于圆心O1对称同时射入磁场Ⅰ，粒子束是由质量为m、带电荷量为+q的相同粒子组成，粒子束的速度均为v0。粒子经过磁场Ⅰ偏转后都经过A点，经过磁场Ⅱ后均沿x轴正方向从y轴上的G、H两点之间进入第一象限。平行板电容器放于G、H两点且与x轴平行，其间加交变电场，从G点出射的粒子进入电容器时开始计时，电场变化如图2所示。不计粒子重力和粒子间相互作用，重力加速度为g。
（1）求的值；
（2）求所有粒子经过A点时与x轴正方向间的夹角θ满足的范围以及G、H间的距离；
（3）若第一个从G点进入电场的带电粒子恰好在时从距电容器下极板处离开电场，离开电场时速度与水平方向的夹角为45°，求第一个从H点进入电场的粒子离开电场时的速度大小与位置。
3．（2024 天河区三模）在三维坐标系O﹣xyz中长方体abcd﹣a′b′c′d′所在区域内存在匀强磁场，平面mnij左侧磁场B1方向垂直于平面adjm，平面mnij右侧磁场B2由m指向i方向，其中B1、B2大小均未知。现有电量为q（q＞0）、质量为m的带电粒子以初速度v从a点沿平面adjm进入左侧磁场，经j点垂直平面mnij进入右侧磁场，最后离开长方体区域。已知长方体侧面abcd为边长L的正方形，其余边长如图中所示，sin37°＝0.6，sin53°＝0.8，不计粒子重力。
（1）求磁感应强度B1及粒子从a点运动到j点时间t；
（2）若粒子从nb′边离开磁场，求B2的大小范围；
（3）若平面mnij可右侧空间磁场换成由j指向n方向且电场强度E大小可变的匀强电场（电场图中未画出，其余条件不变），求粒子离开长方体区域时动能Ek与电场强度E大小的关系式。
4．（2023 和平区模拟）如图甲所示，粒子源靠近水平极板M、N的M板，N板下方有一对长为L，间距为d＝1.5L的竖直极板P、Q，在下方区域存在着垂直于纸面的匀强磁场，磁场上边界的部分放有感光胶片，水平极板M、N中间开有小孔，两小孔的连线为竖直极板P、Q的中线，与磁场上边界的交点为O，水平极板M、N之间的电压为U0；竖直极板P、Q之间的电压U随时间t变化的图像如图乙所示，磁场的磁感应强度B，粒子源连续释放初速不计、质量为m、带电量为+q的粒子，这些粒子经加速电场获得速度进入竖直极板P、Q之间的电场后再进入磁场区域，都会打到感光胶片上，已知粒子在偏转电场中运动的时间远小于电场变化的周期，粒子重力不计。求：
（1）带电粒子进入偏转电场时的动能Ek；
（2）已知带电粒子若在U＝0时进入竖直极板P、Q之间的电场，在磁场中能够产生竖直方向的最大距离，求该最大距离Δymax；
（3）带电粒子打到磁场上边界感光胶片的落点范围。
5．（2025 射阳县校级模拟）如图所示，直角坐标系xOy平面内，x轴上方存在着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为+q的粒子，以与x轴正方向成53°角的初速度从M（0.8d，0）点进入第一象限，恰好垂直于y轴进入第二象限。不计粒子的重力，sin53°＝0.8。
（1）求粒子的初速度大小v；
（2）求粒子在磁场中运动的时间t；
（3）若x轴下方存在着沿y轴正方向的匀强电场，要使粒子运动轨迹能与y轴相切，求电场强度E需满足的条件。
6．（2025 云南模拟）某小组基于“试探电荷”的思想，设计了一个探测磁感应强度和电场强度的装置，其模型如图所示．该装置由粒子加速器、选择开关和场测量模块（图中长方体区域）组成。MNPQ为场测量模块的中截面。以PQ中点O为坐标原点，QP方向为x轴正方向，在MNPQ平面上建立Oxy平面直角坐标系。
带电粒子经粒子加速器加速后可从O点沿y轴正方向射入。选择开关拨到S1挡可在模块内开启垂直于Oxy平面的待测匀强磁场，长为2d的PQ区间标有刻度线用于表征磁感应强度的大小和方向；拨到S2挡可在模块内开启平行于x轴的待测匀强电场，长为l的NP和QM区间标有刻度线用于表征电场强度的大小和方向。带电粒子以速度v入射，其质量为m、电荷量为+q，带电粒子对待测场的影响和所受重力忽略不计。
（1）开关拨到S1挡时，在PO区间（x0，0）处探测到带电粒子，求磁感应强度的方向和大小；
（2）开关拨到S2挡时，在（d，y0）处探测到带电粒子，求电场强度的方向和大小；
（3）求该装置PO区间和NP区间的探测量程。若粒子加速器的电压为U，要进一步扩大量程，U应增大还是减小？请简要说明。
7．（2025 宁波校级一模）如图甲所示，在水平面内建立xOy坐标系，x≥0区域内有竖直向上的匀强磁场。一个质量为m、电荷量大小为q的带负电荷的粒子，从x轴上的P点以垂直于磁场的速度v射入第一象限，从y轴上某点垂直于y轴射出磁场区域。已知速度v与x轴正方向的夹角θ＝30°，不计粒子的重力，P点与原点O之间的距离为a。
（1）求磁感应强度B的大小；
（2）若将粒子速度的大小改为，θ角可变，求粒子在磁场中运动的最短时间。
（3）如图乙所示，过O点竖直向上建立z轴，速度大小为v的粒子从P点斜向上射入磁场，速度方向在xOy平面内的投影沿PD方向，PD与x轴正方向夹角为θ＝30°，若使粒子恰好不离开磁场，求粒子经过yOz平面时的坐标。
8．（2024 上饶一模）如图甲的空间直角坐标系Oxyz中，有一棱长为L的立方体区域，该区域内（含边界）有沿y轴正方向的匀强磁场，磁感应强度。质量为m、电荷量为+q的带电粒子以初速度v0从a点沿x轴正方向进入立方体区域，不计粒子的重力。求：
（1）粒子离开立方体区域时位置坐标；
（2）若在该区域再加一个沿y轴负方向的匀强电场，粒子仍从a点以初速度v0沿x轴正方向进入该区域后从Ob′之间某点离开，求所加电场的电场强度以及粒子离开立方体区域时的速度v1大小（结果不必化成小数，保留根式）；
（3）撤去原来的电场和磁场，在该区域加方向沿x轴负方向的磁场Bx和沿y轴正方向的磁场By，磁感应强度Bx、By的大小随时间t周期性变化的规律如图乙所示。t＝0时刻，粒子仍从a点以初速度v0沿x轴正方向进入该区域，要使粒子从平面cdd′c′离开此区域，且速度方向与z轴正方向的夹角为53°，求磁感应强度B0的可能取值（cos53°＝0.6，sin53°＝0.8）。
9．（2024 广东模拟）如图甲所示为洛伦兹力演示仪，一对平行且共轴的圆形励磁线圈竖直放置，在中间圆柱形区域产生垂直于圆形线圈平面的匀强磁场。球形玻璃泡置于该磁场中，位于球心正下方的电子枪将初速度为0的电子加速后沿水平方向射出，电子射出时的方向与磁场方向垂直。运动的电子能使玻璃泡中稀薄的气体发出辉光，显示其运动轨迹。若某次实验时电子枪加速电压恒定为U＝220V，调节圆形线圈中的电流大小从而改变匀强磁场的磁感应强度B，得到电子束轨迹的长度与磁感应强度B的大小关系如图乙所示（不计重力，电子击中玻璃泡内壁后即被吸收，取π＝3.14）。根据乙图中给出的数据计算：
（1）当磁感应强度B＝5×10﹣4T时电子的运动半径r；
（2）电子比荷的值；
（3）若不改变电子枪加速电压和玻璃泡方向，只将两个励磁线圈调整至水平放置，如图丙，为使得电子束不碰玻璃泡内壁，则匀强磁场的B大小应满足什么条件？
10．（2024 临沂二模）某种离子诊断测量简化装置如图所示。平面内长为l的正方形EFGH区域内存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，探测板CD平行于GH水平放置，能沿竖直方向缓慢移动且接地。a、b、c为三束宽度不计、间距相等均为d的离子束，离子均以相同速度垂直边界EH射入磁场，其中b束中的离子恰好从EH中点射入，后从下边界GH射出后垂直打在探测板的右边缘D点。离子质量均为m、电荷量均为q，不计重力及离子间的相互作用。
（1）求离子运动速度v的大小；
（2）若a离子离开GH时，速度方向与GH夹角为α（锐角），求a离子在磁场中运动的时间；
（3）当c离子射出磁场后也刚好达到D点，为确保三束离子离开磁场后，都能达到CD板，求此时CD板到GH的距离h及CD板的最短长度x。
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秘籍9 带电粒子在电场、磁场中的动力学问题
一、带电粒子在电场中的动力学考向
1、电场力作用下的匀变速直线运动：考查学生依粒子电荷量、电场强度分析电场力，用牛顿第二定律求加速度，结合运动学公式求速度、位移和时间。多以平行板电容器的匀强电场为背景，要求学生明确初速度与电场力方向关系及运动性质。
2、电场中的类平抛运动：考查学生将垂直电场方向进入匀强电场的粒子运动，分解为沿电场匀加速和垂直电场匀速运动的能力，结合平抛规律求偏转位移、速度等，需具备运动合成与分解思维。
3、非匀强电场中的变加速运动：针对电场强度变化的非匀强电场，考查学生用微元法或能量观点分析粒子运动的能力。因加速度变化，要通过分析电场力做功、能量转化，或分割运动过程来处理。
二、带电粒子在磁场中的动力学考向
1、洛伦兹力作用下的匀速圆周运动：考查学生运用洛伦兹力提供向心力知识，依粒子质量、电荷量、速度及磁场磁感应强度，求圆周运动半径、周期等。常涉及有界磁场，要求学生通过几何关系确定圆心、半径和轨迹，对几何分析能力要求高。
2、磁场与其他力共同作用下的复杂运动：考查粒子在磁场受重力、电场力等时，学生综合分析受力与运动的能力。要先全面受力分析，将合力等效为 “向心力”，结合运动学知识分析轨迹，涉及运动合成与分解、能量转化知识综合运用。
三、电场与磁场综合的动力学考向
1、电场加速与磁场偏转的组合：考查学生对粒子先在电场加速，再在磁场偏转过程的衔接与综合运用能力。要求把握不同场中运动特点，准确求解相关物理量。
2、电场、磁场交替作用下的复杂运动：考查学生梳理粒子在电场、磁场交替中运动过程，把握各阶段衔接点的能力。需在不同场分别用相应规律分析，建立各阶段物理量联系求解，对逻辑和运算能力要求高。
题型一 优化场区分布创新考察电、磁偏转（计算题）
题型二 利用交变电场考带电粒子在运动的多过程问题（计算题）
题型三 借助电子仪器考带电粒子运动的应用问题（计算题）
1、带电粒子在电场中的偏转
Ⅰ、带电粒子在电场中的偏转
(1)条件分析：带电粒子垂直于电场线方向进入匀强电场．
(2)运动性质：匀变速曲线运动．
(3)处理方法：分解成相互垂直的两个方向上的直线运动，类似于平抛运动．
(4)运动规律：
①沿初速度方向做匀速直线运动，运动时间
②沿电场力方向，做匀加速直线运动
Ⅱ、带电粒子在匀强电场中偏转时的两个结论
(1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时，偏移量和偏转角总是相同的．
证明：由qU0＝mv
y＝at2＝··()2
tan θ＝
得：y＝，tan θ＝
(2)粒子经电场偏转后，合速度的反向延长线与初速度延长线的交点O为粒子水平位移的中点，即O到偏转电场边缘的距离为.
Ⅲ、带电粒子在匀强电场中偏转的功能关系
当讨论带电粒子的末速度v时也可以从能量的角度进行求解：qUy＝mv2－mv，其中Uy＝y，指初、末位置间的电势差．
2、带电粒子在电场中运动问题的两种求解思路
(1)运动学与动力学观点
①运动学观点是指用匀变速运动的公式来解决实际问题，一般有两种情况：
a．带电粒子初速度方向与电场线共线，则粒子做匀变速直线运动；
b．带电粒子的初速度方向垂直电场线，则粒子做匀变速曲线运动(类平抛运动)．
②当带电粒子在电场中做匀变速曲线运动时，一般要采取类似平抛运动的解决方法．
(2)功能观点：首先对带电粒子受力分析，再分析运动形式，然后根据具体情况选用公式计算．
①若选用动能定理，则要分清有多少个力做功，是恒力做功还是变力做功，同时要明确初、末状态及运动过程中的动能的增量．
②若选用能量守恒定律，则要分清带电粒子在运动中共有多少种能量参与转化，哪些能量是增加的，哪些能量是减少的．
3、带电粒子做圆周运动的分析思路
Ⅰ、匀速圆周运动的规律
若v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动．
Ⅱ、圆心的确定
(1)已知入射点、出射点、入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图3甲所示，P为入射点，M为出射点)．
图3
(2)已知入射方向、入射点和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)．
Ⅲ、半径的确定
可利用物理学公式或几何知识(勾股定理、三角函数等)求出半径大小．
Ⅳ、运动时间的确定
粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为θ时，其运动时间表示为t＝T(或t＝)．
1．（2025 南通模拟）如图所示，xOy平面内0≤x≤12d、﹣∞＜y＜+∞区域存在两个有界匀强磁场，右边界与x轴的交点为Q，x轴上方磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为3B，x轴下方磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为2B。质量为m、电荷量为﹣q的粒子，从y轴上P点以初速度v0沿x轴正方向射入磁场，v0大小可调，P点的纵坐标为d。不计粒子重力，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。
（1）若v0，求粒子第二次经过x轴位置的横坐标x0；
（2）求粒子从左边界射出时的位置与P点的最大距离L；
（3）若v0在0～范围内，求粒子从P点运动到Q点的最短时间t。
【解答】解：（1）设粒子在第一象限和第四象限做圆周运动的半径分别为r1和r2，由牛顿第二定律得
解得
r1＝d
r2＝1.5d
粒子在平面内运动轨迹如答题1
则
x0＝r1+2r2
解得
x0＝4d
（2）设粒子在第一象限的半径为r，则粒子在第四象限的半径为1.5r，如答题2所示
设轨迹的圆O2，O1的连线与y轴方向夹角为θ，由几何关系得
d＝r+rcosθ
L＝r+（r+1.5r）cosθ
解得
（3）粒子的速度越大，运动到Q点的时间越短，①粒子的速度在粒子在第一象限运动的最大半径为4d＜12d，粒子不能从第一象限直接到达Q点；
②设粒子以速度v从P点射出，经第四象限运动到Q点，粒子在第一象限运动的半径r，粒子第一次到达x轴时偏转的角度为α，如答题3
则
rsinα+2×1.5rsinα＝12d
rcosα＝r﹣d
解得
r＝5d＞4d
由此可以推断，此情形不成立
③设粒子以速度v′从P点射出，粒子在第一象限运动的半径为r’，粒子第一次到达x轴时偏转的角度为β，如答题4
则
sinβ+2（r'sinβ+1.5r'sinβ）＝12d
r'cosβ＝r'﹣d
解得r′＝2.5d，β＝53°
则粒子达到Q点的最短时间
2．（2024 河南模拟）如图1所示为某同学设计的控制带电粒子运动轨迹的装置模型。这个装置由两个圆形区域磁场Ⅰ和Ⅱ以及第一象限内的平行板电容器MN组成。磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度分别为B1、B2，方向分别为垂直纸面向里和向外（磁场方向未画出），半径分别为R1、R2，其中。磁场Ⅱ的右边界与y轴相切于B点，两个圆形磁场相切于x轴上的A点。宽度为R1、运动方向与x轴平行的带正电粒子束，某时刻平行且关于圆心O1对称同时射入磁场Ⅰ，粒子束是由质量为m、带电荷量为+q的相同粒子组成，粒子束的速度均为v0。粒子经过磁场Ⅰ偏转后都经过A点，经过磁场Ⅱ后均沿x轴正方向从y轴上的G、H两点之间进入第一象限。平行板电容器放于G、H两点且与x轴平行，其间加交变电场，从G点出射的粒子进入电容器时开始计时，电场变化如图2所示。不计粒子重力和粒子间相互作用，重力加速度为g。
（1）求的值；
（2）求所有粒子经过A点时与x轴正方向间的夹角θ满足的范围以及G、H间的距离；
（3）若第一个从G点进入电场的带电粒子恰好在时从距电容器下极板处离开电场，离开电场时速度与水平方向的夹角为45°，求第一个从H点进入电场的粒子离开电场时的速度大小与位置。
【解答】解：（1）根据题意可知所有粒子均经过A点，并且离开磁场Ⅱ时方向均沿x轴正方向，可知所有粒子在磁场中的运动均满足磁聚焦、磁发散模型，则带电粒子在两磁场中做圆周运动的轨迹半径均等于磁场圆的半径，运动轨迹如图所示
由洛伦兹力提供向心力，可得
可得
，
由
得
（2）根据题意，作出最上面和最下面入射粒子在磁场Ⅰ中的运动轨迹，如图所示
入射粒子到水平直径的距离为磁场半径的一半，而粒子运动半径与磁场半径相等，根据几何知识可知，ΔDEA为等边三角形，ΔDFA为等腰三角形，轨迹所对应的圆心角分别为 60°和 120°。由几何关系可知，所有粒子经过A点时与x轴正方向间的夹角 θ满足的范围为60°≤θ≤120°
由于
R2＝h
粒子离开磁场打在y轴的最高点为H点，最低点为G点，如图所示
，
故G、H间的距离为
OH﹣OG＝h
（3）从G点进入电场的粒子在电场中水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上做匀变速直线运动，粒子离开电场时速度与水平方向的夹角为 45°，则离开电场时竖直分速度为 v0，竖直方向的 v﹣t图像如图丁所示
由图像可知粒子在竖直方向的位移是
第一个从H点进入电场的粒子比第一个从G点进入电场的粒子滞后一些，由第 （2）问可知，滞后的时间为
由于
所以第一个从H点进入电场的粒子竖直方向的 v﹣t图像如戊图所示，
由图戊可知粒子在竖直方向的位移为
则第一个从H点进入电场的粒子离开电场的位置距上极板的距离为
离开电场的速度
3．（2024 天河区三模）在三维坐标系O﹣xyz中长方体abcd﹣a′b′c′d′所在区域内存在匀强磁场，平面mnij左侧磁场B1方向垂直于平面adjm，平面mnij右侧磁场B2由m指向i方向，其中B1、B2大小均未知。现有电量为q（q＞0）、质量为m的带电粒子以初速度v从a点沿平面adjm进入左侧磁场，经j点垂直平面mnij进入右侧磁场，最后离开长方体区域。已知长方体侧面abcd为边长L的正方形，其余边长如图中所示，sin37°＝0.6，sin53°＝0.8，不计粒子重力。
（1）求磁感应强度B1及粒子从a点运动到j点时间t；
（2）若粒子从nb′边离开磁场，求B2的大小范围；
（3）若平面mnij可右侧空间磁场换成由j指向n方向且电场强度E大小可变的匀强电场（电场图中未画出，其余条件不变），求粒子离开长方体区域时动能Ek与电场强度E大小的关系式。
【解答】解：（1）粒子在面adjm内做匀速圆周运动，轨迹如图所示
设其轨道半径为r1，由几何关系得：
根据洛伦兹力提供向心力有：
联立解得：
根据几何关系可知：
时间为：
（2）若粒子从b′射出，根据几何关系有：
若粒子从n射出，则有：
根据洛伦兹力提供向心力：
将半径代入解得磁感应强度的范围为：
（3）粒子恰好从b′射出时，垂直于电场方向有：2L＝vt
在平行于电场方向上有：
且有：qE＝ma
解得：
根据动能定理有：
若电场强度满足：
则离开电场时的动能：
当电场强度：
粒子往nj方向偏转，有：
根据动能定理有：
联立解得：（）
4．（2023 和平区模拟）如图甲所示，粒子源靠近水平极板M、N的M板，N板下方有一对长为L，间距为d＝1.5L的竖直极板P、Q，在下方区域存在着垂直于纸面的匀强磁场，磁场上边界的部分放有感光胶片，水平极板M、N中间开有小孔，两小孔的连线为竖直极板P、Q的中线，与磁场上边界的交点为O，水平极板M、N之间的电压为U0；竖直极板P、Q之间的电压U随时间t变化的图像如图乙所示，磁场的磁感应强度B，粒子源连续释放初速不计、质量为m、带电量为+q的粒子，这些粒子经加速电场获得速度进入竖直极板P、Q之间的电场后再进入磁场区域，都会打到感光胶片上，已知粒子在偏转电场中运动的时间远小于电场变化的周期，粒子重力不计。求：
（1）带电粒子进入偏转电场时的动能Ek；
（2）已知带电粒子若在U＝0时进入竖直极板P、Q之间的电场，在磁场中能够产生竖直方向的最大距离，求该最大距离Δymax；
（3）带电粒子打到磁场上边界感光胶片的落点范围。
【解答】解：（1）粒子从粒子源发出进入加速电场做匀加速直线运动，根据动能定理可得：
Ek＝qU0
（2）加速后的带电粒子以v1的速度进入竖直极板P、Q之间，若在U＝0时进入竖直极板P、Q之间的电场，则不发生偏转，沿中心线进入磁场，根据动能定理可得：
根据牛顿第二定律可得：
解得
（3）粒子运动轨迹如图所示
若t＝0时进入偏转电场，在电场中匀速直线运动进入磁场时R＝L，打在感光胶片上距离中心线最近为x＝2L
任意电压时出偏转电场时的速度为vn，根据几何关系有：
打在感光胶片上的位置和射入磁场位置间的间距（轨迹弦长）为：
2L
可见该间距与偏转电压无关，在感光胶片上的落点范围宽度等于粒子在电场中的偏转距离，设带电粒子在电场中最大偏转距离y，则qE＝ma
所以粒子在感光胶片上落点距O点的长度范围是2L到之间。
5．（2025 射阳县校级模拟）如图所示，直角坐标系xOy平面内，x轴上方存在着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为+q的粒子，以与x轴正方向成53°角的初速度从M（0.8d，0）点进入第一象限，恰好垂直于y轴进入第二象限。不计粒子的重力，sin53°＝0.8。
（1）求粒子的初速度大小v；
（2）求粒子在磁场中运动的时间t；
（3）若x轴下方存在着沿y轴正方向的匀强电场，要使粒子运动轨迹能与y轴相切，求电场强度E需满足的条件。
【解答】解：（1）粒子从M点进入磁场后做匀速圆周运动，轨迹如图1
由几何关系可得轨迹半径rd
由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m
可得v
（2）粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角θ
则粒子在磁场中运动的时间t
解得t
（3）由匀速圆周运动规律知，粒子从Q1 （﹣0.8d，0）点射出，且方向与+x 方向成53°，进入匀强电场后x轴方向上做匀速直线运动，y轴方向上做匀变速直线运动，且加速度a
根据运动轨迹对称性可知，粒子再此进入磁场时速度大小仍为v，方向与+x方向成53°
电场中运动的时间t
电场中运动的水平距离x＝vcos53°t
要使粒子能与y轴相切，可以有两种情况：
①设粒子自Q1点后第n次在磁场中运动的轨迹左侧与y轴相切，如图2
图2
n（x﹣1.6d）＝r
则E（n＝1，2，3…）
②设粒子自Q1点后第n次在磁场中运动的轨迹右侧与y轴相切，如图3
图3
n（1.6d﹣x）＝r
则E（n＝1，2，3…）
6．（2025 云南模拟）某小组基于“试探电荷”的思想，设计了一个探测磁感应强度和电场强度的装置，其模型如图所示．该装置由粒子加速器、选择开关和场测量模块（图中长方体区域）组成。MNPQ为场测量模块的中截面。以PQ中点O为坐标原点，QP方向为x轴正方向，在MNPQ平面上建立Oxy平面直角坐标系。
带电粒子经粒子加速器加速后可从O点沿y轴正方向射入。选择开关拨到S1挡可在模块内开启垂直于Oxy平面的待测匀强磁场，长为2d的PQ区间标有刻度线用于表征磁感应强度的大小和方向；拨到S2挡可在模块内开启平行于x轴的待测匀强电场，长为l的NP和QM区间标有刻度线用于表征电场强度的大小和方向。带电粒子以速度v入射，其质量为m、电荷量为+q，带电粒子对待测场的影响和所受重力忽略不计。
（1）开关拨到S1挡时，在PO区间（x0，0）处探测到带电粒子，求磁感应强度的方向和大小；
（2）开关拨到S2挡时，在（d，y0）处探测到带电粒子，求电场强度的方向和大小；
（3）求该装置PO区间和NP区间的探测量程。若粒子加速器的电压为U，要进一步扩大量程，U应增大还是减小？请简要说明。
【解答】解：（1）带正电的粒子向右偏转，受洛伦兹力方向向右，由左手定则可知，磁感应强度的方向垂直纸面向外。
由几何关系，可知粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径R与x0的关系为
2R＝x0
根据牛顿第二定律，得
解得：
（2）由带正电粒子向右偏转，故电场力水平向右，可判断电场方向水平向右。
带正电的粒子射入电场中做类平抛运动。由水平方向、竖直方向位移公式
y0＝vt，
牛顿第二定律可得
Eq＝ma
联立解得：
（3）①若测量磁感应强度的大小和方向：设磁场中做匀速圆周运动的半径为r。
由牛顿第二定律得：
动能定理：
由几何关系得：
联立解得：
由磁感应强度表达式可知，r越大B越小，根据左右对称性关系，所以PO区间量程为。
若粒子加速器的电压为U，则磁感应强度的表达式为
可知U应减小，B最小值越小，从而进一步扩大量程。
②若表征电场强度大小和方向：当运动时间最长，水平位移最大时，电场强度最小。由水平方向、竖直方向位移公式
l＝vt，
牛顿第二定律可得
Eq＝ma
联立解得：
由根据左右对称性关系，所以NO区间量程为量程为
当电压为U时，由动能定理
整理得：
可知U应减小，E最小值越小，从而进一步扩大量程。
7．（2025 宁波校级一模）如图甲所示，在水平面内建立xOy坐标系，x≥0区域内有竖直向上的匀强磁场。一个质量为m、电荷量大小为q的带负电荷的粒子，从x轴上的P点以垂直于磁场的速度v射入第一象限，从y轴上某点垂直于y轴射出磁场区域。已知速度v与x轴正方向的夹角θ＝30°，不计粒子的重力，P点与原点O之间的距离为a。
（1）求磁感应强度B的大小；
（2）若将粒子速度的大小改为，θ角可变，求粒子在磁场中运动的最短时间。
（3）如图乙所示，过O点竖直向上建立z轴，速度大小为v的粒子从P点斜向上射入磁场，速度方向在xOy平面内的投影沿PD方向，PD与x轴正方向夹角为θ＝30°，若使粒子恰好不离开磁场，求粒子经过yOz平面时的坐标。
【解答】解：（1）粒子在磁场中运动轨迹如图
则由几何关系：
解得：r＝2a
根据：
可得：
（2）若将粒子速度的大小改为，则粒子在磁场中运动的轨道半径变为
当时间最短时，弦最短，即此时粒子从O点射出，此时圆心角为60°，最短时间
（3）设速度v的方向与xOy平面的夹角为α，则速度沿z轴正向的分量
vz＝vsinα
在xoy平面的分量
v′＝vcosα
粒子在xOy平面内做匀速圆周运动，同时沿z轴正向做匀速运动，因粒子恰不离开磁场，则由几何关系
a＝r''+r''sin30°
解得：
由于：
联立可得：
粒子恰好不离开磁场，粒子达到yOz平面的运动时间
解得：
则粒子沿z轴方向的位移
z＝vzt'
解得：
则粒子经过yOz平面时的坐标（0，，）。
8．（2024 上饶一模）如图甲的空间直角坐标系Oxyz中，有一棱长为L的立方体区域，该区域内（含边界）有沿y轴正方向的匀强磁场，磁感应强度。质量为m、电荷量为+q的带电粒子以初速度v0从a点沿x轴正方向进入立方体区域，不计粒子的重力。求：
（1）粒子离开立方体区域时位置坐标；
（2）若在该区域再加一个沿y轴负方向的匀强电场，粒子仍从a点以初速度v0沿x轴正方向进入该区域后从Ob′之间某点离开，求所加电场的电场强度以及粒子离开立方体区域时的速度v1大小（结果不必化成小数，保留根式）；
（3）撤去原来的电场和磁场，在该区域加方向沿x轴负方向的磁场Bx和沿y轴正方向的磁场By，磁感应强度Bx、By的大小随时间t周期性变化的规律如图乙所示。t＝0时刻，粒子仍从a点以初速度v0沿x轴正方向进入该区域，要使粒子从平面cdd′c′离开此区域，且速度方向与z轴正方向的夹角为53°，求磁感应强度B0的可能取值（cos53°＝0.6，sin53°＝0.8）。
【解答】解：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，由洛伦兹力提供向心力可得：
变形代入数据解得：
粒子离开立方体区域时位置坐标为（0，L，）
（2）加电场后，粒子在复合场中运动，可分解为沿y轴负方向的匀加速直线运动和沿平行于xOz平面的匀速圆周运动，粒子沿y轴负方向的加速度为ay，由牛顿第二定律有：qE＝may
设运动时间为t，则有：
粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为：
由粒子从Ob′之间某点离开知，粒子在平行xOz平面内的运动轨迹为二分之一圆周，则有：
联立解得：
由于洛伦兹力不做功，对粒子，由动能定理可得：
联立代入数据解得：
（3）沿y轴负方向看，设粒子在平行于yOz平面内运动了n个完整，粒子射出时与z轴正方向夹角为53°，下图为n＝1的情况
设粒子运动半径为r，则满足：L＝2nr+0.6r（n＝0，1，2……）
这一过程，粒子沿y轴负方向下降距离为：s＝2nr（n＝0，1，2……）
由于L＞s，所以粒子能到达cdd′c′平面，符合题意。洛伦兹力提供向心力：
解得：（n＝0，1，2……）
9．（2024 广东模拟）如图甲所示为洛伦兹力演示仪，一对平行且共轴的圆形励磁线圈竖直放置，在中间圆柱形区域产生垂直于圆形线圈平面的匀强磁场。球形玻璃泡置于该磁场中，位于球心正下方的电子枪将初速度为0的电子加速后沿水平方向射出，电子射出时的方向与磁场方向垂直。运动的电子能使玻璃泡中稀薄的气体发出辉光，显示其运动轨迹。若某次实验时电子枪加速电压恒定为U＝220V，调节圆形线圈中的电流大小从而改变匀强磁场的磁感应强度B，得到电子束轨迹的长度与磁感应强度B的大小关系如图乙所示（不计重力，电子击中玻璃泡内壁后即被吸收，取π＝3.14）。根据乙图中给出的数据计算：
（1）当磁感应强度B＝5×10﹣4T时电子的运动半径r；
（2）电子比荷的值；
（3）若不改变电子枪加速电压和玻璃泡方向，只将两个励磁线圈调整至水平放置，如图丙，为使得电子束不碰玻璃泡内壁，则匀强磁场的B大小应满足什么条件？
【解答】解：（1）根据题图乙可知，当B＝5×10﹣4T时电子恰好做完整圆周运动，此时L＝62.8cm
由几何关系可知
2πr＝L
可得
r＝10cm
（2）电子加速过程，有
在匀强磁场中偏转，有
联立可得
将 U＝220V，B＝5×10﹣4T，r＝10cm＝0.1m代入
得电子比荷值为
（3）调整前，由题图乙可知，B＝0T 时，L0＝10cm
匀强磁场调整为竖直方向，电子将在水平面内做圆周运动，设磁感应强度为B0时，电子轨迹恰好与玻璃泡内壁相切，俯视图如图所示
由几何条件可知
2r'＝L0
解得
故为使电子束不碰玻璃泡内壁，磁感应强度大小应满足B＞1mT
10．（2024 临沂二模）某种离子诊断测量简化装置如图所示。平面内长为l的正方形EFGH区域内存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，探测板CD平行于GH水平放置，能沿竖直方向缓慢移动且接地。a、b、c为三束宽度不计、间距相等均为d的离子束，离子均以相同速度垂直边界EH射入磁场，其中b束中的离子恰好从EH中点射入，后从下边界GH射出后垂直打在探测板的右边缘D点。离子质量均为m、电荷量均为q，不计重力及离子间的相互作用。
（1）求离子运动速度v的大小；
（2）若a离子离开GH时，速度方向与GH夹角为α（锐角），求a离子在磁场中运动的时间；
（3）当c离子射出磁场后也刚好达到D点，为确保三束离子离开磁场后，都能达到CD板，求此时CD板到GH的距离h及CD板的最短长度x。
【解答】解：（1）根据题意，作出离子运动的轨迹，如下图所示
根据几何知识可知，离子在磁场中做圆周运动的半径为
洛伦兹力为离子圆周运动提供向心力，根据牛顿第二定律有
解得：；
（2）离子圆周运动的周期
a离子离开磁场时速度与GH的夹角为α，轨迹如上图所示，由几何知识可知，其在磁场中偏转的圆心角
θ＝π﹣α
故离子在磁场中运动的时间
；
（3）根据题意，离子运动轨迹如下图所示，
由几何知识可得a束与c束离子从同一点M离开磁场，设b束离子从N点离开磁场，c束离子的轨迹圆心角（即速度偏转角）为β，则有：HM
tanβ
MN＝R﹣HM
此时CD板到GH的距离h＝ND＝MN tanβ
联立解得：h
CD板的最短长度等于MN的距离为x＝R﹣HM。
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