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勾股定理 单元综合拓展卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1． 下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．3，4，5 C．，， D．，，
2．把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（ ）
A．5倍 B．4倍 C．3倍 D．2倍
3．有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深，在水面上紧贴内壁的G处有一块面包屑，G在水面线上，且，一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑．蚂蚁爬行的最短路线为（ ）．
A．100 B．110 C． D．
4．在直角三角形中，已知有两边长分别为，，则该直角三形的斜边长为（ ）
A． B． C． D．或
5．在中，，，，则（ ）
A．2 B． C． D．
6．要为一段高5米，长13米的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯（ ）米．
A．17 B．13 C．12 D．5
7．△ABC中，AB=17，AC=10，高AD=8，则△ABC的周长是（ ）
A．54 B．44 C．36或48 D．54或33
8．有下列条件不能判断 是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
9． 的三边分别为a，b，c，下列条件：① ；② ；③ .其中能判断 是直角三角形的条件个数有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．如图，在网格中，点A，B，C都是格点（网格线的交点），则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． 直角三角形的两条直角边长分别是6和8，则斜边上的高为 ．
12．已知中，，若，，则的面积为 ．
13．如图中，，，为的中线，点、点分别为线段、上的动点，连接、，则的最小值为 .
14．等腰三角形面积为30，一边上的高为6，这个等腰三角形的底边长为 ．
15．在中，，则 ．
16．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数同学为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了 步（假设1米＝2步），却踩伤了花草．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，，这时，梯子的底端到墙底的距离为．
（1）求此时梯子的顶端距地面的高度．
（2）如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端外移吗？通过计算说明你的结论．
18．如图，中，，平分，交于点，，．
（1）则点到直线的距离为 ．
（2）求线段的长．
19．如图，在中，，，，平分交于点．
（1）求的面积；
（2）求的长．
20．如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的处到公路上的停靠站的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，停靠站、之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，且．
（1）请判断的形状？
（2）求修建的公路的长．
21．如图，连接四边形ABCD的对角线AC，已知∠B=90°，BC=3，AB=4，CD=5，AD=．
求证：
（1）AC=CD；
（2）△ACD是直角三角形．
22．如图，已知是的角平分线，于点E，于点F，.
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，求的长.
23．如图，每个小正方形的边长都为1．
（1）求的周长．
（2）求的大小．
24．已知在平面直角坐标系中有A、B、C三点，且A（3，0）、B（0，3）、C（1，4）
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）在坐标平面内存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标.（请直接写出结果）
25．如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，DE、DF分别交AC于E，交BC于F，且DE⊥DF．
（1）如果CA=CB，求证：AE2+BF2=EF2；
（2）如图2，如果CA＜CB，（1）中结论AE2+BF2=EF2还能成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
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勾股定理 单元综合拓展卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1． 下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．3，4，5 C．，， D．，，
【答案】B
【解析】【解答】解：A、 因为，所以这组数不是勾股数，不符合题意；
B、 因为，所以这组数是勾股数，符合题意；
C、 ，，不是正整数，故不是勾股数，不符合题意；
D、 ，，不是正整数，故不是勾股数，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】如果三个正整数满足较小两个的平方和等于最大数据的平方，则这组正整数就是一组勾股数，根据勾股数的定义逐项分析即可．
2．把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（ ）
A．5倍 B．4倍 C．3倍 D．2倍
【答案】D
【解析】【解答】设一直角三角形直角边为a、b，斜边为c．则a2+b2＝c2；
另一直角三角形直角边为2a、2b，则根据勾股定理知斜边为＝2c．
即直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的2倍．
故答案为：D．
【分析】根据题意设一直角三角形直角边为a、b，斜边为c．则a2+b2＝c2；另一直角三角形直角边为2a、2b，则根据勾股定理知斜边为＝2c，即可求解．
3．有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深，在水面上紧贴内壁的G处有一块面包屑，G在水面线上，且，一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑．蚂蚁爬行的最短路线为（ ）．
A．100 B．110 C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：作点A关于BC的对称点，连接交BC与点Q，则，此时小虫沿着的路线爬行时路程最短，如图所示，
∵，高，水深，，
∴，，
∴，
在直角中，，
∴最短路线长为：．
故答案为：D
【分析】作点A关于BC的对称点，连接交BC与点Q，则小虫沿着的路线爬行时路程最短，再根据勾股定理求AG的长度即可．
4．在直角三角形中，已知有两边长分别为，，则该直角三形的斜边长为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【解析】【解答】解：分两种情况：
①当和都为直角边时，
由勾股定理得斜边长为：；
②当为斜边时，斜边；
综上所述：该直角三形的斜边长为或．
故答案为：D．
【分析】分类讨论：①当和都为直角边时，②当为斜边时，斜边；再利用勾股定理求出直角三角形的斜边长即可.
5．在中，，，，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示：
在中，，，，则，
由勾股定理可得，
故选：B．
【分析】
根据题意，作出图形，由含的直角三角形性质得到，再由勾股定理求解即可得到，
6．要为一段高5米，长13米的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯（ ）米．
A．17 B．13 C．12 D．5
【答案】A
【解析】【解答】解：由勾股定理求得水平宽度为
至少需要红地毯为12+5=17米，
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理求得水平宽度为12米，从而求解.
7．△ABC中，AB=17，AC=10，高AD=8，则△ABC的周长是（ ）
A．54 B．44 C．36或48 D．54或33
【答案】C
【解析】【解答】解：分两种情况：
①如图1所示：
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴BD＝ ＝15，
CD＝ ＝6，
∴BC＝BD＋CD＝15＋6＝21，
∴△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝17＋10＋21＝48；
②如图2所示：
同①得：BD＝15，CD＝6，
∴BC＝BD﹣CD＝15﹣6＝9，
∴△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝17＋10＋9＝36；
综上所述：△ABC的周长为48或36，
故答案为：C．
【分析】由题意得出∠ADB＝∠ADC＝90°，由勾股定理求出BD、CD，分两种情况，容易得出BC的长．
8．有下列条件不能判断 是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、 ，且 ，可求得 ，故 不是直角三角形；
B、不妨设 ， ， ，此时 ，故 是直角三角形；
C、 ，且 ，可求得 ，故 是直角三角形；
D、 ，满足勾股定理的逆定理，故 是直角三角形；
故答案为：A.
【分析】A、根据三角形内角和定理求出最大角，利用直角三角形的定义来验证最大角是否为90°即可；
B、根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可；
C、根据三角形内角和定理求出最大角，利用直角三角形的定义来验证最大角是否为90°即可；
D、根据勾股定理的逆定理进行解答即可.
9． 的三边分别为a，b，c，下列条件：① ；② ；③ .其中能判断 是直角三角形的条件个数有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【解析】【解答】解：①∵∠A＝∠B﹣∠C，∴∠A+∠C＝∠B，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠B＝180°，
∴∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形；
②∵a2＝（b+c）（b﹣c），∴a2＝b2﹣c2，∴a2+c2＝b2，
∴△BAC是直角三角形；
③∵a：b：c＝3：4：5，
∴设a＝3k，b＝4k，c＝5k，
∵a2+b2＝25k2，c2＝25k2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形；
故答案为：D.
【分析】根据三角形的内角和定理即可判断①，根据勾股定理的逆定理即可判断②和③，由此即得答案.
10．如图，在网格中，点A，B，C都是格点（网格线的交点），则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
【答案】A
【解析】【解答】解：∵AB2=12+32=10，AC2=12+32=10，BC2=22+42=20，
∴AB2+AC2=BC2，AB=AC，
∴△ABC为等腰直角三角形；
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理求出三角形三边的平方，再由勾股定理的逆定理进行判断即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． 直角三角形的两条直角边长分别是6和8，则斜边上的高为 ．
【答案】4.8
【解析】【解答】解：∵两条直角边长分别是6和8，
∴斜边为，
设斜边上的高为h，
∴，
即h=4.8.
故答案为：4.8.
【分析】根据勾股定理求出斜边的长，根据面积相等，利用三角形的面积公式得到，即可求出斜边上的高.
12．已知中，，若，，则的面积为 ．
【答案】8
【解析】【解答】解：∵∠B=90°
∴a2+c2=b2=4×17=68
∵c-a=6，等式两边同时平方，可得c2+a2-2ac=36；
∴68-2ac=36，可得ac=16；
∴S△ABC=ac=×16=8
故答案为：8.
【分析】根据直角三角形的性质和勾股定理，可得a2+c2=68；根据等式的性质和完全平方式，整理可得ac=16；根据直角三角形的面积公式即可求解.
13．如图中，，，为的中线，点、点分别为线段、上的动点，连接、，则的最小值为 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图，过点B作BF⊥AC于点F，交CD于点E，
则BF的长即为的最小值 ，
，为的中线，
的最小值为，
故答案为： .
【分析】过点B作BF⊥AC于点F，交CD于点E，则BF的长即为的最小值，先由中线的性质求得再利用勾股定理求得CD=4，最后利用三角形的面积法即可求解.
14．等腰三角形面积为30，一边上的高为6，这个等腰三角形的底边长为 ．
【答案】10或2或6
【解析】【解答】解：当底边上的高为6时，
∴等腰三角形的底边长为==10；
当腰上的高为6时，
∴等腰三角形的腰长为==10；
若此等腰三角形为钝角三角形时，如图：CD=6，AC=AB=10，
∴AD==8，
∴BD=18，
∴等腰三角形的底边BC的长为=6；
若此等腰三角形为锐角三角形时，如图：CD=6，AC=AB=10，
∴AD==8，
∴BD=2，
∴等腰三角形的底边BC的长为=2；
综上，这个等腰三角形的底边长为10或2或6．
【分析】分类讨论，再利用三角形的面积公式及等腰三角形的性质求解即可。
15．在中，，则 ．
【答案】或
【解析】【解答】解：①如图∠ACB为锐角时，过点A作AD⊥BC于D，
Rt△BDA中，∠B=30°，AB=20，则AD=10，
∴BD=，
Rt△DAC中，DC=，
∴BC=BD+DC=，
②如图∠ACB为钝角时，过点A作AD⊥BC延长线于D，
同理可得BD=，CD=5，
∴BC=BD-CD=，
故答案为：或；
【分析】分类讨论：①∠ACB为锐角时，过点A作AD⊥BC于D，②∠ACB为钝角时，过点A作AD⊥BC延长线于D，再分别画出图象并求解即可。
16．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数同学为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了 步（假设1米＝2步），却踩伤了花草．
【答案】4
【解析】【解答】解：由勾股定理可得：“路”的长度，
∴，
∵1米＝2步，
∴少走了4步
故答案为：4．
【分析】先利用勾股定理求出“路”的长，再求解即可。
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，，这时，梯子的底端到墙底的距离为．
（1）求此时梯子的顶端距地面的高度．
（2）如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端外移吗？通过计算说明你的结论．
【答案】（1）解：，，，
，
此时梯子的顶端距地面的高度为
（2）解：由图可知梯子的顶端沿墙下滑后，
，，
，
，
梯子底端外移不是．
【解析】【分析】（1）根据题意运用勾股定理即可求解；
（2）根据题意运用勾股定理即可求解。
18．如图，中，，平分，交于点，，．
（1）则点到直线的距离为 ．
（2）求线段的长．
【答案】（1）
（2）解：在中，，
，，
，
，
【解析】【解答】（1）
【分析】 (1)、根据角平分线上的点到两边的距离相等即可求出.
(2)、勾股定理求出，证明，根据相似比求出AC.
19．如图，在中，，，，平分交于点．
（1）求的面积；
（2）求的长．
【答案】（1）解：∵，，，
∴，
∴；
（2）解：过D作DE⊥AC于E，
是的平分线，，DE⊥AC，
，
在Rt和Rt中，
，
∴，
，
，
设，则，，
在中
∴
解得
即.
【解析】【分析】（1）根据勾股定理求出AB的长度，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积；
（2）过D作DE⊥AC于E，利用角平分线上的点到角两边的距离相等求出DE=BD，根据HL证，Rt△ABD≌Rt△AED，得AE=AB=4，最后设参数BD=x，在Rt△DCE中由勾股定理建立方程，即可求出BD的长.
20．如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的处到公路上的停靠站的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，停靠站、之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，且．
（1）请判断的形状？
（2）求修建的公路的长．
【答案】（1）解：是直角三角形．
，，，
，
，
，
是直角三角形．
（2）解：，
，
．
答：修建的公路的长是．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理进行解答即可；
（2）根据即可求解.
21．如图，连接四边形ABCD的对角线AC，已知∠B=90°，BC=3，AB=4，CD=5，AD=．
求证：
（1）AC=CD；
（2）△ACD是直角三角形．
【答案】（1）证明：∵∠B=90°，BC=3，AB=4，∴AC==5，∵CD=5，∴AC=CD．
（2）解：∵AC=CD=5 ，AD=，∴AC +CD =5 +5 =50，AD =，∴AC2+CD2=AD2，∴△ACD是直角三角形．
【解析】【分析】（1）根据勾股定理求出AC=5，即得AC=CD；
（2）根据勾股定理的逆定理进行解答即可.
22．如图，已知是的角平分线，于点E，于点F，.
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，求的长.
【答案】（1）证明：∵是的角平分线， ， ，
∴DE=DF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴，
∴AE=AF，
又∵BE=CF，
∴AE+BE=AF+FC，即AB=AC，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵△ABC是等腰三角形，AD是∠BAC的平分线，
∴BD=CD=BC=3，
∴AD===4，
∴S△ADB=AD·BC=AB·DE，
∴DE===2.4.
【解析】【分析】(1)利用HL证明，得出AE=AF，然后根据线段的和差关系求出AB=AC，即可得出结论；
(2)根据等腰三角形的性质求出BD长，再根据勾股定理求出AD，然后根据等积法求DE长即可.
23．如图，每个小正方形的边长都为1．
（1）求的周长．
（2）求的大小．
【答案】（1）解：∵，，，∴的周长．
（2）解：∵，，∴，∴是直角三角形∴．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AB、AC和BC的长，再利用三角形的周长公式计算即可；
（2）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可得到。
24．已知在平面直角坐标系中有A、B、C三点，且A（3，0）、B（0，3）、C（1，4）
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）在坐标平面内存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标.（请直接写出结果）
【答案】（1）解：∵A（3，0）、B（0，3）、C（1，4）
∴AB=3 ，AC=2 ，BC=
∵AB2+BC2=20，AC2=20，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形
（2）解：设点D坐标（a，b）
若以AB，BC为边，则
∴a=4，b=1
若以AC，AB为边，则
∴a=-2，b=7
若以BC，AC为边，则
∴a=2，b=-1
∴点D坐标为（4，1）或（-2，7）或（2，-1）
【解析】【分析】（1）根据两点间的距离公式分别求出 AB=3 ，AC=2 ，BC= ，利用勾股定理的逆定理可判断△ABC是直角三角形 ；（2） 设点D坐标（a，b） ，由题意分三种情况讨论：① 以AB，BC为边 ，② 以AC，AB为边 ；③ 以BC，AC为边 ；根据平行四边形的对角线交点的坐标相同及中点坐标公式可得关于a、b的方程，解方程即可求出点D坐标 .
25．如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，DE、DF分别交AC于E，交BC于F，且DE⊥DF．
（1）如果CA=CB，求证：AE2+BF2=EF2；
（2）如图2，如果CA＜CB，（1）中结论AE2+BF2=EF2还能成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）证明：如图1，过点A作AM∥BC，交FD延长线于点M，连接EM，
∵AM∥BC，
∴∠MAE=∠ACB=90°，∠MAD=∠B，
∵AD=BD，∠ADM=∠BDF，
∴△ADM≌△BDF，
∴AM=BF，MD=DF，
又DE⊥DF，
∴EF=EM．
∴AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2；
（2）解：成立．
证明：如图2，延长FD至M，使DM=DF，连接AM、EM，
∵AD=BD，∠ADM=∠BDF，
∴△ADM≌△BDF，
∴AM=BF，∠MAD=∠B，
∴AM∥BC，
∴∠MAE=∠ACB=90°，
又DE⊥DF，MD=FD，
∴EF=EM，
∴AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2．
【解析】【分析】 （1）过点A作AM∥BC，交FD延长线于点M，连接EM，由平行线的性质可得∠MAE=∠ACB
=90°，∠MAD=∠B， 再证明△ADM≌△BDF可得AM=BF，MD=DF，由DE⊥DF，利用线段垂直平分线的性质可得EF=EM，根据勾股定理可得 AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2；
（2） 成立．证明：如图2，延长FD至M，使DM=DF，连接AM、EM， 同（1）方法可证.
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