中小学教育资源及组卷应用平台
6.2.4向量的数量积运算--自检定时练---详解版
单选题
1．已知在边长为2的等边所在平面内，有一点满足，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】设的中点为，由向量的线性运算可得，由数量积的计算公式即可求解.
【详解】设的中点为，则，
因为，所以，
所以，
因为等边的边长为2，则，所以，
所以.
故选：C.
2.已知向量，则向量在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用数量积的性质得到，然后求投影向量即可.
【详解】由，得，由，
得，则，
因此，在上的投影向量为.
故选：D.
3．设、是任意两个向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合向量垂直关系与数量和意义判断.
【详解】由，得；反之当中有零向量时，有，而不满足向量夹角的定义，
即不能推出，所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
4.已知，是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据投影向量的定义结合题设求得，再利用向量的夹角公式，即可求得答案.
【详解】因为是与向量方向相同的单位向量，
所以，
因为向量在向量上的投影向量为，所以，
所以，所以，
所以，
设的夹角为θ，则，
又，所以.
故选：B
5.若向量，满足，，，的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题知，将和两边同时平方后，解方程组即可求得.
【详解】∵，的夹角为，.
，，
，
，
解得，.
故选：D.
6.是边长为2的正三角形，为所在平面内任意一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．-2
【答案】A
【分析】设的中点为的中点为E，则可表示为，进而可得答案.
【详解】设的中点为的中点为E，
则有 ，
则 ，
而
而 ，，
故当P与E重合时， 有最小值 ，
所以的最小值为，
故选：A.
多选题
7.对于任意两个非零向量和，下列命题中正确的是（ ）
A． B．
C． D．向量与向量垂直
【答案】ACD
【分析】根据向量数量积的运算律以及垂直向量的数量积表示，逐项检验，可得答案.
【详解】对于A，，所以A正确；
对于B，，
所以B错误；
对于C，，所以C正确；
对于D，，这样向量与垂直，所以D正确.
故选：ACD
8.已知向量满足，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．若，则
C．在方向上的投影向量为
D．若，则与的夹角为
【答案】ABD
【分析】利用向量的数量积定义式和数量积运算律计算可依次判断A,B,D,利用投影向量概念和公式可判断C.
【详解】对于A：因为，所以，故A正确；
对于B：因为，所以，因为，故B正确；
对于C：在方向上的投影向量为，故C错误；
对于D：因为，所以，
因为，所以与的夹角为，故D正确.
故选：ABD.
填空题
9.已知三角形为单位圆O的内接正三角形，则 ．
【答案】
【分析】由正三角形性质求出边长，再利用数量积的定义计算得解.
【详解】依题意，O是正三角形的中心，设正三角形的边长为a，
则，解得，即，又，
所以
.
故答案为：
10.已知非零向量满足，则在上的投影向量为 ．
【答案】
【分析】由投影向量公式进行求解即可．
【详解】解：由题意可知，整理得，
又，所以，即，
所以在上的投影向量为.
故答案为：
解答题
11.已知，，与的夹角为.
(1)若，求；
(2)若，且，求实数的取值范围.
【答案】(1)或.
(2)
【分析】（1）若，则与的夹角为或，再由数量积的定义求解即可；
（2）由可得，化简可得，解不等式即可得出答案.
【详解】（1）若，则与的夹角为或，
所以或.
（2）若，则，
，
所以可得：，
所以，解得：.
实数的取值范围为.
12.平面向量，满足
(1)若在上的投影向量恰为的相反向量，求实数t的值；
(2)若为钝角，求实数t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据投影向量的定义及数量积的运算律求解即可；
（2）结合利用向量夹角的余弦与数量积的定义，及向量共线的表示求解即可.
【详解】（1）由题意得，
则，即，
因为，则，
所以，
，
所以，解得.
（2）由（1）知，，
因为为钝角，所以，即，
若共线，设，即
则，解得或，
要使为钝角，则且，
即实数t的取值范围为．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
6.2.4向量的数量积运算--自检定时练---学生版
【1】知识清单
1．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.
(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．
2．平面向量的数量积
定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影 |a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影
|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积
3.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
4．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a，b，a与b的夹角为θ.
结论 几何表示
模 |a|＝
夹角 cosθ＝
a⊥b的充要条件 a·b＝0
【2】微型自检报告
完成时间 不会解答的题号 解答错误的题号 需要重点研究的题目
分钟
【3】自检定时练(建议40分钟)
单选题
1．已知在边长为2的等边所在平面内，有一点满足，则（ ）
A．1 B． C． D．
2.已知向量，则向量在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
3．设、是任意两个向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4.已知，是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A． B．
C． D．
5.若向量，满足，，，的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
6.是边长为2的正三角形，为所在平面内任意一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．-2
多选题
7.对于任意两个非零向量和，下列命题中正确的是（ ）
A． B．
C． D．向量与向量垂直
8.已知向量满足，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．若，则
C．在方向上的投影向量为
D．若，则与的夹角为
9.已知三角形为单位圆O的内接正三角形，则
10.已知非零向量满足，则在上的投影向量为 ．
解答题
11.已知，，与的夹角为.
(1)若，求；
(2)若，且，求实数的取值范围.
12.平面向量，满足
(1)若在上的投影向量恰为的相反向量，求实数t的值；
(2)若为钝角，求实数t的取值范围．
【4】核对简略答案,详解请看解析版！
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B B D A ACD ABD
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】(1)或. (2)
12.【答案】(1) (2)
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
