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提升点 导数应用中的函数构造
近几年的数学试题中，很多涉及导数问题的解答常需要构造新函数，即联系已知条件和结论，构造辅助函数，若题目中遇到有关不等式、方程及最值类的问题，则可构造函数，并确定自变量的范围，通过研究函数的单调性、最值等，使问题变得清晰明了．构造函数的主要依据有两个：一是直接根据所求解的不等式或方程；二是根据求导的基本法则．常见的函数构造有具体函数和抽象函数两种．
√
对于含有同等地位的两个变量的不等式(或方程)进行变形，通过变形整理后的不等式(或方程)两边具有相同结构，往往通过函数的单调性进行求解，这类问题主要针对双变量x1，x2(或a，b)，常见的类型有：
√
1．已知x＞0，y＞0，且e2x－ey＞sin 2x－sin y，则下列选项正确的是( )
A．2x＜y B．2x＞y
C．x＞y D．x＜y
解析：由题设f(t)＝et－sin t，t＞0，则f′(t)＝et－cos t，当t＞0时，f′(t)＞0恒成立，所以f(t)在(0，＋∞)上单调递增，原不等式可变形为e2x－sin 2x＞ey－sin y，即f(2x)＞f(y)，所以2x＞y.故选B.
2．已知x＞0，y＞0，且ex＋ln y＞x＋y，则下列选项正确的是( )
A．x＞y B．x＞ln y
C．x＜y D．x＜ln y
解析：方法一：原不等式等价于ex－x＞y－ln y，等价于ex－x＞eln y－ln y．
令f(x)＝ex－x，则不等式ex－x＞eln y－ln y，等价于f(x)＞f(ln y)，因为f′(x)＝ex－1，所以当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＝ex－1＞0，所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．若y∈(1，＋∞)，则ln y∈(0，＋∞)，由f(x)＞f(ln y)，得x＞ln y；若y∈(0，1]，则ln y≤0，
由x＞0，得x＞ln y．综上所述，x＞ln y．故选B.
√
√
类型2 抽象函数的构造
√
【解析】 令g(x)＝e2xf(x)，则g′(x)＝2e2xf(x)＋e2x·f′(x)＝e2x[2f(x)＋f′(x)]，
因为e2x>0，2f(x)＋f′(x)<0，所以g′(x)<0，
所以函数g(x)在R上为减函数，所以g(2)>g(3)，
即e4f(2)>e6f(3)，所以f(2)>e2f(3).
√
1．已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(－1)＝0，当x<0时，xf′(x)＋f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(0，1)
B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1，0)
D．(0，1)∪(1，＋∞)
解析：构造函数F(x)＝xf(x)，当x<0时，F′(x)＝f(x)＋xf′(x)<0，F(x)单调递减．
又f(－1)＝0，则F(－1)＝0，所以当－1
0.
因为f(x)为奇函数，所以F(x)＝xf(x)为偶函数，所以当x>1时，F(x)>0，所以当x>1时，f(x)>0.综上可知，f(x)>0的解集为(－1，0)∪(1，＋∞)，故选B.
√
2．已知f′(x)是函数f(x)的导函数，且对任意实数x都有f′(x)－f(x)＝ex(2x－1)，f(0)＝4，则不等式f(x)<10ex的解集为( )
A．(－2，3)
B．(－3，2)
C．(－∞，－3)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(3，＋∞)
√提升点 导数应用中的函数构造
近几年的数学试题中，很多涉及导数问题的解答常需要构造新函数，即联系已知条件和结论，构造辅助函数，若题目中遇到有关不等式、方程及最值类的问题，则可构造函数，并确定自变量的范围，通过研究函数的单调性、最值等，使问题变得清晰明了．构造函数的主要依据有两个：一是直接根据所求解的不等式或方程；二是根据求导的基本法则．常见的函数构造有具体函数和抽象函数两种．
类型1 具体函数的构造
(1)设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为( D )
A．c＜b＜a B．b＜a＜c
C．a＜c＜b D．a＜b＜c
【解析】 令f(x)＝(x＞0)，则f′(x)＝，所以当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．a＝＝＝f(e2)，b＝＝＝＝f(4)，c＝＝＝f(e)，因为e＜4＜e2，所以f(e2)(2)设实数λ＞0，若对任意的x∈(0，＋∞)，不等式eλx－≥0恒成立，则λ的最小值为________．
【解析】 方法一(同“左”同构)：eλx－≥0(λ>0，x>0) λxeλx－x ln x≥0 λxeλx≥x ln x λxeλx≥eln xln x，
令f(x)＝xex，上述不等式可等价转化为f(λx)≥f(ln x)，易知f(x)在R上是增函数，所以λx≥ln x，所以λ≥.
令h(x)＝，则h′(x)＝，当x∈(0，e)时，h′(x)>0，当x∈(e，＋∞)时，h′(x)<0，所以h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，则h(x)max＝h(e)＝，即λ≥.
方法二(同“右”同构)：eλx－≥0(λ>0，x>0) λxeλx－x ln x≥0 λxeλx≥x ln x ln (eλx)·eλx≥x ln x，令g(x)＝x ln x，上述不等式可等价转化为g(eλx)≥g(x)，易知g(x)在(，＋∞)上单调递增，在(0，)上单调递减，因为x＞0，λ＞0，所以eλx＞1.
若x∈(1，＋∞)，由g(eλx)≥g(x)，有eλx≥x；若x∈(0，1]，恒有eλx＞x.
所以当x＞0，λ＞0，g(eλx)≥g(x)时，恒有eλx≥x，所以λx≥ln x，所以λ≥.
下同方法一．
方法三(取对数同构)：eλx－≥0(λ>0，x>0) λxeλx－x ln x≥0 λxeλx≥x ln x，若x∈(0，1]，恒有λx＞0≥ln x.
若x∈(1，＋∞)，有λxeλx≥x ln x ln (λx)＋λx≥ln x＋ln (ln x)，令φ(x)＝x＋ln x，上述不等式可等价转化为φ(λx)≥φ(ln x)，易知φ(x)在(0，＋∞)上是增函数，则λx≥ln x．所以当x＞0，λ＞0，总有λx≥ln x，所以λ≥.
下同方法一．
【答案】
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
对于含有同等地位的两个变量的不等式(或方程)进行变形，通过变形整理后的不等式(或方程)两边具有相同结构，往往通过函数的单调性进行求解，这类问题主要针对双变量x1，x2(或a，b)，常见的类型有：
(1)＞k(x2＞x1) f(x1)－f(x2)＜kx1－kx2 f(x1)－kx1＜f(x2)－kx2 构造y＝f(x)－kx为增函数．
(2)＜(x2＞x1) f(x1)－f(x2)＞ f(x1)＋＞f(x2)＋ 构造y＝f(x)＋为减函数．
(3)指对变形的五种等价形式：
①ln ex＝x＝eln x(核心公式)；
②xex＝eln xex＝eln x＋x；
③＝＝eln x－x；
④x＋ln x＝ln ex＋ln x＝ln (xex)；
⑤x－ln x＝ln ex－ln x＝ln .
INCLUDEPICTURE "对点训练.TIF"
1．已知x＞0，y＞0，且e2x－ey＞sin 2x－sin y，则下列选项正确的是( B )
A．2x＜y B．2x＞y
C．x＞y D．x＜y
解析：由题设f(t)＝et－sin t，t＞0，则f′(t)＝et－cos t，当t＞0时，f′(t)＞0恒成立，所以f(t)在(0，＋∞)上单调递增，原不等式可变形为e2x－sin 2x＞ey－sin y，即f(2x)＞f(y)，所以2x＞y.故选B.
2．已知x＞0，y＞0，且ex＋ln y＞x＋y，则下列选项正确的是( B )
A．x＞y B．x＞ln y
C．x＜y D．x＜ln y
解析：方法一：原不等式等价于ex－x＞y－ln y，等价于ex－x＞eln y－ln y．令f(x)＝ex－x，则不等式ex－x＞eln y－ln y，等价于f(x)＞f(ln y)，因为f′(x)＝ex－1，所以当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＝ex－1＞0，所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．若y∈(1，＋∞)，则ln y∈(0，＋∞)，由f(x)＞f(ln y)，得x＞ln y；若y∈(0，1]，则ln y≤0，
由x＞0，得x＞ln y．综上所述，x＞ln y．故选B.
方法二：原不等式等价于ex－x＞y－ln y，等价于ex－ln ex＞y－ln y.
令g(x)＝x－ln x，则不等式ex－ln ex＞y－ln y，等价于g(ex)＞g(y)，因为g′(x)＝，所以当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＝>0，所以g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，因为x＞0，所以ex＞1.
若y∈(1，＋∞)，由g(ex)＞g(y)，有ex＞y；
若y∈(0，1]，恒有ex＞y.
综上所述，ex＞y，即x＞ln y．故选B.
类型2 抽象函数的构造
命题角度 f(x)与xn的关系
已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足f′(x)－－3>0，且f(1)＝0，则不等式f(ex)－3xex>0的解集为( C )
A．(0，1) B．(1，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(e，＋∞)
【解析】 令g(x)＝－3ln x，x∈(0，＋∞)，g(1)＝0，
因为x∈(0，＋∞)，f′(x)－－3>0.
所以g′(x)＝－＝(f′(x)－－3)>0，
所以函数g(x)在(0，＋∞)上是增函数，
不等式f(ex)－3xex>0可化为－3x>0，
即g(ex)>g(1)，所以ex>1，解得x>0，
所以不等式f(ex)－3xex>0的解集为(0，＋∞).
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
利用f(x)与x(xn)构造函数的技巧
(1)对于xf′(x)＋f(x)>0(或<0)，可构造函数F(x)＝xf(x).
(2)对于xf′(x)－f(x)>0(或<0)，可构造函数F(x)＝.
(3)对于xf′(x)＋nf(x)>0(或<0)，可构造函数F(x)＝xnf(x).
(4)对于xf′(x)－nf(x)>0(或<0)，可构造函数F(x)＝.
命题角度 f(x)与ex的关系
INCLUDEPICTURE "例3.TIF" 已知定义在R上的函数f(x)满足2f(x)＋f′(x)<0，则下列不等式一定成立的是( D )
A．e2f(2)B．e2f(2)>f(3)
C．f(2)D．f(2)>e2f(3)
【解析】 令g(x)＝e2xf(x)，则g′(x)＝2e2xf(x)＋e2x·f′(x)＝e2x[2f(x)＋f′(x)]，
因为e2x>0，2f(x)＋f′(x)<0，所以g′(x)<0，
所以函数g(x)在R上为减函数，所以g(2)>g(3)，
即e4f(2)>e6f(3)，所以f(2)>e2f(3).
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
利用f(x)与ex(enx)构造函数的技巧
(1)对于f′(x)＋f(x)>0(或<0)，可构造函数F(x)＝exf(x).
(2)对于f′(x)－f(x)>0(或<0)，可构造函数F(x)＝.
(3)对于f′(x)＋nf(x)>0(或<0)，可构造函数F(x)＝enxf(x).
(4)对于f′(x)－nf(x)>0(或<0)，可构造函数F(x)＝.
命题角度 f(x)与sin x(cos x)的关系
已知偶函数f(x)的定义域为(－，)，其导函数为f′(x)，若对任意的x∈[0，)，有f′(x)cos x【解析】 令g(x)＝f(x)cos x，x∈(－，)，
所以g(－x)＝f(－x)cos (－x)＝f(x)cos x＝g(x)，
所以g(x)为偶函数，又g′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x，
由题知当x∈[0，)时，g′(x)<0，
即g(x)在[0，)上单调递减，
又g(x)为偶函数，所以g(x)在(－，0]上单调递增，
不等式2f(x)<可化为f(x)cos x解得－【答案】 (－，－)∪(，)
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
利用f(x)与sin x，cos x构造函数的技巧
(1)对于f′(x)sin x＋f(x)cos x>0(或<0)，可构造函数F(x)＝f(x)sin x.
(2)对于f′(x)sin x－f(x)cos x>0(或<0)，可构造函数F(x)＝.
(3)对于f′(x)cos x＋f(x)sin x>0(或<0)，可构造函数F(x)＝.
(4)对于f′(x)cos x－f(x)sin x>0(或<0)，可构造函数F(x)＝f(x)cos x.
INCLUDEPICTURE "对点训练.TIF"
1．已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(－1)＝0，当x<0时，xf′(x)＋f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( B )
A．(－∞，－1)∪(0，1)
B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1，0)
D．(0，1)∪(1，＋∞)
解析：构造函数F(x)＝xf(x)，当x<0时，F′(x)＝f(x)＋xf′(x)<0，F(x)单调递减．
又f(－1)＝0，则F(－1)＝0，所以当－10.
因为f(x)为奇函数，所以F(x)＝xf(x)为偶函数，所以当x>1时，F(x)>0，所以当x>1时，f(x)>0.综上可知，f(x)>0的解集为(－1，0)∪(1，＋∞)，故选B.
2．已知f′(x)是函数f(x)的导函数，且对任意实数x都有f′(x)－f(x)＝ex(2x－1)，f(0)＝4，则不等式f(x)<10ex的解集为( A )
A．(－2，3)
B．(－3，2)
C．(－∞，－3)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(3，＋∞)
解析：由f′(x)－f(x)＝ex(2x－1)得＝2x－1.
令G(x)＝＝x2－x＋c，则G(0)＝f(0)＝4，所
以c＝4，即G(x)＝＝x2－x＋4，不等式f(x)<10ex等价于<10，即x2－x<6，解得－23．已知定义在区间(0，)上的函数f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，且恒有f(x)>f′(x)tan x成立，则( A )
A．f()>f()
B．f(1)>2f()sin 1
C．f()D．f()解析：因为x∈(0，)，所以sin x>0，cos x>0.
由f(x)>f′(x)tan x，得f(x)cos x－f′(x)sin x>0.
设F(x)＝，则F′(x)＝<0，
所以F(x)在区间(0，)上单调递减，
所以F()>F()，
即f()>f()，同理B，C，D错误．故选A.
INCLUDEPICTURE "专题强化练.TIF"
[小题标准练]
1．设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的( C )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：观察a|a|＞b|b|可发现其同构的特点，所以将这种结构设为函数f(x)＝x|x|，而f(x)＝x|x|＝可得f(x)在R上为增函数．所以a＞b f(a)>f(b)，即a＞b a|a|>b|b|.故选C.
2．若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则( B )
A．a>2b B．a<2b
C．a>b2 D．a解析：由指数和对数的运算性质得，2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b.
令f(x)＝2x＋log2x(x>0)，易知f(x)在(0，＋∞)上为增函数．又因为22b＋log2b<22b＋log2b＋1＝22b＋log2(2b)，所以2a＋log2a<22b＋log2(2b)，即f(a)3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数，当x>0时，f′(x)－2x>0，且f(1)＝3，则f(x)>x2＋2的解集是( B )
A.(－1，0)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1，0)∪(0，1)
D．(－∞，－1)∪(0，1)
解析：令g(x)＝f(x)－x2，因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，则g(－x)＝f(－x)－(－x)2＝f(x)－x2＝g(x)，所以函数g(x)也是偶函数，且g′(x)＝f′(x)－2x.因为当x>0时，f′(x)－2x>0，所以当x>0时，g′(x)＝f′(x)－2x>0，则函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减．不等式f(x)>x2＋2即为不等式g(x)>2.由f(1)＝3，得g(1)＝2，所以g(x)>g(1)，则|x|>1，解得x>1或x<－1，所以f(x)>x2＋2的解集是(－∞，－1)∪(1，＋∞).故选B.
4．已知f(x)是定义在R上的减函数，其导函数f′(x)满足<1，则下列结论中正确的是( A )
A．f(x)>0在R上恒成立
B．f(x)<0在R上恒成立
C．当且仅当x∈(－∞，1)，f(x)<0
D．当且仅当x∈(1，＋∞)，f(x)>0
解析：依题意f′(x)<0，且<1，
得f(x)＋(x－1)f′(x)>0.
令g(x)＝(x－1)f(x)，
则g′(x)＝f(x)＋(x－1)f′(x)>0，
所以函数g(x)在R上为增函数．
又g(1)＝0，故当x>1时，g(x)>0，f(x)>0；
当x<1时，g(x)<0，f(x)>0.
又f(x)在R上是减函数，
所以f(x)>0在R上恒成立．故选A.
5．已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)－f(x)<0，对任意正数a，b，若aA．af(b)B．bf(a)C．af(a)D．bf(b)解析：设函数F(x)＝(x>0)，则F′(x)＝.因为x>0，xf′(x)－f(x)<0，所以F′(x)<0，故函数F(x)在(0，＋∞)上为减函数．又0F(b)，即>，则bf(a)>af(b).故选A.
6．若定义在(1，＋∞)上的函数f(x)满足x2f′(x)＋1>0(f′(x)为函数f(x)的导函数)，f(3)＝，则关于x的不等式f(log2x)－1>logx2的解集为( D )
A．(1，8)
B．(2，＋∞)
C．(4，＋∞)
D．(8，＋∞)
解析：由x2f′(x)＋1>0，得f′(x)＋>0(x>1).
构造函数F(x)＝f(x)－，x∈(1，＋∞)，
则F′(x)＝f′(x)＋>0，
所以F(x)在(1，＋∞)上为增函数．
不等式f(log2x)－1>logx2可化为f(log2x)－>1.
又F(3)＝f(3)－＝－＝1.
故原不等式化为F(log2x)>F(3)，
从而log2x>3，解得x>8.故选D.
7．已知函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式exf(x)>ex＋1的解集为( A )
A．{x|x>0}
B．{x|x<0}
C．{x|x<－1或x>1}
D．{x|x<－1或0解析：令g(x)＝exf(x)－ex，则g′(x)＝ex·[f(x)＋f′(x)－1].因为对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，所以g′(x)>0恒成立，即g(x)＝exf(x)－ex在R上为增函数．又因为f(0)＝2，所以g(0)＝1.故g(x)＝exf(x)－ex>1的解集为{x|x>0}，即不等式exf(x)>ex＋1的解集为{x|x>0}．故选A.
8．已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)－f(－x)＝2sin x，当x≥0时，f′(x)≥x－sin x＋cos x，则不等式f(2x)－f(x－)A.(－∞，－)
B．(，＋∞)
C．(－，)
D．(－∞，－)∪(，＋∞)
解析：设g(x)＝f(x)－sin x，则g(－x)＝f(－x)＋sin x，又f(x)－f(－x)＝2sin x，所以g(x)－g(－x)＝f(x)－f(－x)－2sin x＝0，所以g(x)是偶函数．设h(x)＝x－sin x(x≥0)，则h′(x)＝1－cos x≥0，所以h(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以h(x)≥h(0)，即x－sin x≥0，所以当x≥0时，f′(x)≥x－sin x＋cos x≥cos x，所以当x≥0时，g′(x)＝f′(x)－cos x≥0，故g(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(2x)－f(x－)9．(多选)下列命题正确的是( AD )
A．若x1＜x2，则x1－x2＜sin x1－sin x2
B．若x1＜x2，则x1－x2＞sin x1－sin x2
C．若e＜x1＜x2，则x2ln x1＜x1ln x2
D．若e＜x1＜x2，则x2ln x1＞x1ln x2
解析：令f(x)＝x－sin x，则f′(x)＝1－cos x≥0在R上恒成立，所以f(x)在R上为增函数，所以当x1＜x2时，x1－sin x1＜x2－sin x2，即x1－x2＜sin x1－sin x2，故A正确，B错误；
令g(x)＝(x>0)，则g′(x)＝＜0在(e，＋∞)上恒成立，所以g(x)在(e，＋∞)上单调递减，所以当e＜x1＜x2时，＞，即x2ln x1＞x1ln x2，故C错误，D正确．故选AD.
10．(多选)若a>b>0，则下列结论正确的是( BD )
A.> B．ln a>ln b
C．> D．ea－eb>a－b
解析：易知y＝(x≠0)在(0，＋∞)上单调递减，故当a>b>0时，<，故A错误；y＝ln x(x>0)在定义域上为增函数，故当a>b>0时，ln a>ln b，故B正确；y＝在(0，＋∞)上单调递减，故当a>b>0时，<，故C错误；y＝ex－x(x>0)，则y′＝ex－1>0，即y＝ex－x在(0，＋∞)上为增函数，故当a>b>0时，ea－a>eb－b，即ea－eb>a－b，故D正确．故选BD.
11．(多选)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意的正数x，都满足f(x)＜xf′(x)＜2f(x)－2x，则下列结论正确的是( BCD )
A．f(1)＜2f()
B．f(1)＜f(2)
C．f(1)＜4f()－2
D．f(1)＞f(2)＋1
解析： 设g(x)＝(x＞0)，则g′(x)＝＞0，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
由g(1)＞g()得f(1)＞2f()，故A错误；
由g(1)＜g(2)得f(1)＜f(2)，故B正确；
设h(x)＝(x＞0)，
则h′(x)＝
＝＜0，
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减，
由h(1)＜h()得f(1)＜4f()－2，故C正确；
由h(1)＞h(2)得f(1)＞f(2)＋1，故D正确．
12．已知f(x)为偶函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＋xf′(x)<0，其中f′(x)为f(x)的导函数，则不等式(1－x)f(x－1)＋2xf(2x)>0的解集为________.
解析：令g(x)＝xf(x)，x∈R.
则根据题意可知，g(－x)＝－xf(－x)＝－xf(x)＝－g(x)，
所以g(x)是奇函数，因为g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
所以当x≥0时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
因为g(x)是奇函数，g(0)＝0，所以g(x)在R上为减函数，由不等式(1－x)f(x－1)＋2xf(2x)>0，
得2xf(2x)>(x－1)f(x－1)，即g(2x)>g(x－1)，
所以2x0的解集为(－∞，－1).
答案：(－∞，－1)
13．已知函数f(x)＝ex＋m ln x(m∈R)，若对任意正数x1，x2，当x1＞x2时，都有f(x1)－f(x2)＞x1－x2成立，则实数m的取值范围是________．
解析：由f(x1)－f(x2)＞x1－x2，得f(x1)－x1＞f(x2)－x2，令g(x)＝f(x)－x，所以g(x1)＞g(x2)，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，又因为g(x)＝f(x)－x＝ex＋m ln x－x，所以g′(x)＝ex＋－1≥0在(0，＋∞)上恒成立，即m≥(1－ex)x在(0，＋∞)上恒成立，令h(x)＝(1－ex)x(x>0)，则h′(x)＝－ex·(x＋1)＋1＜0在(0，＋∞)上恒成立，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以h(x)max答案：[0，＋∞)
14．已知函数f(x)＝xex－a(x＋ln x)有两个零点，则实数a的取值范围是____________．
解析：函数f(x)＝xex－a(x＋ln x)＝ex＋ln x－a(x＋ln x)有两个零点，令t＝x＋ln x，t∈R，即et－at＝0有两个实数根，即y＝et的图象与y＝at的图象有两个交点，如图，作出函数y＝et的图象及其过原点的切线y＝et，可知当a＞e时，y＝et的图象与y＝at的图象有两个交点，即函数f(x)有两个零点．
答案：(e，＋∞)
[小题提升练]
15．已知函数f(x)＝m ln (x＋1)－3x－3，若不等式f(x)＞mx－3ex在(0，＋∞)上恒成立，则实数m的取值范围是( C )
A．0≤m≤3 B．m≥3
C．m≤3 D．m≤0
解析：由题意得m ln (x＋1)－3(x＋1)>mx－3ex＝m ln ex－3ex，x>0，令g(x)＝m ln x－3x，由g(x＋1)＞g(ex)，且1＜x＋1＜ex，知g(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以g′(x)＝－3≤0在(1，＋∞)上恒成立，所以m≤3x，解得m≤3.故选C.
16．已知函数f(x)＝xeax－1－ln x－ax.若f(x)的最小值为0，则实数a的最小值是________．
解析：xeax－1－ln x－ax＝eln x＋ax－1－(ln x＋ax)≥(ln x＋ax)－(ln x＋ax)＝0(利用了ex≥x＋1).
等号成立的条件是ln x＋ax＝1，即a＝有解．令g(x)＝，则g′(x)＝，易得g(x)min＝g(e2)＝－，即实数a的最小值为－.
答案：－