提升点 概率统计中的交汇创新
类型1 概率统计中的交汇问题
命题角度 概率与数列交汇
INCLUDEPICTURE "例1.TIF" (2023·新课标Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第i次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1，2，…，n，则E(i)＝i.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E(Y).
【解】 (1)设“第2次投篮的人是乙”为事件A，“第1次投篮的人是甲”为事件B，则A＝BA＋A，
所以P(A)＝P(BA＋A)＝P(BA)＋P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6.
(2)设第i次投篮的人是甲的概率为pi，
由题意可知p1＝，pi＋1＝pi×0.6＋(1－pi)×(1－0.8)，
即pi＋1＝0.4pi＋0.2＝pi＋，
所以pi＋1－＝×(pi－)，
又p1－＝－＝，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以pi－＝×()i－1，
所以pi＝＋×()i－1.
(3)设第i次投篮时甲投篮的次数为Xi，则Xi所有可能的取值为0或1，当Xi＝0时，表示第i次投篮的人是乙；当Xi＝1时，表示第i次投篮的人是甲，所以P(Xi＝1)＝pi，P(Xi＝0)＝1－pi，所以E(Xi)＝1×pi＋0×(1－pi)＝pi.
因为Y＝X1＋X2＋X3＋…＋Xn，
则E(Y)＝E(X1＋X2＋X3＋…＋Xn)＝p1＋p2＋p3＋…＋pn，
由(2)知，pi＝＋×()i－1，
所以p1＋p2＋p3＋…＋pn＝＋×[1＋＋()2＋…＋()n－1]＝＋×＝＋×[1－()n]，
所以E(Y)＝＋×[1－()n].
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
概率与数列问题的交汇，多以概率的求解为主线，建立关于概率的递推关系．解决此类问题的基本步骤为：
(1)精准定性，即明确所求概率的“事件属性”，这是确定概率类型的依据，也是建立递推关系的准则．
(2)准确建模，即通过概率的求解，建立递推关系，转化为数列模型问题．
(3)解决模型，也就是递推数列的求解，多通过构造的方法转化为等差数列、等比数列的问题求解．求解过程应灵活运用数列的性质，准确运用相关公式．
INCLUDEPICTURE "对点训练.TIF"
(2024·浙江三模)为了增强身体素质，寒假期间小王每天坚持在“跑步20分钟”和“跳绳20分钟”中选择一项进行锻炼．在不下雪的时候，他跑步的概率为80%，跳绳的概率为20%，在下雪天他跑步的概率为20%，跳绳的概率为80%.若前一天不下雪，则第2天下雪的概率为60%，若前一天下雪，则第2天仍下雪的概率为40%.已知寒假第1天不下雪，跑步20分钟大约消耗能量300卡路里，跳绳20分钟大约消耗能量200卡路里．记寒假第n天不下雪的概率为Pn.
(1)求P1，P2，P3的值，并求Pn；
(2)设小王寒假第n天通过锻炼消耗的能量为X，求X的均值．
解：(1)由题意得P1＝1，P2＝1×0.4＝0.4，
第3天不下雪，分为两种情况，第2天不下雪且第3天不下雪，第2天下雪且第3天不下雪，
故P3＝0.4×0.4＋0.6×0.6＝0.52，
依题意Pn＝0.4Pn－1＋0.6(1－Pn－1)＝－Pn－1＋，
整理得Pn－＝－，
P1－＝，
所以是以为首项，－为公比的等比数列，
即Pn－＝·，n∈N*，
所以Pn＝＋·，n∈N*.
(2)X＝200，300，
由(1)得P(X＝300)＝0.8Pn＋0.2(1－Pn)＝0.6Pn＋0.2，
则他第n天通过锻炼消耗的能量X的均值为300·P(X＝300)＋200(1－P(X＝300))＝200＋100·P(X＝300)＝220＋60Pn＝250＋30·，n∈N*.
命题角度 概率与函数交汇
INCLUDEPICTURE "例2.TIF" 某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发展水平，组织本校8 000名学生进行针对性检测(检测分为初试和复试)，并随机抽取了100名学生的初试成绩(单位：分)，绘制了频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；
(2)若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ为样本平均数的估计值，σ≈14.初试成绩高于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数；
(3)复试共三道题，规定：全部答对获得一等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得三等奖；全部答错不获奖．已知某学生进入了复试，他在复试中前两道题答对的概率均为a，第三道题答对的概率为b.若他获得一等奖的概率为，设他获得二等奖的概率为P，求P的最小值．
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
【解】 (1)设样本平均数的估计值为，
则＝10×(40×0.010＋50×0.020＋60×0.030＋70×0.024＋80×0.012＋90×0.004)，
解得＝62，所以样本平均数的估计值为62.
(2)因为学生的初试成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝62，σ≈14，
所以μ＋2σ≈62＋2×14＝90，所以P(X>90)≈P(X>μ＋2σ)≈×(1－0.954 5)＝0.022 75，
所以估计能参加复试的人数为0.022 75×8 000＝182.
(3)由该学生获一等奖的概率为可知a2b＝，
则P＝a2(1－b)＋Ca(1－a)b＝a2＋2ab－＝a2＋－，
令P＝f(a)＝a2＋－，0
当00，
所以函数f(a)在区间(0，)上单调递减，在区间(，1)上单调递增．
所以f(a)min＝f()＝＋－＝，
所以P的最小值为.
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
通过设置变量，利用均值、方差或概率的计算公式构造函数，是概率与函数问题结合最常用的方式．解决此类问题，应注意两个问题：
(1)准确构造函数，利用公式搭建函数模型时，由于随机变量的均值、方差、随机事件的概率计算中涉及的变量较多，式子较为复杂，所以准确运算化简是关键．
(2)注意变量的取值范围，一是题中给出的范围，二是实际问题中变量自身取值的限制．
INCLUDEPICTURE "对点训练.TIF"
高性能计算芯片是一切人工智能的基础．国内某企业已快速启动AI芯片试生产，试产期需进行产品检测，检测包括智能检测和人工检测．智能检测在生产线上自动完成，包括安全检测、蓄能检测、性能检测三项指标，且智能检测三项指标达标的概率分别为，，，人工检测仅对智能检测达标(即三项指标均达标)的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标．人工检测综合指标不达标的概率为p(0(1)求每个AI芯片智能检测不达标的概率；
(2)人工检测抽检50个AI芯片，记事件“恰有1个不达标”的概率为f(p)，当p＝p0时，f(p)取得最大值，求p0；
(3)若AI芯片的合格率不超过93%，则需对生产工序进行改良．以(2)中确定的p0作为p的值，试判断该企业是否需要对生产工序进行改良．
解：(1)记事件A＝“每个AI芯片智能检测不达标”，则P(A)＝1－P()＝1－××＝.
(2)由题意得f(p)＝Cp(1－p)49＝50p(1－p)49，0所以f′(p)＝50[(1－p)49＋p×49(1－p)48×(－1)]＝50(1－p)48(1－50p)，
令f′(p)＝0，则p＝或p＝1(舍去)，
当00，所以函数f(p)单调递增；
当所以f(p)在p＝处取得最大值，即p0＝.
(3)记事件B＝“人工检测达标”，则P(B|)＝1－＝，又P()＝1－＝，
所以P(B)＝P()P(B|)＝×＝92.12%<93%，所以该企业需要对生产工序进行改良．
类型2 概率统计中的证明问题
INCLUDEPICTURE "例3.TIF" (2022·新高考Ⅰ卷节选)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.
(1)证明：R＝·；
(2)利用该调查数据，给出P(A|B)，P(A|)的估计值，并利用(1)的结果给出R的估计值．
【解】 (1)证明：因为R＝＝，
由题意知，只需证明
＝即可，
左边＝＝，
右边＝＝，
即左边＝右边，所以R＝·得证．
(2)由调查数据可知P(A|B)＝＝，
P(A|)＝＝，
且P(|B)＝1－P(A|B)＝，
P(|)＝1－P(A|)＝，
所以R＝×＝6.
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
解答概率统计中的证明问题，关键是要“死抠”定义，与其他类型证明题不同，高中阶段所学的概率问题都是初等概率问题，解答此类题目只需直接把定义按部就班推导上去即可以证明．
INCLUDEPICTURE "对点训练.TIF"
若ξ，η是样本空间Ω上的两个离散型随机变量，则称(ξ，η)是Ω上的二维离散型随机变量．设(ξ，η)的所有可能取值为(ai，bj)，i，j＝1，2，…，s，记pij表示(ai，bj)在Ω中出现的
概率，pij＝P(ξ＝ai，η＝bj)＝P[(ξ＝ai)∩(η＝bj)].
(1)将三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，记1号盒子中的小球个数为ξ，2号盒子中的小球个数为η，则(ξ，η)是一个二维离散型随机变量．
①写出该二维离散型随机变量(ξ，η)的所有可能取值；
②若(m，n)是①中的值，求P(ξ＝m，η＝n)(结果用m，n表示).
(2)P(ξ＝ai)称为二维离散型随机变量(ξ，η)关于ξ的边缘分布律或边际分布律，求证：P(ξ＝ai)＝pij.
解：(1)①该二维离散型随机变量(ξ，η)的所有可能取值为(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(3，0).
②依题意，0≤m＋n≤3，m，n∈N，P(ξ＝m，η＝n)＝P(ξ＝m|η＝n)·P(η＝n).
当n＝3时，m＝0，P(ξ＝m，η＝n)＝C()3＝.
当0≤n<3，n∈N时，P(η＝n)＝C()n()3－n，则P(ξ＝m|η＝n)＝C()m()3－n－m＝C()3－n，
所以P(ξ＝m，η＝n)＝C()3－n·C()n·()3－n＝CC＝.
n＝3也满足上式．
综上，P(ξ＝m，η＝n)＝.
(2)证明：由定义及全概率公式知，P(ξ＝ai)＝P{(ξ＝ai)∩[(η＝b1)∪(η＝b2)∪…∪(η＝bs)]}＝P[(ξ＝ai)∩(η＝b1)]＋P[(ξ＝ai)∩(η＝b2)]＋…＋P[(ξ＝ai)∩(η＝bs)]＝[(ξ＝ai)∩(η＝bj)]＝(ξ＝ai，η＝bj)＝ij.
INCLUDEPICTURE "专题强化练.TIF"
1．甲、乙两个学校分别有n＋1位同学和n位同学参加某项活动，假定所有同学成功的概率都是，所有同学是否成功互不影响．记事件A＝“甲校成功次数比乙校成功次数多一次”，事件B＝“甲校成功次数等于乙校成功次数”．
(1)若n＝3，求在事件A发生的条件下，恰有5位同学成功的概率；
(2)证明：P(A)＝P(B).
解：(1)解：由题设知甲、乙学校分别有4位、3位同学参加活动，
P(A)＝C(1－)3··C(1－)3＋
C(1－)2()2·C(1－)2·＋
C(1－)()3·C(1－)()2＋
C()4·C()3＝C()4·C()3＋C()4·C()3＋C()4·C()3＋C()4·C()3＝，
而甲校成功次数比乙校成功次数多一次且有5位同学成功的概率为P＝C()4·C()3＝，
所以在事件A发生的条件下，恰有5位同学成功的概率为＝.
(2)证明：由题设知，
P(A)＝ eq \f(CC＋CC＋CC＋…＋CC,22n＋1) ，
P(B)＝ eq \f(CC＋CC＋CC＋…＋CC,22n＋1) ，
因为CC＝CC，k＝0，1，2，…，n，
所以P(A)＝P(B).
2．一个袋子中有a个白球和b个黑球，从中任取1个球．若取出白球，则把它放回袋子中；若取出黑球，则该黑球不再放回，另补1个白球到袋子中．在重复n次这样的操作后，记袋子中白球的个数为xn.
(1)求x1的均值E(x1)；
(2)求证：xn＋1的均值E(xn＋1)＝(1－)E(xn)＋1.
解：(1)解：当n＝1时，袋子中白球的个数可能是a个(即取出的是白球)，概率为；也可能是a＋1个(即取出的是黑球)，概率为.
故E(x1)＝a·＋(a＋1)·＝.
(2)证明：第n＋1次取球后白球的个数xn＋1分为两类：
①若第n＋1次取出来的是白球，由于白球和黑球的总个数是a＋b，这种情况发生的概率是，此时白球的个数变为E(xn).
②若第n＋1次取出来的是黑球，这种情况发生的概率是，此时白球的个数变为E(xn)＋1.
故E(xn＋1)＝E(xn)＋(E(xn)＋1)＝
＋(1－)(E(xn)＋1)＝
＋E(xn)－＋1－＝
(1－)E(xn)＋1.
3．(2024·安康模拟)某课题实验小组共有来自三个不同班级的45名学生，这45名学生中，A，B，C三个班级的人数比为4∶3∶2.
(1)某次实验活动需从这45人中用分层随机抽样的方法随机抽取9人组成一个核心小组，再从这9人中随机抽取3人负责核心工作，记随机抽取的3人中来自B班级的人数为ξ，求ξ的分布列和均值；
(2)由于不同的实验需要的人数不同，所以为便于进行实验的配合，实验过程中有2人一组，也有多人一组(多于2人)，其中2人一组的为基础实验，其他的为研发实验，实验结束后进行实验结果交流．记发言的小组来自研发实验的概率为p(0解：(1)解：抽取的9人中来自B班级的人数为×9＝3，
ξ可能的取值为0，1，2，3，
P(ξ＝0)＝ eq \f(C,C) ＝，
P(ξ＝1)＝ eq \f(CC,C) ＝，
P(ξ＝2)＝ eq \f(CC,C) ＝，
P(ξ＝3)＝ eq \f(C,C) ＝，
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.
(2)证明：依题意，g(p)＝Cp3(1－p)2＝10p3(1－p)2，0求导得g′(p)＝10[3p2(1－p)2＋p3·2(1－p)·(－1)]＝10p2(1－p)(3－5p)，
当00，当因此函数g(p)在(0，)上单调递增，在(，1)上单调递减，
g(p)max＝g()＝10×()3×()2＝×<，
即g(p)的最大值不会超过.
4．(2024·枣庄一模)有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外其余完全相同．某人做摸球答题游戏，规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题．若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐．此人答对每一道题目的概率均为.当甲罐内无球时，游戏结束．假设开始时乙罐无球．
(1)求此人三次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各1个的概率；
(2)设第n(n∈N*，n≥5)次答题后游戏结束的概率为an.
①求an；
②an是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，试说明理由．
C解：(1)记M＝“此人三次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各一个”，
Ai＝“第i次摸出红球，并且答题正确”，i＝1，2，3；
Bj＝“第j次摸出黑球，并且答题正确”，j＝1，2，3；
Ck＝“第k次摸出红球或黑球，并且答题错误”，k＝1，2，3，
所以M＝A1B2C3＋B1A2C3＋A1C2B3＋B1C2A3＋C1A2B3＋C1B2A3.
又P(A1)＝×＝，
P(B2|A1)＝×＝，
P(C3|A1B2)＝1×＝，
所以P(A1B2C3)＝P(A1B2)P(C3|A1B2)＝P(A1)P(B2|A1)P(C3|A1B2)＝××＝.
同理，P(B1A2C3)＝P(A1C2B3)＝P(B1C2A3)＝P(C1A2B3)＝P(C1B2A3)＝，
所以P(M)＝×6＝.
(2)①第n(n∈N*，n≥5)次答题后游戏结束的情况是：前n－1次答题正确恰好为4次，答题错误n－5次，且第n次摸出最后一球时答题正确．
所以an＝C×＝C，n∈N*，n≥5.
②由①知an＝C，
所以＝ eq \f(C\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(n＋1),C\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(n)) ＝＝，n∈N*，n≥5.
令≥1，解得5≤n≤8；
令<1，解得n≥9.
所以a5a10>a11>…，所以an存在最大值，最大值为a8＝a9＝.(共37张PPT)
提升点 概率统计中的交汇
类型1 概率统计中的交汇问题
命题角度 概率与数列交汇
(2023·新课标Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第i次投篮的人是甲的概率；
概率与数列问题的交汇，多以概率的求解为主线，建立关于概率的递推关系．解决此类问题的基本步骤为：
(1)精准定性，即明确所求概率的“事件属性”，这是确定概率类型的依据，也是建立递推关系的准则．
(2)准确建模，即通过概率的求解，建立递推关系，转化为数列模型问题．
(3)解决模型，也就是递推数列的求解，多通过构造的方法转化为等差数列、等比数列的问题求解.求解过程应灵活运用数列的性质,准确运用相关公式．
(2024·浙江三模)为了增强身体素质，寒假期间小王每天坚持在“跑步20分钟”和“跳绳20分钟”中选择一项进行锻炼．在不下雪的时候，他跑步的概率为80%，跳绳的概率为20%，在下雪天他跑步的概率为20%，跳绳的概率为80%.若前一天不下雪，则第2天下雪的概率为60%，若前一天下雪，则第2天仍下雪的概率为40%.已知寒假第1天不下雪，跑步20分钟大约消耗能量300卡路里，跳绳20分钟大约消耗能量200卡路里．记寒假第n天不下雪的概率为Pn.
(1)求P1，P2，P3的值，并求Pn；
(2)设小王寒假第n天通过锻炼消耗的能量为X，求X的均值．
命题角度 概率与函数交汇
某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发展水平，组织本校8 000名学生进行针对性检测(检测分为初试和复试)，并随机抽取了100名学生的初试成绩(单位：分)，绘制了频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；
(2)若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ为样本平均数的估计值，σ≈14.初试成绩高于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数；
通过设置变量，利用均值、方差或概率的计算公式构造函数，是概率与函数问题结合最常用的方式．解决此类问题，应注意两个问题：
(1)准确构造函数，利用公式搭建函数模型时，由于随机变量的均值、方差、随机事件的概率计算中涉及的变量较多，式子较为复杂，所以准确运算化简是关键．
(2)注意变量的取值范围，一是题中给出的范围，二是实际问题中变量自身取值的限制．
(1)求每个AI芯片智能检测不达标的概率；
(2)人工检测抽检50个AI芯片，记事件“恰有1个不达标”的概率为f(p)，当p＝p0时，f(p)取得最大值，求p0；
(3)若AI芯片的合格率不超过93%，则需对生产工序进行改良．以(2)中确定的p0作为p的值，试判断该企业是否需要对生产工序进行改良．
类型2 概率统计中的证明问题
(2022·新高考Ⅰ卷节选)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
解答概率统计中的证明问题，关键是要“死抠”定义，与其他类型证明题不同，高中阶段所学的概率问题都是初等概率问题，解答此类题目只需直接把定义按部就班推导上去即可以证明．
若ξ，η是样本空间Ω上的两个离散型随机变量，则称(ξ，η)是Ω上的二维离散型随机变量．设(ξ，η)的所有可能取值为(ai，bj)，i，j＝1，2，…，s，记pij表示(ai，bj)在Ω中出现的
概率，pij＝P(ξ＝ai，η＝bj)＝P[(ξ＝ai)∩(η＝bj)].
(1)将三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，记1号盒子中的小球个数为ξ，2号盒子中的小球个数为η，则(ξ，η)是一个二维离散型随机变量．
①写出该二维离散型随机变量(ξ，η)的所有可能取值；
②若(m，n)是①中的值，求P(ξ＝m，η＝n)(结果用m，n表示).