微专题3 成对数据的统计分析
大题考法1 回归分析及预测
INCLUDEPICTURE "例1.TIF" (2024·济南三模)近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2020年至2024年的利润(单位：亿元)，得到如图所示的散点图．其中2020年至2024年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5.
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx和y＝c＋dx2哪一个适合作为企业利润y(单位：亿元)关于年份代码x的回归方程模型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)中的判断结果，建立y关于x的回归方程；
(3)根据(2)的结果，估计该企业2026年的利润．
参考公式及数据：＝ eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up10(－))\o(y,\s\up10(－)),\i\su(i＝1,n,x)－n\o(x,\s\up10(－))2) ，＝－，
＝55，＝979，i＝390，iyi＝1 221，yi＝4 607.9.
【解】 (1)由题中散点图的变化趋势，知y＝c＋dx2适合作为企业利润y(单位：亿元)关于年份代码x的回归方程模型．
(2)由题意得，2＝＝11，
＝i＝78，
＝ eq \f(\i\su(i＝1,5,x)yi－5×\o(x,\s\up10(－))2 \o(y,\s\up10(－)),\i\su(i＝1,5, )（x）2－5×（\o(x,\s\up10(－))2）2)
＝＝0.85，
＝－×2＝78－0.85×11＝68.65，
所以＝68.65＋0.85x2.
(3)令x＝7，＝68.65＋0.85×72＝110.3，
估计该企业2026年的利润为110.3亿元．
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
求经验回归方程的方法
(1)若所求的经验回归方程是在选择题中，常利用经验回归直线＝x＋必经过样本点的中心(，)来快速选择．
(2)若所求的经验回归方程是在解答题中，则求经验回归方程的一般步骤如下：
(3)非线性回归问题的求解关键：①转化：通过取对数、取倒数、平方(开方)等，把非线性经验回归方程转化成线性经验回归方程；②判断：通过计算样本相关系数或决定系数，判断拟合效果．
INCLUDEPICTURE "对点训练.TIF"
(2024·苏州模拟)某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中，为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高y(单位：cm)与父亲身高x(单位：cm)之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了5对父子的身高数据，如下表：
父亲身高x 160 170 175 185 190
儿子身高y 170 174 175 180 186
参考数据及公式：i＝880，＝155 450，i＝885，iyi＝156 045，＝ eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up10(－)) \o(y,\s\up10(－)),\i\su(i＝1,n,x)－n\o(x,\s\up10(－))2) ，＝－.
(1)根据表中数据，求出y关于x的经验回归方程，并利用经验回归方程分别确定儿子比父亲高和儿子比父亲矮的条件，由此可得到怎样的遗传规律？
(2)记i＝yi－i＝yi－xi－(i＝1，2…，n)，其中yi为观测值，i为预测值，i为对应(xi，yi)的残差．求(1)中儿子身高的残差的和，并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立？若成立加以证明；若不成立说明理由．
解：(1)＝i＝×880＝176，
＝i＝×885＝177，
＝ eq \f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\o(x,\s\up10(－))\o(y,\s\up10(－)),\i\su(i＝1,5,x)－5\o(x,\s\up10(－))2) ＝＝0.5，
＝－＝177－0.5×176＝89，
故经验回归方程为＝0.5x＋89，取＝0.5x＋89>x，解得x<178，即x<178时，儿子比父亲高；
取＝0.5x＋89178，即x>178时，儿子比父亲矮，
则父亲较高时，儿子平均身高要矮于父亲；父亲较矮时，儿子平均身高要高于父亲，即儿子身高有一个回归，回归到全种群平均高度的趋势．
(2)1＝0.5×160＋89＝169，
1＝170－169＝1；
2＝0.5×170＋89＝174，
2＝174－174＝0；
3＝0.5×175＋89＝176.5，
3＝175－176.5＝－1.5；
4＝0.5×185＋89＝181.5，
4＝180－181.5＝－1.5；
5＝0.5×190＋89＝184，
5＝186－184＝2，
故残差的和为1＋0－1.5－1.5＋2＝0.
对任意具有线性相关关系的变量i＝0.
证明如下：i＝(yi－i)＝(yi－xi－)＝i－i－n＝n－n－n(－)＝0.
大题考法2 独立性检验
INCLUDEPICTURE "例2.TIF" (2024·湘潭模拟)2024年8月8日是我国第16个“全民健身日”，设立全民健身日(Fitness Day)是适应人民群众体育的需求，促进全民健身运动开展的需要．某学校为了提高学生的身体素质，举行了跑步竞赛活动，活动分为长跑、短跑两类项目，且该班级所有同学均参加活动，每位同学选择一项活动参加．
性别 跑步项目
长跑 短跑
男同学 30 10
女同学 a 10
若采用分层随机抽样按性别从该班级中抽取6名同学，其中有男同学4名，女同学2名．
(1)求a的值以及该班同学选择长跑的概率；
(2)依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否推断选择跑步项目的类别与学生性别有关？
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
α 0.05 0.01 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
【解】 (1)由题知男、女同学的比例为2∶1，则＝2，故a＝10，
该班同学选择长跑的概率为＝.
(2)依题意，得到如下列联表，
单位：名
性别 跑步项目 合计
长跑 短跑
男 30 10 40
女 10 10 20
合计 40 20 60
零假设为H0：选择跑步项目的类别与学生性别无关，
则χ2＝＝3.75<6.635＝x0.01，
根据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，
因此可以认为H0成立，即认为选择跑步项目的类别与学生性别无关．
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
独立性检验的步骤
(1)分析数据：根据条件中提供的数据准确分析数据，绘制2×2列联表，并提出零假设H0.
(2)准确计算：计算χ2的值，确保计算准确．
(3)作出结论：将χ2的值与临界值xα进行对比，当χ2≥xα时，推断H0不成立，即“有关”；当χ2INCLUDEPICTURE "对点训练.TIF"
(2024·抚顺模拟)某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这两者是否有关．若从该班级中随机抽取1名学生，设A＝“抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格”，B＝“抽取的学生建立了个性化错题本”，且P(A|)＝，P(B|)＝，P(B)＝.
(1)求P(A)和P(A|B)；
(2)若该班级共有36名学生，请完成列联表，并依据α＝0.005的独立性检验判断学生期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本是否有关；
单位：名
个性化错题本 期末统考中的数学成绩 合计
及格 不及格
建立
未建立
合计
(3)为进一步验证(2)中的判断，该兴趣小组准备在其他班级中抽取一个容量为36k的样本(假设根据新样本数据建立的列联表中，所有的数据都扩大为(2)中列联表中数据的k倍，且新列联表中的数据都为整数)，若依据α＝0.001的独立性检验可以肯定(2)中的判断，试确定k的最小值．
参考公式及数据：
χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.01 0.005 0.001
xα 6.635 7.879 10.828
解：(1)因为P(A|)＝，P(B|)＝，P(B)＝，所以P(|)＝，
P(|)＝，
P()＝.
由P(|)P()＝P(|)P()，
解得P()＝，所以P(A)＝.
则P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)，
解得P(A|B)＝.
(2)由题完成列联表：
单位：名
个性化错题本 期末统考中的数学成绩 合计
及格 不及格
建立 20 4 24
未建立 4 8 12
合计 24 12 36
零假设为H0：学生期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本无关．
根据列联表中的数据，经计算得到χ2＝＝9>7.879＝x0.005.
根据小概率值α＝0.005的独立性检验，推断H0不成立，即认为学生期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本有关，此推断犯错误的概率不大于0.005.
(3)χ′2＝
＝
＝9k≥10.828，
解得k≥.
要使新列联表中的数据都为整数，则需4k∈Z.
又因为4k≥≈4.8，所以4k的最小值为5，故k的最小值是.
大题考法3 成对数据分析与概率
统计的综合
INCLUDEPICTURE "例3.TIF" (2024·保定二模)某青少年跳水队共有100人，在强化训练前、后，教练组对他们进行了成绩测试，分别得到如图1所示的强化训练前的频率分布直方图，如图2所示的强化训练后的频率分布直方图．
(1)根据图中数据，估计强化训练后的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)与成绩的中位数；
(2)若规定得分80分(含80分)以上的为“优秀”，低于80分的为“非优秀”．
单位：人
强化训练 成绩 合计
优秀 非优秀
前
后
合计
将上面的表格补充完整，依据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否据此推断跳水运动员是否优秀与强化训练有关？
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 3.841 6.635 7.879 10.828
【解】 (1)强化训练后的平均成绩约为55×0.04＋65×0.16＋75×0.2＋85×0.32＋95×0.28＝81.4.
由于0.04＋0.16＋0.2＝0.4，
所以设中位数为80＋x，则0.032x＝0.1，
解得x＝3.125，所以中位数约为83.125.
(2)补充完整的表格为
单位：人
强化训练 成绩 合计
优秀 非优秀
前 40 60 100
后 60 40 100
合计 100 100 200
零假设为H0：跳水运动员是否优秀与强化训练无关．
则χ2＝＝8>7.879＝x0.005，
根据小概率值α＝0.005的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为跳水运动员是否优秀与强化训练有关，此推断犯错误的概率不大于0.005.
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
解决成对数据分析与概率统计的
综合问题的策略
(1)从已知数表中获取关键信息，厘清数据及事件之间的关系．
(2)建立适当的数学模型，转化成各种概型或随机变量的分布、回归分析、独立性检验等问题．
(3)求解数学模型再回到实际问题.
INCLUDEPICTURE "对点训练.TIF"
近年来，国内掀起了全民新中式热潮，新中式穿搭，新中式茶饮，新中式快餐，新中式烘焙等．以下为2024年某纺织厂生产“新中式”面料其中5个月的利润y(单位：万元)的统计表．
月份 5月 6月 7月 8月 9月
月份编号x 1 2 3 4 5
利润y/万元 27 23 20 17 13
(1)根据统计表，试求y与x之间的样本相关系数r(精确到0.001)，并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系；(若|r|>0.75，则认为两个变量具有较强的线性相关性)；
(2)该纺织厂现有甲、乙两条流水线生产同一种产品．为对产品质量进行监控，质检人员先用简单随机抽样的方法从甲、乙两条流水线上分别抽取了4件、2件产品进行初检，再从中随机选取3件做进一步的质检，记抽到“甲流水线产品”的件数为X，试求X的分布列与均值．
参考数据及公式：≈34.06，
样本相关系数r＝.
解：(1)因为＝＝3，＝＝20，
(xi－)2＝10，(yi－)2＝116，
(xi－)(yi－)＝－34，
所以r＝
＝≈≈－0.998.
又|r|＝0.998>0.75，
所以可以判断y与x具有较强的线性相关关系．
(2)X的可能取值有1，2，3，
因为P(X＝1)＝ eq \f(CC,C) ＝，
P(X＝2)＝ eq \f(CC,C) ＝，
P(X＝3)＝ eq \f(C,C) ＝，
其分布列为
X 1 2 3
P
E(X)＝1×＋2×＋3×＝2.
INCLUDEPICTURE "专题强化练.TIF"
1．(2024·贵阳一模)某中学开展劳动主题德育活动，高一某班统计了本班学生1至7月份的人均月劳动时间(单位：h)，并建立了人均月劳动时间y(单位：h)关于月份x的经验回归方程＝x＋，y与x的原始数据如表所示：
月份x 1 2 3 4 5 6 7
人均月劳动时间y 8 9 n 12 m 19 22
由于某些原因导致部分数据丢失，但已知iyi＝448.
(1)求m，n的值；
(2)如果该月人均劳动时间超过13 h，则该月份“达标”．从表格中的7组数据中随机选5组，设ξ表示“达标”的数据组数，求ξ的分布列和均值．
参考公式：在经验回归方程＝x＋中，＝ eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up10(－))\o(y,\s\up10(－)),\i\su(i＝1,n,x)－n\o(x,\s\up10(－))2) .
解：(1)＝×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，＝×(8＋9＋n＋12＋m＋19＋22)＝，
iyi＝1×8＋2×9＋3n＋4×12＋5m＋6×19＋7×22＝448，则3n＋5m＝106，
而＝1＋4＋9＋16＋25＋36＋49＝140，
所以＝ eq \f(\i\su(i＝1,7,x)iyi－7\o(x,\s\up10(－))\o(y,\s\up10(－)),\i\su(i＝1,7,x)－7\o(x,\s\up10(－))2) ＝，整理得＋＝16，由＝＋，
得＝4＋，
联立解得＝，＝，则m＋n＝26，又3n＋5m＝106，所以m＝14，n＝12.
(2)依题意，ξ的可能取值为1，2，3，
P(ξ＝1)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(ξ＝2)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(ξ＝3)＝ eq \f(CC,C) ＝，
ξ的分布列为
ξ 1 2 3
P
所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.
2．(2024·菏泽模拟)随着牡丹花期结束，某市牡丹园为了更好地了解游客需求，优化自身服务，提高游客满意度，随机对200位游客进行了满意度调查，其中100位男性中有86位满意；100位女性中有94位满意．
(1)根据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否推断游客对该牡丹园的满意度与性别有关；
(2)若用频率估计概率，从该牡丹园的游客中随机选取3人，设3人中满意的人数为X，求X的分布列和均值．
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.1 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
解：(1)将所给数据进行整理，得到男性和女性满意度的列联表，如表所示：
单位：人
性别 满意度 合计
满意 不满意
男 86 14 100
女 94 6 100
合计 180 20 200
零假设为H0：游客对该牡丹园的满意度与性别无关，即男性和女性的满意度没有差异．
根据列联表中的数据，经计算得到χ2＝≈3.556>2.706＝x0.1.
根据小概率值α＝0.1的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为游客对该牡丹园的满意度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.1.
(2)依题意，每个游客满意的概率为＝，X的可能取值为0，1，2，3，且X～B，
因为P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝C××＝，
P(X＝2)＝C××＝，
P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)＝3×＝.
3．(2024·重庆模拟)某公司在产品研发领域逐年加大投入，以下是近年来该公司对产品研发年投入额x(单位：百万元)与其年销售量y(单位：千件)的数据统计表．
x 1 2 3 4 5 6
y 0.5 1 1.5 3 6 12
z＝ln y －0.7 0 0.4 1.1 1.8 2.5
(1)公司拟用①y＝bx＋a和②y＝enx＋m两种方案作为年销售量y关于年投入额x的回归分析模型，请根据已知数据，确定方案①和②的经验回归方程；(，，，计算过程保留到小数点后两位，最后结果保留到小数点后一位)
(2)根据下表数据，用决定系数R2(只需比较出大小)比较两种模型的拟合效果哪种更好，并选择拟合精度更高的模型，预测年投入额为7(单位：百万元)时，产品的年销售量是多少？
经验回归方程 ＝x＋ ＝ex＋
残差平方和(yi－i)2 18.29 0.65
参考公式及数据：＝ eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up10(－))\o(y,\s\up10(－)),\i\su(i＝1,n,x)－n\o(x,\s\up10(－))2) ，＝－，R2＝1－，iyi＝121，＝91，
izi＝28.9，＝0.85，e2.8≈16.4，e3≈20.1.
解：(1)＝＝3.5，
＝＝4，
所以＝＝≈2.11，＝4－×3.5＝－3.40，
所以＝2.1x－3.4.
由＝ex＋，两边取以e为底的对数得ln ＝x＋，即＝x＋，
＝＝≈0.63，＝0.85－×3.5＝－1.36，
所以＝0.63x－1.36，所以＝e0.6x－1.4.
(2)(yi－)2＝(0.5－4)2＋(1－4)2＋(1.5－4)2＋(3－4)2＋(6－4)2＋(12－4)2＝96.5，
对于＝2.1x－3.4，R＝1－；
对于＝e0.6x－1.4，R＝1－，
因为R4．(2024·河南三模)PM2.5是指环境空气中直径小于或等于2.5 μm的颗粒物．它能较长时间悬浮于空气中，其在空气中含量越高，说明空气污染越严重．城市中的PM2.5成分除扬尘等自然因素外，燃料的燃烧也是一个重要来源．某市环境检测部门为检测燃油车流量对空气质量的影响，在一个检测点统计每日过往的燃油车流量x(单位：辆)和空气中的PM2.5的平均浓度y(单位：μg/m3).检测人员采集了50天的数据，制成2×2列联表(部分数据缺失)：
单位：天
PM2.5的平均浓度 燃油车日流量 合计
小于1 500 不小于1 500
小于100 16 24
不小于100 20
合计 22
(1)完成上面的2×2列联表，并根据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否认为PM2.5的平均浓度与燃油车日流量有关？
(2)经计算得y与x之间的经验回归方程为＝0.12x－73.86，且这50天的燃油车的日流量x的标准差sx＝249，PM2.5的平均浓度y的标准差sy＝36.若样本相关系数r满足|r|≥0.75，则判定所求经验回归方程有价值；否则判定其无价值．
①判断该经验回归方程是否有价值；
②若这50天的燃油车日流量x满足＝1.23×108，试求这50天的PM2.5的平均浓度y的平均数(利用四舍五入法精确到0.1).
参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d；
经验回归方程＝x＋，其中＝＝ eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up10(－))\o(y,\s\up10(－)),\i\su(i＝1,n,x)－n\o(x,\s\up10(－))2) ，＝－；
样本相关系数r＝.
参考数据：×1.23＝0.024 6，2492＝62 001，≈1 548.55.
α 0.01 0.005 0.001
xα 6.635 7.879 10.828
解：(1)2×2列联表如下：
单位：天
PM2.5的平均浓度 燃油车日流量 合计
小于1 500 不小于1 500
小于100 16 8 24
不小于100 6 20 26
合计 22 28 50
零假设为H0：PM2.5的平均浓度与燃油车日流量无关．
根据列联表中的数据，计算得χ2＝≈9.624>7.879＝x0.005，
所以根据小概率值α＝0.005的独立性检验，我们推断H0不成立，即可以认为PM2.5的平均浓度与燃油车日流量有关，此推断犯错误的概率不大于0.005.
(2)①由题意，得＝＝0.12，
得(xi－)(yi－)＝0.12(xi－)2，
由sx＝＝249，
sy＝＝36，
得r＝＝
＝
0．12×＝0.12×＝0.83>0.75，
所以该经验回归方程有价值．
②因为sx＝＝249，
即 eq \r(\f(1,50)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\i\su(i＝1,50,x)－50×\o(x,\s\up10(－))2))) ＝249，
所以＝ eq \r(\f(1,50)\i\su(i＝1,50,x)－2492) ≈1 548.55，
又＝0.12－73.86≈0.12×1 548.55－73.86＝111.966≈112.0.
故可推算出这50天的PM2.5的平均浓度y的平均数约为112.0.(共48张PPT)
微专题3 成对数据的统计分析
大题考法1
PART
01
第一部分
大题考法1 回归分析及预测
(2024·济南三模)近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2020年至2024年的利润(单位：亿元)，得到如图所示的散点图．其中2020年至2024年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5.
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx和y＝c＋dx2哪一个适合作为企业利润y(单位：亿元)关于年份代码x的回归方程模型？(给出判断即可，不必说明理由)
【解】 由题中散点图的变化趋势，知y＝c＋dx2适合作为企业利润y(单位：亿元)关于年份代码x的回归方程模型．
(2)根据(1)中的判断结果，建立y关于x的回归方程；
(3)非线性回归问题的求解关键：①转化：通过取对数、取倒数、平方(开方)等，把非线性经验回归方程转化成线性经验回归方程；②判断：通过计算样本相关系数或决定系数，判断拟合效果．
(2024·苏州模拟)某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中，为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高y(单位：cm)与父亲身高x(单位：cm)之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了5对父子的身高数据，如下表：
父亲身高x 160 170 175 185 190
儿子身高y 170 174 175 180 186
(1)根据表中数据，求出y关于x的经验回归方程，并利用经验回归方程分别确定儿子比父亲高和儿子比父亲矮的条件，由此可得到怎样的遗传规律？
大题考法2
PART
02
第二部分
大题考法2 独立性检验
(2024·湘潭模拟)2024年8月8日是我国第16个“全民健身日”，设立全民健身日(Fitness Day)是适应人民群众体育的需求，促进全民健身运动开展的需要．某学校为了提高学生的身体素质，举行了跑步竞赛活动，活动分为长跑、短跑两类项目，且该班级所有同学均参加活动，每位同学选择一项活动参加．
性别 跑步项目
长跑 短跑
男同学 30 10
女同学 a 10
若采用分层随机抽样按性别从该班级中抽取6名同学，其中有男同学4名，女同学2名．
(1)求a的值以及该班同学选择长跑的概率；
α 0.05 0.01 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
【解】 依题意，得到如下列联表，
单位：名
性别 跑步项目 合计
长跑 短跑
男 30 10 40
女 10 10 20
合计 40 20 60
独立性检验的步骤
(1)分析数据：根据条件中提供的数据准确分析数据，绘制2×2列联表，并提出零假设H0.
(2)准确计算：计算χ2的值，确保计算准确．
(3)作出结论：将χ2的值与临界值xα进行对比，当χ2≥xα时，推断H0不成立，即“有关”；当χ2(1)求P(A)和P(A|B)；
(2)若该班级共有36名学生，请完成列联表，并依据α＝0.005的独立性检验判断学生期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本是否有关；
单位：名
个性化错题本 期末统考中的数学成绩 合计
及格 不及格
建立
未建立
合计
解：由题完成列联表：
单位：名
个性化
错题本 期末统考中的数学成绩 合计
及格 不及格
建立 20 4 24
未建立 4 8 12
合计 24 12 36
α 0.01 0.005 0.001
xα 6.635 7.879 10.828
大题考法3
PART
03
第三部分
大题考法3 成对数据分析与概率统计的综合
(2024·保定二模)某青少年跳水队共有100人，在强化训练前、后，教练组对他们进行了成绩测试，分别得到如图1所示的强化训练前的频率分布直方图，如图2所示的强化训练后的频率分布直方图．
(1)根据图中数据，估计强化训练后的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)与成绩的中位数；
【解】 强化训练后的平均成绩约为55×0.04＋65×0.16＋75×0.2＋85×0.32＋95×0.28＝81.4.
由于0.04＋0.16＋0.2＝0.4，
所以设中位数为80＋x，则0.032x＝0.1，
解得x＝3.125，所以中位数约为83.125.
(2)若规定得分80分(含80分)以上的为“优秀”，低于80分的为“非优秀”．
单位：人
强化训练 成绩 合计
优秀 非优秀
前
后
合计
α 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 3.841 6.635 7.879 10.828
【解】 补充完整的表格为
单位：人
强化训练 成绩 合计
优秀 非优秀
前 40 60 100
后 60 40 100
合计 100 100 200
解决成对数据分析与概率统计的综合问题的策略
(1)从已知数表中获取关键信息，厘清数据及事件之间的关系．
(2)建立适当的数学模型，转化成各种概型或随机变量的分布、回归分析、独立性检验等问题．
(3)求解数学模型再回到实际问题.
近年来，国内掀起了全民新中式热潮，新中式穿搭，新中式茶饮，新中式快餐，新中式烘焙等．以下为2024年某纺织厂生产“新中式”面料其中5个月的利润y(单位：万元)的统计表．
月份 5月 6月 7月 8月 9月
月份编号x 1 2 3 4 5
利润y/万元 27 23 20 17 13
(1)根据统计表，试求y与x之间的样本相关系数r(精确到0.001)，并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系；(若|r|>0.75，则认为两个变量具有较强的线性相关性)；
