微专题4 导数与函数零点
大题考法1 判断函数的零点个数
INCLUDEPICTURE "例1.TIF" (2024·郑州三模)已知函数f(x)＝eax－x.
(1)若a＝2，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)讨论f(x)的零点个数．
【解】 (1)若a＝2，则f(x)＝e2x－x，f′(x)＝2e2x－1.
又f(1)＝e2－1，则切点为(1，e2－1)，
曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的斜率k＝f′(1)＝2e2－1，
故所求切线方程为y－(e2－1)＝(2e2－1)(x－1)，
即y＝(2e2－1)x－e2.
(2)由题得f′(x)＝aeax－1.
①当a≤0时，f′(x)＜0，f(x)在R上单调递减，又f(0)＝1＞0，f(1)＝ea－1≤0.
故f(x)存在一个零点，此时f(x)的零点个数为1.
②当a＞0时，令f′(x)＜0得x＜－，
令f′(x)＞0得x＞－，
所以f(x)在(－∞，－)上单调递减，在(－，＋∞)上单调递增．
故f(x)min＝f(－)＝.
当a＝时，f(x)min＝0，此时f(x)有一个零点；
当a＞时，f(x)min>0，此时f(x)没有零点；
当0＜a＜时，f(x)min<0，f(－1)＝e－a＋1＞0，
f(－)＝＜0，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，此时f(x)有两个零点．
综上，当a≤0或a＝时，f(x)有一个零点；
当0＜a＜时，f(x)有两个零点；
当a＞时，f(x)没有零点．
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
判断函数f(x)零点个数的方法
(1)直接法：令f(x)＝0，如果能求出解，那么解的个数就是f(x)的零点个数．
(2)图象法：画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴的交点个数就是函数f(x)的零点个数；将函数f(x)拆成两个函数h(x)和g(x)的差的形式，根据f(x)＝0 h(x)＝g(x)，则函数f(x)的零点个数就是函数y＝h(x)和y＝g(x)的图象的交点个数．
(3)利用函数零点存在定理：利用函数零点存在定理时，不仅要求函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数的零点个数．
INCLUDEPICTURE "对点训练.TIF"
(2024·西安二模)已知函数f(x)＝＋－1.
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；
(2)讨论f(x)的零点个数．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝＋－1，x>0，
f′(x)＝－＋＝，
令f′(x)＞0，则x＞e；
令f′(x)＜0，则0＜x＜e，
故f(x)的单调递增区间为(e，＋∞)，单调递减区间为(0，e).
(2)由f(x)＝＋－1＝0，
得a＝x－，x＞0，
令φ(x)＝x－，x＞0，
则φ′(x)＝，x＞0，
当0＜x＜ee－1时，φ′(x)＞0，φ(x)在(0，ee－1)上单调递增，
当x＞ee－1时，φ′(x)＜0，φ(x)在(ee－1，＋∞)上单调递减，
故φ(x)max＝φ(ee－1)＝＝ee－2，
又φ(x)＝，x＞0，
当0＜x＜ee时，φ(x)＞0，
当x＞ee时，φ(x)＜0，
当x→0时，φ(x)→0，
作出函数y＝φ(x)，x＞0的图象如图，
故当a≤0或a＝ee－2时，y＝a与y＝φ(x)的图象有1个交点，即f(x)＝＋－1有1个零点；
当0＜a＜ee－2时，y＝a与y＝φ(x)的图象有2个交点，即f(x)＝＋－1有2个零点；
当a＞ee－2时，y＝a与y＝φ(x)的图象无交点，即f(x)＝＋－1无零点．
大题考法2 已知零点个数求参数
INCLUDEPICTURE "例2.TIF" (2024·汕头三模)已知函数f(x)＝x(ex－ax2).
(1)若曲线y＝f(x)在x＝－1处的切线与y轴垂直，求f(x)的极值；
(2)若f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，求实数a的值．
【解】 (1)函数f(x)＝x(ex－ax2)的定义域为R，
f′(x)＝(x＋1)ex－3ax2，
依题意，f′(－1)＝－3a＝0，
则a＝0，f(x)＝xex，f′(x)＝(1＋x)ex，
当x＜－1时，f′(x)＜0，
当x＞－1时，f′(x)＞0，
因此函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，
所以函数f(x)在x＝－1处取得极小值f(－1)＝－，无极大值．
(2)由题意，设g(x)＝ex－ax2，
则函数g(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，
即a＝在(0，＋∞)上只有一个解，则曲线y＝(x＞0)与直线y＝a只有一个公共点，令φ(x)＝(x＞0)，得φ′(x)＝，当0
画出y＝φ(x)(x>0)的大致图象，如图所示，
当g(x)在(0，＋∞)上只有一个零点时，a＝φ(2)＝，所以f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点时，a＝.
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
根据函数零点个数确定参数范围的常用方法
(1)分离参数法：先分离参数，再通过求导求出分离参数后构造的新函数的最值，根据条件，通过数形结合构建关于参数的不等式，解不等式确定参数范围．
(2)分类讨论法：结合单调性确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，再将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求．
INCLUDEPICTURE "对点训练.TIF"
(2022·全国乙卷)已知函数f(x)＝ax－－(a＋1)ln x.
(1)当a＝0时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围．
解：(1)当a＝0时，f(x)＝－－ln x(x>0)，所以f′(x)＝－＝.
当x∈(0，1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以f(x)max＝f(1)＝－1.
(2)由f(x)＝ax－－(a＋1)ln x(x>0)，得f′(x)＝a＋－＝(x>0).
当a＝0时，由(1)可知，f(x)不存在零点；
当a<0时，f′(x)＝，
当x∈(0，1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以f(x)max＝f(1)＝a－1<0，所以f(x)不存在零点；
当a>0时，f′(x)＝，
若a＝1，f′(x)≥0，
f(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为f(1)＝a－1＝0，所以函数f(x)恰有一个零点；
若a>1，易得f(x)在(0，)，(1，＋∞)上单调递增，在(，1)上单调递减，因为f(1)＝a－1>0，所以
f()>f(1)>0，当x→0＋时，f(x)→－∞，由零点存在定理可知f(x)在(0，)上必有一个零点，所以a>1满足条件；
若0综上，若f(x)恰有一个零点，a的取值范围为(0，＋∞).
INCLUDEPICTURE "专题强化练.TIF"
1．已知函数f(x)＝ax2＋ln x－(a＋1)x(a∈R).
(1)当a＝－4时，求f(x)的单调区间与极值；
(2)当a≥1时，证明：f(x)只有一个零点．
解：(1)当a＝－4时，f(x)＝－2x2＋ln x＋3x，x∈(0，＋∞)，f′(x)＝－4x＋＋3＝＝.
令f′(x)>0，得01.
所以f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)，
所以f(x)在x＝1处取得极大值f(1)＝1，无极小值．
(2)证明：因为f(x)＝ax2＋ln x－(a＋1)x，x∈(0，＋∞)，
所以f′(x)＝ax＋－(a＋1)＝＝.
①当a＝1时，f′(x)≥0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
因为f(1)＝－<0，f(4)＝ln 4>0，
所以f(1)f(4)<0，故f(x)在(1，4)上有唯一零点．
②当a>1时，令f′(x)>0，得01，
令f′(x)<0，得所以f(x)在(0，)上单调递增，在(，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
因为f()＝－－ln a－1<0，f(4)＝4a－4＋ln 4>0，
所以f()f(4)<0，故f(x)在(，4)上有唯一零点．
综上，当a≥1时，f(x)只有一个零点．
2．已知函数f(x)＝sin x－mx3(m∈R)，g(x)＝(x－1)ex.
(1)求函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)设F(x)＝f(x)＋g(x)－sin x，当x>0时，函数F(x)有两个极值点，求实数m的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝sin x－mx3，所以f′(x)＝cos x－3mx2，所以f′(0)＝1，f(0)＝0，
所以函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为y＝x.
(2)当x>0时，F(x)＝(x－1)ex－mx3有两个极值点，
即F′(x)＝x(ex－3mx)有两个变号零点，
令h(x)＝ex－3mx，则当x>0时，F′(x)有两个变号零点等价于h(x)有两个变号零点．
等价于方程＝3m在(0，＋∞)上有两个不相等的实数解．
令φ(x)＝(x>0)，则φ′(x)＝，
所以当x∈(0，1)时，φ′(x)<0，φ(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，
所以当x>0时，φ(x)min＝φ(1)＝e.
又当x→0＋时，φ(x)→＋∞，当x→＋∞时，φ(x)→＋∞，
所以当3m>e，即m>时，方程＝3m在(0，＋∞)上有两个不相等的实数解，即F(x)有两个极值点，所以实数m的取值范围为(，＋∞).
3．(2024·洛阳一模)已知函数f(x)＝ln x－ax2(a∈R).
(1)若f(x)存在唯一极值点，且极值为0，求实数a的值；
(2)讨论函数f(x)在区间[1，e]上的零点个数．
解：(1)由已知得f′(x)＝－ax＝(x>0).
①当a≤0时，f′(x)>0恒成立，
所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数，没有极值，不符合题意．
②当a>0时，令f′(x)>0，得0令f′(x)<0，得x>.
所以f(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减．
所以f(x)有唯一的极值点，
则f()＝ln －＝0.
所以a＝.
(2)由f(x)＝0，得a＝.
令g(x)＝，x∈[1，e]，
则函数f(x)在区间[1，e]上的零点个数等于直线y＝a与函数g(x)图象的交点个数．
g′(x)＝，令g′(x)＝0，得x＝，
令g′(x)>0，得1≤x<；令g′(x)<0，得 所以g(x)在[1, )上单调递增，在(，e]上单调递减．
又g(1)＝0，g()＝，g(e)＝，
所以当a<0或a>时，
函数f(x)在区间[1，e]上没有零点；
当0≤a<或a＝时，函数f(x)在区间[1，e]上有1个零点；
当≤a<时，函数f(x)在区间[1，e]上有2个零点．
4．(2024·广州调研)已知函数f(x)＝ax－ex2，a>0且a≠1.
(1)设g(x)＝＋ex，讨论函数g(x)的单调性；
(2)若a>1，且f(x)存在三个零点，求实数a的取值范围．
解：(1)由题意知g(x)＝＋ex＝(x≠0)，
则g′(x)＝(x≠0).
当0当x>，且x≠0时，g′(x)<0；
当x<时，g′(x)>0.
故函数g(x)在(－∞，)上单调递增，在(，0)和(0，＋∞)上单调递减．
当a>1时，ln a>0，令g′(x)＝0，解得x＝.
当x>时，g′(x)>0；
当x<，且x≠0时，g′(x)<0.
故函数g(x)在(－∞，0)和(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增．
综上所述，当0当a>1时，函数g(x)在(－∞，0)和(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增．
(2)由于f(0)＝1≠0，所以f(x)＝0等价于x ln a＝1＋ln x2，即ln a＝(x≠0).
令p(x)＝，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
所以若a>1，且f(x)存在三个零点，等价于直线y＝ln a与函数p(x)的图象有三个不同的交点，
因为p(－x)＝－p(x)，故p(x)为奇函数，
当x>0时，p(x)＝，于是p′(x)＝，
所以当x∈(0，)时，p′(x)>0，p(x)单调递增；
当x∈(，＋∞)时，p′(x)<0，p(x)单调递减．
当x→0＋时，p(x)→－∞；当x→＋∞时，p(x)→0.
所以p()＝为极大值．
由于函数p(x)是奇函数，所以作出p(x)的大致图象如图所示．
因为a>1，所以ln a>0，所以当0所以1所以实数a的取值范围为(1，eeq \s\up10()).(共22张PPT)
微专题4 导数与函数零点
大题考法1
PART
01
【解】 若a＝2，则f(x)＝e2x－x，f′(x)＝2e2x－1.
又f(1)＝e2－1，则切点为(1，e2－1)，
曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的斜率k＝f′(1)＝2e2－1，
故所求切线方程为y－(e2－1)＝(2e2－1)(x－1)，
即y＝(2e2－1)x－e2.
(2)讨论f(x)的零点个数．
判断函数f(x)零点个数的方法
(1)直接法：令f(x)＝0，如果能求出解，那么解的个数就是f(x)的零点个数．
(2)图象法：画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴的交点个数就是函数f(x)的零点个数；将函数f(x)拆成两个函数h(x)和g(x)的差的形式，根据f(x)＝0 h(x)＝g(x)，则函数f(x)的零点个数就是函数y＝h(x)和y＝g(x)的图象的交点个数．
(3)利用函数零点存在定理：利用函数零点存在定理时，不仅要求函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数的零点个数．
(2)讨论f(x)的零点个数．
当x→0时，φ(x)→0，
作出函数y＝φ(x)，x＞0的图象如图，
大题考法2
PART
02
第二部分
大题考法2 已知零点个数求参数
(2024·汕头三模)已知函数f(x)＝x(ex－ax2).
(1)若曲线y＝f(x)在x＝－1处的切线与y轴垂直，求f(x)的极值；
【解】 函数f(x)＝x(ex－ax2)的定义域为R，
f′(x)＝(x＋1)ex－3ax2，
依题意，f′(－1)＝－3a＝0，
则a＝0，f(x)＝xex，f′(x)＝(1＋x)ex，
当x＜－1时，f′(x)＜0，
当x＞－1时，f′(x)＞0，
(2)若f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，求实数a的值．
根据函数零点个数确定参数范围的常用方法
(1)分离参数法：先分离参数，再通过求导求出分离参数后构造的新函数的最值，根据条件，通过数形结合构建关于参数的不等式，解不等式确定参数范围．
(2)分类讨论法：结合单调性确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，再将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求．
(2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围．