微专题2 导数及其简单应用
小题考法1 导数的几何意义
[核心提炼]
1．导数的几何意义
(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率．
(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同．
(3)切点既在切线上，又在曲线上．
2．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x.
命题角度 曲线的切线
(1)(2024·全国甲卷)设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( A )
A． B．
C． D．
【解析】 f′(x)＝
，
所以f′(0)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为(0，1)，(－，0)，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×＝.
(2)已知f(x)＝x3－4x2＋5x－4，则经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为_________________________．
【解析】 令该曲线的切点为(x0，f(x0))，
则f(x0)＝x－4x＋5x0－4，
f′(x)＝3x2－8x＋5，
f′(x0)＝3x－8x0＋5，
则有y－(x－4x＋5x0－4)＝(3x－8x0＋5)(x－x0)，
又该直线过点A(2，－2)，
故有－2－(x－4x＋5x0－4)＝(3x－8x0＋5)(2－x0)，
化简得x－5x＋8x0－4＝0，
即(x0－1)(x0－2)2＝0，
故x0＝1或x0＝2，
当x0＝1时，有y－(1－4＋5－4)＝(3－8＋5)(x－1)，即y＋2＝0，
当x0＝2时，有y－(8－16＋10－4)＝(12－16＋5)(x－2)，即x－y－4＝0.
【答案】 y＋2＝0或x－y－4＝0
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
求曲线y＝f(x)的切线方程的
两种类型及方法
(1)“在”某点P(x0，y0)处的切线方程
求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程．
(2)“过”某点M(a，b)的切线方程
设切点为P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0 ，再由点斜式或两点式写出切线方程．
命题角度 曲线的公切线
INCLUDEPICTURE "例2.TIF" (1)(2024·茂名一模)若曲线y＝ln x与曲线y＝x2＋2ax有公切线，则实数a的取值范围是( B )
A．(－∞，－] B．[－，＋∞)
C．(－∞，] D．[，＋∞)
【解析】 两个函数求导分别为y′＝，y′＝2x＋2a，
设y＝ln x，y＝x2＋2ax图象上的切点分别为(x1，ln x1)，(x2，x＋2ax2)，
则曲线在这两点处的切线方程分别为y＝＋ln x1－1，y＝(2x2＋2a)x－x，
由题意，知＝2x2＋2a，ln x1－1＝－x，
所以2a＝eeq \s\up8(x－1)－2x2，
设f(x)＝e－2x，f′(x)＝2(xe－1)，
令g(x)＝f′(x)＝2(xe－1)，
所以g′(x)＝2(2x2＋1)e＞0，
所以g(x)，即f′(x)在R上单调递增，且f′(1)＝0，则f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以2a≥f(1)＝－1，即a≥－.
(2)(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝________．
【解析】 由题，令f(x)＝ex＋x，则f′(x)＝ex＋1，所以f′(0)＝2，所以曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1.令g(x)＝ln (x＋1)＋a，则g′(x)＝，设直线y＝2x＋1与曲线y＝g(x)相切于点(x0，y0)，则＝2，得x0＝－，则y0＝2x0＋1＝0，所以0＝ln (－＋1)＋a，所以a＝ln 2.
【答案】 ln 2
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
对于两条曲线的公切线问题，设公切线l与曲线y＝f(x)相切于点(m，f(m))，与曲线y＝g(x)相切于点(n，g(n))，利用导数求出切线l在两切点处的方程，利用斜率相等且截距相等列方程求解．
INCLUDEPICTURE "对点训练.TIF"
1．已知f(x)＝x2－，过原点作曲线y＝f(x)的切线，则切点的横坐标为( C )
A．2 B．－2
C．－ D．
解析：由f(x)＝x2－得f′(x)＝x＋.
设切点坐标为(x0，x－)，所以f′(x0)＝x0＋ eq \f(1,2x) ，
则切线方程为y－x＋＝(x0＋ eq \f(1,2x) )(x－x0)，
因为切线过原点，所以－x＋＝－x0(x0＋ eq \f(1,2x) )＝－x－，
解得x0＝－，即切点的横坐标为－.故选C.
2．若直线y＝x＋a与函数f(x)＝ex和g(x)＝ln x＋b的图象都相切，则a＋b＝( D )
A．－1 B．0
C．1 D．3
解析：设直线y＝x＋a与函数f(x)和g(x)的图象分别相切于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由f(x)＝ex，得f′(x)＝ex，令ex1＝1，得x1＝0，代入f(x)，得y1＝1，将A(0，1)代入y＝x＋a，得a＝1，由g(x)＝ln x＋b，得g′(x)＝，令＝1，得x2＝1，代入g(x)，得y2＝b，将B(1，b)代入y＝x＋1，得b＝2，所以a＋b＝3.故选D.
小题考法2 利用导数研究函数的单调性
[核心提炼]
1．函数f(x)在区间D上单调递增(或递减)，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在x∈D上恒成立．
2．函数f(x)在区间D上存在单调递增(或递减)区间，可转化为f′(x)>0(或f′(x)<0)在x∈D上有解．
INCLUDEPICTURE "例3.TIF" (1)(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1，2)单调递增，则a的最小值为( C )
A．e2 B．e
C．e－1 D．e－2
【解析】 由题可知，f′(x)＝aex－≥0在(1，2)上恒成立，显然a＞0，所以xex≥在(1，2)上恒成立．设g(x)＝xex，x∈(1，2)，所以g′(x)＝(x＋1)ex＞0，因此g(x)在(1，2)上单调递增，g(x)＞g(1)＝e，故e≥，即a≥＝e－1，即a的最小值为e－1.故选C.
(2)(2024·广州调研)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，其导函数为f′(x)，若xf′(x)－1<0，f(e)＝2，则关于x的不等式f(ex)
【解析】 由题意设F(x)＝f(x)－ln x－1，则F′(x)＝f′(x)－＝<0，所以F(x)在(0，＋∞)上是减函数，又F(e)＝0，所以F(ex)＝f(ex)－ln ex－1＝f(ex)－x－1<0＝F(e)，所以ex>e，得x>1，所以关于x的不等式f(ex)【答案】 (1，＋∞)
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
利用导数研究函数单调性的关键
(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域．
(2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认．
(3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况．
INCLUDEPICTURE "对点训练.TIF"
1．已知函数f(x)＝xex－，则( C )
A．f(x)是奇函数，且在(－∞，0)上单调递减
B．f(x)是奇函数，且在(－∞，0)上先递减再递增
C．f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递减
D．f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上先递减再递增
解析：由f(x)＝xex－，可得f(－x)＝－xe－x－＝xex－＝f(x)，故f(x)为偶函数，所以A，B错误；由f′(x)＝ex－e－x＋x(ex＋e－x)，当x<0时，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，0)上单调递减，所以C正确，D错误．故选C.
2．已知f(x)是定义在R上的函数，f′(x)是函数f(x) 的导函数，且 x∈R，f′(x)＞1，f(1)＝0，则( C )
A．f(e)＜e－1 B．f(0)＞－1
C．f(0)＜－1 D．f(e)＜f(0)＋e
解析：令g(x)＝f(x)－x，则g′(x)＝f′(x)－1＞0，所以g(x)在R上为增函数，由g(e)＞g(1) 得f(e)－e＞f(1)－1＝－1，所以f(e)＞e－1，故选项A不正确；由g(0)＜g(1)得f(0)＜f(1)－1＝－1，故选项B不正确，选项C正确；由g(e)＞g(0)得f(e)－e＞f(0)，所以f(e)＞f(0)＋e，故选项D不正确．故选C.
小题考法3 利用导数研究函数的极值、最值
[核心提炼]
1．由导函数的图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：
(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点．
(2)由y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的函数值的正负，从而可得到函数y＝f(x)的单调性，可得极值点．
2．求函数f(x)在[a，b]上的最值的步骤
(1)求函数在(a，b)内的极值．
(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b).
(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
(1)(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)若函数f(x)＝a ln x＋＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则( BCD )
A．bc＞0 B．ab＞0
C．b2＋8ac＞0 D．ac＜0
【解析】 函数f(x)＝a ln x＋＋的定义域为(0，＋∞)，求导得f′(x)＝－－＝，
因为函数f(x)既有极大值也有极小值，则函数f′(x)在(0，＋∞)上有两个变号零点，因此方程ax2－bx－2c＝0有两个不相等的正实根x1，x2，
于是即有
显然a2bc＜0，即bc＜0，故A错误，B，C，D正确．故选BCD.
(2)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝2x，若f(x1)＝g(x2)，则|x1－x2|的最小值是____________．
【解析】 因为f(x1)＝g(x2)，所以ln x1＝2x2，即x2＝，x1－x2＝x1－，令h(x)＝x－，x∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝1－＝，令h′(x)＝0，解得x＝，则当0＜x＜时，h′(x)＜0，当x＞时，h′(x)＞0，所以h(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，所以h(x)min＝h()＝－＝＞0，所以|x1－x2|的最小值是.
【答案】
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
利用导数研究函数的极值、
最值应注意的问题
(1)不能忽略函数f(x)的定义域．
(2)f′(x0)＝0是可导函数在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．
(3)函数的极小值不一定比极大值小．
(4)函数在区间(a，b)上有唯一极值点，则这个极大(小)值点也是最大(小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．
INCLUDEPICTURE "对点训练.TIF"
1．若x＝2是函数f(x)＝ax2－x－2ln x的极值点，则函数f(x)( A )
A.有最小值－2ln 2，无最大值
B．有最大值－2ln 2，无最小值
C．有最小值－2ln 2，最大值2ln 2
D．无最大值，无最小值
解析：由题设知f′(x)＝ax－－1(x>0)，
且f′(2)＝0，所以2a－2＝0，解得a＝1，
所以f′(x)＝x－－1＝(x>0).
所以当0当x>2时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
所以f(x)有极小值f(2)＝－2ln 2，无极大值．
综上，f(x)有最小值－2ln 2，无最大值，故选A.
2．已知函数f(x)＝x3＋x2－2x＋1，若函数f(x)在(2a－2，2a＋3)上存在最小值，则实数a的取值范围是________．
解析：由f(x)＝x3＋x2－2x＋1，知f′(x)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，则当－21时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)在x＝1处取得极小值，在x＝－2处取得极大值．令f(x)＝f(1)，解得x＝1或x＝－，又因为函数f(x)在(2a－2，2a＋3)上存在最小值，且(2a－2，2a＋3)为开区间，所以－≤2a－2<1<2a＋3，解得－≤a<，即实数a的取值范围是－≤a<.
答案：[－，)
INCLUDEPICTURE "专题强化练.TIF"
[小题标准练]
1．函数f(x)＝cos x＋x，x∈[－，]的单调递增区间为( A )
A．[－，) B．(，]
C．[－，) D．(，]
解析：因为f(x)＝cos x＋x，所以f′(x)＝－sin x＋，令f′(x)>0，即sin x<，又x∈[－，]，所以－≤x<.则函数f(x)的单调递增区间为[－，).
2．函数f(x)＝x2－ln x的最小值是( A )
A． B．1
C．0 D．不存在
解析：由题意可知，函数f(x)＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－＝.则当x∈(0，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故f(x)min＝f(1)＝.故选A.
3．函数f(x)＝(x－1)ex＋x的极值点的个数为( A )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：由题意知f′(x)＝ex＋(x－1)ex＋＝[ex(x－1)＋1].令g(x)＝ex(x－1)＋1，则g′(x)＝ex(x－1)＋ex＝xex，令g′(x)＝0，得x＝0，则函数g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以g(x)≥g(0)＝0，由此可知f′(x)≥0，f(x)在R上为增函数，所以函数f(x)不存在极值点，故选A.
4．(2024·邵阳三模)已知曲线y＝x2＋ln x＋在点(1，1)处的切线与抛物线x2＝ay也相切，则实数a的值为( C )
A．0 B．
C．1 D．0或1
解析：因为y′＝x＋，
所以y′|x＝1＝2，
所以曲线y＝x2＋ln x＋在点(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，
即y＝2x－1.
联立y＝2x－1与x2＝ay，得x2－2ax＋a＝0，依题意可知Δ＝4a2－4a＝0，
所以a＝0或a＝1.
当a＝0时，x2＝ay＝0不是抛物线，舍去；当a＝1时，x2＝y，符合题意．综上，a＝1.
5．(2023·贵州贵阳模拟)若f(x)＝a ln x＋bx2＋x在x＝1和x＝2处有极值，则函数f(x)的单调递增区间为( C )
A.(－∞，1) B．(2，＋∞)
C．(1，2) D．(，1]
解析：因为f(x)＝a ln x＋bx2＋x，所以f′(x)＝＋2bx＋1，由已知得解得
所以f(x)＝－ln x－x2＋x，所以f′(x)＝－－x＋1＝－，由f′(x)＞0，得1＜x＜2，所以函数f(x)的单调递增区间为(1，2).故选C.
6．已知函数f(x)＝x ln (1＋x)，则( C )
A．f(x)在(－1，＋∞)上为增函数
B．f(x)有两个零点
C．曲线y＝f(x)在点(－，f(－))处的切线的斜率为－1－ln 2
D．f(x)是偶函数
解析：由f(x)＝x ln (1＋x)得f′(x)＝ln (1＋x)＋(x>－1)，当x∈(0，＋∞)时，ln (1＋x)>0，>0，所以f′(x)>0；当x∈(－1，0)时，ln (1＋x)<0，<0，所以f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－1，0)上单调递减，A错误；
当x＝0时，f(0)＝0，当－10，当x>0时，f(x)>0，所以f(x)只有x＝0一个零点，B错误；
令x＝－，f′(－)＝ln －1＝－ln 2－1，则曲线y＝f(x)在点(－，f(－))处的切线的斜率为－1－ln 2，C正确；
因为函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，不关于原点对称，故f(x)不是偶函数，D错误．故选C.
7．(2024·哈尔滨一模)在同一平面直角坐标系内，函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为(0，1)，则( C )
A．函数y＝f(x)·ex的最大值为1
B．函数y＝f(x)·ex的最小值为1
C．函数y＝的最大值为1
D．函数y＝的最小值为1
解析：对于A，B，由题意可知，两个函数图象都在x轴上方，任何一个为导函数，则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为y＝f′(x)，实线部分为y＝f(x)，
故y′＝f′(x)·ex＋f(x)·ex＝(f′(x)＋f(x))·ex＞0恒成立，故y＝f(x)·ex在R上单调递增，则A，B错误；
对于C，D，y′＝＝，由题图可知当x∈(－∞，0)时，y′＝＞0恒成立，故y＝单调递增，当x∈(0，＋∞)时，y′＝＜0恒成立，故y＝单调递减，所以函数y＝在x＝0处取得极大值，也是最大值，＝1，C正确，D错误．
8．过点(1，a)可以作三条直线与曲线y＝xex相切，则实数a的取值范围是( A )
A．(－，0) B．(－，e)
C．(－，－) D．(－，0)
解析：设切点为M(x0，x0ex0)，由题知，y′＝(x＋1)ex，
所以曲线在点M处的切线斜率k＝(x0＋1)ex0，则切点为M的切线方程为y＝(x0＋1)ex0(x－x0)＋x0ex0，
代入点(1，a)的坐标，化简得a＝(－x＋x0＋1)ex0，
因为过点(1，a)可以作三条直线与曲线y＝xex相切，
所以方程a＝(－x＋x0＋1)ex0有三个不等实根．
令f(x)＝(－x2＋x＋1)ex，
求导得f′(x)＝(－x2－x＋2)ex，
可知f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，当x→－∞时，f(x)→0－.
f(x)的大致图象如图所示，
故f(－2)＜a＜0，即－＜a＜0.
9．(多选)(2024·广州模拟)已知函数f(x)＝x3－3x2＋4，则( BCD )
A．f(x)的极小值为2
B．f(x)有两个零点
C．点(1，2)是曲线y＝f(x)的对称中心
D．直线y＝－3x＋5是曲线y＝f(x)的切线
解析：由题得f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2，所以当x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(0，2)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递增，在(0，2)上单调递减．
对于A，当x＝2时，函数f(x)取得极小值，即f(x)极小值＝f(2)＝23－3×22＋4＝0，故A不正确；
对于B，
方法一：因为f(0)＝03－3×02＋4＝4，且当x→－∞时，f(x)→－∞，所以函数f(x)在(－∞，0)上存在一个零点，又f(2)＝0，所以结合f(x)的单调性知，函数f(x)有两个零点，故B正确．
方法二：f(x)＝x3－3x2＋4＝x3－2x2－x2＋4＝(x＋1)·(x－2)2，则由f(x)＝0，解得x＝－1或x＝2，所以函数f(x)有两个零点，故B正确；
对于C，
方法一：若点(1，2)是曲线y＝f(x)的对称中心，则有f(x)＋f(2－x)＝4，将函数f(x)＝x3－3x2＋4代入上式验证得，x3－3x2＋4＋(2－x)3－3(2－x)2＋4＝4，故C正确．
方法二：令g(x)＝3x2－6x，则g′(x)＝6x－6，由g′(x)＝0，得x＝1，又f(1)＝2，所以点(1，2)是曲线y＝f(x)的对称中心，故C正确；
对于D，若直线y＝－3x＋5是曲线y＝f(x)的切线，则有3x2－6x＝－3，解得x＝1.当x＝1时，f′(1)＝－3，f(1)＝2，所以曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程为y－2＝－3(x－1)，即y＝－3x＋5，故D正确．故选BCD.
10．(多选) 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在R上为增函数，f′(x)为其导函数，则下列结论正确的是( AC )
A．f′(1)≥0 B．f(1)≥0
C．a2－3b≤0 D．a2－3b≥0
解析：由题得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.因为函数f(x)在R上为增函数，所以f′(x)≥0对于任意的x∈R恒成立，所以f′(1)≥0恒成立，但f(1)大小未知．对于方程3x2＋2ax＋b＝0，Δ＝4a2－12b≤0，即a2－3b≤0.故选AC.
11．(多选)(2024·佛山模拟)已知函数f(x)＝ex－x2－1，对于任意的实数a，b，下列结论一定成立的有( ABD )
A．若a＋b>0，则f(a)＋f(b)>0
B．若a＋b>0，则f(a)－f(－b)>0
C．若f(a)＋f(b)>0，则a＋b>0
D．若f(a)＋f(b)<0，则a＋b<0
解析：由题得f′(x)＝ex－x，
令g(x)＝ex－x，则g′(x)＝ex－1，易得g(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，故g(x)≥g(0)＝1，所以f(x)在R上为增函数，且f(0)＝0.对于B项，因为a＋b>0，所以a>－b，则f(a)>f(－b)，故B正确；
对于A项，有f(b)＋f(－b)＝eb－b2－1＋(e－b－b2－1)＝eb＋e－b－b2－2，令h(b)＝eb＋e－b－b2－2，
则h′(b)＝eb－e－b－2b，令h′(b)＝u(b)，则u′(b)＝eb＋e－b－2≥0，所以u(b)在R上为增函数，而h′(0)＝u(0)＝0，故h(b)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，故h(b)≥h(0)＝0，所以f(b)＋f(－b)≥0，则f(a)＋f(b)≥f(a)－f(－b)>0，故A正确；
对于D项，若f(a)＋f(b)<0，即f(a)<－f(b)≤f(－b)，所以a<－b，即a＋b<0，故D正确；
对于C项，设f(c)＝－f(b)，若c0，但a＋b<0，故C错误．故选ABD.
12．已知函数f(x)＝x3－a ln x的图象在点(1，f(1))处的切线与直线2x＋y＋1＝0平行，则实数a＝________．
解析：由题得f′(x)＝3x2－，因为函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线与直线2x＋y＋1＝0平行，所以f′(1)＝3－a＝－2，即a＝5.
答案：5
13．若函数f(x)＝－x2＋x＋1在区间(，3)上有极值点，则实数a的取值范围是________．
解析：由题得f′(x)＝x2－ax＋1，函数f(x)在区间(，3)上有极值点等价于f′(x)＝0有2个不相等的实根，且在(，3)内有根，由f′(x)＝0有2个不相等的实根，得a2－4>0，解得a<－2或a>2.
由f′(x)＝0在(，3)内有根，得a＝x＋在(，3)内有解，易知当x∈(，3)时，x＋∈[2，)，
所以2≤a<.综上，实数a的取值范围是(2，).
答案：(2，)
14．已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝ex－cos x，则不等式f(x－1)－1＜eπ的解集是____________．
解析：当x≥0时，f(x)＝ex－cos x，f′(x)＝ex＋sin x≥1＋sin x≥0，则f(x)在[0，＋∞)上单调递增，因为f(x)是定义在R上的偶函数，则f(x)在(－∞，0]上单调递减，若f(x－1)－1＜eπ，即f(x－1)＜eπ＋1＝f(π)，可得|x－1|＜π，解得1－π＜x＜1＋π，所以不等式f(x－1)－1＜eπ的解集是(1－π，1＋π).
答案：(1－π，1＋π)
[小题提升练]
15．(多选)已知函数f(x)＝1＋ex(a ln x－xa＋x)(其中x＞1，a＜0)有2个零点，则a的可能取值为( AD )
A．－2e2 B．－e
C．－ D．－e2
解析：函数f(x)＝1＋ex(a ln x－xa＋x)(x＞1，a＜0)有2个零点，则方程1＋ex(a ln x－xa＋x)＝0有2个不同的实数解，方程a ln x－xa＝－x－e－x，即ln xa－xa＝ln e－x－e－x，设函数h(x)＝ln x－x，当0＜x＜1时，h′(x)＝－1＝＞0，所以函数h(x)在(0，1)上单调递增，由h(xa)＝h(e－x)，0＜xa＜1，0＜e－x＜1，得xa＝e－x，即＝－，则直线y＝与y＝－的图象在(1，＋∞)上有2个交点．
设函数g(x)＝－(x＞1)，则g′(x)＝－＝，令g′(x)＜0，解得1＜x＜e，令g′(x)＞0，解得x＞e，所以函数g(x)在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，故g(x)min＝g(e)＝－e－1，g(1)＝0(取不到)，所以解得a＜－e.故选AD.
16．已知函数f(x)＝(x－a)(x－3)2(a∈R)，当x＝3时，f(x)有极大值．则一个符合上述要求的实数a的值为________．
解析：由题意得f′(x)＝(x－3)2＋2(x－a)(x－3)＝(x－3)(x－3＋2x－2a)＝(x－3)(3x－2a－3).
令f′(x)＝0，解得x＝3或x＝.
当>3，即a>3时，f(x)在(－∞，3)上单调递增，在(3，)上单调递减，此时f(x)在x＝3处取得极大值，所以符合要求的实数a的值可以为4.
答案：4(答案不唯一，满足a>3即可)(共38张PPT)
微专题2 导数及其简单应用
小题考法1
PART
01
第一部分
小题考法1 导数的几何意义
[核心提炼]
1．导数的几何意义
(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率．
(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同．
(3)切点既在切线上，又在曲线上．
2．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x.
√
(2)已知f(x)＝x3－4x2＋5x－4，则经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为_________________________．
y＋2＝0或x－y－4＝0
求曲线y＝f(x)的切线方程的
两种类型及方法
(1)“在”某点P(x0，y0)处的切线方程
求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程．
(2)“过”某点M(a，b)的切线方程
设切点为P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0 ，再由点斜式或两点式写出切线方程．
√
(2)(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝________．
ln 2
对于两条曲线的公切线问题，设公切线l与曲线y＝f(x)相切于点(m，f(m))，与曲线y＝g(x)相切于点(n，g(n))，利用导数求出切线l在两切点处的方程，利用斜率相等且截距相等列方程求解．
√
2．若直线y＝x＋a与函数f(x)＝ex和g(x)＝ln x＋b的图象都相切，则a＋b＝
( )
A．－1 B．0
C．1 D．3
√
小题考法2
PART
02
第二部分
小题考法2 利用导数研究函数的单调性
[核心提炼]
1．函数f(x)在区间D上单调递增(或递减)，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在x∈D上恒成立．
2．函数f(x)在区间D上存在单调递增(或递减)区间，可转化为f′(x)>0(或f′(x)<0)在x∈D上有解．
√
(2)(2024·广州调研)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，其导函数为f′(x)，若xf′(x)－1<0，f(e)＝2，则关于x的不等式f(ex)(1，＋∞)
利用导数研究函数单调性的关键
(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域．
(2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认．
(3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况．
√
√
2．已知f(x)是定义在R上的函数，f′(x)是函数f(x) 的导函数，且 x∈R，f′(x)＞1，f(1)＝0，则( )
A．f(e)＜e－1 B．f(0)＞－1
C．f(0)＜－1 D．f(e)＜f(0)＋e
解析：令g(x)＝f(x)－x，则g′(x)＝f′(x)－1＞0，所以g(x)在R上为增函数，由g(e)＞g(1) 得f(e)－e＞f(1)－1＝－1，所以f(e)＞e－1，故选项A不正确；由g(0)＜g(1)得f(0)＜f(1)－1＝－1，故选项B不正确，选项C正确；由g(e)＞g(0)得f(e)－e＞f(0)，所以f(e)＞f(0)＋e，故选项D不正确．故选C.
小题考法3
PART
03
第三部分
小题考法3 利用导数研究函数的极值、最值
[核心提炼]
1．由导函数的图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：
(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点．
(2)由y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的函数值的正负，从而可得到函数y＝f(x)的单调性，可得极值点．
2．求函数f(x)在[a，b]上的最值的步骤
(1)求函数在(a，b)内的极值．
(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b).
(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
√
√
√
(2)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝2x，若f(x1)＝g(x2)，则|x1－x2|的最小值是
______________．
利用导数研究函数的极值、最值应注意的问题
(1)不能忽略函数f(x)的定义域．
(2)f′(x0)＝0是可导函数在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．
(3)函数的极小值不一定比极大值小．
(4)函数在区间(a，b)上有唯一极值点，则这个极大(小)值点也是最大(小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．
√