板块六 函数与导数
微专题1 函数的图象与性质
小题考法1 函数的图象
[核心提炼]
(1)作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．
(2)利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．
命题角度 函数图象的识别
INCLUDEPICTURE "例1.TIF" (1)(2024·全国甲卷)函数y＝－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8，2.8]的图象大致为( B )
【解析】 令y＝f(x)，由题知函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝－(－x)2＋(e－x－ex)·sin (－x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，函数图象关于y轴对称，排除A，C；f(1)＝－1＋(e－)·sin 1>－1＋(e－)sin ＝－1＋－>0，排除D.
(2)如图是函数H(x)图象的一部分，设函数f(x)＝sin x，g(x)＝，则H(x)可以表示为( C )
A.f(x)·g(x)
B．
C．f(x)＋g(x)
D．f(x)－g(x)
【解析】 易知f(x)＝sin x与g(x)＝均为奇函数，由题图可知，H(x)也为奇函数，故排除A，B；对于D，当x→0＋时，sin x→0，→＋∞，所以当x→0＋时，f(x)－g(x)＝sin x－<0，显然不满足题图，故排除D.故选C.
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
寻找函数图象与解析式对应关系的方法
知式选图 (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复
知图选式 (1)从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；(2)从图象的变化趋势，观察函数的单调性；(3)从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性
命题角度 函数图象的应用
(多选)(2024·平凉模拟)已知函数f(x)＝若x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝k，则下列结论正确的是( BCD )
A．x1＋x2＝－1
B．x3x4＝1
C．1＜x4＜2
D．0＜k＜1
【解析】 由函数f(x)＝作出其函数图象如图所示，
由图可知，x1＋x2＝－2，－2＜x1＜－1.
当y＝1时，令|log2x|＝1，
得x＝或x＝2，所以＜x3＜1＜x4＜2.
由f(x3)＝f(x4)，
得|log2x3|＝|log2x4|，
即log2x3＋log2x4＝0，
所以x3x4＝1，由图可知0＜k＜1.
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
(1)利用函数的图象研究方程或不等式
当方程或不等式不能用代数法求解，但与函数有关时，常转化为两函数图象的关系问题，从而利用数形结合求解．
(2)利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或易画出解析式在给定区间上的图象的函数，其性质常借助图象研究．
①从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；
②从图象的对称性，分析函数的奇偶性；
③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．
INCLUDEPICTURE "对点训练.TIF"
1．(2023·天津卷)函数f(x)的图象如下图所示，则f(x)的解析式可能为( D )
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C.f(x)＝
D．f(x)＝
解析：方法一：由题图可知函数f(x)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数．对于A，f(x)＝，定义域为R，f(－x)＝＝－f(x)，所以f(x)＝是奇函数，故排除A；对于B，f(x)＝，定义域为R，f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)＝是奇函数，故排除B；对于C，f(x)＝，定义域为R，f(－x)＝＝f(x)，所以f(x)＝是偶函数，又x2＋2>0，ex＋e－x>0，所以f(x)>0恒成立，不符合题意，故排除C；
对于D，f(x)＝，定义域为R，f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)＝是偶函数，符合题意，故选D.
方法二：由题图可知函数f(x)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数．因为y＝x2＋2是偶函数，y＝ex－e－x是奇函数，所以f(x)＝是奇函数，故排除A；因为y＝x2＋1是偶函数，y＝sin x是奇函数，所以f(x)＝是奇函数，故排除B；因为x2＋2>0，ex＋e－x>0，所以f(x)＝>0恒成立，不符合题意，故排除C.故选D.
2．已知f(x)是定义在R上的奇函数，对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有＜0，若f(1)＝0，则不等式xf(x)＜0的解集为__________________．
解析：已知f(x)是定义在R上的奇函数，则f(x)＝－f(－x)，且f(0)＝0，又对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有＜0，不妨设x1＜x2＜0，则x1－x2＜0，所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，
所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，则函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，又f(1)＝0，所以f(－1)＝－f(1)＝0，则函数f(x)的大致图象如图所示，根据函数图象可得不等式xf(x)＜0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞).
答案： (－∞，－1)∪(1，＋∞)
小题考法2 函数的性质
[核心提炼]
1．函数的奇偶性
(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有f(x)是偶函数 f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；
f(x)是奇函数 f(－x)＝－f(x).
(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数＝偶函数).
2．函数的周期性
若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x＋b)，则函数y＝f(x)的周期为|b－a|.
3．函数图象的对称中心和对称轴
(1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．
(2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
命题角度 奇偶性、周期性与对称性
(1)(多选)(2024·新乡三模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(－x)，且f(x－1)＋f(x＋1)＝f(－2)，若f()＝1，则( BCD )
A．f(2 024)＝1
B．f(x)的图象关于直线x＝－3对称
C．f(x)是周期函数
D．(－1)kkf(k－)＝2 025
【解析】 由f(x－1)＋f(x＋1)＝f(－2)，得f(x＋1)＋f(x＋3)＝f(－2)，
则f(x－1)＝f(x＋3)，即f(x)＝f(x＋4)，因此f(x)是周期为4的周期函数，C正确；
在f(x－1)＋f(x＋1)＝f(－2)中，令x＝－1，得f(－2)＋f(0)＝f(－2)，
则f(0)＝0，因此f(2 024)＝f(0)＝0，A错误；
由f(x＋6)＝f(－x)，得f(－x)＝f[(x－12)＋6]＝f(x－6)，因此f(x)的图象关于直线x＝－3对称，B正确；
由f(x＋6)＝f(－x)，得f(x)的图象关于直线x＝3对称，
因此直线x＝－3＋4n及x＝3＋4n(n∈Z)均为f(x)图象的对称轴，
则f(－2)＝f(8)＝f(0)＝0，f()＝f()＝1，在f(x－1)＋f(x＋1)＝f(－2)中，令x＝，得f(－1)＋f(＋1)＝f(－2)＝0，
即f()＝－f()＝－1，
则f()＝f()＝f()＝－1，
故(－1)kkf(k－)＝－f()＋2f()－3f()＋4f()－…－2 025f()＝(1－2－3＋4)＋…＋(2 021－2 022－2 023＋2 024)＋2 025＝2 025，D正确．
(2)(2024·武汉模拟)已知f(x)是定义域为R的偶函数，f(5.5)＝4，g(x)＝(x－1)f(x)，若g(x＋1)是偶函数，则g(－0.5)＝________．
【解析】 因为g(x＋1)是偶函数，且g(x＋1)＝xf(x＋1)，其中y＝x为奇函数，所以y＝f(x＋1)必为奇函数，则f(－x＋1)＝－f(x＋1)，即有f(－x)＝－f(x＋2)，
又因为f(－x)＝f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以函数y＝f(x)的周期为4.
由函数g(x＋1)是偶函数，
可得g(－x＋1)＝xf(x＋1)，
所以g(－0.5)＝g(－1.5＋1)＝1.5 f(2.5)＝1.5 f(－2.5)＝1.5f(－2.5＋4×2)＝1.5f(5.5)＝6.
【答案】 6
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
函数的奇偶性、周期性及对称性
(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上，其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可以转化到部分(一般取一半)区间上，注意偶函数常用结论f(x)＝f(|x|).
(2)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题转化到已知区间上求解．
(3)对称性：常围绕图象的对称中心或对称轴设置试题背景，利用图象对称中心或对称轴的性质简化所求问题．
命题角度 函数的单调性及其应用
(1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是( B )
A．(－∞，0] B．[－1，0]
C．[－1，1] D．[0，＋∞)
【解析】 因为函数f(x)在R上单调递增，且当x<0时，f(x)＝－x2－2ax－a，所以f(x)＝－x2－2ax－a在(－∞，0)上单调递增，所以－a≥0，即a≤0；当x≥0时，f(x)＝ex＋ln (x＋1)在[0，＋∞)上单调递增．若函数f(x)在R上单调递增，则－a≤f(0)＝1，即a≥－1.综上，实数a的取值范围是[－1，0].
(2)已知定义域为R的函数f(x)满足f(x＋2)为偶函数，且当x1＜x2＜2时，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)＞0恒成立，a＝f(1)，b＝f(ln 10)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为 ________．(从大到小排列)
【解析】 由题意知函数f(x)满足f(2－x)＝f(2＋x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2轴对称．
因为当x1＜x2＜2时，x2－x1＞0，
由(f(x2)－f(x1))(x2－x1)＞0，
得f(x2)－f(x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)，
所以f(x)在(－∞，2)上单调递增，
则f(x)在(2，＋∞)上单调递减．
a＝f(1)＝f(3)，由e2＜10＜2.53＜e3，
根据函数y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，则2＜ln 10＜3；
由1＜，根据函数y＝3x在R上单调递增，则3＜3，则有3＞3＞ln 10>2.
由函数f(x)在(2，＋∞)上单调递减可知f(ln 10)>f(3)>f(3)，即b＞a＞c.
【答案】 b＞a＞c
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使抽象函数转化为具体的不等式求解．此时，应特别注意函数的定义域．
(3)利用单调性求解最值问题，应先确定函数的单调性，然后再由单调性求解．
(4)利用单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．
INCLUDEPICTURE "对点训练.TIF"
1．(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是( D )
A．(－∞，－2] B．[－2，0)
C．(0，2] D．[2，＋∞)
解析：函数y＝2x在R上为增函数，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则有函数y＝x(x－a)＝(x－)2－在区间(0，1)上单调递减，因此≥1，解得a≥2，所以a的取值范围是[2，＋∞).
2．已知函数f(x)＝a－(a∈R)是奇函数，则函数f(x)的值域为( A )
A.(－1，1) B．(－2，2)
C．(－3，3) D．(－4，4)
解析：方法一：由f(x)是奇函数知f(－x)＝－f(x)，所以a－＝－a＋，得2a＝＋＝2，所以a＝1，所以f(x)＝1－，因为ex＋1>1，所以0<<1，所以－1<1－<1，所以函数f(x)的值域为(－1，1).故选A.
方法二：函数f(x)的定义域为R，且函数f(x)是奇函数，所以f(0)＝a－1＝0，即a＝1，所以f(x)＝1－，因为ex＋1>1，所以0<<1，所以－1<1－<1，所以函数f(x)的值域为(－1，1).故选A.
3．(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，且当x<3时f(x)＝x，则下列结论中一定正确的是( B )
A．f(10)>100
B．f(20)>1 000
C．f(10)<1 000
D．f(20)<10 000
解析：f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，当x<3时，f(x)＝x，所以f(1)＝1，f(2)＝2，
则当x∈[3，4)时，f(x)>x－1＋x－2＝2x－3，所以f(3)>3；
当x∈[4，5)时，f(x)>2(x－1)－3＋x－2＝3x－7，所以f(4)>5；
当x∈[5，6)时，f(x)>3(x－1)－7＋2(x－2)－3＝5x－17，所以f(5)>8；
……
发现1，2及当x≥3且x∈N*时，f(x)大于的数字构成斐波那契数列(去掉第1项)1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1 597，…，
所以f(10)>89，A错误；f(20)>f(16)>1 597>1 000，B正确；f(x)没有上界，所以C，D错误．
小题考法3 函数与方程
[核心提炼]
1．函数的零点与方程解的联系
函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标，所以方程f(x)＝0有实数解 函数y＝f(x)有零点 函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．
2．函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
(1)已知函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点在(，)(k∈Z)内，那么k＝________．
【解析】 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，因为y＝ln x和y＝2x－6在(0，＋∞)上均单调递增，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又因为f()＝ln －1<0，f(3)＝ln 3>0，
所以f(x)的零点在(，3)内，所以整数k＝5.
【答案】 5
(2)(2024·全国甲卷)当x>0时，曲线y＝x3－3x与曲线y＝－(x－1)2＋a有两个交点，则a的取值范围是________．
【解析】 令x3－3x＝－(x－1)2＋a，则a＝x3－3x＋(x－1)2，设h(x)＝x3－3x＋(x－1)2，则h′(x)＝3x2－3＋2(x－1)＝(3x＋5)(x－1)，因为x>0，所以3x＋5>0，当01时，h′(x)>0，所以h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．因为曲线y＝x3－3x与y＝－(x－1)2＋a在(0，＋∞)上有两个不同的交点，h(0)＝1，h(1)＝－2，当x→＋∞时，h(x)→＋∞，所以a的取值范围为(－2，1).
【答案】 (－2，1)
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
(1)判断函数零点个数的方法
①利用零点存在定理判断；
②代数法：求方程f(x)＝0的实数根；
③几何法：对于不易求解的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．
(2)利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法
INCLUDEPICTURE "对点训练.TIF"
1．已知实数a>1，0A．(－2，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，2)
解析：因为a>1，00，所以f(－1)·f(0)<0，则由零点存在定理可知f(x)在区间(－1，0)上存在零点．
2．(2024·平远模拟)已知f(x)＝且函数y＝f(x)－1恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是________________．
解析：当x＞0时，f(x)＝e|x－1|，所以由y＝f(x)－1＝e|x－1|－1＝0得x＝1，所以当x≤0时，f(x)－1＝a－x2－2x－1恰有2个不同的零点，令g(x)＝f(x)－1＝－x2－2x－1＋a，由g(x)在x≤0时恰有2个不同的零点，可得解得0＜a≤1.
综上所述，实数a的取值范围是(0，1].
答案： (0，1]
INCLUDEPICTURE "专题强化练.TIF"
[小题标准练]
1．已知函数f(x＋1)的定义域为[1，7]，则函数h(x)＝f(2x)＋的定义域为( C )
A．[4，16]
B．(－∞，1]∪[3，＋∞)
C．[1，3]
D．[3，4]
解析：函数f(x＋1)的定义域为[1，7]，则2≤x＋1≤8，因此，在f(2x)中，2≤2x≤8，要使函数h(x)＝f(2x)＋有意义，必有解得1≤x≤3，所以函数h(x)的定义域为[1，3].故选C.
2．已知函数f(x)满足f(ex－1)＝2x－1，f(a)＋f(b)＝0，则下列等式正确的是( D )
A．a＋b＝1 B．a＋b＝
C．ab＝1 D．ab＝
解析：设t＝ex－1，则x＝ln t＋1，所以f(t)＝2ln t＋1，t＞0.由f(a)＋f(b)＝0得2ln a＋1＋2ln b＋1＝0，
即ln (ab)＝－1，所以ab＝.故选D.
3．(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)·ln 为偶函数，则a＝( B )
A．－1 B．0
C． D．1
解析：方法一：设g(x)＝ln ，易知g(x)的定义域为(－∞，－)∪(，＋∞)，且g(－x)＝ln ＝ln ＝－ln ＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．
若f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0，故选B.
方法二：因为f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，f(－1)＝(a－1)ln 3，f(1)＝(a＋1)ln ＝－(a＋1)ln 3，
所以(a－1)ln 3＝－(a＋1)ln 3，解得a＝0，故选B.
4．若函数f(x)＝的部分图象如图所示，则f(5)＝( A )
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：由题图可知y＝f(x)的定义域为{x|x≠2，且x≠4}，所以x＝2和x＝4是方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根，所以ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－4)，故f(x)＝，又f(3)＝1，所以＝1，解得a＝－2，所以f(5)＝＝－，故选A.
5．(2023·江西高三期中)已知函数f(x)＝＋1，g(x)＝f(x－2)＋1，则不等式f(x)＜g(x)的解集为( A )
A．(－∞，1) B．(1，2)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
解析： 由题知f(x)＝＋1＝
g(x)＝f(x－2)＋1＝
在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)，g(x)的大致图象如图．
由图可知f(x)＜g(x)的解集为(－∞，1).故选A.
6．(2024·潍坊二模)已知函数f(x)＝
则f(x)图象上关于原点对称的点有( C )
A.1对 B．2对
C．3对 D．4对
解析： 作出f(x)的图象，再作出函数y＝()x，x≥0关于原点对称的图象如图所示．
因为函数y＝()x，x≥0关于原点对称的图象与y＝－|x2＋2x|，x＜0的图象有三个交点，故f(x)图象上关于原点对称的点有3对．
7．(2024·济南三模)已知函数f(x)的定义域为R，且yf(x)－xf(y)＝xy(x－y)，则下列结论一定成立的是( C )
A．f(1)＝1
B．f(x)为偶函数
C．f(x)有最小值
D．f(x)在[0，1]上单调递增
解析：由于函数f(x)的定义域为R，且yf(x)－xf(y)＝xy(x－y)，
令y＝1，则f(x)－xf(1)＝x(x－1)，
得f(x)＝x2＋(f(1)－1)x，
当x＝1时，f(1)＝12＋(f(1)－1)恒成立，无法确定f(1)＝1，A不一定成立；
由于f(1)＝1不一定成立，故f(x)＝x2＋(f(1)－1)x不一定为偶函数，B不一定成立；
由于f(x)＝x2＋(f(1)－1)x的对称轴为x＝－(f(1)－1)，与[0，1]的位置关系不确定，
故f(x)在[0，1]上不一定单调递增，D不一定成立；由于f(x)＝x2＋(f(1)－1)x的图象为开口向上的抛物线，故函数f(x)必有最小值，C一定成立．
8．(2024·茂名二模)若f(x)为R上的偶函数，且f(x)＝f(4－x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－1，则函数g(x)＝3|sin πx|－f(x)在区间[－1，5]上的所有零点的和是( A )
A．20 B．18
C．16 D．14
解析：因为f(x)为R上的偶函数，则f(－x)＝f(x)，且f(x)＝f(4－x)，
则f(－x)＝f(4－x)，f(x)的周期T＝4，
当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－1，
则当x∈[－2，0]时，f(x)＝()x－1，
又函数y＝3|sin πx|的周期是1，最大值为3，即可画出函数y＝f(x)与y＝3|sin πx|的部分图象，如图所示．
由图知y＝f(x)与y＝3|sin πx|在区间[－1，5]上一共有10个交点，且这10个交点的横坐标关于直线x＝2对称，所以g(x)在区间[－1，5]的所有零点的和是20.
9．(多选)(2024·东营模拟)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点．若函数f(x)的图象恰好经过n(n∈N*)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．下列函数中是一阶整点函数的有( AD )
A．f(x)＝sin 2x B．g(x)＝x3
C．h(x)＝()x D．φ(x)＝ln x
解析：对于函数f(x)＝sin 2x，它的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数，故A正确；对于函数g(x)＝x3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一阶整点函数，故B错误；对于函数h(x)＝()x，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一阶整点函数，故C错误；对于函数φ(x)＝ln x，它的图象只经过整点(1，0)，所以它是一阶整点函数，故D正确．故选AD.
10．(多选)(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg ，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60～90
混合动力汽车 10 50～60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则( ACD )
A．p1≥p2 B．p2>10p3
C．p3＝100p0 D．p1≤100p2
解析：因为Lp＝20×lg 随着p的增大而增大，且Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]，所以Lp1≥Lp2，所以p1≥p2，故A正确；由Lp＝20×lg ，得p＝p010，因为Lp3＝40，所以p3＝p010＝100p0，故C正确；假设p2>10p3，则p010>10p010，所以10eq \s\up8(－)>10，所以Lp2－Lp3>20，不可能成立，故B不正确；因为＝＝10eq \s\up8(－)＋2≥1，所以p1≤100p2，故D正确．故选ACD.
11．(多选)已知f(x)为定义在R上的奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，f(－1)＝f(3)＝2，则下列结论中一定正确的是( AB )
A．f(－2)＞－2
B．f(x)有3个零点
C．f(2)＜－2
D．f(f(5))＞f(f(－))
解析：由题意得，f(x)在(－∞，0)上单调递增，f(0)＝0，由f(－1)＝f(3)＝2，得f(1)＝f(－3)＝－2.
对于A，因为f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以f(－2)＞f(－3)＝－2，故A正确；
对于B，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝－2，f(3)＝2，故在(0，＋∞)上有且只有一个x0∈(1，3)，使f(x0)＝0，同理f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f(－1)＝2，f(－3)＝－2，故在(－∞，0)上有且只有一个x1∈(－3，－1)，使f(x1)＝0，又f(0)＝0，所以f(x) 有3个零点，故B正确；
对于C，因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(2)＞f(1)＝－2，故C错误；
对于D，f(5)＞f(3)＝2，f(－)＞f(－1)＝2，易知 f(5)与f(－)无法比较大小，故D不一定正确．故选AB.
12．若函数y＝的定义域为[－2，1]，则实数a的值为________．
解析：y＝的定义域满足ax2－x＋2≥0，解集为[－2，1]，故a＜0且解得a＝－1.
答案：－1
13．已知函数f(x)＝5－x－3x3，若f(a－1)＋f(2a)≥10，则实数a的取值范围为________．
解析：令g(x)＝x＋3x3，因为g(－x)＝－x－3x3＝－g(x)，所以函数g(x)为奇函数，由函数y＝x，y＝3x3都是增函数，可得g(x)＝x＋3x3为增函数，f(x)＝5－x－3x3＝5－g(x)，则不等式f(a－1)＋f(2a)≥10，即为5－g(a－1)＋5－g(2a)≥10，即－g(a－1)≥g(2a)，即g(1－a)≥g(2a)，所以1－a≥2a，解得a≤，所以实数a的取值范围为(－∞，].
答案：(－∞，]
14．(2024·广州模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在[0，2]上单调递减，f(x＋2)为偶函数，若f(x)＝m在[0，12]上恰好有4个不同的实数根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________．
解析：由f(x＋2)为偶函数可知，函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，又f(x)是奇函数，所以f(x)是周期函数，周期为8.
作出函数f(x)在[0，12]上的大致图象趋势如图所示，作出直线y＝m，由图可知，若f(x)的图象与直线y＝m在[0，12]上有4个交点，则f(2)答案：24
[小题提升练]
15．已知函数f(x)的定义域为R，g(x)＝f(2－x)－f(2＋x)，h(x)＝f(2－x)＋f(x)，则下述结论正确的是( C )
A.g(x)的图象关于点(1，0)对称
B．g(x)的图象关于y轴对称
C．h(x)的图象关于直线x＝1对称
D．h(x)的图象关于点(1，0)对称
解析：因为函数f(x)的定义域为R，且g(x)＝f(2－x)－f(2＋x)，所以g(2－x)＝f[2－(2－x)]－f[2＋(2－x)]＝f(x)－f(4－x)，则g(x)＋g(2－x)不一定为0，所以函数g(x)的图象不一定关于点(1，0)对称，故A错误；g(－x)＝f(2＋x)－f(2－x)，即g(－x)＝－g(x)，所以函数g(x)为奇函数，则函数g(x)的图象不一定关于y轴对称，故B错误；因为h(x)＝f(2－x)＋f(x)，所以h(2－x)＝f[2－(2－x)]＋f(2－x)＝f(x)＋f(2－x)，所以h(2－x)＝h(x)，所以函数h(x)的图象关于直线x＝1对称，故C正确，D错误．故选C.
16．如图为一台冷轧机的示意图．冷轧机由若干对轧辊组成，厚度为α(单位：mm)的带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出，厚度变为β(单位：mm).若α＝10，β＝5，每对轧辊的减薄率r不超过4%，则冷轧机至少需要安装轧辊的对数为(一对轧辊减薄率r＝×100%，lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)( D )
A．14 B．15
C．16 D．17
解析：厚度为α＝10 mm的带钢从一端输入经过减薄率为4%的n对轧辊后厚度为10(1－4%)n，经过各对轧辊逐步减薄后输出，厚度变为β＝5 mm，
则10(1－4%)n≤5 (1－4%)n≤，
因为(1－4%)n>0，>0，
所以lg (1－4%)n≤lg ，则n lg (1－4%)≤－lg 2.
因为lg (1－4%)<0，所以n≥，
即n≥＝＝＝≈16.815 6.故选D.(共49张PPT)
板块六 函数与导数
微专题1 函数的图象与性质
小题考法1
PART
01
第一部分
小题考法1 函数的图象
[核心提炼]
(1)作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．
(2)利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．
√
√
寻找函数图象与解析式对应关系的方法
知式选图 (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复
知图选式 (1)从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；
(2)从图象的变化趋势，观察函数的单调性；
(3)从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性
√
√
√
得|log2x3|＝|log2x4|，
即log2x3＋log2x4＝0，
所以x3x4＝1，由图可知0＜k＜1.
(1)利用函数的图象研究方程或不等式
当方程或不等式不能用代数法求解，但与函数有关时，常转化为两函数图象的关系问题，从而利用数形结合求解．
(2)利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或易画出解析式在给定区间上的图象的函数，其性质常借助图象研究．
①从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；
②从图象的对称性，分析函数的奇偶性；
③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．
√
(－∞，－1)∪(1，＋∞)
所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，则函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，又f(1)＝0，所以f(－1)＝－f(1)＝0，则函数f(x)的大致图象如图所示，根据函数图象可得不等式xf(x)＜0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞).
小题考法2
PART
02
第二部分
小题考法2 函数的性质
[核心提炼]
1．函数的奇偶性
(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有f(x)是偶函数 f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；
f(x)是奇函数 f(－x)＝－f(x).
(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数＝偶函数).
√
√
√
【解析】 由f(x－1)＋f(x＋1)＝f(－2)，得f(x＋1)＋f(x＋3)＝f(－2)，
则f(x－1)＝f(x＋3)，即f(x)＝f(x＋4)，因此f(x)是周期为4的周期函数，C正确；
在f(x－1)＋f(x＋1)＝f(－2)中，令x＝－1，得f(－2)＋f(0)＝f(－2)，
则f(0)＝0，因此f(2 024)＝f(0)＝0，A错误；
由f(x＋6)＝f(－x)，得f(－x)＝f[(x－12)＋6]＝f(x－6)，因此f(x)的图象关于直线x＝－3对称，B正确；
(2)(2024·武汉模拟)已知f(x)是定义域为R的偶函数，f(5.5)＝4，g(x)＝(x－1)f(x)，若g(x＋1)是偶函数，则g(－0.5)＝________．
【解析】 因为g(x＋1)是偶函数，且g(x＋1)＝xf(x＋1)，其中y＝x为奇函数，所以y＝f(x＋1)必为奇函数，则f(－x＋1)＝－f(x＋1)，即有f(－x)＝－f(x＋2)，
又因为f(－x)＝f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以函数y＝f(x)的周期为4.
由函数g(x＋1)是偶函数，
可得g(－x＋1)＝xf(x＋1)，
所以g(－0.5)＝g(－1.5＋1)＝1.5 f(2.5)＝1.5 f(－2.5)＝1.5f(－2.5＋4×2)＝1.5f(5.5)＝6.
6
函数的奇偶性、周期性及对称性
(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上，其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可以转化到部分(一般取一半)区间上，注意偶函数常用结论f(x)＝f(|x|).
(2)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题转化到已知区间上求解．
(3)对称性：常围绕图象的对称中心或对称轴设置试题背景，利用图象对称中心或对称轴的性质简化所求问题．
√
【解析】 因为函数f(x)在R上单调递增，且当x<0时，f(x)＝－x2－2ax－a，所以f(x)＝－x2－2ax－a在(－∞，0)上单调递增，所以－a≥0，即a≤0；当x≥0时，f(x)＝ex＋ln (x＋1)在[0，＋∞)上单调递增．若函数f(x)在R上单调递增，则－a≤f(0)＝1，即a≥－1.综上，实数a的取值范围是[－1，0].
b＞a＞c
【解析】 由题意知函数f(x)满足f(2－x)＝f(2＋x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2轴对称．
因为当x1＜x2＜2时，x2－x1＞0，
由(f(x2)－f(x1))(x2－x1)＞0，
得f(x2)－f(x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)，
所以f(x)在(－∞，2)上单调递增，
则f(x)在(2，＋∞)上单调递减．
函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使抽象函数转化为具体的不等式求解．此时，应特别注意函数的定义域．
(3)利用单调性求解最值问题，应先确定函数的单调性，然后再由单调性求解．
(4)利用单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．
√
1．(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．[－2，0)
C．(0，2] D．[2，＋∞)
√
√
3．(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，且当x<3时f(x)＝x，则下列结论中一定正确的是( )
A．f(10)>100
B．f(20)>1 000
C．f(10)<1 000
D．f(20)<10 000
解析：f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，当x<3时，f(x)＝x，所以f(1)＝1，f(2)＝2，
则当x∈[3，4)时，f(x)>x－1＋x－2＝2x－3，所以f(3)>3；
当x∈[4，5)时，f(x)>2(x－1)－3＋x－2＝3x－7，所以f(4)>5；
当x∈[5，6)时，f(x)>3(x－1)－7＋2(x－2)－3＝5x－17，所以f(5)>8；
……
发现1，2及当x≥3且x∈N*时，f(x)大于的数字构成斐波那契数列(去掉第1项)1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1 597，…，
所以f(10)>89，A错误；f(20)>f(16)>1 597>1 000，B正确；f(x)没有上界，所以C，D错误．
小题考法3
PART
03
第三部分
小题考法3 函数与方程
[核心提炼]
1．函数的零点与方程解的联系
函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标，所以方程f(x)＝0有实数解 函数y＝f(x)有零点 函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．
2．函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
5
(2)(2024·全国甲卷)当x>0时，曲线y＝x3－3x与曲线y＝－(x－1)2＋a有两个交点，则a的取值范围是___________．
【解析】 令x3－3x＝－(x－1)2＋a，则a＝x3－3x＋(x－1)2，设h(x)＝x3－3x＋(x－1)2，则h′(x)＝3x2－3＋2(x－1)＝(3x＋5)(x－1)，因为x>0，所以3x＋5>0，当01时，h′(x)>0，所以h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．因为曲线y＝x3－3x与y＝－(x－1)2＋a在(0，＋∞)上有两个不同的交点，h(0)＝1，h(1)＝－2，当x→＋∞时，h(x)→＋∞，所以a的取值范围为(－2，1).
(－2，1)
(1)判断函数零点个数的方法
①利用零点存在定理判断；
②代数法：求方程f(x)＝0的实数根；
③几何法：对于不易求解的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．
(2)利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法
√
1．已知实数a>1，0A．(－2，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，2)
(0，1]
