(共49张PPT)
板块五 解析几何
微专题1 直线与圆
小题考法1
PART
01
小题考法1 直线的方程
[核心提炼]
1．已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为零)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为零)，则l1∥l2 A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0; l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
√
(1)若直线l：(a＋1)x－y＋3＝0与直线m：x－(a＋1)y－3＝0互相平行，则a＝( )
A．－1 B．－2
C．－2或0 D．0
【解析】 易得(a＋1)×[－(a＋1)]＋1＝0，即(a＋1)2＝1，解得a＝－2或a＝0，又－3(a＋1)－3≠0，所以a≠－2.故a＝0符合题意．故选D.
√
(1)两条直线平行与垂直的判定
若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2均存在，则l1∥l2 k1＝k2，l1⊥l2 k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．
(2)解决对称问题的方法
点关于直线的对称点，点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线的斜率是已知直线斜率的负倒数(仅指斜率存在且不为0的情况，斜率不存在或斜率为0时较简单).
特别地，当对称轴的斜率为±1时，可类比关于直线y＝x的对称问题采用代入法，如(1，3)关于直线y＝x＋1的对称点为(3－1，1＋1)，即(2，2).
1．已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且点P(0，4)到直线l的距离为2，则直线l的方程为________________________．
y＝2或4x－3y＋2＝0
2．已知△ABC的顶点A(4，3)，AC边上的中线所在直线的方程为4x＋13y－10＝0，∠ABC的平分线所在直线的方程为x＋2y－5＝0，则AC边所在直线的方程为________________．
x－8y＋20＝0
小题考法2
PART
02
第二部分
√
√
√
【解析】 当x>0，y>0时，曲线E：(x－1)2＋(y－1)2＝2；
当x>0，y<0时，曲线E：(x－1)2＋(y＋1)2＝2；
当x<0，y>0时，曲线E：(x＋1)2＋(y－1)2＝2；
当x<0，y<0时，曲线E：(x＋1)2＋(y＋1)2＝2；
当x＝0，y＝0时，曲线E为原点．
(2)已知点A(2，－1)，B(4，3)，C(－1，2)，其中一点在圆内，一点在圆上，一点在圆外，则此圆的方程可能是_________________________________．
(x＋1)2＋(y－2)2＝18(答案不唯一)
求圆的方程的两种方法
(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程．
(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程．
(x－4)2＋(y－2)2＝20
小题考法3
PART
03
第三部分
小题考法3 直线与圆的位置关系
[核心提炼]
1．直线与圆的位置关系的判定
(1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：dr 相离．
(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0 相交；Δ＝0 相切；Δ<0 相离．
√
√
√
小题考法4
PART
04
第四部分
√
求轨迹方程的常用方法
(1)直接法：如果动点P的运动规律是否符合我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标(x，y)表示该等量关系式，即可得到动点P的轨迹方程．
(2)代入法(相关点法)：如果动点P的运动是由另外某一点P′的运动引发的，而该点的运动规律已知(该点坐标满足某已知曲线方程)，则可以设出P(x，y)，用(x，y)表示出相关点P′的坐标，然后把P′的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程．
(3)定义法：如果动点P的运动规律符合我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线)的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件和待定方程中的常数，即可得到轨迹方程(有时需注意x，y的范围和杂点).
√
√
√
2．已知直线l：x－y＋4＝0上的动点P，过P点作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为C，D，记M是CD的中点，则直线CD过定点________________，
点M的轨迹方程为_____________________．
(－1，1) 板块五 解析几何
微专题1 直线与圆
小题考法1 直线的方程
[核心提炼]
1．已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为零)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为零)，则l1∥l2 A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0; l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
2．点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)的距离d＝.
3．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为零)间的距离d＝.
INCLUDEPICTURE "例1.TIF" (1)若直线l：(a＋1)x－y＋3＝0与直线m：x－(a＋1)y－3＝0互相平行，则a＝( D )
A．－1 B．－2
C．－2或0 D．0
【解析】 易得(a＋1)×[－(a＋1)]＋1＝0，即(a＋1)2＝1，解得a＝－2或a＝0，又－3(a＋1)－3≠0，所以a≠－2.故a＝0符合题意．故选D.
(2)已知三条直线l1：4x＋y＝1，l2：x－y＝0，l3：2x－my＝3，若l1关于l2对称的直线与l3垂直，则实数m的值是( D )
A．－8 B．－
C．8 D．
【解析】 易知直线l1：4x＋y＝1关于直线l2：x－y＝0对称的直线方程为x＋4y＝1，又直线l3的方程为2x－my＝3，
由题意得1×2＋4·(－m)＝0，解得m＝.故选D.
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
(1)两条直线平行与垂直的判定
若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2均存在，则l1∥l2 k1＝k2，l1⊥l2 k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．
(2)解决对称问题的方法
点关于直线的对称点，点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线的斜率是已知直线斜率的负倒数(仅指斜率存在且不为0的情况，斜率不存在或斜率为0时较简单).
特别地，当对称轴的斜率为±1时，可类比关于直线y＝x的对称问题采用代入法，如(1，3)关于直线y＝x＋1的对称点为(3－1，1＋1)，即(2，2).
INCLUDEPICTURE "对点训练.TIF"
1．已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且点P(0，4)到直线l的距离为2，则直线l的方程为_________．
解析：由解得
所以直线l1与l2的交点为(1，2).若直线l的斜率不存在，则此时直线l：x＝1，显然此时不满足点P(0，4)到直线l的距离为2，即直线l的斜率存在．
设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，
即kx－y＋2－k＝0，因为点P(0，4)到直线l的距离为2，
所以＝2，解得k＝0或k＝，
所以直线l的方程为y＝2或4x－3y＋2＝0.
答案：y＝2或4x－3y＋2＝0
2．已知△ABC的顶点A(4，3)，AC边上的中线所在直线的方程为4x＋13y－10＝0，∠ABC的平分线所在直线的方程为x＋2y－5＝0，则AC边所在直线的方程为____________．
解析：由解得
所以点B的坐标为(9，－2).
设点A(4，3)关于直线x＋2y－5＝0的对称点为A′(x0，y0)，
则
解得所以点A′的坐标为(2，－1).
因为点A′(2，－1)在直线BC上，
所以直线BC的方程为y－(－1)＝(x－2)，
即x＋7y＋5＝0.
设点C的坐标为(x1，y1)，
则AC的中点坐标为(，)，
所以
解得所以点C的坐标为(－12，1)，
所以kAC＝＝，所以AC边所在直线的方程为y－3＝(x－4)，即x－8y＋20＝0.
答案：x－8y＋20＝0
小题考法2 圆的方程
[核心提炼]
1．圆的标准方程
当圆心为(a，b)，半径为r时，圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.
2．圆的一般方程
圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，它表示以为圆心，为半径的圆．
INCLUDEPICTURE "例2.TIF" (1)(多选)(2024·丹东模拟)已知曲线E：x2＋y2－2|x|－2|y|＝0 ，则( ABD )
A．曲线E围成图形的面积为8＋4π
B．曲线E的长度为4π
C．曲线E上的点到原点的最小距离为2
D．曲线E上任意两点间的最大距离为4
【解析】 当x>0，y>0时，曲线E：(x－1)2＋(y－1)2＝2；
当x>0，y<0时，曲线E：(x－1)2＋(y＋1)2＝2；
当x<0，y>0时，曲线E：(x＋1)2＋(y－1)2＝2；
当x<0，y<0时，曲线E：(x＋1)2＋(y＋1)2＝2；
当x＝0，y＝0时，曲线E为原点．
画出曲线E的图形，如图所示．
对于A，曲线E围成的图形可分割为一个边长为2的正方形和四个半径为的半圆，故曲线E围成图形的面积为2×2＋2π×()2＝8＋4π，故A正确；对于B，曲线E的长度为2×2π×＝4π，故B正确；对于C，因为原点在曲线E上，所以最小值为0，故C错误；对于D，曲线E上任意两点的连线过圆心及原点时，距离最大，最大为4.故D正确．
(2)已知点A(2，－1)，B(4，3)，C(－1，2)，其中一点在圆内，一点在圆上，一点在圆外，则此圆的方程可能是____________________．
【解析】 因为|AB|＝＝2，
|AC|＝＝3，
|BC|＝＝，
所以|BC|>|AB|>|AC|，以点C为圆心，以3为半径，得到圆(x＋1)2＋(y－2)2＝18，满足题意．
(或以点B为圆心，以2为半径，得到圆(x－4)2＋(y－3)2＝20，满足题意；或以点A为圆心，以3为半径，得到圆(x－2)2＋(y＋1)2＝18，满足题意)
【答案】 (x＋1)2＋(y－2)2＝18(答案不唯一)
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
求圆的方程的两种方法
(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程．
(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程．
INCLUDEPICTURE "对点训练.TIF"
(2024·广东二模)在平面直角坐标系xOy中，圆C经过点O(0，0)和点A(0，4)，与x轴正半轴相交于点B.若在第一象限内的圆弧AB上存在点P，使cos ∠OPA＝，则圆C的标准方程为_________．
解析：根据题意作图，如图所示：
显然∠OPA＝∠OBA，
所以cos ∠OPA＝cos ∠OBA＝，而∠OBA∈(0，)，
于是sin ∠OBA＝＝，
又∠AOB＝，则AB为圆的直径，
设|AB|＝2R，
由sin ∠OBA＝＝＝，
得R＝2，
因此|OB|＝＝＝8，即B(8，0)，
又A(0，4)，则AB的中点C(4，2)，
所以圆C的标准方程为(x－4)2＋(y－2)2＝20.
答案：(x－4)2＋(y－2)2＝20
小题考法3 直线与圆的位置关系
[核心提炼]
1．直线与圆的位置关系的判定
(1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：dr 相离．
(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0 相交；Δ＝0 相切；Δ<0 相离．
2．圆与圆的位置关系
设圆C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r，圆C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r，两圆心之间的距离为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
(1)d>r1＋r2 两圆外离．
(2)d＝r1＋r2 两圆外切．
(3)|r1－r2|(4)d＝|r1－r2|(r1≠r2) 两圆内切．
(5)0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 两圆内含．
(1)(2024·长沙三模)已知直线l：kx－y＋k＝0，圆O：x2＋y2＝1，则“k<1”是“直线l上存在点P，使点P在圆O内”的( B )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 由直线l上存在点P，使点P在圆O内，得直线l与圆O相交，即<1，解得－1因为k<1不能得出－1所以“k<1”是“直线l上存在点P，使点P在圆O内”的必要不充分条件．
(2)(2023·新课标Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝( B )
A．1 B．
C． D．
【解析】
如图，由x2＋y2－4x－1＝0，得(x－2)2＋y2＝5，所以圆心坐标为(2，0)，半径r＝，所以圆心到点(0，－2)的距离为＝2，由图得圆心与点(0，－2)的连线平分角π－α，所以sin ()＝＝＝，
即cos ＝，
因为0<α≤，所以sin ＝，
所以sin α＝2sin cos ＝2××＝.
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
判定直线(圆)与圆的位置关系的解题思路
(1)数形结合：讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．
(2)巧用垂直：直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，求切线方程主要选择点斜式．
(3)弦长公式：弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，l＝2(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离).
INCLUDEPICTURE "对点训练.TIF"
1．(2024·全国甲卷)已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为( C )
A．1 B．2
C．4 D．2
解析：根据题意有2b＝a＋c，即a－2b＋c＝0，所以直线ax＋by＋c＝0过点M(1，－2).
设圆x2＋y2＋4y－1＝0的圆心为C，连接CM(图略)，则当AB⊥CM时，|AB|最小，将圆的方程化为x2＋(y＋2)2＝5，则C(0，－2)，所以|MC|＝1，所以|AB|的最小值为2＝4.
2．(2023·新课标Ⅱ卷)已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值________．
解析：设直线x－my＋1＝0为直线l，由题意知⊙C的圆心C(1，0)，半径R＝2，则圆心C到直线l的距离d＝，|AB|＝2＝2＝.由S△ABC＝，得××＝，整理得2m2－5|m|＋2＝0，解得m＝±2或m＝±.
答案：2(答案不唯一，可以是±2，±中任意一个)
小题考法4 轨迹问题
INCLUDEPICTURE "例4.TIF" (1)(2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为( A )
A．＋＝1(y>0)
B．＋＝1(y>0)
C．＋＝1(y>0)
D．＋＝1(y>0)
【解析】 方法一(代入法)：设M(x0，y0)，则P(x0，2y0)，因为点P在曲线C上，所以x＋(2y0)2＝16(y0>0)，即 eq \f(x,16) ＋ eq \f(y,4) ＝1(y0>0)，所以线段PP′的中点M的轨迹方程为＋＝1(y>0)，故选A.
方法二(数形结合法)：由题意可知把曲线C上所有点的纵坐标缩短至原来的一半，横坐标不变，即可得到点M的轨迹．曲线C为半圆，则点M的轨迹为椭圆(x轴上方部分)，其中长半轴长为4，短半轴长为2，故选A.
(2)若平面内两定点A，B间的距离为4，动点P满足＝，当点P，A，B不共线时，△PAB面积的最大值为________．
【解析】 以经过点A，B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
则A(－2，0)，B(2，0)，
设P(x，y)，y≠0，
因为＝，所以＝，
整理得x2＋y2－8x＋4＝0，即(x－4)2＋y2＝12(y≠0).
则点P到AB所在直线(x轴)的距离的最大值为2，
所以△PAB面积的最大值为×4×2＝4.
【答案】 4
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
求轨迹方程的常用方法
(1)直接法：如果动点P的运动规律是否符合我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标(x，y)表示该等量关系式，即可得到动点P的轨迹方程．
(2)代入法(相关点法)：如果动点P的运动是由另外某一点P′的运动引发的，而该点的运动规律已知(该点坐标满足某已知曲线方程)，则可以设出P(x，y)，用(x，y)表示出相关点P′的坐标，然后把P′的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程．
(3)定义法：如果动点P的运动规律符合我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线)的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件和待定方程中的常数，即可得到轨迹方程(有时需注意x，y的范围和杂点).
INCLUDEPICTURE "对点训练.TIF"
1．(多选)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1，0)，B(－1，0)，1≤|AM|≤2，点M的轨迹为Ω，则( ABC )
A．Ω为中心对称图形
B．点M到直线x－ay＋2＝0(a∈R)距离的最大值为5
C．若线段OM上的所有点均在Ω中，则|OM|的最大值为
D．使∠MBO＝成立的M点有4个
解析：由题可得|AM|∈[1，2]，故点M在以A为圆心、半径分别为1，2的两圆之间(包含边界)，即Ω为内径为1，外径为2的圆环，A正确；直线x－ay＋2＝0过定点(－2，0)，故点M到直线x－ay＋2＝0距离的最大值即为点M与点(－2，0)距离的最大值，则dmax＝3＋2＝5，B正确；当OM恰与圆(x－1)2＋y2＝1相切时，|OM|最大，此时直线OM与y轴重合，故|OM|max＝，C正确；若∠MBO＝，则直线BM：y＝－(x＋1)或y＝x＋1，直线y＝x＋1与直线y＝－(x＋1)有无数点在Ω上，故符合的M点有无数个，D错误．
2．已知直线l：x－y＋4＝0上的动点P，过P点作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为C，D，记M是CD的中点，则直线CD过定点________________，点M的轨迹方程为____________．
解析：如图，连接PO，CO，DO，因为PD⊥DO，PC⊥CO，
所以P，D，O，C在以PO为直径的圆上，
设P(x0，x0＋4)，
则以OP为直径的圆的方程为(x－)2＋(y－)2＝ eq \f(x＋（x0＋4）2,4) ，
化简得x2－x0x－(x0＋4)y＋y2＝0，
与x2＋y2＝4联立，
可得CD所在直线的方程为x0x＋(x0＋4)y＝4，
即x0(x＋y)＝4(1－y)，由解得
所以直线CD过定点Q(－1，1)，又OM⊥CD，
所以OM⊥MQ，所以点M在以OQ为直径的圆上，
所以点M的轨迹方程为(x＋)2＋(y－)2＝.
答案：(－1，1) (x＋)2＋(y－)2＝
INCLUDEPICTURE "专题强化练.TIF"
[小题标准练]
1．已知直线l垂直于直线y＝x＋1，且l在y轴上的截距为，则直线l的方程是( A )
A．x＋y－＝0
B．x＋y＋1＝0
C．x＋y－1＝0
D．x＋y＋＝0
解析：因为直线l垂直于直线y＝x＋1，所以设直线l的方程为y＝－x＋b，又因为l在y轴上的截距为，所以b＝，故所求直线l的方程为y＝－x＋，即x＋y－＝0.故选A.
2．已知直线l：kx＋y＋4＝0(k∈R)是圆C：x2＋y2＋4x－4y＋6＝0的一条对称轴，过点A(0，k)作斜率为1的直线m，则直线m被圆C所截得的弦长为( C )
A． B．
C． D．2
解析：圆C：x2＋y2＋4x－4y＋6＝0，即(x＋2)2＋(y－2)2＝2，表示以点C(－2，2)为圆心，为半径的圆．由题意可得，直线l：kx＋y＋4＝0经过圆心C(－2，2).所以－2k＋2＋4＝0，解得k＝3，所以点A(0，3)，故直线m的方程为y＝x＋3，即x－y＋3＝0，则圆心C到直线m的距离d＝＝，所以直线m被圆C所截得的弦长为2× ＝.故选C.
3．已知直线x cos θ＋y sin θ＝1(θ∈R)与圆O：x2＋y2＝4交于A，B两点，则∠AOB＝( D )
A．θ B．2θ
C． D．
解析：由题意可得，圆心O(0，0)到直线x cos θ＋y sin θ＝1的距离d＝＝1，又圆O的半径为2，所以sin∠BAO＝＝，所以∠BAO＝，所以∠AOB＝π－∠BAO－∠ABO＝π－2∠BAO＝.故选D.
4．已知圆C1的标准方程为(x－4)2＋(y－4)2＝25，圆C2：x2＋y2－4x＋my＋3＝0关于直线x＋y＋1＝0对称，则圆C1与圆C2的位置关系为( C )
A．相离 B．相切
C．相交 D．内含
解析：由题意可得，圆C1：(x－4)2＋(y－4)2＝25的圆心为(4，4)，半径为5.因为圆C2：x2＋y2－4x＋my＋3＝0，即(x－2)2＋(y＋)2＝1＋，关于直线x＋y＋1＝0对称，所以直线x＋y＋1＝0经过圆心C2(2，－)，即2＋×(－)＋1＝0，解得m＝2，所以圆C2：(x－2)2＋(y＋)2＝4的圆心为(2，－)，半径为2，则两圆的圆心距|C1C2|＝ ＝ ，因为5－2<|C1C2|<5＋2，所以圆C1与圆C2的位置关系是相交，故选C.
5．(2024·潮州模拟)已知圆M：x2＋y2－4x＋3＝0，则下列说法中正确的是( B )
A．点(4，0)在圆M内
B．若圆M与圆x2＋y2－4x－6y＋a＝0恰有三条公切线，则a＝9
C．直线x－y＝0与圆M相离
D．圆M关于4x＋3y－2＝0对称
解析：圆M：x2＋y2－4x＋3＝0的标准方程为(x－2)2＋y2＝1，圆心为O1(2，0)，半径为r1＝1.对于A，因为(4－2)2＋02>1，所以点(4，0)在圆M外，故A错误；对于B，若圆M与圆x2＋y2－4x－6y＋a＝0恰有三条公切线，则两圆外切，圆x2＋y2－4x－6y＋a＝0的标准方程为(x－2)2＋(y－3)2＝13－a，圆心为O2(2，3)，半径为r2＝，a<13，因为|O1O2|＝r1＋r2，所以＝1＋，解得a＝9，故B正确；对于C，圆心O1(2，0)到直线x－y＝0的距离为＝1＝r1，所以直线x－y＝0与圆M相切，故C错误；对于D，显然圆心O1(2，0)不在直线4x＋3y－2＝0上，所以圆M不关于4x＋3y－2＝0对称，故D错误．故选B.
6．已知直线l：x＋2y－1＝0及圆C：(x＋1)2＋(y＋2)2＝4，过直线l上任意一点P作圆C的一条切线PA，A为切点，则|PA|的最小值是( A )
A． B．
C． D．
解析：由题意可得，圆心C(－1，－2)，半径为AC，|AC|＝2，且PA⊥AC，所以|PA|2＝|PC|2－4，故要使|PA|最小，只需使|PC|最小．易知|PC|的最小值为点C到直线l的距离，所以|PC|2≥＝，所以|PA|2≥，所以|PA|min＝.故选A.
7．在平面直角坐标系Oxy中，已知圆C：(x－1)2＋y2＝4，若直线l：x＋y＋m＝0上有且只有一个点P满足：过点P作圆C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，且使得四边形PMCN为正方形，则正实数m的值为( C )
A．1 B．2
C．3 D．7
解析：由(x－1)2＋y2＝4，可知圆心C(1，0)，半径为2，因为四边形PMCN为正方形，且边长为圆C的半径2，所以|PC|＝2，
所以直线l：x＋y＋m＝0上有且只有一个点P，使得|PC|＝2，即PC⊥l，
所以圆心C(1，0)到直线l的距离为2，即＝2，解得m＝3或m＝－5(舍去).故选C.
8．(2024·衡水模拟)已知点A(0，1)，B(2，1)，动点P满足∠APB＝120°，若点P的轨迹与直线y＝x＋b有两个公共点，则b的值可以是( C )
A．＋1 B．－
C． D．－1
解析：如图，由|AB|＝2及∠APB＝120°，得点P在以C为圆心的劣弧AB上运动(A，B两点除外)，∠ACB＝120°.
取AB的中点D，连接CD，
则CD⊥AB，|AD|＝，∠ACD＝60°，
所以|AC|＝2，|CD|＝1，所以点C(，0)，
所以点P的轨迹方程为(x－)2＋y2＝4(1由＝2，
解得b＝±－1.
当直线y＝x＋b过点A(0，1)时，b＝1，
结合图形，由点P的轨迹与直线y＝x＋b有两个公共点，得19．(多选)已知两条直线l1，l2的方程分别为3x＋4y＋12＝0与ax＋8y－11＝0，下列结论中正确的是( ABD )
A．若l1∥l2，则a＝6
B．若l1∥l2，则两条平行直线之间的距离为
C．若l1⊥l2，则a＝
D．若a≠6，则直线l1，l2一定相交
解析：若l1∥l2，则＝≠，即a＝6，故A正确；
由A知，直线l2：6x＋8y－11＝0，直线l1的方程可化为6x＋8y＋24＝0，故两条平行直线之间的距离为＝，故B正确；
若l1⊥l2，则3a＋4×8＝0，即a＝－，故C错误；
由A知，当a＝6时，l1∥l2，所以当a≠6时，则直线l1，l2一定相交，故D正确．故选ABD.
10．(多选)若圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：(x－m)2＋(y－n)2＝4的公共弦AB的长为2，则下列结论中正确的有( AB )
A．m2＋n2＝4
B．直线AB的方程为mx＋ny－2＝0
C．AB中点的轨迹方程为x2＋y2＝3
D．四边形AC1BC2的面积为
解析：由题意知，两圆方程相减可得直线AB的方程为2mx＋2ny－m2－n2＝0，因为圆C1的圆心为(0，0)，半径为2，且公共弦AB的长为2，
则C1(0，0)到直线2mx＋2ny－m2－n2＝0的距离为1，
即＝1，解得m2＋n2＝4，
所以直线AB的方程为mx＋ny－2＝0，故A，B正确；
由圆的性质可知直线C1C2垂直平分线段AB，所以C1(0，0)到直线2mx＋2ny－m2－n2＝0的距离即为AB中点与点C1的距离，设AB的中点坐标为(x，y)，则 ＝1，即x2＋y2＝1，故C错误；
易得四边形AC1BC2为菱形，且|AB|＝2，|C1C2|＝2，则四边形AC1BC2的面积为×2×2＝2，故D错误．故选AB.
11．(多选)已知直线l：x＋y－2＝0与圆C：x2＋y2＝4交于A，B两点，点M为圆C上一动点，点N(－2，－2)，记点M到l的距离为d，则( ACD )
A．|AB|＝2
B．d的最大值为2
C．△ABN是等腰三角形
D．|MN|＋d的最小值为3
解析：如图，不妨设点A在点B的右下方．
对于A，易知A(2，0)，B(0，2)，所以|AB|＝2，所以选项A正确；
对于B，圆心到直线l：x＋y－2＝0的距离d′＝＝，则点M到直线l的距离d的最大值为d′＋r＝2＋，其中r为圆C的半径，所以选项B错误；
对于C，因为点N(－2，－2)，所以|NA|＝＝2，|NB|＝＝2，即|NA|＝|NB|，所以△ABN是等腰三角形，所以选项C正确；
对于D，|MN|＋d的最小值等于点N到直线l：x＋y－2＝0的距离，所以|MN|＋d的最小值为＝3，所以选项D正确．故选ACD.
12．若直线l1：y＝2x和l2：y＝kx＋1与x轴围成的三角形是等腰三角形，写出满足条件的k的两个可能取值：________和________．
解析：设直线l1，l2的倾斜角分别为α，θ，则tan α＝2，tan θ＝k，由题意知k≠0，当围成的等腰三角形底边在x轴上时，θ＝π－α，k＝tan (π－α)＝－tan α＝－2；
当围成的等腰三角形底边在直线l2上时，当k>0时，
α＝2θ，θ∈(0，)，tan α＝tan 2θ＝＝＝2，
整理得k2＋k－1＝0，而k>0，解得k＝；
当k<0时，θ＝＋，α∈(0，)，
所以∈(0，)，tan θ＝tan (＋)＝－，
又tan α＝2＝，tan>0，解得tan ＝，所以k＝tan θ＝；
当围成的等腰三角形底边在直线l1上时，θ＝2α，k＝tan θ＝tan 2α＝＝＝－.
所以k的可能取值为－2，，，－.
答案：－2 (答案不唯一，为－2，，，－中的任意两个即可)
13．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足＝，则|PA|2＋|PB|2的最大值为________．
解析：由题意，设A(－1，0)，B(1，0)，P(x，y)，
因为＝，所以＝，
即(x－2)2＋y2＝3，
所以点P的轨迹为以(2，0)为圆心，为半径的圆，
因为|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝2(x2＋y2＋1)，
其中x2＋y2可看作圆(x－2)2＋y2＝3上的点(x，y)到原点(0，0)的距离的平方，
所以(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，
所以[2(x2＋y2＋1)]max＝16＋8，即|PA|2＋|PB|2的最大值为16＋8.
答案：16＋8
14．(2024·广州模拟) 已知动圆N经过点A(－6，0)及原点O，点P是圆N与圆M：x2＋(y－4)2＝4的一个公共点，则当∠OPA最小时，圆N的半径为________．
解析：如图，记圆N半径为R，∠OPA＝θ，B为AO的中点，则∠ANO＝2θ，∠BNO＝θ，所以sin ∠OPA＝sin ∠BNO＝＝，当∠OPA最小时，R最大，此时两圆内切．由已知设动圆N的圆心为N(－3，t)，又由圆心M(0，4)可得R－2＝|MN|，即－2＝，
解得t＝4，所以R＝5，即圆N的半径为5.
答案：5
[小题提升练]
15．(多选)平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系Oxy中，M(－2，0)，N(2，0)，动点P满足|PM|·|PN|＝5，则下列结论中正确的是( BC )
A．点P的横坐标的取值范围是
B．的取值范围是
C．△PMN面积的最大值为
D．＋的取值范围是
解析：设点P(x，y)，依题意，[(x＋2)2＋y2]·[(x－2)2＋y2]＝25，
对于A，25＝[(x＋2)2＋y2]·[(x－2)2＋y2]≥(x＋2)2·(x－2)2＝(x2－4)2，当且仅当y＝0时取等号，解不等式(x2－4)2≤25，得－3≤x≤3，即点P的横坐标的取值范围是[－3，3]，故A错误；
对于B，[(x2＋y2＋4)＋4x]·[(x2＋y2＋4)－4x]＝25，则x2＋y2＋4＝，由A知0≤x2≤9，因此|OP|＝＝ ∈[1，3]，故B正确；
对于C，△PMN的面积S＝|PM||PN|sin ∠MPN≤·|PM||PN|＝，当且仅当∠MPN＝90°时取等号，当∠MPN＝90°时，点P在以线段MN为直径的圆x2＋y2＝4上，由
解得
所以△PMN面积的最大值为，故C正确；
对于D，因为点(3，0)在动点P的轨迹上，所以当点P为此点时，|PM|＋|PN|＝5＋1＝6，故D错误．故选BC.
16．已知动圆C和定圆O的半径均为1，动圆C自初始位置(如图，圆心C的坐标为(2，0)，圆C上的点A的坐标为(1，0))，逆时针沿圆O滚动，则在滚动过程中，点A的纵坐标的最大值为________．
解析：如图所示，设圆C绕圆O逆时针转的弧长为l，对应的圆心角为θ，
因为圆O和圆C的半径都是1，所以l＝θ，即∠ACO＝θ，且∠xOC＝θ，
过点C作CD∥x轴，再过点A作AB⊥CD，垂足为B，可得∠ACB＝π－2θ，
设A(x，y)，则y＝|OC|sin θ－|AC|sin (π－2θ)＝2sin θ－sin 2θ，不妨设θ∈[0，π]，
设f(x)＝2sin x－sin 2x，x∈[0，π]，可得f′(x)＝2cos x－2cos 2x＝－4cos2x＋2cosx＋2，cos x∈[－1，1]，
令f′(x)＝0，即2cos2x－cosx－1＝0，解得cos x＝－或cos x＝1，
当cos x∈[－1，－)，即x∈(，π]时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；
当cos x∈(－，1]，即x∈[0，)时，f′(x)≥0，函数f(x)单调递增，
所以当cos x＝－，即x＝时，函数f(x)取得极大值，也是最大值，即θ＝时，函数y＝2sin θ－sin 2θ取得最大值，最大值为ymax＝2sin －sin ＝.
答案：
