微专题3 圆锥曲线中的定点、定值与证明
大题考法1 证明问题
[核心提炼]
圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系证明和数量关系证明，位置关系证明有相切、垂直、过定点等；数量关系证明有存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．解题策略为：
(2023·新课标Ⅱ卷)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2，0)，离心率为.
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上．
【解】 (1)设双曲线C的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，c为双曲线C的半焦距，
由题意可得解得
所以双曲线C的方程为－＝1.
(2)证明：方法一(根与系数的关系)：
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝my－4，
则x1＝my1－4，x2＝my2－4.
将直线MN的方程与双曲线C的方程联立，
即整理可得(4m2－1)y2－32my＋48＝0.
因为直线MN与双曲线C的左支交于M，N两点，所以4m2－1≠0，且Δ＞0.
由根与系数的关系得
所以y1＋y2＝y1y2.
因为A1，A2分别为双曲线C的左、右顶点，
所以点A1(－2，0)，A2(2，0).
直线MA1的方程为＝，直线NA2的方程为＝，
所以＝，整理得＝，
即＝＝.
因为＝＝＝＝－3，
所以＝－3，解得x＝－1，
所以点P在定直线x＝－1上．
方法二(齐次化)：
由题意得点A1(－2，0)，A2(2，0).
设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，
直线MN的方程为x＝my－4，
则 eq \f(x,4) － eq \f(y,16) ＝1，即4x－y＝16.
如图，连接MA2，
kMA1·kMA2＝·＝ eq \f(y,x－4) ＝ eq \f(4x－16,x－4) ＝4.①
由－＝1，得4x2－y2＝16，
4[(x－2)＋2]2－y2＝16，
4(x－2)2＋16(x－2)＋16－y2＝16，4(x－2)2＋16(x－2)－y2＝0.
由x＝my－4，得x－2＝my－6，my－(x－2)＝6，[my－(x－2)]＝1.
4(x－2)2＋16(x－2)·[my－(x－2)]－y2＝0，4(x－2)2＋(x－2)my－(x－2)2－y2＝0，
两边同时除以(x－2)2，得＋·－()2＝0，
即()2－·－＝0.
因为kMA2＝，kNA2＝，
由根与系数的关系得kMA2·kNA2＝－.②
由①②可得kMA1＝－3kNA2，
则直线MA1的方程为y＝kMA1(x＋2)＝－3kNA2(x＋2)，
直线NA2的方程为y＝kNA2(x－2).
联立解得x＝－1.
所以点P在定直线x＝－1上．
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
圆锥曲线中证明问题的求解策略
处理圆锥曲线中的证明问题常采用直接法证明，证明时常借助于等价转化思想，化几何关系为数量关系，然后借助函数方程思想、数形结合思想解决．
INCLUDEPICTURE "对点训练.TIF"
(2024·江门二模)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且斜率为2的直线l与C交于A，B两点，且|AB|＝10.
(1)求C的方程；
(2)P是异于点B的动点且BP与x轴平行，过点F作AP的平行线交C于M，N两点，证明：|PA|2＝|MN|·|AB|.
解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2).
因为点F的坐标为(，0)，
所以l：y＝2(x－)＝2x－p，
由得4x2－6px＋p2＝0，
得Δ＝36p2－4×4p2>0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
从而|AB|＝x1＋x2＋p＝＝10，
得p＝4，所以C的方程为y2＝8x.
(2)证明：因为点F的坐标为(2，0)，直线MN的斜率不为0，所以设直线MN的方程为x＝my＋2.
设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
由可得y2－8my－16＝0，Δ＝64(m2＋1)>0，
则y3＋y4＝8m，y3y4＝－16，
所以|MN|＝|y3－y4|＝·＝·＝8(1＋m2).
由(1)可知，|y1－y2|＝2|x1－x2|＝
2＝2×＝4，
因为点A，P的纵坐标分别为y1，y2，且AP∥MN，
所以|PA|＝|y1－y2|＝4·，
可得＝＝10＝|AB|，
即|PA|2＝|MN|·|AB|.
大题考法2 定值问题
[核心提炼]
定值问题，其本质为求值，若求值过程中含有参数，则利用等量代换、约分等，使得代数式计算结果不含参数，为一个常量．也可以赋予参数特殊值，先得到定值，再进行计算验证．解题步骤为：
(2024·洛阳模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，两焦点F1，F2与短轴的一个顶点构成等边三角形，点P(，)在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点F1且斜率不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，与直线x＝－3交于点D.设＝λ1，＝λ2，证明：λ1＋λ2为定值．
【解】 (1)由题意得
解得
所以椭圆C的标准方程是＋＝1.
(2)证明：由(1)知F1(－1，0)，由条件可知l的斜率存在且不为0，设l的方程为x＝my－1，m≠0，
令x＝－3可得D(－3，－).
联立
得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，Δ>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，
y1y2＝－，
由＝λ1可得(－3－x1，－－y1)＝λ1(－1－x1，－y1)，
则有－－y1＝－λ1y1，解得λ1＝1＋，同理λ2＝1＋.
所以λ1＋λ2＝2＋(＋)＝2＋()＝2＋(×)＝2＋×(－)＝，
故λ1＋λ2为定值.
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
求解定值问题的途径
(1)途径一：首先由特例得出一个值(此值一般就是定值)，然后证明定值，即将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关．
(2)途径二：先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值．
INCLUDEPICTURE "对点训练.TIF"
已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，M为椭圆C上一点，△MF1F2的周长为4＋2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若P为圆x2＋y2＝5上任意一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，证明：·为定值．
解：(1)由已知可得
解得所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：设P(x0，y0)，则x＋y＝5.
当x0＝±2时，y0＝±1，显然PA⊥PB，
则·＝0.
当x0≠±2时，过点P的切线可设为y＝k(x－x0)＋y0，
联立切线方程与椭圆C的方程，得
消去y，得(4k2＋1)x2＋8k(y0－kx0)x＋4[(y0－kx0)2－1]＝0，
所以Δ＝64k2(y0－kx0)2－16(4k2＋1)·[(y0－kx0)2－1]＝0，
整理成关于k的方程，得(4－x)k2＋2x0y0k＋1－y＝0，
此方程的两个根k1，k2就是切线PA，PB的斜率，
所以k1·k2＝ eq \f(1－y,4－x) ＝ eq \f(1－（5－x）,4－x) ＝－1.
所以PA⊥PB，所以·＝0.
综上所述，·＝0，为定值．
大题考法3 定点问题
[核心提炼]
定点问题，其本质为求直(曲)线的方程，所求的方程一般含有参数，通过归类整理，运用恒成立问题的解法即可求得定点坐标．也可以先研究特殊情况得到定点，再在一般情况下求解．这类问题的求解一般可分为以下三步：
(2024·平远模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点(1，)在椭圆上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设点A，F分别为椭圆的左顶点和右焦点，过点F的直线l交椭圆C于点M，N，直线AM，AN分别交直线x＝1于点P，Q，求以线段PQ为直径的圆所过的定点．
【解】 (1)因为椭圆C的离心率为，则＝1－＝，所以a2＝4b2，则椭圆方程可化为＋＝1(b>0)，因为点(1，)在椭圆上，所以＋＝1，则b2＝1，a2＝4，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)由(1)可知，点A(－2，0)，F(，0)，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(1，y3)，Q(1，y4)，
设直线l：x＝my＋，联立
整理可得(m2＋4)y2＋2my－1＝0，
Δ＝12m2＋4(m2＋4)＞0，y1＋y2＝－，y1y2＝，则kAM＝，lAM：y＝(x＋2)，
kAN＝，lAN：y＝(x＋2)，分别令x＝1可得y3＝，y4＝.
当m＝0时，直线l：x＝，由对称性设点M(，)，
N(，－)，则点P(1，)，Q(1，－)，
PQ的中点为(1，0)，
且|PQ|＝6－3，所以以线段PQ为直径的圆的方程为(x－1)2＋y2＝(3－)2，则圆过点(－2，0)和点(4－，0)，猜测此两点为所求定点．
下面证明当m≠0时，以线段PQ为直径的圆过点T，
若点T(－2，0)，则·＝(－3)×(－3)＋·＝＋
＝
＋
＝
＋
＝
＋＝0(也可以从y3y4＝去推导定点).
若点T(4－，0)，则·＝(3－)×(3－)＋·＝(－3)×(－3)＋·，
由上知(－3)×(－3)＋·＝0，
所以·＝0(也可以从y3y4＝去推导定点).
所以以线段PQ为直径的圆过定点(－2，0)和(4－，0).
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
曲线过定点问题的求解思路
一是“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标的一般性证明；
二是“一般推理，特殊求解”，即先由题设条件得出曲线的方程，再根据参数的任意性得到定点坐标．
INCLUDEPICTURE "对点训练.TIF"
已知点P(4，3)在双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上，过点P作x轴的平行线，分别交双曲线C的两条渐近线于M，N两点，|PM|·|PN|＝4.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m与双曲线C交于不同的两点A，B，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝1.证明：直线l过定点．
解：(1)由题意可知，点P(4，3)在双曲线C上，所以－＝1.
易知双曲线C的渐近线方程为y＝±x.
过点P作x轴的平行线y＝3，不妨设点M，N分别是直线y＝3与y＝x，y＝－x的交点，
联立得点M(，3)，
联立得点N(－，3)，
所以|PM|·|PN|＝·＝＝a2＝a2＝4，所以a＝2，
代入－＝1，可得b＝，
所以双曲线C的方程为－＝1.
(2)证明：由题意可知，直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去y并整理可得，(3－4k2)x2－8kmx－4m2－12＝0，
所以3－4k2≠0，Δ＝(－8km)2－4(3－4k2)(－4m2－12)>0，
即m2＋3－4k2>0，且3－4k2≠0.
由根与系数的关系可知，x1＋x2＝，x1x2＝，
由k1＋k2＝1，得＋＝1，
整理可得，(x2－4)(kx1＋m－3)＋(x1－4)(kx2＋m－3)＝(x1－4)(x2－4)，
即2kx1x2＋(m－3－4k)(x1＋x2)－8(m－3)＝x1x2－4(x1＋x2)＋16，
将根与系数的关系式代入得，m2＋2km－8k2－6k－6m＋9＝0，
因式分解得，(m－2k－3)(m＋4k－3)＝0，
所以m＝2k＋3或m＝－4k＋3.
若m＝2k＋3，则直线l的方程为y＝kx＋m＝kx＋2k＋3＝k(x＋2)＋3，则直线l过定点(－2，3)；
若m＝－4k＋3，则直线l的方程为y＝kx＋m＝kx－4k＋3＝k(x－4)＋3，则直线l过点P，不合题意，舍去．
综上所述，直线l过定点，定点为(－2，3).
INCLUDEPICTURE "专题强化练.TIF"
1．已知双曲线Q：－y2＝1(a>0)的离心率为，经过坐标原点O的直线l与双曲线Q交于A，B两点，点A(x1，y1)位于第一象限，C(x2，y2)是双曲线Q右支上一点，AB⊥AC，设点D(x1，－).
(1)求双曲线Q的标准方程；
(2)求证：C，D，B三点共线．
解：(1)解：由题意可知e＝＝，解得a＝2，
所以双曲线Q的标准方程为－y2＝1.
(2)证明：方法一：由题意可知，直线AB，AC的斜率存在且不为0.因为AB⊥AC，
所以kAB·kAC＝－1，即·＝－1.
又点A，C在双曲线Q的右支上，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)－y＝1，,\f(x,4)－y＝1，))
两式作差得＝，
由对称性知识可知B(－x1，－y1)，
则kBC＝＝＝－×，
又kBD＝＝－×，所以kBC＝kBD.
又BC，BD有公共点B，所以B，C，D三点共线．
方法二：由题意可知，直线AB，AC的斜率存在且不为0，且由对称性知识可知B(－x1，－y1).
因为AB⊥AC，所以kAB·kAC＝－1，
即·＝－1.①
又kBC·kAC＝·＝ eq \f(y－y,x－x) ，
点A，C在双曲线上，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)－y＝1，,\f(x,4)－y＝1，))
所以kBC·kAC＝ eq \f(\f(x,4)－1＋1－\f(x,4),x－x) ＝.②
由①②得＝－4，所以kBC＝－×，
又kBD＝＝－×，所以kBC＝kBD.
又BC，BD有公共点B，所以B，C，D三点共线．
2．已知在平面直角坐标系Oxy中，点A(0，1)，设动点P(x，y)(y≥0)到x轴的距离为d，且|PA|－d＝1，记动点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)设动直线DE与C交于D，E两点，B(2，b)为C上不同于D，E的点，若直线BD，BE分别与y轴相交于M，N两点，且·＝1，证明：动直线DE恒过定点．
解：(1)解：因为|PA|－d＝1，且动点P的纵坐标非负，
所以动点P到点A的距离与点P到直线y＝－1的距离相等，所以动点P的轨迹是以A为焦点，直线y＝－1为准线的抛物线，所以曲线C的方程为x2＝4y.
(2)证明：由点B(2，b)在曲线C上，可得b＝1，所以B(2，1).
由抛物线的方程x2＝4y，可设D(x1， eq \f(x,4) )，E(x2， eq \f(x,4) )，
显然直线BD的斜率存在，且斜率为 eq \f(\f(x,4)－1,x1－2) ＝，
所以直线BD的方程为y－1＝(x－2).
设M(0，yM)，所以yM＝1＋·(－2)＝－x1，
即＝(0，－x1)，同理可得＝(0，－x2)，
所以·＝(－x1)·(－x2)＝1，
所以x1x2＝4，即x2＝.①
显然直线DE的斜率存在，且斜率为 eq \f(\f(x,4)－\f(x,4),x2－x1) ＝，
所以直线DE的方程为y－ eq \f(x,4) ＝(x－x1).②
将①式代入②式，整理得(x1＋)x－4y－4＝0，③
则无论x1为何值，恒为方程③的解，
所以点(0，－1)恒在直线DE上，
即动直线DE恒过定点(0，－1).
3．(2024·平远模拟)设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点恰好是抛物线y2＝4x的焦点，椭圆E的离心率和双曲线－y2＝1的离心率互为倒数．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过定点N(－1，0)的直线与椭圆E交于C，D两点(与点A，B不重合).证明：直线AC，BD的交点的横坐标为定值．
解：(1)解：因为抛物线y2＝4x的焦点为(，0)，
所以椭圆E的半焦距c＝.
因为双曲线－y2＝1的离心率是，
所以椭圆E的离心率是，从而a＝2，则b＝＝1，
所以椭圆E的标准方程为＋y2＝1.
(2)证明：由(1)可得A(－2，0)，B(2，0).
设过点N(－1，0)的直线为x＝my－1，C(x1，y1)，D(x2，y2).
联立整理得(4＋m2)y2－2my－3＝0，
则Δ＝4m2＋12(4＋m2)>0，
y1＋y2＝，y1y2＝－.
直线AC的方程为y＝(x＋2)，直线BD的方程为y＝(x－2)，
联立得x＝2·，
将x1＝my1－1，x2＝my2－1代入上式，
得x＝2×，
将y1＋y2＝，y1y2＝－代入，
得x＝2×＝－4.
所以直线AC与直线BD的交点的横坐标为定值－4.
4．(2023·全国乙卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点A(－2，0)在C上．
(1)求C的方程；
(2)过点(－2，3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点．
解：(1)解：因为点A(－2，0)在C上，所以＝1，得b2＝4.
因为椭圆C的离心率e＝＝，所以c2＝a2，
又a2＝b2＋c2＝4＋a2，所以a2＝9，c2＝5，
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)证明：由题意知，直线PQ的斜率存在且不为0，设直线lPQ：y－3＝k(x＋2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立消去y整理可得(4k2＋9)x2＋(16k2＋24k)x＋16k2＋48k＝0，
则Δ＝(16k2＋24k)2－4(4k2＋9)(16k2＋48k)＝－36×48k>0，
故x1＋x2＝－，x1x2＝.
直线AP：y＝(x＋2)，
令x＝0，解得yM＝，
同理得yN＝，
则yM＋yN＝2×
＝2×
＝2×
＝2×
＝2×＝6.
所以MN的中点的纵坐标为＝3，
所以线段MN的中点为定点(0，3).(共50张PPT)
微专题3 圆锥曲线中的定点、定值与证明
大题考法1
PART
01
大题考法1 证明问题
[核心提炼]
圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系证明和数量关系证明，位置关系证明有相切、垂直、过定点等；数量关系证明有存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．解题策略为：
(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上．
圆锥曲线中证明问题的求解策略
处理圆锥曲线中的证明问题常采用直接法证明，证明时常借助于等价转化思想，化几何关系为数量关系，然后借助函数方程思想、数形结合思想解决．
(2024·江门二模)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且斜率为2的直线l与C交于A，B两点，且|AB|＝10.
(1)求C的方程；
(2)P是异于点B的动点且BP与x轴平行，过点F作AP的平行线交C于M，N两点，证明：|PA|2＝|MN|·|AB|.
大题考法2
PART
02
第二部分
大题考法2 定值问题
[核心提炼]
定值问题，其本质为求值，若求值过程中含有参数，则利用等量代换、约分等，使得代数式计算结果不含参数，为一个常量．也可以赋予参数特殊值，先得到定值，再进行计算验证．解题步骤为：
求解定值问题的途径
(1)途径一：首先由特例得出一个值(此值一般就是定值)，然后证明定值，即将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关．
(2)途径二：先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值．
大题考法3
PART
03
第三部分
大题考法3 定点问题
[核心提炼]
定点问题，其本质为求直(曲)线的方程，所求的方程一般含有参数，通过归类整理，运用恒成立问题的解法即可求得定点坐标．也可以先研究特殊情况得到定点，再在一般情况下求解．这类问题的求解一般可分为以下三步：
(2)设点A，F分别为椭圆的左顶点和右焦点，过点F的直线l交椭圆C于点M，N，直线AM，AN分别交直线x＝1于点P，Q，求以线段PQ为直径的圆所过的定点．
曲线过定点问题的求解思路
一是“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标的一般性证明；
二是“一般推理，特殊求解”，即先由题设条件得出曲线的方程，再根据参数的任意性得到定点坐标．
(2)若直线l：y＝kx＋m与双曲线C交于不同的两点A，B，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝1.证明：直线l过定点．
因式分解得，(m－2k－3)(m＋4k－3)＝0，
所以m＝2k＋3或m＝－4k＋3.
若m＝2k＋3，则直线l的方程为y＝kx＋m＝kx＋2k＋3＝k(x＋2)＋3，则直线l过定点(－2，3)；
若m＝－4k＋3，则直线l的方程为y＝kx＋m＝kx－4k＋3＝k(x－4)＋3，则直线l过点P，不合题意，舍去．
综上所述，直线l过定点，定点为(－2，3).
