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微专题2 圆锥曲线的定义、方程与性质
小题考法1
PART
01
小题考法1 圆锥曲线的定义与标准方程
[核心提炼]
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|).
(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|).
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.
2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”
所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．
√
(1)求圆锥曲线标准方程的步骤
①设方程：确定圆锥曲线的焦点位置，设出标准方程．
②求方程：利用待定系数法求出方程的系数．特别地，当焦点位置无法确定时，抛物线方程常设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，椭圆方程常设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)，双曲线方程常设为mx2－ny2＝1(mn>0).
(2)求圆锥曲线标准方程需要注意的点
①双曲线的定义中注意“绝对值”．
②椭圆与双曲线方程中a，b，c之间的关系不要弄混，椭圆方程中a2＝b2＋c2，双曲线方程中c2＝a2＋b2.
③确定圆锥曲线方程时需注意焦点位置．
√
2
小题考法2
PART
02
第二部分
√
√
√
√
2．如图，菱形架ABCD是一种作图工具，由四根长度均为4的直杆用铰链首尾连接而成．已知A，C可在带滑槽的直杆l上滑动；另一根带滑槽的直杆DH的长度为4，且一端记为H，另一端用铰链连接在D处，上述两根带滑槽直杆的交点P处有一栓子(可在带滑槽的直杆上滑动).若将H，B固定在桌面上，且两点之间距离为2，转动杆HD，则点P与点B距离的最大值为________．
3
解析：连接BD，PB，BH，因为四边形ABCD为菱形，所以直线AC为线段BD的垂直平分线，故|PB|＝|PD|，所以|PH|＋|PB|＝|PH|＋|PD|＝|DH|＝4>|BH|＝2，故点P的轨迹是以B，H为焦点的椭圆，可得2a＝4，2c＝2，即a＝2，c＝1，所以点P与点B的距离|PB|的最大值为a＋c＝3.
小题考法3
PART
03
第三部分
小题考法3 抛物线的几何性质
[核心提炼]
抛物线的焦点弦的几个常见结论：
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α是直线AB的倾斜角，则：
√
√
利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来确定已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算．
√
(多选)(2024·惠州调研)设抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，点M为C上一动点，E(3，1)为定点，则下列结论正确的是( )
A．准线l的方程是x＝－2
B．|ME|－|MF|的最大值为2
C．|ME|＋|MF|的最小值为7
D．以线段MF为直径的圆与y轴相切
√
小题考法4
PART
04
第四部分
√
√
(2)用“点差法”求解中点弦问题的步骤
√
√微专题2 圆锥曲线的定义、方程与性质
小题考法1 圆锥曲线的定义与标准方程
[核心提炼]
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|).
(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|).
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.
2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”
所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．
(1)(2023·全国甲卷)设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，点P在C上，cos ∠F1PF2＝，则|OP|＝( B )
A． B．
C． D．
【解析】 方法一：依题意得a＝3，b＝，c＝＝.如图，不妨令F1(－，0)，F2(，0).设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，cos ∠F1PF2＝＝，①
由椭圆的定义可得m＋n＝2a＝6.②
联立①②，解得mn＝.设|OP|＝x，在△F1OP和△F2OP中，∠F1OP＋∠F2OP＝π，由余弦定理得＝－，得x2＝＝＝，所以|OP|＝.
方法二：依题意得a＝3，b＝，c＝＝.如图(图同方法一)，设点P的坐标为(x0，y0)，α＝∠F1PF2，
则cos ∠F1PF2＝cos α＝，
故sin ∠F1PF2＝sin α＝＝＝，
则tan＝或tan ＝2(舍去).故△F1PF2的面积S△F1PF2＝b2tan ＝6×＝3.又S△F1PF2＝×2c|y0|＝|y0|，故y＝3，又因为点P(x0，y0)在椭圆C上，所以 eq \f(x,9) ＋ eq \f(y,6) ＝1，所以x＝，|OP|2＝x＋y＝，|OP|＝.
方法三：依题意得a＝3，b＝，c＝＝.如图(图同方法一)，设点P的坐标为(x0，y0)，α＝∠F1PF2，由焦点三角形面积公式知S△F1PF2＝.因为cos ∠F1PF2＝cos α＝，所以sin ∠F1PF2＝sin α＝，故S△F1PF2＝＝3.又S△F1PF2＝×2c|y0|＝|y0|，所以y＝3，又因为点P(x0，y0)在椭圆C上，所以 eq \f(x,9) ＋ eq \f(y,6) ＝1，所以x＝，|OP|2＝x＋y＝，|OP|＝.
方法四：依题意得a＝3，b＝，c＝＝.如图(图同方法一)，不妨令F1(－，0)，F2(，0).设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
在△F1PF2中，cos ∠F1PF2＝＝，①
由椭圆的定义可得m＋n＝2a＝6.②
联立①②，解得mn＝.因为＝(＋)，
所以||2＝(m2＋n2＋2mncos ∠F1PF2)＝＝，所以|OP|＝||＝.
(2)设F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，过左焦点F1作直线F1P与圆x2＋y2＝a2切于点E，与双曲线的右支交于点P，且满足＝(＋)，||＝，则双曲线的方程为____________．
【解析】
如图，由＝(＋)知，E是PF1的中点，又OE⊥PF1，所以△OPF1是等腰三角形，|OP|＝|OF1|＝c.
又|OF2|＝c，所以△F1PF2的外接圆是以O为圆心，|OF1|＝c为半径的圆，所以F1P⊥PF2.
由||＝知a＝，a2＝2，在Rt△OEF1中，
|EF1|＝＝，
|PF1|＝2|EF1|＝2，
|PF2|＝＝＝2，
根据双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝4，即2＝4，解得c2＝10，所以b2＝c2－a2＝8，故双曲线的方程为－＝1.
【答案】 －＝1
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
(1)求圆锥曲线标准方程的步骤
①设方程：确定圆锥曲线的焦点位置，设出标准方程．
②求方程：利用待定系数法求出方程的系数．特别地，当焦点位置无法确定时，抛物线方程常设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，椭圆方程常设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)，双曲线方程常设为mx2－ny2＝1(mn>0).
(2)求圆锥曲线标准方程需要注意的点
①双曲线的定义中注意“绝对值”．
②椭圆与双曲线方程中a，b，c之间的关系不要弄混，椭圆方程中a2＝b2＋c2，双曲线方程中c2＝a2＋b2.
③确定圆锥曲线方程时需注意焦点位置．
INCLUDEPICTURE "对点训练.TIF"
1．(2024·天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为( C )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
解析：由题意可知，∠F1PF2＝90°，又直线PF2的斜率为2，
可得tan ∠PF2F1＝＝2，根据双曲线定义|PF1|－|PF2|＝2a，得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，所以S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝×4a×2a＝4a2＝8，所以a2＝2，所以|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝(4a)2＋(2a)2＝20a2＝40.又|F1F2|2＝4c2，所以c2＝10，又a2＋b2＝c2，
所以b2＝8，
所以双曲线的方程为－＝1.
2．(2024·绵阳模拟)已知抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，圆F以F为圆心，且过坐标原点，过F作倾斜角为45°的直线l，与抛物线E交于A，B两点，与圆F交于C，D两点，其中点B，D均在第一象限，|BD|－|AC|＝4，则p＝________．
解析：由题得F(0，)(p>0)，所以直线l：y＝x＋，联立
得x2－2px－p2＝0，解得x＝p±p，
则xA＝p－p，xB＝p＋p，
所以yA＝－p，yB＝＋p，
所以|BF|－|AF|＝(yB＋)－(yA＋)＝2p，
所以|BD|－|AC|＝(|BD|＋|DF|)－(|AC|＋|CF|)＝|BF|－|AF|＝4，
所以2p＝4，解得p＝2.
答案：2
小题考法2 椭圆、双曲线的几何性质
[核心提炼]
1．椭圆的离心率e＝＝ (01).
2．与双曲线－＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0).
(1)(多选)如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面成45°角的平面所截，截面是一个椭圆，则下列说法正确的是( ACD )
A．椭圆的长轴长为4
B．椭圆的离心率为
C．椭圆的方程可以为＋＝1
D．椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2－
【解析】 圆柱的底面半径是，直径是2，所以椭圆的长轴长2a＝＝4，a＝2，A正确；椭圆的短轴长2b＝2，b＝，则c＝＝，离心率e＝＝，B错误；若以椭圆的长轴所在的直线为x轴，椭圆的短轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则椭圆的方程为＋＝1，C正确；椭圆上的点到焦点的距离的最小值是a－c＝2－，D正确．故选ACD.
(2)(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，⊥，＝－，则C的离心率为______________．
【解析】 方法一：依题意，设|AF2|＝2m(m>0)，则|BF2|＝3m＝|BF1|，|AF1|＝2a＋2m，在Rt△ABF1中，9m2＋(2a＋2m)2＝25m2，整理得(a＋3m)(a－m)＝0，故a＝m或a＝－3m(舍去)，所以|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，|BF2|＝|BF1|＝3a，则|AB|＝5a，
故cos ∠F1AF2＝＝＝，
所以在△AF1F2中，cos ∠F1AF2＝＝，整理得5c2＝9a2，故e＝＝.
方法二：由方法一知，cos ∠F1BF2＝＝＝，在Rt△BF1O中，sin ∠OBF1＝＝＝e，
由cos ∠F1BF2＝cos 2∠OBF1＝1－2sin2∠OBF1，
得＝1－2×(e)2，所以e＝.
方法三：依题意得F1(－c，0)，F2(c，0)，设A(x0，y0)，B(0，t)，因为＝－，所以(x0－c，y0)＝－(－c，t)，则x0＝c，y0＝－t，所以A(c，－t).又⊥，所以·＝(c，－t)·(c，t)＝c2－t2＝0，则t2＝4c2，又点A(c，－t)在双曲线C上，则－＝1，整理得－＝1，即－＝1，
所以25c2b2－16c2a2＝9a2b2，即25c2(c2－a2)－16a2c2＝9a2(c2－a2)，
整理得25c4－50a2c2＋9a4＝0，即(5c2－9a2)(5c2－a2)＝0，解得5c2＝9a2或5c2＝a2，所以e＝或e＝，
又e＞1，故e＝.
【答案】
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
(1)确定椭圆和双曲线的离心率的值或范围，其关键就是确立一个关于a，b，c之间的等量关系式或不等关系式，然后用a，c代换b，进而求的值或范围．
(2)求双曲线渐近线方程的关键在于求或的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后通过因式分解得到．
INCLUDEPICTURE "对点训练.TIF"
1．某研究性学习小组发现，由双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线所成的角可求离心率e的大小，联想到反比例函数y＝(k≠0)的图象也是双曲线，据此可进一步推断双曲线y＝的离心率为( A )
A. B．2
C． D．5
解析：双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，所以两条渐近线所在直线的斜率分别为－，.设双曲线y＝的实轴长为2a′，虚轴长为2b′，焦距为2c′，因为双曲线y＝的两条渐近线分别为x轴，y轴，即两条渐近线互相垂直，所以－·＝－1，即＝1，所以离心率e＝＝＝，故选A.
2．如图，菱形架ABCD是一种作图工具，由四根长度均为4的直杆用铰链首尾连接而成．已知A，C可在带滑槽的直杆l上滑动；另一根带滑槽的直杆DH的长度为4，且一端记为H，另一端用铰链连接在D处，上述两根带滑槽直杆的交点P处有一栓子(可在带滑槽的直杆上滑动).若将H，B固定在桌面上，且两点之间距离为2，转动杆HD，则点P与点B距离的最大值为________．
解析：
连接BD，PB，BH，因为四边形ABCD为菱形，所以直线AC为线段BD的垂直平分线，故|PB|＝|PD|，所以|PH|＋|PB|＝|PH|＋|PD|＝|DH|＝4>|BH|＝2，故点P的轨迹是以B，H为焦点的椭圆，可得2a＝4，2c＝2，即a＝2，c＝1，所以点P与点B的距离|PB|的最大值为a＋c＝3.
答案：3
小题考法3 抛物线的几何性质
[核心提炼]
抛物线的焦点弦的几个常见结论：
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α是直线AB的倾斜角，则：
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝.
(3)＋＝.
(4)以线段AB为直径的圆与准线x＝－相切．
(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则( AC )
A．p＝2
B．＝
C．以MN为直径的圆与l相切
D．△OMN为等腰三角形
【解析】 由题意，易知直线y＝－(x－1)过点(1，0).
对于A，因为直线y＝－(x－1)经过抛物线C的焦点，所以易知焦点坐标为(1，0)，所以＝1，即p＝2，故A正确；
对于B，方法一：不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，且x1＜x2，联立消去y并整理得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝，x2＝3.所以M(，)，N(3，－2)，所以由两点间的距离公式可得|MN|＝＝，故B错误．
方法二：不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，且x1＜x2，联立消去y并整理得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝，x2＝3.所以由抛物线的定义得，|MN|＝x1＋x2＋p＝＋3＋2＝，故B错误．
方法三：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立
消去y并整理得3x2－10x＋3＝0，Δ＝64＞0，则x1＋x2＝，x1x2＝1，所以由弦长公式得|MN|＝·＝× ＝，故B错误．
方法四：易知直线y＝－(x－1)的倾斜角为，所以|MN|＝＝＝，故B错误；
对于C，方法一：由以上分析易知，直线l的方程为x＝－1，以MN为直径的圆的圆心坐标为(，－)，圆心到直线l的距离为＋1，半径r＝|MN|＝＝＋1，所以以MN为直径的圆与l相切，故C正确．
方法二：由二级结论——以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切，易知C正确；
对于D，由两点间的距离公式可得|MN|＝，|OM|＝，|ON|＝，显然△OMN不是等腰三角形，故D错误．故选AC.
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来确定已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算．
INCLUDEPICTURE "对点训练.TIF"
(多选)(2024·惠州调研)设抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，点M为C上一动点，E(3，1)为定点，则下列结论正确的是( AD )
A．准线l的方程是x＝－2
B．|ME|－|MF|的最大值为2
C．|ME|＋|MF|的最小值为7
D．以线段MF为直径的圆与y轴相切
解析：由题意得，抛物线C的焦点F(2，0)，准线l的方程是x＝－2，故A正确；|ME|－|MF|≤|EF|＝＝，当点M为线段EF的延长线与抛物线C的交点时等号成立，所以|ME|－|MF|的最大值为，故B错误；
如图所示，过点M，E分别作准线l的垂线，垂足分别为A，B，则|ME|＋|MF|＝|ME|＋|MA|≥|EB|＝5，当点M为线段EB与抛物线C的交点时等号成立，所以|ME|＋|MF|的最小值为5，故C错误；设点M(x0，y0)，线段MF的中点为D，则点D的横坐标xD＝＝＝，所以以线段MF为直径的圆与y轴相切，故D正确．故选AD.
小题考法4 直线与圆锥曲线的简单问题
(1)(2024·邵阳二模)已知直线l：x－2y－2＝0与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点．若弦AB被直线m：x＋2y＝0平分，则椭圆C的离心率为( C )
A． B．
C． D．
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为弦AB被直线m：x＋2y＝0平分，设中点坐标(x0，y0)，
所以＋2×＝x0＋2y0＝0，①
因为点A，B在直线l：x－2y－2＝0上，代入可得
两式相减可得x1－x2＝2(y1－y2)，②
又点A，B在椭圆C上，代入可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,a2)＋\f(y,b2)＝1，,\f(x,a2)＋\f(y,b2)＝1，)) 两式相减可得 eq \f(x－x,a2) ＋ eq \f(y－y,b2) ＝0，
将①②代入可得＋＝0 a2＝4b2，
所以离心率e＝＝＝.
(2)已知O为坐标原点，直线l：y＝kx＋m(k>0)与双曲线x2－＝1相交且只有一个交点，与椭圆＋＝1交于M，N两点，则△OMN面积的最大值为( A )
A．10 B．12
C．14 D．16
【解析】 由题意知l：y＝kx＋m(k>0)与双曲线的渐近线y＝3x平行，故k＝3，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将y＝3x＋m代入＋＝1，
得241x2＋150mx＋25m2－400＝0，
故Δ＝1600(241－m2)>0，
x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以|MN|＝·|x1－x2|＝·＝·，
点O到l的距离d＝，
所以△OMN的面积S＝|MN|·d＝··＝≤·＝10，
当且仅当|m|＝，即m2＝(满足Δ>0)时等号成立，故△OMN面积的最大值为10.
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
(1)弦长公式
设直线的斜率为k，直线与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ |x1－x2|＝或|AB|＝|y1－y2|＝ .
(2)用“点差法”求解中点弦问题的步骤
INCLUDEPICTURE "方法点拨3.TIF"
INCLUDEPICTURE "对点训练.TIF"
1．(2023·新课标Ⅱ卷)已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB 面积是△F2AB 面积的2倍，则m＝( C )
A． B．
C．－ D．－
解析：由题意，F1(－，0)，F2(，0)，因为△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，所以点F1到直线AB的距离是点F2到直线AB的距离的2倍，即＝2×，解得m＝－或m＝－3(当m＝－3时，直线y＝x＋m与椭圆C无交点，不符合题意，舍去)，故选C.
2．已知双曲线H的两条渐近线互相垂直，过H右焦点F且斜率为3的直线与H交于A，B两点，与H的渐近线交于C，D两点．若|AB|＝5，则|CD|＝( C )
A．2 B．2
C．3 D．3
解析：设双曲线H的方程为－＝1(a>0，b>0)，则其渐近线方程为y＝±x，因为双曲线H的两条渐近线互相垂直，所以a＝b，所以渐近线方程为y＝±x，所以双曲线H的方程为－＝1(a>0)，则右焦点F(a，0)，所以直线AB的方程为y＝3(x－a)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立化简得8x2－18ax＋19a2＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝，所以|AB|＝·＝× ＝5，解得a2＝4，又a>0，所以a＝2，
所以双曲线H的方程为－＝1，所以双曲线H的右焦点为F(2，0)，直线AB的方程为y＝3(x－2).
联立解得
联立解得
所以|CD|＝ ＝3，
故选C.
INCLUDEPICTURE "专题强化练.TIF"
[小题标准练]
1．若方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是( A )
A．－2B．m>1
C．m<－2
D．－1解析：因为方程－＝1表示双曲线，
所以(2＋m)(1－m)>0，
即(m＋2)(m－1)<0，解得－22．(2023·全国甲卷)设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若·＝0，则|PF1|·|PF2|＝( B )
A．1 B．2
C．4 D．5
解析：方法一：因为·＝0，所以PF1⊥PF2，则S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝b2tan ＝1×tan ＝1，所以|PF1|·|PF2|＝2.
方法二：由题意得c＝＝2，因为·＝0，所以PF1⊥PF2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝16.因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，所以(|PF1|＋|PF2|)2＝20，即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20，所以|PF1|·|PF2|＝2.故选B.
3．(2023·全国甲卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，C的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝( D )
A． B．
C． D．
解析：根据双曲线C的离心率e＝＝＝，得5＝1＋，即＝4，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，易知渐近线y＝2x与圆相交．
方法一：联立得5x2－16x＋12＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.所以|AB|＝|x1－x2|＝·＝× ＝，故选D.
方法二：圆心(2，3)到渐近线y＝2x的距离d＝＝，圆的半径r＝1，所以|AB|＝2＝2×＝，故选D.
4．(2024·北京三模)已知点F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝ ( C )
A．2 B．2
C．3 D．4
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，由y2＝2x，得p＝1，
所以F(，0)，准线方程为x＝－，
因为＋＋＝0，所以F为△ABC的重心，
所以＝，
所以x1＋x2＋x3＝，
所以||＋||＋||＝x1＋＋x2＋＋x3＋＝x1＋x2＋x3＋＝3.
5．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的两条弦AB，CD相交于点P(点P在第一象限)，且AB⊥x轴，CD⊥y轴．若|PA|∶|PB|∶|PC|∶|PD|＝1∶3∶1∶5，则椭圆E的离心率为( B )
A． B．
C． D．
解析：
由题意可知，点A，C在第一象限，如图．设|PA|＝|PC|＝t，则|PB|＝3t，|PD|＝5t，由椭圆的对称性知A(2t，2t)，C(3t，t)，所以联立消去t可得＝，即3a2＝5b2＝5(a2－c2)，得2a2＝5c2，所以椭圆E的离心率e＝.故选B.
6．(2024·天津二模)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点O的直线与双曲线C交于A，B两点，|F1B|＝2|F1A|，·＝2a2，则C的离心率为( B )
A． B．
C． D．2
解析：由题及双曲线的对称性可知|F1A|＝|F2B|，|F1B|＝|F2A|，故四边形AF1BF2为平行四边形，
令|F1A|＝|F2B|＝m，
则|F1B|＝|F2A|＝2m，
由双曲线定义可知|F2A|－|F1A|＝2a，
故有2m－m＝2a，即m＝2a，
即|F1A|＝|F2B|＝2a，|F1B|＝|F2A|＝4a，
则·＝－·＝－4a·2a·cos ∠F1AF2＝－8a2·＝2c2－10a2＝2a2，
即c＝a，所以C的离心率为＝.
7．被称为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜(FAST)是目前世界上口径最大、灵敏度最高的单口径射电望远镜(图1).观测时它的轴截面可以看作抛物线的一部分．某学校的科技小组制作了一个FAST模型，观测时呈口径为4 m，高为1 m的抛物面，则其轴截面所在的抛物线(图2)的顶点到焦点的距离为( A )
A．1 m B．2 m
C．4 m D．8 m
解析：如图，建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，则抛物线的顶点坐标为O(0，0)，由题意可知，点(2，1)在抛物线上，所以4＝2p，解得p＝2，所以抛物线的标准方程为x2＝4y，所以焦点坐标为(0，1)，所以顶点到焦点的距离为1，故选A.
8．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，F2关于C的一条渐近线对称的点为P.若|PF1|＝2，则△PF1F2的面积为( D )
A．2 B．
C．3 D．4
解析：由双曲线C的离心率为得，半焦距c＝a，所以b＝＝2a.
方法一：易知点F2到任意一条渐近线的距离均为b，故|F2P|＝2b，所以cos ∠F1F2P＝，sin ∠F1F2P＝＝.在△PF1F2中，由余弦定理得4＝4c2＋4b2－2×2b×2c×，即c2＝b2＋1，所以5a2＝4a2＋1，解得a＝1(负值已舍去).所以△PF1F2的面积为×2c×2b sin∠F1F2P＝2ab＝4a2＝4.故选D.
方法二：易知F1(－c，0)，F2(c，0)，如图，不妨取渐近线y＝x＝2x，设P(m，n)，则F2P的中点为(，)，由该点在渐近线y＝2x上可得＝2×，且由直线PF2垂直于渐近线y＝2x得，＝－，两式联立，解得m＝－c，n＝c.由|PF1|＝2得，(m＋c)2＋n2＝4，即c2＋c2＝4，解得c＝，所以△PF1F2的面积为×2c×n＝c2＝4.故选D.
9．(多选)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点在圆x2＋y2－5x－4y＋4＝0上，则该椭圆离心率的可能取值为( BCD )
A． B．
C． D．
解析：把圆的一般方程化为标准方程可得(x－)2＋(y－2)2＝，圆与x轴的交点为(1，0)，(4，0)，与y轴的交点为(0，2).椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点在x轴上，当焦点是(1，0)，右顶点是(4，0)时，a＝4，c＝1，离心率e＝；当焦点是(1，0)，上顶点是(0，2)时，b＝2，c＝1，则a＝，离心率e＝；当焦点是(4，0)，上顶点是(0，2)时，b＝2，c＝4，则a＝2，离心率e＝.故选BCD.
10．(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上动点．过P作⊙A：x2＋(y－4)2＝1的一条切线，Q为切点．过P作l的垂线，垂足为B.则( ABD )
A.l与⊙A相切
B．当P，A，B三点共线时，|PQ|＝
C．当|PB|＝2时，PA⊥AB
D．满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个
解析：对于A，易知l：x＝－1，故l与⊙A相切，故A正确；
对于B，A(0，4)，⊙A的半径r＝1，当P，A，B三点共线时，P(4，4)，所以|PA|＝4，|PQ|＝＝＝，故B正确；
对于C，当|PB|＝2时，P(1，2)，B(－1，2)或P(1，－2)，B(－1，－2)，易知PA与AB不垂直，故C错误；
对于D，记抛物线C的焦点为F，连接AF，PF(图略)，易知F(1，0)，由抛物线定义可知|PF|＝|PB|，因为|PA|＝|PB|，所以|PA|＝|PF|，所以点P在线段AF的中垂线上，易求得线段AF中垂线的方程为y＝x＋，即x＝4y－，代入y2＝4x可得y2－16y＋30＝0，解得y＝8±，易知满足条件的点P有且仅有2个，故D正确．
11．(多选)(2024·新课标Ⅰ卷)设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线C的一部分．已知C过坐标原点O，且C上的点满足：横坐标大于－2；到点F(2，0)的距离与到定直线x＝a(a<0)的距离之积为4.则( ABD )
A．a＝－2
B．点(2，0)在C上
C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1
D．当点(x0，y0)在C上时，y0≤
解析：因为坐标原点O在曲线C上，所以2×|a|＝4，又a<0，所以a＝－2，所以A正确；
因为点(2，0)到点F(2，0)的距离与到定直线x＝－2的距离之积为(2－2)×(2＋2)＝4，所以点(2，0)在曲线C上，所以B正确；
设P(x，y)(x>0，y>0)是曲线C在第一象限的点，则有(x＋2)＝4，所以y2＝－(x－2)2，
令f(x)＝－(x－2)2，
则f′(x)＝－－2(x－2)，
因为f(2)＝1，且f′(2)<0，所以函数f(x)在x＝2附近单调递减，即必定存在一小区间(2－ε，2＋ε)使得f(x)单调递减，所以在区间(2－ε，2)上均有f(x)>1，所以P(x，y)的纵坐标的最大值一定大于1，所以C错误；
因为点(x0，y0)在C上，所以x0>－2且 eq \r(（x0－2）2＋y) ·(x0＋2)＝4，得y＝－(x0－2)2≤，所以y0≤|y0|≤＝，所以D正确．
12．若定义曲线＋＝1(a>b>0)为椭圆＋＝1的“倒椭圆”．已知焦点在x轴上的椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的短轴长为4，离心率为，则它的“倒椭圆”C2的方程为_______________．
解析：在椭圆C1中，b＝2，e＝＝＝，所以a＝4，故椭圆C1的方程为＋＝1，故它的“倒椭圆”C2的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
13．已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线交C于A，B两点．若D为线段AB的中点，且|OD|＝，则||AF|－|BF||＝________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(1，0)，显然当直线AB垂直于x轴时，点D与点F重合，此时|OD|＝1不满足条件，所以可设直线AB的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，
代入C的方程得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝1，D(，)，
所以|OD|2＝13＝(1＋)2＋，
解得k2＝1，x1＋x2＝6.
由抛物线的几何性质可知|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，
所以||AF|－|BF||＝|x1－x2|＝＝4.
答案：4
14．已知点M(－5，0)，点P在曲线－＝1(x>0)上运动，点Q在曲线(x－5)2＋y2＝1上运动，则的最小值是________.
解析：如图，在双曲线－＝1中，a＝3，b＝4，c＝＝5，圆(x－5)2＋y2＝1的圆心为C(5，0)，半径r＝1，所以双曲线－＝1的左、右焦点分别为M，C.由双曲线的定义可得|PM|＝|PC|＋2a＝|PC|＋6，|PQ|≤|PC|＋1，所以≥＝(|PC|＋1)＋＋10≥2 ＋10＝20，当且仅当|PC|＝4时，等号成立，故的最小值是20.
答案：20
[小题提升练]
15．(2024·衡水三模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为6，点M(1，1)，直线MF2与C交于A，B两点，且M为AB的中点，则△AF1B的周长为________．
解析：由题意知F1(－3，0)，F2(3，0)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,a2)＋\f(y,b2)＝1，,\f(x,a2)＋\f(y,b2)＝1，))
两式相减得＋＝0，
由题意M为AB中点，
则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，代入整理得＝－.
又kAB＝kMF2＝＝－，
因此－＝－，所以a2＝2b2，c2＝b2，又2c＝6，解得a＝3(负值已舍去).
由椭圆定义知△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝12.
答案：12
16．(2024·潍坊一模)已知平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝2x，l2：y＝－2x，点P为平面内一动点，过P作DP∥l2交l1于点D，作EP∥l1交l2于点E，得到的平行四边形ODPE的面积为1，记点P的轨迹为曲线Γ.若Γ与圆x2＋y2＝t有四个交点，则实数t的取值范围是________．
解析：设点P(x0，y0)，则点P到l1的距离d＝，
直线PD方程为y＝－2x＋2x0＋y0，
联立
解得xD＝，
所以|OD|＝，
所以S平行四边形ODPE＝|OD|d＝×＝1，
所以x－ eq \f(y,4) ＝±1，
所以点P的轨迹Γ为两个双曲线x2－＝1，－x2＝1，
因为双曲线x2－＝1的实半轴长为1，双曲线－x2＝1的实半轴长为2，
若Γ与圆x2＋y2＝t有四个交点，
则1<<2，即1所以实数t的取值范围是(1，4).
答案：(1，4)
