微专题4 圆锥曲线中的范围、最值与探索
大题考法1 范围问题
[核心提炼]
求解圆锥曲线中的范围问题，需通过不等式的变形或不等式的求解来确定范围．求解步骤是：
INCLUDEPICTURE "CA17教.TIF"
(2023·新课标Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点(0，)的距离，记动点P的轨迹为W.
(1)求W的方程；
(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3.
【解】 (1)设点P的坐标为(x，y)，依题意得|y|＝ ，
化简得x2＝y－，
所以W的方程为x2＝y－.
(2)证明：设矩形ABCD的三个顶点A，B，C在W上，
则AB⊥BC，矩形ABCD的周长为2(|AB|＋|BC|).
设点B(t，t2＋)，依题意知直线AB不与两坐标轴平行，
故可设直线AB的方程为y－(t2＋)＝k(x－t)，
不妨设k>0，将直线AB的方程与W的方程x2＝y－联立，得x2－kx＋kt－t2＝0，
则Δ＝k2－4(kt－t2)＝(k－2t)2>0，所以k≠2t.
设点A(x1，y1)，所以t＋x1＝k，所以x1＝k－t，
所以|AB|＝·|x1－t|＝·|k－2t|＝·|2t－k|，
同理得|BC|＝·＝·＝·|2kt＋1|，且2kt＋1≠0，
所以2(|AB|＋|BC|)＝(|2k2t－k3|＋|2kt＋1|).
因为|2k2t－k3|＋|2kt＋1|＝
当2k－2k2≤0，即k≥1时，函数y＝(－2k2－2k)t＋k3－1在(－∞，－]上单调递减；函数y＝(2k－2k2)t＋k3＋1在(－，]上单调递减或是常函数(当k＝1时是常函数)；函数y＝(2k2＋2k)t－k3＋1在(，＋∞)上单调递增，
所以当t＝时，函数|2k2t－k3|＋|2kt＋1|取得最小值，且最小值为k2＋1，
又k≠2t，所以2(|AB|＋|BC|)>(k2＋1)＝.
令f(k)＝，k≥1，
则f′(k)＝，
当1≤k<时，f′(k)<0；当k>时，f′(k)>0，
所以函数f(k)在[1，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，
所以f(k)≥f()＝3，
所以2(|AB|＋|BC|)>≥3.
当2k－2k2>0，即0所以当t＝－时，函数|2k2t－k3|＋|2kt＋1|取得最小值，且最小值为k3＋k＝k(k2＋1)，
又2kt＋1≠0，所以2(|AB|＋|BC|)>·k(k2＋1)＝.
令g(k)＝，0则g′(k)＝，
当00，
所以函数g(k)在(0，)上单调递减，在(，1)上单调递增，
所以g(k)≥g()＝3，
所以2(|AB|＋|BC|)>≥3.
综上所述，矩形ABCD的周长大于3.
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
圆锥曲线中的取值范围问题的求解方法
(1)函数法：用其他变量表示参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．
(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数的取值范围．
(3)判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求参数的取值范围．
(4)数形结合法：研究参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解．
INCLUDEPICTURE "对点训练.TIF"
(2024·龙门二模)设F为抛物线H：y2＝2px(p>0)的焦点，点P在H上，点M(，0)，若|PF|＝|PM|＝5.
(1)求H的方程；
(2)过点F作直线l交H于A，B两点，过点B作x轴的平行线与H的准线交于点C，过点A作直线CF的垂线与H的另一交点为D，直线CB与AD交于点G，求的取值范围．
解：(1)依题意，F(，0)，
又M(，0)，|PF|＝|PM|＝5，所以点P的横坐标为(＋)＝2p，由抛物线的定义得|PF|＝2p＋＝5，所以p＝2，所以抛物线H的方程为y2＝4x.
(2)由(1)知F(1，0)，
设直线l的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去x得y2－4my－4＝0，易知Δ>0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，故x1x2＝ eq \f(yy,16) ＝1，因为H的准线方程为x＝－1，且直线BC平行于x轴，所以点C的坐标为C(－1，y2)，则直线CF的斜率为kCF＝－，所以直线AD的斜率为，其方程为y－y1＝(x－x1)，因为点G的纵坐标为y2，所以点G的横坐标为xG＝x1＋ eq \f(y,2) －＝x1＋2x2＋2，所以＝＝＝ eq \f(x＋x1x2＋2x1,x＋2x1x2＋3x1) ＝ eq \f(x＋2x1＋1,x＋3x1＋2) ＝＝1－，
因为x1>0，则0<<，
所以<1－<1，
即的取值范围是(，1).
大题考法2 最值问题
[核心提炼]
若所求圆锥曲线的最值与已知条件具有比较明确的关系，则可以考虑建立目标函数，再通过研究函数的单调性、图象或基本不等式等来解决．求解步骤是：
(2023·全国甲卷)已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p＞0)交于A，B两点，|AB|＝4.
(1)求p；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，且·＝0，求△MFN面积的最小值．
【解】 (1)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
把x＝2y－1代入y2＝2px，得y2－4py＋2p＝0，
由Δ1＝16p2－8p>0，得p>.
由根与系数的关系，可得y1＋y2＝4p，y1y2＝2p，
所以|AB|＝·＝·＝4，解得p＝2或p＝－(舍去)，
故p＝2.
(2)设点M(x3，y3)，N(x4，y4)，由(1)知抛物线C：y2＝4x，则点F(1，0).
因为·＝0，所以∠MFN＝90°，则S△MFN＝|MF|·|NF|＝(x3＋1)(x4＋1)＝(x3x4＋x3＋x4＋1).①
当直线MN的斜率不存在时，点M与点N关于x轴对称，
因为∠MFN＝90°，
所以直线MF与直线NF的斜率一个是1，另一个是－1.
不妨设直线MF的斜率为1，则直线MF的方程为y＝x－1，
联立得x2－6x＋1＝0，
解得或
代入①式计算易得，当x3＝x4＝3－2时，△MFN的面积取得最小值，为4(3－2).
当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx＋m.
联立得k2x2－(4－2km)x＋m2＝0，Δ2＝(4－2km)2－4m2k2>0，
则y3y4＝(kx3＋m)(kx4＋m)＝k2x3x4＋mk(x3＋x4)＋m2＝.
又·＝(x3－1，y3)·(x4－1，y4)＝x3x4－(x3＋x4)＋1＋y3y4＝0，
所以－＋1＋＝0，化简得m2＋k2＋6km＝4，
所以S△MFN＝(x3x4＋x3＋x4＋1)＝＝＝()2＋2()＋1，
令t＝，则S△MFN＝t2＋2t＋1，
因为m2＋k2＋6km＝4，
所以()2＋6()＋1＝>0，即t2＋6t＋1>0，
得t>－3＋2或t<－3－2，
从而得S△MFN＝t2＋2t＋1>12－8＝4(3－2).
综上所述，△MFN面积的最小值为4(3－2).
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
圆锥曲线中最值问题的两种基本解法
几何法 根据已知的几何量之间的相互关系、平面几何和解析几何知识加以解决(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等在选择题、填空题中经常考查)
代数法 建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值来解决(普通方法、基本不等式方法、导数方法等)
INCLUDEPICTURE "对点训练.TIF"
(2024·泰安模拟)已知直线l：kx－y－k＝0分别与x轴、直线x＝－1交于点A，B，点P是线段AB的垂直平分线上的一点(P不在x轴负半轴上)且tan ∠ABP＝|k|.
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)设l与C交于E，F两点，点M在C上且满足·＝0，延长MA交C于点N，求·的最小值．
解：(1)直线l：kx－y－k＝0，过定点A(1，0)，由题意k≠0，如图，
因为tan ∠ABP＝|k|，
所以∠ABP＝∠OAB，
又因为P不在x轴负半轴上，
所以PB与直线x＝－1垂直，
又因为|PB|＝|PA|，
所以点P的轨迹是以A(1，0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线，
所以点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≠0).
(2)由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
因为l与C交于两点，
所以k≠0，Δ>0，
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，
则
又因为·＝0，所以AE⊥AM，
则MN的斜率为－，所以直线MN的方程为
y＝－(x－1)，
设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
同理得x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1，
所以·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝·＋·＝||||＋||||＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)·(x4＋1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＋x3x4＋x3＋x4＋1＝8＋＋4k2≥8＋8＝16，
当且仅当k2＝，即k＝±1时取等号，
所以·的最小值为16.
大题考法3 探索问题
[核心提炼]
圆锥曲线中的是否存在问题一般采用假设存在法破解，即先假设所探究的元素存在，在这个假设下探究其是否符合题目中所给信息，从而得到结论．解决问题的步骤为：
(2024·天津卷)已知椭圆＋＝1(a>b>0)，椭圆的离心率e＝，左顶点为A，下顶点为B，O为坐标原点，C是线段OB的中点，其中S△ABC＝.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点(0，－)的动直线与椭圆有两个交点P，Q，在y轴上是否存在点T使得·≤0？若存在，求出点T纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解】 (1)因为e＝＝，所以a＝2c，则b＝＝c，
由题知A(－a，0)，B(0，－b)，C(0，－)，
所以S△ABC＝·|BC|·|OA|＝··a＝··2c＝，
得c＝，
所以a＝2，b＝3.
故椭圆的方程为＋＝1.
(2)假设在y轴上存在点T，使得·≤0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，T(0，t).
当直线PQ的斜率不存在时，不妨设P(0，3)，Q(0，－3)，则·＝(0，3－t)·(0，－3－t)＝t2－9≤0，解得－3≤t≤3.
当直线PQ的斜率存在时，则其方程为y＝kx－，
由可得(3＋4k2)x2－12kx－27＝0，所以Δ＝144k2＋4×27(3＋4k2)>0，x1＋x2＝，x1x2＝－.
则·＝(x1，y1－t)·(x2，y2－t)＝x1x2＋(y1－t)·(y2－t)＝x1x2＋(kx1－－t)(kx2－－t)＝(1＋k2)x1x2－k(＋t)(x1＋x2)＋(＋t)2＝－－＋(＋t)2＝
≤0，
所以4k2t2－36k2＋3t2＋9t－≤0对k∈R恒成立，
则解得－3≤t≤.
综上，点T的纵坐标的取值范围是[－3，].
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
探索性问题的求解策略
(1)若给出问题的一些特殊关系，要探索一般规律，并证明所得规律的正确性，通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括一般规律．
(2)若只给出条件，求“不存在”“是否存在”等语句表述问题时，一般先对结论给出肯定的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，从而得出结论．
INCLUDEPICTURE "对点训练.TIF"
(2024·安徽一模)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)中，焦距为4，且双曲线过点P(－3，1)，斜率不为零的直线与双曲线交于A，B两点，且以AB为直径的圆过点P.
(1)求双曲线的方程；
(2)是否存在直线AB，使得点P到直线AB的距离最大？若存在，求出直线AB的方程，若不存在，请说明理由．
解：(1)由题意得2c＝4，且－＝1，又a2＋b2＝c2，解得a2＝6，b2＝2，故双曲线方程为－＝1.
(2)设直线AB：x＝my＋n，联立－＝1得(m2－3)y2＋2mny＋n2－6＝0，易知Δ>0，m2－3≠0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝－，y1y2＝，
由题意得·＝0，
即·
＝(x1＋3，y1－1)·(x2＋3，y2－1)
＝(x1＋3)(x2＋3)＋(y1－1)(y2－1)
＝(my1＋n＋3)(my2＋n＋3)＋(y1－1)·(y2－1)＝(m2＋1)y1y2＋[m(n＋3)－1](y1＋y2)＋(n＋3)2＋1＝0，
将y1＋y2＝－，y1y2＝代入上式，(m2＋1)·－[m(n＋3)－1]＋(n＋3)2＋1＝0，
即(m2＋1)(n2－6)－2m2n(n＋3)＋2mn＋(n＋3)2(m2－3)＋m2－3＝0，
化简得2m2＋mn－n2－9n－18＝0，
变形为(2m－n－6)(m＋n＋3)＝0，
故n＝－m－3或n＝2m－6，
当n＝－m－3时，直线AB：x＝(y－1)m－3，经过定点(－3，1)，与P重合，不满足要求，
当n＝2m－6时，直线AB：x＝(y＋2)m－6，经过定点Q(－6，－2)，
要想P到直线AB的距离最大，
则AB⊥PQ，其中kPQ＝＝1.
故直线AB的斜率kAB＝－＝－1，
故直线AB的方程为y＋2＝－(x＋6)，
即y＝－x－8.
经检验，y＝－x－8满足要求．
INCLUDEPICTURE "专题强化练.TIF"
1．已知直线l与抛物线C：x2＝4y交于A，B两点，M是线段AB的中点．
(1)若直线AB的斜率为1，求点M的横坐标；
(2)若|AB|＝8，求点M纵坐标的最小值．
解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则kAB＝＝ eq \f(\f(x,4)－\f(x,4),x1－x2) ＝＝.
由直线AB的斜率为1，得＝1，
所以x0＝2，即点M的横坐标为2.
(2)设直线l的方程为y＝kx＋b，联立消去y得x2－4kx－4b＝0，
由Δ＝(－4k)2－4×(－4b)>0，
得k2＋b>0，①
则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，由|AB|＝8，
得|AB|＝·|x1－x2|＝
＝
＝
4＝8，
所以(1＋k2)(k2＋b)＝4.②
由x1＋x2＝4k，得y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2b＝4k2＋2b，
故点M的坐标为(2k，2k2＋b)，由①②得2k2＋b＝(k2＋1)＋(k2＋b)－1≥2－1＝3，当且仅当1＋k2＝k2＋b，即b＝1时取等号，故点M纵坐标的最小值为3.
2．(2024·潍坊模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，点Q(，－)在椭圆C上．
(1)若P是椭圆C上一动点，求·的取值范围；
(2)已知过椭圆C的右焦点F2，且斜率不为零的直线l交椭圆C于M，N两点，求△F1MN的内切圆面积的最大值．
解：(1)由题意知c＝，所以a2＝b2＋3.
将点Q(，－)代入＋＝1中，得b＝1，
所以a2＝1＋3＝4，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
设点P(x，y)，则·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝x2－3＋y2＝x2－2.
又点P在椭圆C上，所以x∈[－2，2]，
所以·的取值范围是[－2，1].
(2)依题意可设直线l的方程为x＝my＋，M(x1，y1)，N(x2，y2).
联立消去x得(m2＋4)y2＋2my－1＝0，
Δ＝16m2＋16>0，
所以y1＋y2＝－，y1y2＝－，
所以S△F1MN＝×2·|y1－y2|＝× ＝4× .
又＝
＝≤
＝，
当且仅当m2＋1＝，即m＝±时等号成立．
所以S△F1MN≤4× ＝2.
由题意可知，|MF1|＋|MF2|＋|NF1|＋|NF2|＝4a，
即△F1MN的周长为4a.
又△F1MN内切圆半径r满足r＝≤＝，
所以△F1MN的内切圆面积的最大值为.
3．已知椭圆Γ：＋＝1(m>0，m≠).
(1)若m＝2，求椭圆Γ的离心率；
(2)设A1，A2分别为椭圆Γ的左、右顶点，若椭圆Γ上一点E的纵坐标为1，且·＝－2，求m的值；
(3)若P为椭圆Γ上一点，过点P作一条斜率为的直线与双曲线－＝1仅有一个公共点，求m的取值范围．
解：(1)当m＝2时，椭圆Γ的方程为＋＝1，
则a＝2，b＝，所以c＝＝1，
所以椭圆Γ的离心率e＝＝.
(2)依题意，A1(－m，0)，A2(m，0)，设E(p，1)，则＋＝1，得p2＝m2，①
＝(－m－p，－1)，＝(m－p，－1)，则·＝p2－m2＋1＝－2，②
联立①②，解得m＝3.
(3)设过点P且斜率为的直线的方程为y＝x＋t，
联立得＋＝1，
整理得(3m2＋3)x2＋2tm2x＋(t2－3)m2＝0，
则Δ1＝(2tm2)2－4m2(3m2＋3)(t2－3)≥0，
整理得t2≤3m2＋3.③
联立得－＝1，
整理得(3－m2)x2＋2tx＋(t2－5m2)＝0，
则Δ2＝(2t)2－4(3－m2)(t2－5m2)＝0，
整理得t2＝5m2－15.④
由③④可得5m2－15≤3m2＋3，解得－3≤m≤3，
由5m2－15≥0且m>0，可得m≥ ，
又m≠，所以m∈(，3].
综上，m的取值范围为(，3].
4．(2024·文昌模拟)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，点A(x1，y1)为双曲线E右支上异于右顶点的动点，如图，过点A作圆C：x2＋y2＝a2的一条切线AM，切点为M，且|AM|2＋3＝x－a2.
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)设直线AF1与双曲线左支交于点B，双曲线的右顶点为D(a，0)，直线AD，BD分别与圆C相交，交点分别为异于点D的点P，Q.判断弦PQ是否过定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，请说明理由．
解：(1)因为点A(x1，y1)为双曲线E右支上异于右顶点的动点，
所以 eq \f(x,a2) － eq \f(y,b2) ＝1，则y＝x－b2.
连接AO，OM(图略)，因为AM是圆C：x2＋y2＝a2的一条切线，所以OM⊥AM，△AOM为直角三角形，
所以|AM|2＝|AO|2－|OM|2＝x＋y－a2＝x－a2－b2.
因为|AM|2＋3＝x－a2，
所以x－a2－b2＋3＝x－a2，
所以b2＝3.
因为e2＝1＋＝4，所以a2＝1.
所以双曲线E的标准方程为x2－＝1.
(2)弦PQ过定点(0，0)，理由如下：
因为c＝＝2，所以F1(－2，0).
设B(x2，y2)，直线AF1：x＝my－2.
联立消去x得(3m2－1)y2－12my＋9＝0，
则3m2－1≠0，Δ>0，y1＋y2＝，y1y2＝.
由(1)可知D点坐标为D(1，0)，
因为kPD·kQD＝kDA·kDB＝·
＝＝
＝＝－1，
所以PD⊥QD，又点D，Q在圆C上，
所以PQ为圆C的直径，所以PQ一定过圆C的圆心，即弦PQ过定点(0，0).(共49张PPT)
微专题4 圆锥曲线中的范围、最值与探索
大题考法1
PART
01
大题考法1 范围问题
[核心提炼]
求解圆锥曲线中的范围问题，需通过不等式的变形或不等式的求解来确定范围．求解步骤是：
圆锥曲线中的取值范围问题的求解方法
(1)函数法：用其他变量表示参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．
(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数的取值范围．
(3)判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求参数的取值范围．
(4)数形结合法：研究参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解．
大题考法2
PART
02
第二部分
大题考法2 最值问题
[核心提炼]
若所求圆锥曲线的最值与已知条件具有比较明确的关系，则可以考虑建立目标函数，再通过研究函数的单调性、图象或基本不等式等来解决．求解步骤是：
圆锥曲线中最值问题的两种基本解法
几何法 根据已知的几何量之间的相互关系、平面几何和解析几何知识加以解决(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等在选择题、填空题中经常考查)
代数法 建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值来解决(普通方法、基本不等式方法、导数方法等)
(2024·泰安模拟)已知直线l：kx－y－k＝0分别与x轴、直线x＝－1交于点A，B，点P是线段AB的垂直平分线上的一点(P不在x轴负半轴上)且tan ∠ABP＝|k|.
(1)求点P的轨迹C的方程；
解：直线l：kx－y－k＝0，过定点A(1，0)，由题意k≠0，如图，
因为tan ∠ABP＝|k|，
所以∠ABP＝∠OAB，
又因为P不在x轴负半轴上，
所以PB与直线x＝－1垂直，
又因为|PB|＝|PA|，
所以点P的轨迹是以A(1，0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线，
所以点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≠0).
大题考法3
PART
03
第三部分
大题考法3 探索问题
[核心提炼]
圆锥曲线中的是否存在问题一般采用假设存在法破解，即先假设所探究的元素存在，在这个假设下探究其是否符合题目中所给信息，从而得到结论．解决问题的步骤为：
探索性问题的求解策略
(1)若给出问题的一些特殊关系，要探索一般规律，并证明所得规律的正确性，通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括一般规律．
(2)若只给出条件，求“不存在”“是否存在”等语句表述问题时，一般先对结论给出肯定的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，从而得出结论．
(2)是否存在直线AB，使得点P到直线AB的距离最大？若存在，求出直线AB的方程，若不存在，请说明理由．
故直线AB的方程为y＋2＝－(x＋6)，
即y＝－x－8.
经检验，y＝－x－8满足要求．
