(共32张PPT)
提升点 三角函数中ω，φ的求法
√
√
解决利用最值求ω，φ的问题，主要是利用三角函数的最值与对称或周期的关系，列出关于ω，φ的不等式(组)，进而求出ω，φ的值或取值范围．
√
3(或4)(给出其中1个即可)
√
2
利用最小正周期T，根据f(ωx＋φ)两对称中心的距离、对称中心到对称轴的距离、两对称轴间的距离的关系，可建立关于T，ω，φ的方程使问题获解．
√
解决y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的零点与极值点问题通常先利用换元法求t＝ωx＋φ的范围，再结合y＝sin t的图象列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围．
√
:
21世织纪教痘
2订世看
,27G2@P
Y=sin x
T
2
2π5π
x
2
2
3
T
3π
2π
3-1
罗
nt m
T
·3
.1
32提升点 三角函数中ω，φ的求法
类型1 由三角函数的单调性求解
若函数f(x)＝2sin (ωx＋)(ω＞0)在区间[－，]上具有单调性，则ω的最大值是( B )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 当x∈[－，]时，ωx＋∈[－ω＋，ω＋].
若函数f(x)在[－，]上单调递增，
则(k∈Z)，
解得(k∈Z)，又ω＞0，所以若不等式组有解，则
解得－＜k＜，k∈Z，所以k＝0，则0＜ω≤2；
若函数f(x)在[－，]上单调递减，
则(k∈Z)，
解得(k∈Z)，
又ω＞0，所以若不等式组有解，则
解得－＜k＜－，与k∈Z矛盾，
所以函数f(x)在[－，]上单调递减不成立．
综上所述，ω∈(0，2]，则ω的最大值为2.故选B.
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
由函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的一个单调区间[m，n](区间也可以是开区间或半开半闭区间)求解ω或φ的取值范围，将区间端点值代入后，去对应[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)或[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)，列出不等式(组)求解．另外，因为函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋b在一个周期内的单调递减(增)区间的区间长度恰好是，所以具有单调性的区间长度必不超过，根据这个性质有时也可求出ω的范围．
INCLUDEPICTURE "对点训练.TIF"
(2024·广东一模)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)在区间(，)上单调，且满足f()＝－1，f()＝0，则ω＝________．
解析：依题意，f(x)min＝f()＝－1，而函数f(x)在(，)上单调，则函数f(x)的最小正周期T≥2×(－)＝，
又f()＝0，且－＝因此＝或＝，解得T＝或T＝<(不合题意，舍去)，
所以ω＝＝.
答案：
类型2 由三角函数的最值求解
已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的图象与直线y＝1的相邻两个交点的距离为π，若对任意的x∈(，)，不等式f(x)>恒成立，则φ的取值范围是( A )
A.[，] B．(，)
C．[，] D．(，)
【解析】 由题意知，函数y＝f(x)的最小正周期为T＝π，所以ω＝＝2，所以f(x)＝sin (2x＋φ).当x∈(，)时，＋φ<2x＋φ<＋φ，因为－<φ<，所以－<＋φ<，<＋φ<.因为不等式f(x)>对任意的x∈(，)恒成立，所以解得≤φ≤.因此φ的取值范围是[，].
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
解决利用最值求ω，φ的问题，主要是利用三角函数的最值与对称或周期的关系，列出关于ω，φ的不等式(组)，进而求出ω，φ的值或取值范围．
INCLUDEPICTURE "对点训练.TIF"
1．为了使函数y＝sin ωx(ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是( B )
A．98π B．
C． D．100π
解析：由题意，至少出现50次最大值即至少需用49个周期，所以(49)T＝·≤1，所以ω≥，故选B.
2．已知函数f(x)＝sin (ωx＋)(ω∈N)在(0，)上恰有一个最大值和一个最小值，则ω的可能取值是________(填一个即可).
解析：由x∈(0，)，得ωx＋∈(，＋)，
画出函数y＝sin x的图象，如图：
由图可知，<＋≤，解得<ω≤.
因为ω∈N，所以ω＝3或ω＝4.
答案：3(或4)(给出其中1个即可)
类型3 由三角函数的对称性求解
(1)已知函数f(x)＝2cos (ωx－)＋1(ω＞0)的图象在区间(0，2π)内至多存在3条对称轴，则ω的取值范围是( A )
A．(0，] B．(，]
C．[，) D．[，＋∞)
【解析】 因为x∈(0，2π)，ω＞0，
所以ωx－∈(－，2ωπ－)，设z＝ωx－，
画出y＝2cos z＋1的大致图象如图，
要使f(x)的图象在区间(0，2π)内至多存在3条对称轴，则2ωπ－∈(－，3π]，解得ω∈(0，].
(2)将函数y＝sin (2x＋)的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的(ω∈N*)倍后，得到的函数g(x)的图象在区间(0，π)上有且仅有两条对称轴和两个对称中心，则ω的值为________．
【解析】 由题可知g(x)＝sin (2×x＋)＝sin (ωx＋).因为x∈(0，π)，所以ωx＋∈(，ωπ＋).
所以y＝sin x，x∈(，3π)的大致图象如图所示，
要使g(x)的图象在区间(0，π)上有且仅有两条对称轴和两个对称中心，则2π<ωπ＋≤，解得<ω≤，因为ω∈N*，所以ω＝2.
【答案】 2
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
利用最小正周期T，根据f(ωx＋φ)两对称中心的距离、对称中心到对称轴的距离、两对称轴间的距离的关系，可建立关于T，ω，φ的方程使问题获解．
INCLUDEPICTURE "对点训练.TIF"
1．已知直线x＝和x＝是曲线y＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的相邻的两条对称轴，则满足条件的一个φ的值是________．
解析：由条件可知＝－＝，解得ω＝2，当x＝时，2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，解得φ＝－＋kπ，k∈Z，当k＝1时，φ＝.
答案：(答案不唯一)
2．将函数f(x)＝cos (ωx－)(ω＞0)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象．若函数g(x)的图象关于点(，0)中心对称，则ω的最小值为________．
解析：由题可得g(x)＝cos [ω(x＋)－]＝cos (ωx＋－)，因为g(x)的图象关于点(，0)中心对称，所以＋－＝kπ＋，k∈Z，解得ω＝＋，k∈Z，因为ω＞0，故ω的最小值为.
答案：
类型4 由三角函数的零点、极值点求解
(2022·全国甲卷)设函数f(x)＝sin (ωx＋)在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是( C )
A．[，) B．[，)
C．(，] D．(，]
【解析】 由选项知ω>0，由x∈(0，π)，得ωx＋∈(，ωπ＋).根据函数f(x)在区间(0，π)上恰有三个极值点，知<ωπ＋≤，解得<ω≤.根据函数f(x)在区间(0，π)上恰有两个零点，知2π<ωπ＋≤3π，解得<ω≤.综上，ω的取值范围为(，].
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
解决y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的零点与极值点问题通常先利用换元法求t＝ωx＋φ的范围，再结合y＝sin t的图象列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围．
INCLUDEPICTURE "对点训练.TIF"
1．已知函数f(x)＝sin πωx＋cos πωx(ω＞0)在区间(0，1)上恰有4个极值点和3个零点，则ω的取值范围是( C )
A．(，)
B．[，)
C．(，]
D．[，)
解析：由题得f(x)＝sin πωx＋cos πωx＝2sin (πωx＋)(ω＞0)，
因为x∈(0，1)，所以πωx＋∈(，ωπ＋)，
又函数f(x)在区间(0，1)上恰有4个极值点和3个零点，
由正弦函数的图象知＜ωπ＋≤4π，解得＜ω≤，所以ω的取值范围是(，].故选C.
2．(2024·湖南模拟)将函数f(x)＝sin (2x－)＋cos2x－sin2x的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若x＝是函数g(x)的一个极值点，则φ的最小值为________．
解析：依题意，f(x)＝sin2x－cos 2x＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin (2x＋)，
则g(x)＝f(x－φ)＝sin (2x＋－2φ)，
由x＝是函数g(x)的一个极值点，
得直线x＝是函数g(x)图象的一条对称轴，则2×＋－2φ＝kπ＋，k∈Z，解得φ＝－－，k∈Z，因为φ>0，所以当k＝－1时，φmin＝.
答案：
INCLUDEPICTURE "专题强化练.TIF"
1．已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)(0<φ<π)的图象关于直线x＝对称，则φ的值为( B )
A． B．
C． D．
解析：依题意得2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，得φ＝kπ＋，k∈Z，又0<φ<π，所以φ＝.故选B.
2．(2024·河源模拟)将函数f(x)＝sin (ωx＋)(ω＞0)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，若g(x)在区间(，)上单调递增，则ω的最大值为( A )
A． B．
C． D．1
解析：由题意得g(x)＝sin (ωx－＋)，因为x∈(，)，所以＜ωx－＋＜ωπ＋，因为g(x)在区间(，)上单调递增，所以<ωπ＋≤，即0＜ω≤，所以ω的最大值为.故选A.
3．已知函数f(x)＝2sin (ωx＋)(ω＞0)在区间(0，π)上有3个极值点，则ω的取值范围为( C )
A．(，＋∞) B．[，]
C．(，] D．(，]
解析：因为ω＞0，x∈(0，π)，所以＜ωx＋＜ωπ＋，因为函数f(x)＝2sin (ωx＋)(ω＞0)在区间(0，π)上有3个极值点，所以＜ωπ＋≤，解得＜ω≤，所以ω的取值范围为(，].故选C.
4．已知函数f(x)＝sin (ωx＋)(ω＞0)的图象关于直线x＝对称，且f(x)在区间(0，)上没有最小值，则ω的值为( A )
A．2 B．4
C．6 D．10
解析：由f(x)＝sin (ωx＋)(ω＞0)的图象关于直线x＝对称，可得ω＋＝＋kπ，k∈Z，解得ω＝2＋8k，k∈Z，由于x∈(0，)，所以ωx＋∈(，＋)，由于f(x)在区间(0，)上没有最小值，所以<＋≤，解得0<ω≤，又ω＝2＋8k，k∈Z，ω>0，所以ω＝2.故选A.
5．已知函数f(x)＝sin (2x－φ)(0<φ<)在区间[0，]上单调递增，且函数f(x)在区间(0，)上有最小值，那么φ的取值范围是( B )
A．[，) B．[，)
C．[，) D．[，)
解析：由x∈[0，]，可得2x－φ∈[－φ，－φ].因为f(x)在区间[0，]上单调递增，且0<φ<，可得－φ<－φ≤，所以≤φ<.当x∈(0，)时，2x－φ∈(－φ，－φ)，由f(x)在区间(0，)上有最小值，且0<φ<，可得－φ>，则0<φ<.综上，≤φ<.
6．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)满足f()＝1，f()＝0且f(x)在区间(，)上单调，则ω的最大值为( B )
A． B．
C． D．
解析：方法一：因为函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)，所以函数f(x)的最小正周期为T＝，因为f()＝1，f()＝0，且函数f(x)在区间(，)上单调，所以－≤，解得0<ω≤，同时有－＝＋kT(k∈Z)或－＝＋kT(k∈Z)，即＝(＋k)×(k∈Z)或＝(＋k)×(k∈Z)，所以ω＝(k＋)×(k∈Z)或ω＝(k＋)×，结合0<ω≤，可得ωmax＝.故选B.
方法二：因为函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)，所以函数f(x)的最小正周期为T＝，因为f()＝1，f()＝0，且函数f(x)在区间(，)上单调，
所以
解得0<ω≤，且ω＝(k1－)(k1＝n－2k∈Z)，
所以可知当k1＝2时，ωmax＝.故选B.
7．(2024·浙江二模)将函数f(x)＝sin 2x的图象向右平移φ(0<φ<)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|的最小值为，则φ＝( D )
A． B．
C． D．
解析：由题意得g(x)＝sin (2x－2φ)，
f(x)∈[－1，1]，g(x)∈[－1，1]，
由|f(x1)－g(x2)|＝2，得f(x)min－g(x)max＝－2或f(x)max－g(x)min＝2.
①当f(x)min－g(x)max＝－2时，f(x)min＝－1，
令2x＝－＋2kπ，k∈Z，
解得x＝－＋kπ，k∈Z，不妨取x1＝－，
因为|x1－x2|的最小值为，
所以x2＝或x2＝－.
当x2＝时，g(x2)＝1，
所以－2φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝－－kπ，k∈Z，
因为φ∈(0，)，所以φ无解；
当x2＝－时，g(x2)＝1，所以－－2φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝－－kπ，k∈Z，因为φ∈(0，)，所以φ＝.
②当f(x)max－g(x)min＝2时，f(x)max＝1，
令2x＝＋2kπ，k∈Z，
解得x＝＋kπ，k∈Z，不妨取x1＝，
因为|x1－x2|的最小值为，所以x2＝－或x2＝.
当x2＝－时，g(x2)＝－1，
所以－－2φ＝－＋2kπ，k∈Z，解得φ＝－kπ，k∈Z，
因为φ∈(0，)，所以φ＝；
当x2＝时，g(x2)＝－1，所以－2φ＝－＋2kπ，k∈Z，解得φ＝－kπ，k∈Z，因为φ∈(0，)，所以φ无解．
综上，φ＝.
8．(多选)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋)(ω＞0)在区间(－，)上有且仅有一个最大值和一个最小值，则ω的可能取值是( BCD )
A． B．3
C． D．4
解析：函数f(x)＝2sin (ωx＋)，其中ω＞0，则T＝，由题意得－(－)>，所以ω>.
令ωx＋＝t，则g(t)＝2sin t．函数f(x)在区间(－，)上有且仅有一个最大值和一个最小值等价于函数g(t)＝2sin t在区间(－＋，＋)上有且仅有一个最大值和一个最小值，
因为ω>，所以－＋<－，＋>，
则①解得
所以<ω≤4.
②解得
无解．综上，<ω≤4.故选BCD.
9．(多选)已知函数f(x)＝cos (ωx＋)(ω＞0)在区间(0，2π)上恰有4个零点，则下列说法正确的是( BCD )
A．f(x)在区间(0，2π)上有且仅有1个极大值点
B．f(x)在区间(0，2π)上有且仅有2个极小值点
C．ω的取值范围是(，]
D．f(x)在区间(0，)上单调递减
解析：因为0＜x＜2π，所以＜ωx＋＜2πω＋，令ωx＋＝t，则y＝cos t，作出y＝cos t的大致图象如图，
若f(x)在区间(0，2π)上恰有4个零点，则＜2πω＋≤，解得＜ω≤，故C正确；
由图象可知，f(x)在区间(0，2π)上有1或2个极大值点，故A错误；
f(x)在区间(0，2π)上有且仅有2个极小值点，故B正确；
当0＜x＜时，＜ωx＋＜＋≤×＋＝＜π，所以f(x)在区间(0，)上单调递减，故D正确．故选BCD.
10．(2024·温州模拟)在函数f(x)＝sin (2x－φ)(φ>0)的图象与x轴的所有交点中，点(，0)离原点最近，则φ的值可以为______________．
(写出一个即可)
解析：令f(x)＝0得，sin (2x－φ)＝0，所以2x－φ＝kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z).因为点(，0)离原点最近，且φ>0，所以≤|－|，所以0<φ≤，所以可取φ＝.
答案：(答案不唯一，满足0<φ≤均可)
11．(2024·济南模拟)已知函数f(x)＝sin (ωx－)(ω>0)在区间[0，]上的值域为[－，1]，则ω的取值范围为_________________．
解析：因为ω>0，所以当x∈[0，]时，ωx－∈[－，－]，又函数f(x)＝sin (ωx－)在[0，]上的值域为[－，1]，所以结合正弦函数的图象可知，≤－≤，解得≤ω≤，即ω的取值范围为[，].
答案：[，]
12．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，若 x0∈[－，]，使得f(x)的图象在点(x0，f(x0))处的切线与x轴平行，则ω的最小值是________．
解析：由题得f(x)＝sin (ωx＋)，所以f′(x)＝ωcos (ωx＋)，由题意 x0∈[－，]，使得f′(x0)＝ωcos (ωx0＋)＝0，于是ωx0＋＝＋kπ(k∈Z)，当x0＝0时，等式不成立，所以x0≠0，所以ω＝(k∈Z).当－≤x0<0时，因为ω>0，所以＋kπ<0，又k∈Z，所以＋kπ≤－，所以ω≥＝3.当00，所以＋kπ>0，又k∈Z，所以＋kπ≥，所以ω≥＝.所以ω的最小值为.
答案：
13．已知函数f(x)＝sin x＋sin (x＋).
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若是函数y＝f(x)－f(x＋φ)(φ>0)的一个零点，求φ的最小值．
解：(1)因为f(x)＝sin x＋sin (x＋)＝sin x＋sin x＋cos x＝sin x＋cos x＝sin (x＋)，
所以f(x)的最小正周期为2π.
(2)由题知，y＝f(x)－f(x＋φ)＝sin (x＋)－sin (x＋＋φ)，由是该函数的一个零点可知，
sin (＋)－sin (＋＋φ)＝0，
即sin (＋φ)＝.
故＋φ＝＋2kπ，k∈Z或＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
解得φ＝2kπ，k∈Z或φ＝＋2kπ，k∈Z.
因为φ>0，所以φ的最小值为.
14．已知f(x)＝sin ωx－cos ωx，ω>0.
(1)若函数f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为，求f()的值；
(2)若函数f(x)的图象关于点(，0)对称，且函数f(x)在[0，]上单调，求ω的值．
解：(1)f(x)＝sin ωx－cos ωx＝2sin (ωx－)，
因为函数f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为，
所以＝，则T＝π，所以T＝＝π，解得ω＝2，
所以f(x)＝2sin (2x－)，
所以f()＝2sin (2×－)＝2sin ＝
2×＝.
(2)由(1)知f(x)＝2sin (ωx－)，
因为函数f(x)的图象关于点(，0)对称，
所以－＝kπ，k∈Z，所以ω＝3k＋1，k∈Z.
由x∈[0，]，ω>0，得ωx－∈[－，－]，
因为f(x)在[0，]上单调，
所以解得0<ω≤，
所以取k＝0，则ω＝1.
