微专题2 平面向量与解三角形
小题考法1 平面向量的运算
[核心提炼]
1．共线定理及推论(λ，μ∈R)
(1)已知向量a＝(x1，y1)且a≠0，b＝(x2，y2)，则a∥b b＝λa x1y2－x2y1＝0.
(2)若＝λ＋μ，则A，B，C三点共线 λ＋μ＝1.
2．数量积的性质
(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cos θ＝＝ eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x＋y) \r(x＋y)) .
(3)a，b是非零向量，且a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
命题角度 平面向量的基本运算
INCLUDEPICTURE "例1.TIF" (1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝( D )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
【解析】 方法一(向量法＋坐标法)：因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，即b2＝4a·b.因为a＝(0，1)，b＝(2，x)，所以b2＝|b|2＝4＋x2，a·b＝x，得4＋x2＝4x，所以(x－2)2＝0，解得x＝2，故选D.
方法二(坐标法)：因为a＝(0，1)，b＝(2，x)，所以b－4a＝(2，x)－4(0，1)＝(2，x)－(0，4)＝(2，x－4).因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，所以2×2＋x(x－4)＝0，所以(x－2)2＝0，解得x＝2，故选D.
(2)在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且＝2，＝3，记＝a，＝b，则＝( A )
A.－a＋b
B．a＋b
C．a－b
D．－a＋b
【解析】 因为＝2，＝3，所以＝－＝－＝－＋＝－a＋b.故选A.
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
求向量数量积的三种方法
(1)定义法：当已知向量的长度或夹角时，可利用此法求解．
(2)坐标法：当已知向量的坐标或可通过建立平面直角坐标系表示向量的坐标时，可利用此法求解．
(3)若题设涉及投影向量时，也可考虑利用数量积的几何意义求解．
命题角度 向量中的最值、范围问题
INCLUDEPICTURE "例2.TIF" (1)设a，b，c为单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为( D )
A．－2
B．－2
C．－1
D．1－
【解析】 方法一：因为a·b＝0，a，b是单位向量，所以|a＋b|＝＝，所以(a－c)·(b－c)＝a·b－(a＋b)·c＋c2＝1－|a＋b|·|c|·cos 〈a＋b，c〉＝1－cos 〈a＋b，c〉≥1－，当且仅当a＋b与c同向时取等号，所以(a－c)·(b－c)的最小值为1－，故选D.
方法二：不妨设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(cos θ，sin θ)(0≤θ<2π)，则(a－c)·(b－c)＝a·b＋c2－c·(a＋b)＝1－(cos θ＋sin θ)＝1－sin (θ＋)≥1－，当且仅当θ＝时取等号，即(a－c)·(b－c)的最小值为1－.故选D.
方法三：设＝a，＝b，＝c，由于·＝0，且||＝||＝||＝1，所以以O为圆心，1为半径作圆，要求·的最小值，取AB的中点D，则·＝||2－||2，即·＝||2－，只需求出CD的最小值，由于C在圆O上，当且仅当CD⊥AB时，CD取得最小值1－，所以·≥1－.故选D.
(2)(2024·天津卷)在边长为1的正方形ABCD中，E为线段CD的三等分点， CE＝DE，＝λ＋μ，则λ＋μ＝________；F为线段BE上的动点，G为AF中点，则·的最小值为________．
【解析】 以点A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，E(，1)，所以＝(－，1)，＝(－1，0)，＝(0，1)，因为＝λ＋μ，
所以(－，1)＝λ(－1，0)＋μ(0，1)，所以λ＝，μ＝1，所以λ＋μ＝.由B(1，0)，E(，1)可得BE所在直线的方程为y＝－3(x－1)，设F(a，3－3a)(≤a≤1)，则G(，)，所以＝(a，3－3a)，＝(，)，所以·＝a·＋(3－3a)·＝5a2－6a＋＝5(a－)2－(≤a≤1)，所以当a＝时，·取得最小值，最小值为－.
【答案】 －
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
平面向量中有关最值、范围问题
求解的两种思路
形化 利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断
数化 利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决
INCLUDEPICTURE "对点训练.TIF"
1．(多选)已知向量a＝(1，2)，b＝(－4，2)，则( BC )
A．(a－b)⊥(a＋b)
B．|a－b|＝|a＋b|
C．向量b－a在向量a上的投影向量是－a
D．向量a在向量a＋b上的投影向量的坐标是(－3，4)
解析：由题知，a＋b＝(－3，4)，a－b＝(5，0)，所以(a＋b)·(a－b)＝－3×5＋4×0＝－15≠0，故A错误；|a＋b|＝＝5，|a－b|＝＝5，所以|a－b|＝|a＋b|，故B正确；b－a＝(－5，0)，a·(b－a)＝1×(－5)＋2×0＝－5，|a|＝＝，所以向量b－a在向量a上的投影向量为[]a＝－a，故C正确；a·(a＋b)＝1×(－3)＋2×4＝5，所以向量a在向量a＋b上的投影向量为[](a＋b)＝(a＋b)＝(－，)，故D错误．故选BC.
2．已知a，b，c是平面向量，a与c是单位向量，且〈a，c〉＝，若b2－8b·c＋15＝0，则|a－b|的最小值为________．
解析：
方法一：如图所示，设＝a，＝b，＝c，＝3c，＝5c，因为b2－8b·c＋15＝0，且|c|＝1，所以b2－8b·c＋15c2＝0，所以(b－3c)·(b－5c)＝0，所以(b－3c)⊥(b－5c)，因为＝b－3c，＝b－5c，所以点B在以点F(0，4)为圆心，DE为直径的圆上，又因为＝a－b，所以当点B为圆F和线段FA的交点时，||＝|a－b|的值最小，所以|a－b|min＝－1＝－1.
方法二：由题意，令a＝(1，0)，c＝(0，1)，设b＝(x，y)，因为b2－8b·c＋15＝0，所以x2＋(y－4)2＝1.|a－b|＝，所以|a－b|min＝－1＝－1.
答案：－1
3．在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N为AC边上的两个动点，且满足MN＝，则·的取值范围为______________．
解析：
如图，分别以边BC，BA所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0，2)，B(0，0)，C(2，0)，直线AC的方程为x＋y－2＝0.设M(t，2－t)，则N(t＋1，1－t)，且0≤t≤1，所以＝(t，2－t)，＝(t＋1，1－t)，所以·＝t(t＋1)＋(2－t)·(1－t)＝2(t－)2＋，由于0≤t≤1，所以当t＝时，·取得最小值；当t＝0或t＝1时，·取得最大值2.故·∈[，2].
答案：[，2]
小题考法2 利用正、余弦定理解三角形
[核心提炼]
1．正弦定理及其变形
在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径).
变形：a＝2R sin A，sin A＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等．
2．余弦定理及其变形
在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc cos A.
变形：b2＋c2－a2＝2bc cos A，cos A＝.
3．三角形面积公式
S△ABC＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B.
(1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝2c，cos A＝－，则S△ABC＝( C )
A． B．4
C． D．2
【解析】 因为a＝2，b＝2c，cos A＝＝－，所以＝－，解得c＝2，则b＝4.因为A∈(0，π)，所以sin A>0，所以sin A＝＝，所以S△ABC＝bc sinA＝×4×2×＝.故选C.
(2)(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a sin A＝4b sin B，ac＝(a2－b2－c2)，则下列结论正确的是( ACD )
A．a＝2b
B．cos A＝
C．sin B＝
D.△ABC为钝角三角形
【解析】 因为a sin A＝4b sin B，所以a2＝4b2，所以a＝2b，故A正确；因为ac＝(a2－b2－c2)＝×(－2bc cos A)，且a＝2b，所以2bc＝－2bc cos A，所以cos A＝－，故B错误；因为A∈(0，π)，所以sin A>0，所以sin A＝＝，又因为a＝2b，所以sinA＝2sin B，所以sin B＝，故C正确；由cos A＝－<0可知A∈(，π)，所以△ABC为钝角三角形，故D正确．故选ACD.
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
利用正、余弦定理解三角形的解题策略
(1)涉及边与角的余弦的积时，常用正弦定理将边化为角，涉及边的平方时，一般用余弦定理．
(2)涉及边a，b，c的齐次式时，常用正弦定理转化为角的正弦值，再利用三角函数公式进行变形．
(3)涉及正、余弦定理与三角形面积的综合问题，求三角形面积时用S＝ab sin C形式的面积公式．
INCLUDEPICTURE "对点训练.TIF"
1．(2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝________．
解析：方法一：由余弦定理得cos 60°＝，整理得AC2－2AC－2＝0，解得AC＝1＋或AC＝1－(舍去).又S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，所以×2AC sin 60°＝×2ADsin 30°＋AC·AD sin 30°，所以AD＝＝＝2.
方法二：由角平分线定理得＝，又BD＋CD＝，所以BD＝，CD＝.由角平分线长公式得AD2＝AB·AC－BD·CD＝2AC－，又由方法一知AC＝1＋，所以AD2＝2＋2－＝2＋2－(2－2)＝4，所以AD＝2.
答案：2
2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A＝，b＋2a＝4a sin2，则tanC＝________．
解析：由正弦定理可得sin B＋2sin A＝4sin A·，因为A＝，所以sin A＝，所以sin B＋＝(1－cos C)，所以sin (＋C)＋＝－cos C，
即cos C＋sin C＝－cos C，
所以cos C＝－sin C，则tan C＝－3.
答案：－3
小题考法3 正、余弦定理的实际应用
INCLUDEPICTURE "例4.TIF" (2024·南京六校联考)如图，某中学校园内的红豆树已有百年历史，小明为了测量红豆树高度，他选取与红豆树根部C在同一水平面的A，B两点，在A点测得红豆树根部C在北偏西60°的方向上，沿正西方向步行40 m到B处，测得树根部C在北偏西15°的方向上，树梢D的仰角为30°，则红豆树的高度为( D )
A．10 m B．20 m
C． m D． m
【解析】 在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，∠BCA＝75°－30°＝45°，AB＝40 m，
所以由正弦定理得，＝，解得BC＝20 m，
在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，
所以CD＝BC·tan 30°＝20×＝(m)，则红豆树的高度为 m．
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
解三角形实际应用问题的步骤
INCLUDEPICTURE "对点训练.TIF"
如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点A，B处分别作切线相交于点C，测得切线AC＝99.9 cm，BC＝100.2 cm，AB＝180 cm，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为( A )
A．0.62
B．0.56
C．－0.56
D．－0.62
解析：由题意知，∠OAC＝∠OBC＝90°，所以∠AOB＋∠ACB＝180°.切线AC＝99.9 cm，BC＝100.2 cm，由切线长定理，不妨取AC＝BC＝100 cm，又AB＝180 cm，所以在△ABC中，由余弦定理的推论，得cos ∠ACB＝＝＝－0.62，所以cos ∠AOB＝cos (180°－∠ACB)＝－cos ∠ACB＝0.62.故选A.
INCLUDEPICTURE "专题强化练.TIF"
[小题标准练]
1．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cos B－b cos A＝c，且C＝，则B＝( C )
A． B．
C． D．
解析：因为a cos B－b cos A＝c，所以由正弦定理得sin A cos B－sin B cos A＝sin C＝sin (A＋B)，则2sin B cos A＝0.在△ABC中，sin B≠0，则cos A＝0，所以A＝.所以B＝π－A－C＝π－－＝.故选C.
2．(2024·广东二模)在平行四边形ABCD中，点E满足＝，则＝( B )
A．－ B．－＋
C．－ D．－＋
解析：因为四边形ABCD为平行四边形，则有＝＝(＋)，所以＝－＝(＋)－＝－＋.
3．已知在非直角三角形ABC中，AB＝，AC＝2，且sin 2A－2cos 2A＝2，则△ABC的面积为( C )
A．1 B．
C．2 D．3
解析：由sin 2A－2cos 2A＝2，可得sin 2A＝2(1＋cos 2A)，得2sin A cos A＝2×2cos2A，因为△ABC不是直角三角形，所以cosA≠0，可得sin A＝2cos A，则tan A＝2，所以A为锐角，sin A＝.又AB＝，AC＝2，所以S△ABC＝AB·AC·sin A＝××2×＝2.故选C.
4．在△ABC中，AB＝2，BC＝，cos A＝，则AB边上的高为( D )
A．3 B．
C． D．
解析：设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AB边上的高为h.因为c＝2，a＝，cos A＝，所以10＝4＋b2－2×2b×，所以b2－b－6＝0，解得b＝3(负值舍去).又由cos A＝，得sin A＝，所以S△ABC＝bc sin A＝ch，即×3×2×＝×2h，所以h＝.故选D.
5．(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足＝1，＝2，且(b－2a)⊥b，则＝( B )
A． B．
C． D．1
解析：由(b－2a)⊥b，得(b－2a)·b＝b2－2a·b＝0.所以b2＝2a·b.将|a＋2b|＝2的两边同时平方，得a2＋4a·b＋4b2＝4，即1＋2b2＋4b2＝1＋6|b|2＝4，解得|b|2＝，所以|b|＝，故选B.
6．如图所示，在正六边形ABCDEF中，点P是△CDE内(包括边界)的一个动点，＝λ＋μ，则λ＋μ的取值范围是( B )
A．[，4] B．[3，4]
C．[，] D．[，2]
解析：方法一：在正六边形ABCDEF中，连接FB，取FB的中点O，以O为坐标原点，直线FB为x轴，线段FB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图，令AB＝2，则A(0，－1)，B(，0)，F(－，0)，C(，2)，E(－，2)，D(0，3)，因此＝(－，1)，＝(，1)，则＝(－λ＋μ，λ＋μ)，于是得P(－λ＋μ，λ＋μ－1)，又点P是△CDE内(包括边界)的一个动点，则有2≤λ＋μ－1≤3，即3≤λ＋μ≤4，所以λ＋μ的取值范围是[3，4].故选B.
方法二：如图，连接BF，AD，AD分别交BF，CE于点M，N，设λ＋μ＝k，由＝λ＋μ得直线BF为k＝1对应的等和线，当点P在△CDE内(包括边界)时，直线CE是距离BF最近的等和线，过点D的等和线是距离BF最远的等和线，所以λ＋μ∈[，].不妨设正六边形的边长为2，则AN＝3，AM＝1，AD＝4，故λ＋μ∈[3，4].故选B.
7．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，已知sin (2A＋)＝，b＝1，△ABC的面积为，则＝( B )
A． B．2
C． D．
解析：在△ABC中，因为sin (2A＋)＝，A∈(0，π)，所以2A＋∈(，)，则2A＋＝，可得A＝.又b＝1，△ABC的面积为，所以bc sin A＝c＝，解得c＝2，由余弦定理得a2＝1＋4－2＝3，所以a＝，由正弦定理得＝＝2.故选B.
8．已知在△ABC中，AH为BC边上的高，且＝3，动点P满足·＝－2，则点P的轨迹一定过△ABC的( A )
A．外心 B．内心
C．垂心 D．重心
解析：设BC＝4a，AH＝b，以H为坐标原点，，的方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，如图，
因为＝3 ，所以BH＝3a，HC＝a，
则H(0，0)，B(－3a，0)，C(a，0)，A(0，b)，则＝(4a，0).
设P(x，y)，则＝(x，y－b)，
因为·＝－2，
所以4ax＝－×(4a)2，解得x＝－a，即点P的轨迹方程为x＝－a，而直线x＝－a垂直且平分线段BC，即点P的轨迹为线段BC的垂直平分线，根据三角形外心的性质可得点P的轨迹一定过△ABC的外心，故选A.
9．(多选)已知平面向量a＝(1，3)，b＝(－2，1)，则( AD )
A．|a|＝
B．(2a－b)⊥b
C．a与b的夹角为钝角
D．向量a在向量b上的投影向量的模为
解析：因为a＝(1，3)，所以|a|＝＝，所以A正确；因为b＝(－2，1)，所以(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2×[1×(－2)＋3×1]－[(－2)2＋12]＝－3≠0，所以B不正确；因为a·b＝1×(－2)＋3×1＝1>0，且a与b不平行，所以a与b的夹角为锐角，所以C不正确；向量a在向量b上的投影向量的模为＝＝，所以D正确．故选AD.
10．(多选)已知△ABC是边长为2的正三角形，该三角形的重心为点G，点P为△ABC所在平面内任意一点，则下列等式成立的是( BC )
A．|＋|＝2
B．·＝2
C．＋＋＝3
D．|＋|＝|＋|
解析：因为|＋|＝＝
＝2，所以A中等式不成立；因为·＝||·||·cos ＝2×2×＝2，所以B中等式成立；因为G为△ABC的重心，所以＋＋＝0，所以＋＋＝－＋－＋－＝－3＝3，所以C中等式成立；因为|＋|＝||＝2，|＋|＝＝ ＝2，所以D中等式不成立．故选BC.
11．(多选)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，已知＝，S△ABC＝，且b＝3，则( ABD )
A．cos B＝ B．sin B＝
C．a－c＝ D．a＋c＝3
解析：因为＝＝，所以sin B cos C＝2sin A cos B－sin C cos B，所以2sin A cos B＝sin B cos C＋sin C cos B＝sin (B＋C)＝sin A，因为A为△ABC的内角，所以sin A≠0，所以cos B＝，所以sin B＝，故A，B正确；因为B∈(0，π)，所以B＝，因为S△ABC＝ac sin B＝ac×＝ac＝，所以ac＝3，由余弦定理得9＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac＝(a＋c)2－9，9＝a2＋c2－ac＝(a－c)2＋ac＝(a－c)2＋3，所以a＋c＝3(负值舍去)，a－c＝±，故C错误，D正确．
12．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，BC＝2，D为BC边上一点，且AB⊥AD，则△ABD的面积为________．
解析：由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC，即28＝4＋AC2＋2AC，解得AC＝4或AC＝－6(舍去)，于是cos B＝＝，又AB⊥AD，所以BD＝＝，由勾股定理可得AD＝＝，于是S△ABD＝AB·AD＝×2×＝.
答案：
13．(2024·广东模拟)如图所示，A，B，C，D是正弦函数y＝sin x图象上四个点，且在A，C两点函数值最大，在B，D两点函数值最小，则(＋)·(＋)＝__________．
解析：由题图知，A(，1)，B(，－1)，C(，1)，D(，－1)，所以＝(，1)，＝(，－1)，＝(，1)，＝(，－1)，所以＋＝(2π，0)，＋＝(6π，0)，所以(＋)·(＋)＝2π×6π＋0×0＝12π2.
答案：12π2
14．滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古．如图，在滕王阁旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且AB＝BC＝75 m，则滕王阁的高度OP＝__________m.
解析：设OP＝h，由题意知∠PAO＝30°，∠PBO＝60°，∠PCO＝45°，所以OA＝＝＝3h，OB＝＝＝h，OC＝＝h.在△OBC中，由余弦定理得3h2＝h2＋752－2×75h·cos ∠OBC.①在△OAB中，由余弦定理得9h2＝h2＋752－2×75h cos ∠OBA.②因为cos ∠OBC＋cos ∠OBA＝0，所以由①＋②得12h2＝2h2＋2×752，解得h＝15(负值舍去)，所以OP＝h＝15 m.
答案：15
[小题提升练]
15．(多选)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，其外接圆半径为R，内切圆半径为r＝3，且满足a cos A＋b cos B＋c cos C＝，S△ABC＝6，则( ABD )
A．a＋b＋c＝4
B．R＝6
C．sin A＋sin B＋sin C＝
D．sin 2A＋sin 2B＋sin 2C＝
解析：因为S△ABC＝(a＋b＋c)·r＝(a＋b＋c)＝6，所以a＋b＋c＝4，A正确；因为a cos A＋b cos B＋c cos C＝，所以2R sin A cos A＋2R sin B cos B＋2R sin C cos C＝，即sin 2A＋sin 2B＋sin 2C＝，D正确；若△ABC为锐角三角形，S△ABC＝R2sin 2A＋R2sin 2B＋R2sin 2C＝R2·＝6，解得R＝6(负值舍去)，若△ABC为直角三角形或钝角三角形时可类似证明，B正确；因为＝2R＝12，所以sin A＋sin B＋sin C＝，C错误．故选ABD.
16．(2024·天津一模)已知平行四边形ABCD的面积为6，∠BAD＝，且＝2.若F为线段DE上的动点，且＝λ＋，则实数λ的值为________；||的最小值为________．
解析：作AG⊥BC交BC于点G，以G为原点建立如图所示的平面直角坐标系，连接AE.
因为＝2，＝λ＋，
所以＝λ(＋)＋＝λ＋(－λ)，由D，F，E共线，得λ＋－λ＝1，解得λ＝.
设B(－a，0)且a＞0，则A(0，a)，而平行四边形ABCD的面积为6，则BC＝，故C(－a，0)，D(，a)，E(－a，0)，则＝(－a，－a)，＝(，0)，所以＝＋＝(－，－a)，
则||2＝(－)2＋a2＝＋a2－5≥2－5＝5，当且仅当＝a2，即a＝时取等号，所以||的最小值为.
答案： (共41张PPT)
微专题2 平面向量与解三角形
小题考法1
PART
01
√
【解析】 方法一(向量法＋坐标法)：因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，即b2＝4a·b.因为a＝(0，1)，b＝(2，x)，所以b2＝|b|2＝4＋x2，a·b＝x，得4＋x2＝4x，所以(x－2)2＝0，解得x＝2，故选D.
方法二(坐标法)：因为a＝(0，1)，b＝(2，x)，所以b－4a＝(2，x)－4(0，1)＝(2，x)－(0，4)＝(2，x－4).因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，所以2×2＋x(x－4)＝0，所以(x－2)2＝0，解得x＝2，故选D.
√
求向量数量积的三种方法
(1)定义法：当已知向量的长度或夹角时，可利用此法求解．
(2)坐标法：当已知向量的坐标或可通过建立平面直角坐标系表示向量的坐标时，可利用此法求解．
(3)若题设涉及投影向量时，也可考虑利用数量积的几何意义求解．
√
平面向量中有关最值、范围问题求解的两种思路
形化 利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断
数化 利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决
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1．(多选)已知向量a＝(1，2)，b＝(－4，2)，则( )
A．(a－b)⊥(a＋b)
B．|a－b|＝|a＋b|
C．向量b－a在向量a上的投影向量是－a
D．向量a在向量a＋b上的投影向量的坐标是(－3，4)
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小题考法2
PART
02
第二部分
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利用正、余弦定理解三角形的解题策略
(1)涉及边与角的余弦的积时，常用正弦定理将边化为角，涉及边的平方时，一般用余弦定理．
(2)涉及边a，b，c的齐次式时，常用正弦定理转化为角的正弦值，再利用三角函数公式进行变形．
2
小题考法3
PART
03
第三部分
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解三角形实际应用问题的步骤
√
如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点A，B处分别作切线相交于点C，测得切线AC＝99.9 cm，BC＝100.2 cm，AB＝180 cm，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为( )
A．0.62
B．0.56
C．－0.56
D．－0.62
